2020中考复习《锐角三角函数》——坡度坡角仰角俯角
方位角专题训练（1）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为45°和60°(山脚和塔底
在同一水平面内)，则塔高为()m．
A. 400√2
3B. 400√3
3
C. 200(3+√3)
3
D. 200(3?√3)
3
2.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船
沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为()海里
A. 20
B. 10√3
C. 20√2
D. 30
3.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，
在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为
45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知
测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确
到0.1米，√2≈1.414)()
A. 34.14米
B. 34.1米
C. 35.7米
D. 35.74米
4.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB
的坡度i=1:2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为()
A. 56米
B. 66米
C. (56+20√3)米
D. (50√2+20√3)米
5.如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为()
A. 50米
B. 100米
C. 150米
D. 100√3米
6.如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之
间的水平距离BE为9m，AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是()
A. 3√3m
B. 27√3m
)m
C. (3√3+3
2
)m
D. (27√3+3
2
7.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测
得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为()
A. 30
米 B. 30sinα米 C. 30tanα米 D. 30cosα米tanα
8.若斜坡AB的坡度i=1:√3，则它的坡角α的度数是
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 无法确定
9.如图，从位于O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，相距600米的A处
有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇要到达哨所东南方向的B处，则A，B间的距离是()米．
A. 300+300√3
B. 300+300√2
C. 150+150√3
D. 150+150√2
10.如图所示，某幼儿园为了加强安全管理决定将园内滑梯的倾斜角由45°降为30°，已
知滑梯高AC为2米，点D，B，C在同一水平地面上，请问改善后的滑梯比原滑梯
水平方向占地加长(即BD的长)多少()(√2=1.4,√3=1.7)
A. 0.8米
B. 1.4米
C. 4.8米
D. 5.4米
二、填空题
11.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A
滑至B.已知AB=200m，这名滑雪运动员的高度下降
了______m．
12.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球
C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离
是m.
13.如图所示，某水库迎水坡AB的坡度i=1:√3，则该坡
的坡角α=________°．
14.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海
中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B
处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P
到环海路的距离PC=__________米(用根号表示)．
15.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、
DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=6√2米，背水坡CD的坡度i=1：√3(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为______米．
三、解答题
16.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北
岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．(结果精确到1米，参考数据：sin33°=0.54，cos33°≈0.84，tan33°=0.65，√2≈1.41)
17.如图，某游乐园有一个滑梯高度AB，高度AC为3米，倾斜角度为58°.为了改善滑
梯AB的安全性能，把倾斜角由58°减至30°，调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？(精确到0.1米)
(参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60)
18.如图，甲、乙两楼相距30m，甲楼高40m.自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰角为28°，请
问乙楼有多高？(结果精确到0.1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)
19.在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴
趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，
在测点A处安置测倾器，量出高度AB=1.5m，测得
旗杆顶端D的仰角∠DBE=32°，量出测点A到旗杆
底部C的水平距离AC=20m.根据测量数据，求旗杆
CD的高度。(参考数据：sin32°≈0.53,cos32°≈
0.85,tan32°≈0.62)
20.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端
A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)
(2)求旗杆CD的高度．
21.如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为
α其中tanα=2√3，无入机的飞行高度AH为500√3万米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长
度AB．
22.如图，有两座建筑物AB与CD，从A测得建筑物顶部D的仰角为16°，在BC上有
一点E，点E到B的距离为24米，从E测得建筑物的顶部A、D的仰角分别为37°、45°.求建筑物CD的高度．(参考数据：tan16°≈0.30，tan37°≈0.75)
23.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者
后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C 的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？(结果保留整数.参考数据：
tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，√2≈1.4)
24.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，
站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆
顶端A的仰角为37°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为12m，
求旗杆的高度．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，
tan37°≈0.75)
25.盐城中学九年级某班数学兴趣小组的活动课题是“测量共青山的高度”.该班派了
两个测量小分队，分别带上高度为1.6m的测角仪和皮尺进行现场测量，绘制了如下示意图，并标注了测量结果．(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈
0.70，sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30)
(1)请你选择一种测量结果计算出共青山的高度．(精确到个位)
(2)若共青山的底部近似的看成圆形，且过点A向CD作垂线，垂足O恰为底部圆
心，结合两个分队的测量数据，计算底部圆形的直径．(精确到个位)
答案和解析1.D
解：依题意可得图形，
从塔顶向山引一条垂线CM
则AB=BD×tan60°，AM=CM×tan45°，BD=CM
∴AM=AB
tan60°×tan45°=200√3
3
．
所以塔高CD=200(3?√3)
3
m.
