义务教育课标实验教科书数学九年级(上册)
第九课时一元二次方程复习
3、 关于X 的一元二次方程X -m=2x 有两个不相等的实数根，
则m 的取值范围 ________
4、 关于X 的一元二次方程 x 2
+bx+c=0的两个实数根分别为
1和2,贝U b= ______ , c= _____ 5、已知关于X 的一元二次方程 x 2
+（m-1）x-2m 2
+m=0（m 为实数）
有两个实数根X 1, X 2. ⑴当m 为何值时，XG X 2 ⑵若X 12
+X 22
=2,求m 的值. 题型三：一元二次方程的应用
一次方程；当 m ________ _ _________ 时为一元二次方程.
3 .已知X 2-2X -3与X +7的值相等，则X 的值是 ______________ 4. 已知2是方程3X 2 - 2a=0的一个根，则2a-1 =
2 5. 某种药品原来每盒售价
96元， 每次降价的百分数为
的长和宽.
必做题：如果关于 X 的方程mx 2
—2 m ? 2 x ■ m ■ 5 = 0没有实数根，
试判断关于X 的方程 m -5 x 2
-2 m -1 x =0的根的情况. 选做题：解方
程 X 2
-1?-5x 2
-1 *4=0 .
三、补偿提高
1 .方程2X 2-X -2=0的二次项系数是 ，一次项系数是 2.关于 X 的方程(m-1)x 2
(m 1)x 3m 2=0,当 m
,?常数项是
时为一元
在学
生训练中 发现问 题，讲练 结合，达 到巩固、 熟练的目 标
由于两次降价，现在每盒 54元，则平均
6. 解下列方程
1） (2X -1)2
-9 = 0 ；
2 ) 2x 1 二4X 2； )3x 2
-12x 6 = 0
4） X
2
? 3x 「4 = 0 （用配方法）； 5
)3X 2+5(2X +1)=0
（用公式法）；
6） X 1 2
-1^0 7 )7X (5X 2) = 6(5X 2) 8 )
2
(X 1) =( X +1 )+ 56
7、 如图，有一个面积为
_ 2
20 m 的长方形花园
/////////
（花园的一边靠墙，墙长 7m ），另外三边用 栏杆围成，如果栏杆长
13m ，求长方形花园
四、总结
归纳
通过复习你还有什么疑惑?
五、实践
探索
二次函数与一元二次方程同步练习题(含 答案) 北师大版九年级数学下册课时同步练习-2.8二次函数与一元二次方程（1）附答案 1.求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 2.一元二次方程x2+7x+ 9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系? 试把方程的根在图象上表示出. 3.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根. (1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0. 4.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B ,与x轴交于A, 两点. 求△AB的周长和面积. 5..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2), 铅球路线的最高处B点的坐标为 B(6,5). (1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).
6.如图,已知抛物线y=-x2+bx+与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0) , 且x1+x2=4, .(1)求抛物线的代数表达式 ; (2) 设抛物线与y轴交于点,求直线B的表达式; (3)求△ AB的面积. 7.试用图象法判断方程x2+2x=- 的根的个数. 答案: 1.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0); (3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0), 草图略. 2.该方程的根是该函数的图象与直线y=1的交点的横坐标. 3.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6 4.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0, -3). 解方程-x2+4x-3=0,得x1=1 ,x2=3. 故A、两点的坐标为(1,0),(3,0) . 所以A=3-1=2,AB= ,B= , B=│-3│=3. △AB=AB+ B+A= . S△AB= A•B= ×2×3=3. 5.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a= . 故y= (x-6)2+5
2．3一元二次方程的应用（1）教案 一、教材分析 1、教材地位和作用 本节课是浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联 系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解题表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方 程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识 的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。学好本节知识，可以培养学生 分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。 2、教学目标 数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求，本课时教学目标制定如下： 知识目标：会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题； 能力目标：联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力; 情感目标：结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦. 3、教学重点和难点 由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所 以确定教学重点是列一元二次方程解应用题。要列出一元二次方程的关键是 找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分 析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生 活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点。二、教学方法与手段： 本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率。根据教材 内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发 式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生 的积极性和主动性。 三、学法指导：
第二章方程（组）与不等式 第7课时一元二次方程及其应用 (建议时间：分钟) 基础过关 1. (2019山西)一元二次方程x2－4x－1＝0配方后可化为() A. (x＋2)2＝3 B. (x＋2)2＝5 C. (x－2)2＝3 D. (x－2)2＝5 2. (2019怀化)一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是() A. x1＝1，x2＝－1 B. x1＝x2＝1 C. x1＝x2＝－1 D. x1＝－1，x2＝2 3. (苏科九上P29习题第3题改编)某农场的粮食产量在两年内从3000 t增加到3630 t，设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是() A. 3000(1＋x)＝3630 B. 3000(1＋2x)＝3630 C. 3000(1＋x)2＝3630 D. 3000(1＋x)＋3000(1＋x)2＝3630 4. (2019自贡)关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是() A. m<1 B. m≥1 C. m≤1 D. m>1 5. (2019遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为() A. 0 B. ±1 C. 1 D. －1 6. (2019河南)一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是() A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. (2019新疆)在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为( ) A. 12x (x －1)＝36 B. 12 x (x ＋1)＝36 C. x (x －1)＝36 D. x (x ＋1)＝36 8. (2019哈尔滨)某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为( ) A. 20% B. 40% C. 18% D. 36% 9. 若关于x 的一元二次方程(m －6)x 2－2x ＋3＝0有两个实数根，则整数m 的最大值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. (2019广西北部湾经济区)扬帆中学有一块长30 m ，宽20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花.小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为x m ，则可列方程为( ) 第10题图 A. (30－x )(20－x )＝34 ×20×30 B. (30－2x )(20－x )＝14 ×20×30 C. 30x ＋2×20x ＝14 ×20×30 D. (30－2x )(20－x )＝34 ×20×30 11. (2019桂林)一元二次方程(x －3)(x －2)＝0的根是 .
