第一章随机事件与概率 一、单项选择题
1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的
是( B ).
A.AB ={出现奇数点}
B. AB ={出现5点}
C. B ={出现5点}
D. A B =Ω
2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ). A. ()A B B A +-= B. ()A B B A B A AB +-=-=- C. ()A B B A B -+=+ D.AB AB A +=
3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ).
A.12
12A A A A B.12A A C.12A A D.12A A
4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( A ).
A.123A A A
B.123A A A ++
C.123A A A
D.123A A A
5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是
( A ).
A.(|)0P A B =
B. (|)0P B A =
C. ()0P AB =
D. ()1P A B = 6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ).
A. 0.2
B. 0.4
C. 0.6
D. 0.8
7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则 ( C ). A.()1P A B = B.()()()P AB P A P B = C. ()0P AB = D.()0P AB >
8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ). A.A =Φ B.A B ? C.A 与B 相互独立 D. A 与B 互不相容
9.已知P(A)=0.4, P(B)=0.5, 且A B
?,则P(A|B)= ( C ).
A. 0
B. 0.4
C. 0.8
D. 1
10.设A与B为两事件, 则AB= ( B ).
A.A B
B. A B
C. A B
D. A B
11.设事件A B
?, P(A)=0.2, P(B)=0.3,则()
P A B= ( A ).
A. 0.3
B. 0.2
C. 0.5
D. 0.44
12.设事件A与B互不相容, P(A)=0.4, P(B)=0.2, 则P(A|B)= ( D ).
A. 0.08
B. 0.4
C. 0.2
D. 0
13.设A, B为随机事件, P(B)>0, P(A|B)=1, 则必有 ( A ).
A.()()
P A B P A
= B.A B
?
C. P(A)=P(B)
D. P(AB)=P(A)
14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ).
A. 0.4
B. 0.2
C. 0.25
D. 0.75
15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ).
A.3
7
B.0.4
C. 0.25
D.
1
6
16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ).
A. 0.48
B. 0.75
C. 0.6
D. 0.8
17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为
( A ).
A. 0.125
B. 0.25
C. 0.5
D. 0.4
18.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为 ( A ).
A. 0.72
B. 0.75
C. 0.96
D. 0.78
19.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为 ( C ).
A. 710
B. 44710
C. 47410
C C D. 47
10?
20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为 ( C ).
A. 8
10 B. 38310
C C C. 33810 D. 38310C
21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为 ( C ).
A. 20.4
B. 30.6
C. 22350.40.6C
D. 23250.40.6C
22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为 ( D ).
A.15615()66C
B.15
6151()66
C - C.156
51()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为(A ).
A. 19
B. 12
C. 23
D. 13
24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为 ( A ).
A. 518
B. 4!6!
C. 4
446
A A D. 44!
6
25.某人每次射击命中目标的概率为p (0
A. p 2
B. (1-p )2
C. 1-2p
D. p (1-p ) 二、填空题
1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35.
2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为 1/16.
3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个
红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 .
4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为0.0486.
5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94.
6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12.
7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()
P A B=0.5.
8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)=0.5.
9.设()0.3,(|)0.6
P A P B A
==，则P(AB)=0.42.
10.设
11
()()(),()(),()0
46
P A P B P C P AB P AC P BC
======，则P(A+B+C)=
5/12.
11.已知P(A)=0.7, P(A-B)=0.3, 则()
P AB=0.6.
12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为0.25.
13.已知P(A)=0.4, P(B)=0.8, P(B|A)=0.25, 则P(A|B)=0.125.
14.设
111
(),(|),(|)
432
P A P B A P A B
===，则()
P A B=1/3.
15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为0.576.
16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为0.7.
三、计算题
1.设P(A)=0.4, P(B)=0.2, (|)0.3
P B A=, 求P(AB)以及P(A|B).
解:由(|)0.3
P B A=得:
()
0.3,
()
P AB
P A
=即
()()
0.3
1()
P B P AB
P A
-
=
-
,
解得:P(AB)=0.02. 从而,
()0.02 (|)0.1
()0.2
P AB
P A B
P B
===.
2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ?==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；(4) ()P A B ；(5)P (B -A ).
(1)由概率的性质，知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=； (2)因为A B ?，所以AB A =，P (AB )=P (A )=0.2； (3)()P AB =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0； (4) 因为A B ?，所以A B B =, ()P A B =P (B )=0.3； 或者，()P A B =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3；
3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；(3)()P AB .
解:(1) 因A 与B 互不相容，故AB =Φ，P (AB )=0，所以()P AB =1-P (AB )=1； (2) 因A 与B 互不相容，由加法公式：P (A+B )=P (A )+P (B )，得P (B )=0.3，从而
(|)P A B =
()()()0.66
1()0.77()
P AB P A P AB P B P B -===-；
(3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=.
