1. 偏导数求解方法：
例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得
23z
x y x
?=+? 把x 看作常量，得
32z
x y y
?=+? 将（1,2）带入上述结果，就得
1
2|21328x y z x
==?=?+?=? 1
2|31227x y z y
==?=?+?=? 2. 高阶偏导数求解方法.
设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数
(x,y)x z
f x
?=?
(x,y)y z f y ?=? 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：
22()(x,y)xx z z f x x x
???==???, 2()(x,y)xy z z
f y x x y ???==????
2()(x,y)yx z z f x y y x ???==????, 22()(x,y)yy z z
f y y y
???==???
3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y
??=
+??. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x y
z z ye xe x y
??==??
222211
|,|2x x y y z z
e e x y ====??==?? 所以
222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数).
例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dy
dt
。
解：sin cos t dz z du z dv z
ve u t t dt u dt v dt t
???=++=-+??? cos sin cos (cos sin )cos t t t
e t e t t e t t t =-+=-+
例题2：求2
2
(xy ,x y)z f =的22z
x
??（其中f 具有二阶连续偏导数）.
解：
22''
122'2'1
222'''''2''2''1112221224''3''22''111222
()(2)2()
(y 2)2(2)
y 44z z y f f yx x x x x
f y y f x x x
y f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ????==+??????=+??=++++=++
5. 隐函数求导公式.
定理1：设函数F(x,y)在点00P(x ,y )的某一领域内具有连续偏导数，且
00F(x ,y )0=，00F (x ,y )0y ≠在点00(x ,y )的某一领域内恒能唯一确定一个连
续且具有连续导数的函数(x)y f =，它满足条件00(x )y f =，并有
x y
dy F
dx F =-. 定理2：设函数F(x,y,z)在点000P(x ,y ,z )的某一领域内具有连续偏导数，
且000F(x ,y ,z )0=，
000F (x ,y ,z )0z ≠在点000(x ,y ,z )的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(x,y)z f =，它满足条件
000(x ,y )z f =，并有
x
z z F x F ?=-?，y z
F z y F ?=-?.
例题：设方程xyz +=(x,y)z z =，求(1,0,1)dz |-.
解：令(x,y,z)F xyz =+-
Fx yz =+
，Fy xz =+
Fz xy =+
z Fx x Fz ?=-=?
y
z F y y F z z ?=-=?
(1,0,1)(1,0,1)|1,|z z
x y --??==??
(1,0,1)dz |dx -=-.
6. 空间曲线的切线和法平面。
设曲线Γ的参数方程为(t),y (t),z (t)x ?ψω===(t αβ≤≤，三个
函数在[,]αβ上可导).取曲线Γ上一点000M(x ,y ,z ),则曲线在M 点处的切线方程为
000
'''x y y z z (t)(t)(t)
x ?ψω---== 切线方向向量成为切向量，向量 '''((t),(t),(t))T ?ψω= 就是曲线Γ在点M 的一个切向量.
法平面过000M(x ,y ,z )，且以T 为法向量，法平面方程为
'''000(t)(x )(t)(y y )(t)(z z )0x ?ψω-+-+-=
例题：求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面.
解：因为'''2x 1,2,3t t t y t z t ===。而点(1,1,1)所对应的参数t=1，所以 (1,2,3)T = 切线方程为
111
123
x y z ---== 法平面方程为
(x 1)2(y 1)3(z 1)0-+-+-= 即 236x y z ++=.
7. 曲面的切平面与法线.
设曲面∑由(x,y,z)0F =给出，000M(x ,y ,z )是曲面∑上的一点. 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量
0000
000
((x ,y ,z ),
(x ,y ,z ),(x ,y ,z ))
x y z n F F F = 就是曲面∑在点M 处的一个法向量。
曲面的切面方程是
000000000000(x ,y ,z )(x )(x ,y ,z )(y y )(x ,y ,z )(z z )0x y z F x F F -+-+-=
曲面的法线方程是
000
000000000x y y z z (x ,y ,z )(x ,y ,z )(x ,y ,z )x y z x F F F v
---==.
例题：求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)的切平面及法线方程.
解: 22
(x,y)x 1f y =+-
(2,1,4)(,,1)=(2x,2y,-1)|(4,2,1)
x y n f f n =-=-
所以在点处的切平面方程是 4(x 2)2(y 1)(z 4)0-+---= 即 4x+2y-z-6=0 法线方程为
214
421
x y z ---==- 求切平面的步骤：已知函数(x,y,z)F ，求其在000(x ,y ,z )处的切平面. (1)求一阶偏导数,,x y z F F F ; (2)法向量(,,)x y z n F F F = ;
(3)切平面为: 000(x )(y y )(z z )0x y z F x F F -+-+-=. 8. 方向导数.