2.C
解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，
∴∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，
∴∠CBA=45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC=AC
BC =40×
1
2
BC
=√2
2
，
∴BC=20√2海里．3.C
解：过B作BF⊥CD于F，作B′E⊥BD，
∵∠BDB′=∠B′DC=22.5°，
∴EB′=B′F，
∵∠BEB′=45°，
∴EB′=B′F=10√2，
∴DF=20+10√2，
∴DC=DF+FC=20+10√2+1.6≈35.74=35.7，
4.C
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，
由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，
∵BE
AE =1
2.5
，
∴AE=50米，
在Rt△CFD中，
∵∠D=30°，
米，
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20√3=(56+20√3)米．5.B
解：由题意得，∠BCA=90°,∠BAC=30°，AB=200米，故可得BC=1
2
AB=100米.
6.C
解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD//BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE=9m，AB=1.5m，
∴AD=BE=9m，DE=AB=1.5m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=30°，AD=9m，
AC=2CD，AD2+CD2=AC2，
∴CD=√AD2
3
=3√3m，
∴CE=CD+DE=(3√3+1.5)m
7.C
解：在Rt△ABO中，
∵BO=30米，∠ABO为α，
∴AO=BOtanα=30tanα(米)．
故选C．
8.A
9.A
解：如图，由题意可得：∠AOC=90°?60°=30°，OA=600米，∠BOC=45°，
在Rt△AOC中，
AC=1
2OA=1
2
×600=300(米)，
OC=OA·cos∠AOC=600×cos30°=300√3(米)，在Rt△OBC中，
∵∠BOC=45°，
∴BC=OC=300√3，
故AB=AC+BC=300+300√3(米)，
即A，B间的距离是300+300√3(米)．
10.B
解：在Rt△ABC中，
∵AC=2，∠ABC=45°，
∴BC=CB=2，
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，
=2×1.7=3.4，
∴水平方向加长的长度为CD?BC=3.4?2=1.4．
故选B．
11.100
解：过点A作AD⊥BC于D．
在直角△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠B=30°，AB=200m，
∴AD=1
AB=100(m)，
2
即这名滑雪运动员的高度下降了100m．
12.(100√3+100)
解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，∴∠BCD=90°?45°=45°，∠ACD=90°?30°=60°，
∵CD⊥AB，CD=100m，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=100m，
在Rt△ACD中，CD=100m，∠ACD=60°，
∴AD=CDtan60°=100×√3=100√3m，
∴AB=AD+BD=(100√3+100)m.
13.30
解：由题意，设坡角α，
，
故坡角a=30°．
14.250√3
解：由已知得，
在Rt△PBC中，∠PBC=60°，PC=BCtan60°=√3BC．
在Rt△APC中，∠PAC=30°，AC=√3PC=√3×√3BC=3BC=500+BC．解得，BC=250米．
∴PC=250√3(米)．
15.12
解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=6√2米，
∴AE=6√2×sin45°=6(m)，
∵背水坡CD的坡度i=1:√3(i为DF与FC的比值)，
∴tan∠C=1
√3=√3
3
，
∴∠C=30°，
则DC=2DF=2AE=12m，
16.解：如图，延长CA交BE于点D，
则CD⊥BE，
由题意知，∠DAB=45°，∠DCB=33°，
设AD=x米，
则BD=x米，CD=(20+x)米，
=tan∠DCB，
在Rt△CDB中，DB
CD
≈0.65，
∴x
20+x
解得x≈37，
答：这段河的宽约为37米．
17.解：Rt△ABD中，
∵∠ADB=30°，AC=3米，
∴AD=2AC=6(m)
∵在Rt△ABC中，AB=AC÷sin58°≈3.53m，
∴AD?AB=6?3.53≈2.5(m)．
∴调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米．18.解：作BE⊥CD点E，连接BD，
则∠DBE=28°，四边形BACE为矩形，
∴BE=30m，CE=AB=40m，
在Rt△EBD中，依题意得∠EBD=28°，
∴ED=BE?tan28°≈30×0.53=15.9(m)，
∴CD=DE+CE≈15.9+40=55.9(m)，
答：乙楼的高CD的长约为55.9m．
19.解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD于点E，
由题意得AC=20m，AB=1.5m，
∵∠DBE=32°，
∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4m，
∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9m．
答：旗杆CD的高度约13.9m．
20.解：(1)由题意可知，∠BDA与B处观察点D的俯角相等，即∠BDA=30°，在RtΔABD?中，由特殊角的三角函数值可知，
AD=AB
tan30°=4
tan30°
=4√3(米);
(2)在RtΔADC中，∠CAD=60°，
∴CD=AD×tan60°=4√3×√3=12(米)．21.解：①在Rt△AHP中，∵AH=500√3，
由tan∠APH=tanα=AH
HP =500√3
PH
=2√3，可得PH=250米．
∴点H到桥左端点P的距离为250米．
②设BC⊥HQ于C．
在Rt△BCQ中，∵BC=AH=500√3，∠BQC=30°，∴CQ=BC
tan30°
=1500米，
∵PQ=1255米，
∴CP=245米，
∵HP=250米，
∴AB=HC=250?245=5米．
答：这架无人机的长度AB为5米．
22.解：作AF⊥CD于F，
设CD=x米，
∵∠DEC=45°，
∴EC=CD=x米，
在Rt△ABE中，AB=BE?tan∠AEB≈18，则CF=18，
∴DF=x?18，
，
在Rt△AFD中，tan∠DAF=DF
AF
=0.3，
即x?18
x+24
解得x=36，
答：建筑物CD的高度约为36米．
23.解：如图作AH⊥CN于H．
在Rt△ABH中，
∵∠BAH=45°，BH=10.5?2.5=8(m)，∴AH=BH=8(m)，
，
在Rt△AHC中，tan65°=CH
AH
∴CH=8×2.1≈17(m)，
∴BC=CH?BH=17?8=9(m)，
24.解：在Rt△ACD中，
∴tan37°=AD
，
12
≈0.75，
∴AD
12
∴AD=9m，
在Rt△BCD中，
∵tan∠BCD=BD
，
CD
∴tan45°=BD
，
12
∴BD=12m，
∴AB=AD+BD=12+9=21(m)．