4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P (B )；(2)
()P AB ；(3)P (A|B ).
解：(1)因为事件A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B )，
()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-
0.6=0.4+P (B )-0.4P (B )，解得：P (B )=1
3
；
(2) 因为事件A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，故
()P AB =4()()15
P A P B =
； (3) 因为事件A 与B 相互独立，所以P (A|B )=P (A )=0.4.
四、应用题
1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.
解：设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”，A “3个产品等级都不
同”，由古典概率定义，得11140643
5012
()0.049245
C C C P A C ==≈，从而 ()10.0490.951P A =-=.
2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.
解：A “取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知：
11
23732
108
()15
C C C P A C +==. 3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.
解：A “4只鞋子中至少能配成一双”，则A “4只鞋子都不同”.由古典概
率得：41111522224
108()21
C C C C C P A C ==，故13
()1()21P A P A =-=. 4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.
解：A “排成的数是三位数且是偶数”，A 0“排成的三位数末位是0”，A 2“排成的三位数末位是2”，则A =A 0+A 2，且A 0与A 2互不相容，因为
230342!1(),3!4C P A C ==11
222341
(),3!6
C C P A C ==
所以，015
()()()12
P A P A P A =+=
. 5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：
(1)第三次才取得合格品；
(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品. 解：设A i “第i 次取到合格品”（i =1,2,3），则 (1)第三次才取到合格品的概率为：
12312131210990
()()(|)(|)0.00831009998
P A A A P A P A A P A A A ==
??≈. (2)A “三次内取得合格品”，则112123A A A A A A A =++，所求概率为：
112123()()()()P A P A P A A P A A A =++
1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++
90109010990
100100991009998
=
+?+??
0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.
解：A 1“第一次取出的是红球”，A 2“第二次取出的是红球”，则 (1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：
121218714()()(|)121133
P A A P A P A A ==
?=； (2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：
218(|)11
P A A =
； (3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为：
2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+
7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.
解：设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1，2)，B “产品是废品”，由题意知：P (A 1)=25%，P (A 2)=35%，P (A 3)=40%，P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为：
112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++
25%0.0535%0.0440%0.020.0345=?+?+?=.
8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.
(1)求任取一个零件是合格品的概率；
(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.
解：设B “零件是合格品”，A “第一台车床加工的零件”，则A “第二台
车床加工的零件”，由题意知：21
(),()33
P A P A ==.
(1)由全概率公式得：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
21
(10.03)(10.02)0.97333
=?-+?-≈； (2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为：
1
0.02
()()(|)3
(|)0.252.921()()13
P A B P A P B A P A B P B P B ?====--
9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：
(1)此人恰是色盲的概率是多少？
(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？ (3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？ 解：设B “色盲患者”，A “随机挑选一人是男人”，由题设知：
11
(),(),(|)5%,(|)0.25%22
P A P A P B A P B A ====，则
(1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
11
5%0.25%0.0262522
=?+?=； (2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：
1
5%
()()(|)2
(|)0.952()()0.02625
P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈；
(3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：
1
95%
()()(|)2
(|)0.48781()0.97375()
P AB P A P B A P A B P B P B ?===≈-.
10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：
(1)甲乙都抽到难签；
(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签； (3)甲乙丙都抽到难签；
(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.
解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则
(1)甲乙都抽到难签的概率为：432()()(|)10915
P AB P A P B A ==?=； (2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：
644()()(|)10915
P AB P A P B A ==
?=； (3)甲乙丙都抽到难签的概率为：
4321
()()(|)(|)109830
P ABC P A P B A P C AB ==
??=
； (4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：4
()0.410P A ==.
由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+4364
0.4109109
=
?+?=. 丙抽到难签的概率为：
()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++
432643463654
1098109810981098
=
??+??+??+??=0.4. 得，P (A )=P (B )=P (C )=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.
11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的
概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.
解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”.
A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且
0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-?--=，
1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =?-?-+-??-+-?-?=, 2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =??-+?-?+-??=, 3()0.40.50.70.14P A =??=.
由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：
00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++
0.0900.360.20.410.60.1410.458=?+?+?+?=.
12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.
解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”.
A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且由贝努里公式得：
00303()0.60.40.064P A C =??=，1
213()0.60.40.288P A C =??=， 2223()0.60.40.432P A C =??=，3333()0.60.216P A C =?=.
由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：
3
0()()(|)i i i P B P A P B A ==∑
0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=?+?+?+?=
13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：
(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；
(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.