如果函数(x,y)f 在点000(x ,y )p 可微分，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且有
00(x ,y )00y 00|(x ,y )cos +(x ,y )sin x f
f f l
αβ?=? 其中cos sin αβ，
是方向l 的方向余弦. 例题：求函数2y z xe =在点(1,0)处沿着从点P (2,3)到点Q (1,2)-的方向导数.
解：这里方向l 即(3,1)PQ =--的方向，与l
同向的单位向量为
e =. 因为函数可微分，且
22(1,0)(1,0)|1,|22y y z z
e xe x y
??====?? 故所求方向导数为
(1,0)|12z l ?=+=? 9. 梯度.
函数(x,y)f 在点000(x ,y )p 处的梯度记作00(x ,y )grad f ，即 0000y 00(x ,y )(x ,y )+(x ,y )x grad f f i f j = 10. 多元函数的极值和其求法.
定理1：设函数(x,y)z f =在点00(x ,y )具有偏导数，且在点00(x ,y )处有极值，则有
00y 00(x ,y )=0(x ,y )=0x f f ，
定理2：设函数(x,y)z f =在点00(x ,y )的某一领域连续且有一阶及二阶连续偏导数00y 00(x ,y )=0(x ,y )=0x f f ，，令
x 00x y
00y y 0
0(x ,y )=A (x ,y )=B ,
(x ,y )=C ,
x f f f ，
则(x,y)z f =在00(x ,y )处是否取得极值的条件如下：
(1) 2AC-B 0>时具有极值，且当A<0或C<0时00(x ,y )f 是极大值，当A>0或C>0时00(x ,y )f 是极小值； (2) 2AC-B 0<时，00(x ,y )f 不是极值；
(3) 2AC-B 0=时，可能有极值，也可能没有极值.（以上方法失效，需进一步判定）
例题：求函数3322(x,y)x 339f y x y x =-++-的极值. 解：先解方程组
2
2
(x,y)3690
(x,y)360x y
f x x f y y ?=+-=??=-+=?? 求得驻点为(1,0)(1,2)(3,0)(3,2)--、
、、. 再求二阶偏导数
x (x,y)6x 6x f =+， x y (x ,y )0f =， yy (x,y)6y 6f =-+ 在点(1,0)处，2AC-B 1260=?>，又A>0，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f =-；
在点(1,2)处，2AC-B 12(6)0=?-<，所以(1,2)f 不是极值； 在点(3,0)-处，2AC-B 1260=-?<，所以(3,0)f -不是极值； 在点(3,2)-处，2AC-B 12(6)0=-?->，又A<0，所以函数在(3,2)-处有极大值(3,2)31f -=.
11. 条件极值 拉格朗日乘数法.(必考)
要找函数(x,y)z f =在附加条件(x,y)0?=下的可能极值点，可以
先作拉格朗日函数：
(x,y)(x,y)(x,y)L f λ?=+
其中λ为参数.求其对x 和y 的一阶偏导数，并使之为零，然后
与(x,y)0?=联立起来：
(x,y)(x,y)0(x,y)(x,y)0(x,y)0x x y
y f f λ?λ??+=??
+=??=?
由方程组解出x ，y 及λ，这样得到的(x,y)就是函数(x,y)z f =在
附加条件(x,y)0?=下的可能极值点.
例题1：求函数222(,y,z)23f x x y z =++在条件222100x y z ++=下的最
大值和最小值. 解：作拉格朗日函数：
222222(,y,z)23(100)L x x y z x y z λ=+++++- 令：
222220*********x y
z L x x L y y L z z x y z λλλ=+=??=+=??=+=?
?++=?
?0010x y z =??
=??=±?
0100x y z =??
=±??=? 1000x y z =±??
=??=?
因为(10,0,0)100,(0,10,0)200,(0,0,10)300f f f ±=±=±= 所以(10,0,0)100,(0,0,10)300min max f f f f =±==±= 例题2：抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到
这一椭圆的最长与最短距离.
解：在椭圆上任取一点(x,y,z)，其到原点的距离是
d =2222(x,y,z)f d x y z ==++.
作拉格朗日函数：
22222(,y,z)()(1)L x x y z x y z x y z λμ=++++-+++- 令：
22
22022020
1
x y z L x x L y y L z z x y x y z λμλμλμ=++=??=++=??
=-+=??=+??++=?
112222x y x y z z ??--==
==
????
???=-=+?
?
1111
(
,,29,(,,292222
f f --=-+=+ 由题目本身可知，最长和最短距离一定存在，所以
,min max d d =
=