答：旗杆的高度是21m．
25.解：(1)如图1中，延长BE交AO于H．
∵∠AEH=45°，
∴AH=EH，设AE=EH=x，
在Rt△ABH中，tan17°=AH
，
BH
∴0.30=x
，
15+x
≈6.4，6.4+1.6=8，
解得x=45
7
∴青山的高度为8m．
(2)如图2中，作BH⊥AO于H．
∴0.7=6.4
，
BH
∴BH≈9．
∴CO=BH=9，OD=9?3=6，∴底部圆形的直径为12m．
23.2 解直角三角形及其应用 第3课时方位角与方向角、坡度与坡角 2.坡度与斜率问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习,使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识,解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识,解决与坡度的有关的实际问题. 一、情景导入,初步认知 在本章第一节的内容中,我们对坡度的有关知识有了一定的了解.本节课我们继续学习与坡度有关的计算. 【教学说明】 引入新课,告诉学生本节课所学习的内容. 二、思考探究,获取新知 如图:铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB的坡度i=1∶1.6,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β（精确到1°）的值. 解:过点C作CF⊥AD于点F,得 CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β
∴AE=1.6×5.8=9.28m, DF=2.5×5.8=14.5m, ∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m. 由tanα=1/1.6, tanβ=1/2.5,得 α≈32°,β=22° 答:铁路路基下底宽33.6m,斜坡的坡角分别为32°和22°. 【教学说明】 教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么,将图形中的信息转化为图形中的已知条件,再分析图形求出问题. 三、运用新知,深化理解 1.教材P130例7. 2.如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离(精确到0.1m). 【分析】 引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5米,∠A=24°,求AB. 答:斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米. 3.同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:如图水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
第2课时坡度和方位角问题 【知识与技能】 1.了解测量中坡度、坡角的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 【过程与方法】 通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题. 【情感态度】 进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题. 【教学难点】 能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题. 一、情景导入，初步认知 如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1 ＞∠A. 的倾斜程度比较大，说明∠A 1
＞tanA. 即tanA 1 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系. 如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）
3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？ 【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成. 三、运用新知，深化理解 1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)． 分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形． 解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB． 在Rt△ABC中，cosA=AC/AB, ∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米） 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
年级：九年级下册科目：数学主备: 审核： 课题：28.2 方位角与方向角问题 学习目标： 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 重点与难点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 一、用一用 用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 方位角与方向角 1．方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图（1）中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图（1）的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向． （1）（2） 2．方位角 从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如图（2）中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°． 用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
解题时一般有以下三个步骤： 1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． 2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形． 3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形． 例1、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里） 分析：因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC． 解：如图，在Rt△APC中， ∵ cos（90°-65°）=___________________ ∴ PC=_____________________________ = 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB=__________________， ∴PB=____________________________________≈_______ 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