2.2 一元二次方程的解法（第1课时） A组基础训练 1. 已知AB=0，那么下列结论正确的是（） A. A=0 B. A=B=0 C. B=0 D. A=0或B=0 2. （山西中考）一元二次方程x2+3x=0的解是（） A. x1=-3 B. x1=0，x2=3 C. x1=0，x2=-3 D. x1=3 3. 用因式分解法解下列方程，正确的是（） A. （2x-2）（3x-4）=0，则2x-2=0，或3x-4=0 B. （x+3）（x-1）=1，则x+3=0，或x-1=1 C. （x-2）（x-3）=2×3，则x-2=2，或x-3=3 D. x（x+2）=0，则x+2=0 4. 方程x-2=x（x-2）的解是（） A. x=0 B. x1=0，x2=2 C. x=2 D. x1=1，x2=2 5. 方程（x-2）（x+3）=-6的两根分别为（） A. x=2 B. x=-3 C. x1=2，x2=－3 D. x1=0，x2=-1 6. 若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是0，则另一个根是 . 7. 请写出一个两根分别是1，-2的一元二次方程 . 8. （德州中考）方程3x（x-1）=2（x-1）的根是 . 9. 用因式分解法解方程： （1）x2-6x=0； （2）4y2-16=0； （3）x（x-2）=x-2； （4）9（x+1）2-16（x-2）2=0； （5）2x2-42x+4=0.
10. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a※b=（a-1）2-b2. 根据这个规则，求方程（x+3）※5=0的解. 11. 文文给明明出了一道解一元二次方程的题目如下： 解方程（x-1）2=2（x-1）. 明明的求解过程为： 解：方程两边同除以x-1，得x-1=2，第1步 移项，得x=3，第2步 ∴方程的解是x1=x2=3.第3步 文文说：你的求解过程的第1步就错了… （1）文文的说法对吗？请说明理由； （2）你会如何解这个方程？给出过程. 12. 如果方程ax2-bx=0与方程ax2+b-12=0有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一根． B组自主提高 13. 已知方程x2+px+q=0的两根分别为3或－4，则x2＋px+q可分解为 . 14. 已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-7x+10=0的根，求△ABC的周长.
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程文档设计者： 设计时间：文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载 教学目标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验与方法. 3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根. 4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想. 教学重难点 理解一元二次方程与函数的关系. 教学过程与方法 1.自主阅读课本(10分钟) 2.交流互动(10分钟) 知识点一:二次函数与一元二次方程之间的关系 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位 置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根 的情况b 2-4ac的值 有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0 只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0 知识点三:求方程的近似解 3.课堂练习(11分钟) 习题22.2第2题(1)、(2). 4.拓展性练习(11分钟) (1)已知二次函数y=-x2+4x+k的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=-1,x2=5 .