解：设A “产品是合格品”，B “经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则
(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：
()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+
95%0.985%0.030.9325=?+?=；
(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：
()0.950.98
(|)0.9984()0.9325
P AB P A B P B ?=
=≈. 14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.
解：设A i “第i 台机床需要看管”，i =1，2，3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++，且这4个事件两两互不相容，由加法与独立性知，所求的概率为：
123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++
123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++
123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A =+++
0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=??+??+??+??=
15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？
解：设A i “第i 道工序加工出次品”，i =1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3，且A 1，A 2，A 3相互独立，从而123,,A A A 也相互独立. 所求概率为：
123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=-
1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=.
16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.
解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C 表示“密码被破译”，且A ，B ，C 相互独立，从而,,A B C 也相互独立，故所求概率为：
(++)1()1()()()P A B C P A B C P A P B P C =-=-
1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=.
17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求：
(1)两粒种子都能发芽的概率； (2)至多有一粒种子能发芽的概率； (3)至少有一粒种子能发芽的概率.
解：设A ，B 分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：
()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=.
(1)两粒种子都能发芽的概率为：()()()0.80.70.56P AB P A P B ==?=； (2)至多有一粒种子能发芽的概率为：
()()()()P AB AB A B P AB P AB P A B ++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++
0.80.30.20.70.20.30.44=?+?+?=； (3)至少有一粒种子能发芽的概率为：
()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-
0.80.70.80.70.94=+-?=.
18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求： (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.
解：该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得： (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=22350.70.30.1323C ??=； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：
p 2=5
552
0.70.3k k k k C -=??∑=0051
455
10.70.30.70.30.96922C C -??-??=； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为： p 3=5
5510.70.3k k k k C -=??∑=005510.70.30.99757C -??=.
19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为80
81
, 求射手射击一次命中目标的概率.
.解：设射手射击一次命中目标的概率为p ，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：41(1)p --，由题设知：
480
1(1)81
p --=
，解得：23p =.
20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.
解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：
1
2223(1)3(1)P pC p p p p =-=-.
五、证明题
1.设0
(|)(|)P A B P A B =.
证：必要性设事件A 与B 相互独立，则P (AB )=P (A )P (B )，P (A|B )=P (A )，
()()()()()
(|)()1()1()()
P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --=
===--， 所以，(|)(|)P A B P A B =.
充分性若(|)(|)P A B P A B =，则
()()()()()
()1()1()()
P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --===
--， 对上式两端化简，得：()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立
2.证明条件概率的下列性质：
(1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=；
(2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+； (3)(|)1(|)P A B P A B =-. 证：(1)因为()
(|)()
P AB P A B P B =
，而0()()P AB P B ≤≤，所以，
0(|)1P A B ≤≤，
且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ=
==，()()
(|)0()()
P B P P B P B P B ΦΦΦ===； (2)若A 与B 互不相容，则AC 与BC 也互不相容，从而
()()()
(|)(|)(|)()()
P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C +=
==+；
(3)由性质(2)得：(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+，又A
A =Ω，由性质(1)知，
(|)1P B Ω=，所以，(|)(|)1P A B P A B +=，即(|)1(|)P A B P A B =-
第二章随机变量及其概率分布 一、单项选择题
1.设随机变量X 的分布律为
则P {X <1}= ( C ).
A. 0
B. 0.2
C. 0.3
D. 0.5 2.设随机变量X 的概率分布为
则a = ( D ). A. 0.2 B. 0.3 C. 0.1 D. 0.4
3.设随机变量X 的概率密度为2,1
(),0,1
c
x f x x x ?>?=??≤?则常数c = ( D ).
A. 1-
B.
12 C. -1
2
D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3
,01
(),0,ax x f x ?≤≤?=???其它
则常数a = ( D ).
A.
14 B. 1
2
C. 3
D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是 (A ).
A.2100,1000,100x x x ?>???≤?
B. 10
,0
0,0x x x ?>???≤?
C. 1,020,x -≤≤???其它
D. 11
3,
2220,x ?≤≤????其它
6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以
作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为 ( A ).
A. [0,]2π
B. [0,]π
C. [,0]2π-
D. 3[0,]2
π
7.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ).
A. 0,
00.3,01
()0.2,121,
2x x F x x x
=≤
C. 0,00.1,05
()0.6,561,
6x x F x x x
<-???
=-≤
≥???
8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则 ( B ). A. ()F x 一定连续 B. ()F x 一定右连续 C. ()F x 是不增的 D. ()F x 一定左连续
9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(D ). A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数 B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞
→-∞
-=
C.()()()P a X b F b F a <≤=-
D.对一切实数x ，都有0<()F x <1
10.设随机变量的概率分布为2
()(),(1,2,3...)3
k P X k a k ===，则常数a =( B ).