方位角、坡度、坡角 1.掌握方位角的定义及表示方法指或指方向线与目标方向线 所成的小于90°的水平角,叫方位角,如图,目标方向线OA、OB、OC、OD的方位角分 别表示, , , . 2.理解坡度、坡比等相关概念在实际问题中的含义 (1)坡度、坡比 ①如图,我们把坡面的高度h和宽度l的比叫做坡 度(或叫做坡比),用字母i表示,即i=.坡度一般写成1∶m的形式. ②坡面与的夹角α叫做坡角,坡角与坡度之间的关系为i==tan α. (2)水平距离、垂直距离(铅直高度)、坡面距离 如图, 代表水平距离, 代表铅直高度, 代表坡面距离. 重点一:与方位角有关的实际问题 解答与方位角有关的实际问题的方法 (1)弄清航行中方位角的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定方向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在. ) 1. (2013河北)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40 海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与 灯塔P的距离为( ) (A)40海里(B)60海里 (C)70海里(D)80海里 2.(2013荆门)A、B两市相距150千米,分别从A、B处测得国家级风景区中心C处 的方位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tan α =1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的高速公路. 问连接AB的高速公路是否穿过风景区,请说明理由. 3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°方向.若一艘渔
《方位角与方向角问题》教案 复习引入 本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题． 探究新知 （一）方位角与方向角 1．方向角 教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向． 图28．2-1 图28．2-2 2．方位角 教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．?如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点 教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）?之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解． 解题时一般有以下三个步骤： 1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知． 2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形． 3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、?角）之间关系解有关的直角三角形． （三）例题讲解
教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，?距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，?到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里） 教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC?是东西走向的一条直线．AB 是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP?均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC?互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书． 解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°-65°） =80×cos25°≈80×0.91=72.8． 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB=PC PB ， ∴PB= 72.872.8 sin sin340.559 PC B =≈ ? ≈130.23． 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，?要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L． 图28．2-9 图28．2-10 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
课题：与方位角、坡度有关的应用问题 【学习目标】 1．了解坡度、坡角、方位角的概念，学会解决相关问题． 2．经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用数学知识解决实际问题． 3．渗透数学来源于实践又服务于实践的观点，培养应用数学的意识，渗透数形结合的思想方法． 【学习重点】 与坡度、方位角有关的解直角三角形的实际应用． 【学习难点】 建立直角三角形的模型． 一、情景导入 生成问题 情景导入： 1．如图，从山坡脚下点P 上坡走到点N 时，升高的高度是h(即线段MN 的长)，水平前进的距离是l(即线段PM 的长度)． 2．在茫茫大海上，我国缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在我船的北偏东40°的方向．在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的方位．若可疑船的位置不停移动，同学们能否描述缉私艇的航线，探求其规律呢？ 二、自学互研 生成能力 知识模块一 坡度、坡角的概念及应用 阅读教材P 127，完成下面的内容： 在情景导入的图中，从山坡脚下点P 上坡走到点N 时，升高的高度h(即线段MN 的长)与水平前进的距离l(即 线段PM 的长)的比叫作坡度，用字母i 表示，即i ＝h l ． 其中∠MPN 叫作坡角(即PM 与PN 的夹角)，记作α． 【例1】 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m )． 解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5 ， ∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m )． FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m )． ∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m )．
第2课时与坡度、方位角有关的应用问题 1．[2018·苏州]如图4-4-15，某海监船以20海里/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1 h到达B 处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2 h到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为( ) A．40海里B．60海里 C．203海里D．403海里 图4-4-15 2．[2017·德阳]如图4-4-16所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6 2 m，背水坡CD的坡度i＝1∶3，则背水坡的坡长为________m. 图4-4-16 3．某地一人行天桥如图4-4-17所示，天桥高6 m，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α. (2)原天桥底部正前方8 m处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由． 图4-4-17 4．[2018·泰州]日照间距系数反映了房屋日照情况，如图4-4-18(1)，当前后房屋都
朝向正南时，日照间距系数＝L ∶()H －H 1，其中L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H 1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图4-4-18(2)，山坡EF 朝北，EF 长15 m ，坡度为i ＝1∶0.75，山坡顶部平地EM 上有一高为22.5 m 的楼房AB ，底部A 到E 点的距离为4 m. (1)求山坡EF 的水平宽度FH . (2)欲在AB 楼正北侧山脚的平地FN 上建一楼房CD ，已知该楼底层窗台P 处至地面C 处的高度为0.9 m ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少多远？ (1) (2) 图4-4-18 参考答案 1．D 2.12 3．(1)∠α＝30° (2)文化墙PM 不需要拆除，理由略． 4．(1)9 m (2)29 m
第2课时与方向角、坡角有关的应用问题 【知识与技能】 进一步掌握用解直角三角形的知识解决实际问题的方法，体会方位角、仰角、俯角、坡度（坡比）的含义及其所代表的实际意义，能用它们进行有关的计算. 【过程与方法】 通过实际问题的求解，总结出用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程，增强分析问题和解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合的思想方法，增强学生的数学应用意识和能力. 【教学重点】 用三角函数有关知识解决方位角问题. 【教学难点】 学会准确分析问题，并将实际问题转化为数学模型. 一、复习回顾，新知导引 1.仰角、俯角概念； 2.方位角的意义. 【教学说明】教师提出问题顾，为后继学习作好准备. 二、典例精析，掌握新知 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果取整数）？ 分析与解易知P点正东方向与AC具有垂直关系，即图中
PC 丄AB ，若记垂足为C ，则图中出现了两个直角三角形APC 和直角三角形BPC.而在Rt △APC 中，知AP=80，∠APC=90°-65°=25°，故可求出线段PC 的长，即由AP PC = ∠APC cos ,得PC=AP · cos25°=80·cos25°≈72.505，因此在Rt △BPC 中，由PB PC PB =∠C cos ，得，13056cos 505.7256cos ≈?=?=PC PB 从而可得知海轮在B 处时距离灯塔P 约130海里. 【教学说明】本例的设计较上节课所学过的应用问题不同之处在于用其中一个直角三角形中所获得的结论来作为另一个直角三角形的条件而获得问题的解答，这正是学生感到困难的地方，因而教师应作为引导，帮助学生进行观察思考. 例2 如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD (图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比，也称为坡度、坡比），根据图中数据求： （1）坡角α和β； （2）斜坡AB 的长（结果保留小数点后一位）. 【教学说明】本例可由学生独立完成，教师巡视指导，让学生在自主探究中体会用解直角三角形的知识来解决史记问题的方法，在完成上述例题后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.
28.2.2 应用举例 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 教学目标： 1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点) 教学过程： 一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l ＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高 速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)． 解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表
示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区． 解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33 PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8km ＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步 伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数) 解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD . 解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝
方位角、坡度、坡角 掌握方位角的定义及表示方法 教学 目标： 重点：理解坡度、坡比等相关概念在实际问题中的含义 难点：与方位角有关的实际问题 1.掌握方位角的定义及表示方法指或指方向线与目标方向线 所成的小于90°的水平角,叫方位角,如图,目标方向线OA、OB、OC、OD的方位角分 别表示, , , . 2.理解坡度、坡比等相关概念在实际问题中的含义 (1)坡度、坡比 ①如图,我们把坡面的高度h和宽度l的比叫做坡 度(或叫做坡比),用字母i表示,即i=.坡度一般写成1∶m的形式. ②坡面与的夹角α叫做坡角,坡角与坡度之间的关系为i==tan α. (2)水平距离、垂直距离(铅直高度)、坡面距离 如图, 代表水平距离, 代表铅直高度, 代表坡面距离. 重点一:与方位角有关的实际问题 解答与方位角有关的实际问题的方法 (1)弄清航行中方位角的含义,根据题意画出图形,画图时要先确定方向标,把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在. (2)船在海上航行,在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置,关键在于确定 基准点.当船在航行时,基准点在转移,画图时要特别注意. 1. (2013河北)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40 海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与 灯塔P的距离为( ) (A)40海里(B)60海里 (C)70海里(D)80海里 2.(2013荆门)A、B两市相距150千米,分别从A、B处测得国家级风景区中心C处 的方位角如图所示,风景区区域是以C为圆心,45千米为半径的圆,tan α =1.627,tan β=1.373.为了开发旅游,有关部门设计修建连接AB两市的高速公路. 问连接AB的高速公路是否穿过风景区,请说明理由. 3. 如图,A、B、C分别是三个岛上的点,点C在点A的北偏东47°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A、B两点的距离约为5.5 km;同时,点B在点C的南偏西36°方向.若一艘渔