A. 1
B. 12
C. 2
D. 1
2-
11.已知随机变量X 的分布律为
()F x 是X 的分布函数，则F (2.5)=
( B ).
A. 0.7
B. 0.8
C. 0.1
D. 1
12.随机变量X 的概率密度2,01()0,
x x f x <
{}22P X -≤≤=( A ).
A.14
B.13
C.12
D.34
13.已知随机变量X 的分布律为
若随机变量Y =X 2，则P {Y =1}= ( C ).
A. 0.1
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.2
14.设随机变量X ~B (4, 0.2)，则P {X >3}= ( A ). A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.8192
15.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~ ( C). A. N (1, 4) B. N (0, 1) C. N (3, 16) D. N (3, 9)
16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+Φ C.2
2
(
)(
)b a μ
μ
σσ--Φ-Φ D.(
)(
)b a μ
μ
σ
σ
--Φ-Φ
17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则P (-2 A.12()12 Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1 (2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ 18.设X ~N (0，1)，()x ?是X 的概率密度函数，则(0)?= (C ). D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从 ( B ). A. U[0, 5] B. U[2, 17] C. U[2, 15] D. U[0, 17] 20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为 ( D ). A.正态分布 B.指数分布 C.泊松分布 D.二项分布 21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是 ( B ). A.2(1)F e -= B.2(0)F e -= C.P (X =0)=P (X =1) D.2(1)2P X e -≤= 22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2 (1)(3)3 P X P X ===，则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1 2.设随机变量X 的概率分布为 记Y =X 2, 则P (Y =4)=0.5. 3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)=0. 4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则 (32)P X -<≤=0.4. 5.设随机变量X 的分布函数为212 ()x t F x e dt --∞ = ? ,则其密度函数为. 6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2x F x x x x ππ?? ? =≤ ? ≥??, 其密度函数为 ()f x ,则()6 f π =1/2. 7.设随机变量X 的分布函数为1, 0()0, x e x F x x -?-≥=? 0时, X 的概率密 度()f x =1.. 8.设随机变量X 的分布律为 则(01)P X ≤≤=0.6. 9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<=0.148. (其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=) 10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律P(X=K)=6K/K! K=0，1，2，3. 11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥=15/16. 12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y =1/10. 13.设随机变量X ~N (0, 4)，则(0)P X ≥=0.5. 14.设随机变量X ~U (-1, 1)，则1 (||)2 P X ≤=0.5. 15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布，则(23)P X <<=0.5. 16.设随机变量X ~N (-1, 4)，则1 ~2 X Y += N(0，1). 17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2, (3) k a P X k k ===，则a =2/3. 18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02 ()0, kx x f x +< 19.若随机变量X ~N (1, 16)，Y =2X -1，则Y ~N(1，64). 20.若随机变量X ~U (1, 6)，Y =3X +2，则Y ~U(5，20). 三、计算题 1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0 (),011,1x F x x x x =≤ ，求X 的概率密度 函数. 解：由分布函数与概率密度函数之间的关系()()F x f x '=知，当0 2()()2f x x x '==， 当1x ≥或0x ≤时，()f x =0，所以，X 的概率密度为2,01 ()0,x x f x < 其它. 2.设X 服从参数p =0.2的0-1分布，求X 的分布函数及P (X <0.5). 解：X 的分布律为 当0x <时，()()F x P X x =≤=0； 当01x ≤<时，()()F x P X x =≤=(0)0.8P X ==； 当1x ≥时，()()F x P X x =≤=(0)(1)0.80.21P X P X =+==+=. 所以，X 的分布函数为0, 0()0.8,011,1x F x x x =≤ ；而P (X <0.5)= P (X =0)=0.8. 3.设随机变量X ~U (a , b )，求X 的密度函数与分布函数. 解：X 的密度函数为1,()0, a x b f x b a ?< =-???其它；分布函数()()x F x f t dt -∞ =?， 当x a <时，()()x F x f t dt -∞ =? 00x dt -∞ ==?； 当a x b ≤<时，()()x F x f t dt -∞ =?10a x a x a dt dt b a b a -∞-=+= --?? ； 当x b ≥时，()()x F x f t dt -∞ =? 1 001a b x a b dt dt dt b a -∞ =++=-?? ?. 所以，X 的分布函数为0, (),1, x a x a F x a x b b a x b =≤ ≥??. 4.设随机变量X ~N (3, 4)，求：(1)P (2 解：(1)P (2 (3)(2)( )()22 F F ---=Φ-Φ(0)(0.5)=Φ-Φ- (0)[1(0.5)]=Φ--Φ=0.1915； (2)P (-4 (10)(4)()()22 F F -----=Φ-Φ
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