(2)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 (3)下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列 x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y-0.80-0.54-0.200.220.72 A.1.6 用因式分解法求解一元二次方程 一、填空题 1、如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________. 2、方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或___________，分别解得：x 1=_________,x 2=_________. 3、填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解：3x(x+5)_______=0 → (x+5)(_________)=0 → x+5=________或________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4、用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零 （2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5、x 2－(p+q)x≠qp=0因式分解为____________. 6、用因式分解法解方程9=x 2－2x+1 （1）移项得__________； （2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________； （3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________； （4）分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________. 7、分解因式：2x 2 +5x -3 = ； 8、用因式分解法解方程x 2 -5x = 6 , 得方程的根为 ； 9、方程2(x +3)2 -5(x +3) = 0的解为 ，最简便的解法是 . 10、 因式分解： ①＝ ②＝ ③＝ ④ ＝ ⑤＝ 11、一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是_________。 12、某药品经两次降价，从原来每箱60元降为每箱48.6元，平均每次降价率为_________。 13、有两个数不等，和17，积比小点数的平方大30，用方程求这两数，设_________，根据题意，列方程得_________。 14、 一矩形面积132cm 2，周长46cm ，则矩形长是_________，宽是_________。 15、连续两个正奇数的平方和等于202，这两个奇数中较小的是_________。 3222m mn n +-4452a a --x xy y 22223--x xy y x y 2222--+-m n n 22222-+- 21．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2．?根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目．教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2．?难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 10 8 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，?苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2?中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解． 第3课时因式分解法 知识要点基础练 知识点1因式分解法的原理和一般步骤 1.(滨州中考)下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的是(C) A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16x+6x=(x+4)(x-4)+6x 2.用因式分解法解方程x2+5x+4=0时,可转化为两个一次方程,请写出其中一个一元一次方程是x+1=0(或x+4=0). 知识点2用因式分解法解一元二次方程 3.方程(x-1)(x+2)=0的解为(A) A.x1=1,x2=-2 B.x1=1,x2=2 C.x1=-1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2 4.方程m(m-5)=6(m-5)的解是m=6或m= 5. 5.用因式分解法解方程: (1)x2-2x=0; 解:x(x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x1=0,x2=2. (2)x2-3x-4=0. 解:(x-4)(x+1)=0, ∴x-4=0或x+1=0, ∴x1=4,x2=-1. 知识点3一元二次方程解法的选择 6.解方程x2-2x=4,最好的方法是(C) A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法 7.解一元二次方程(y+2)2-2(y+2)-3=0时,最简单的方法是因式分解法. 综合能力提升练 8.方程x(x-2)+x-2=0的解是(D) A.x=2 B.x=-2或x=1 C.x=-1 D.x=2或x=-1 9.若x2+4x+4=0,则代数式的值为(A) A.-3 B.3 C.- D. 10.已知三角形两边长分别是3和6,第三边长是方程x2-6x+8=0的根,则这个三角形的周长等于(A) A.13 B.11 C.11或13 D.12或15 11.方程(x+4)(x-1)=6可化为的两个一元一次方程为(D) A.x+4=6或x-1=1 B.x+4=3或x-1=2 C.x+4=-1或x-1=-6 D.x+5=0或x-2=0 12.已知方程(x+y)(x+y-1)-12=0,则x+y的值为(D) A.13 B.4 C.-3 D.4或-3 13.若x2+3x+5的值为9,则x的值为1或-4. 14.当x=-1或-2时,分式的值为0. 15.方程2(x-3)2=x2-9的解是x1=3,x2=9. 16.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+3mx+(m2+3m-4)=0有一个根是0,那么m=-4. 17.按要求解下列方程: (1)2x2+6=7x(公式法); 一元二次方程中的销售问题 一．选择题（共10小题） 1．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，即在确保盈利的前提下，尽量增加销售量，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（）元． A．3 B．2.5 C．2 D．5 2．某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，就会少售出1台．四月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为（） A．3万元B．5万元C．8万元D．3万元或5万元 3．将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（） A．60元B．80元C．60元或80元 D．30元 4．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（） A．8 B．20 C．36 D．18 5．广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a%，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（）A．188（1+a%）2=118 B．188（1﹣a%）2=118 C．188（1﹣2a%）=118 D．188（1﹣a2%）=118 6．某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（） A．8% B．18% C．20% D．25% 7．甲公司前年缴税a万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为b，则今年该公司应缴税（）万元． A．a（1+b%）2 B．a（1+b）2 C．a（ab%）2 D．a（1﹣b%）2 8．某服装原价200元，连续两次涨价，每次都涨a%后的价格为242元，则a是（） A．20 B．15 C．10 D．5 9．某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的100元降为现在的81元，则平均每次降价的百分率为（） 一元二次方程 【学习目标】 1.理解一元二次方程及其有关概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数，一次项系数及常数项； 3.了解根的意义． 【前置学习】 一、基础回顾： 1.多项式1232--x x 是 次 项式，其中最高次项是 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 2. 叫方程，我们学过的方程类型有 ． 3.解下列方程或方程组：①1)1(2-=+x x ②?? ?=+=-4 2y x y x ③211=-x 二、问题引领： 方程0422=+x-x 是以往学过的吗？通过本节课的学习你将认识这种新的方程． 三、自主学习（自主探究）： 请你认真阅读课本引言及32-P 内容，边学边思考下列问题： 1.方程①②③有什么共同特点？ 2.一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只含有 个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程． 3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： （a ≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项． 4.下面哪些数是方程0652=++x x 的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4． 5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ，即：使一元二次方程等号左右两边相等的 的值． 四、疑难摘要： 【学习探究】 一、合作交流，解决困惑： 1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决．） 2.班级展示与教师点拨： 【点拨】 第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念,培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解,理解方程解的实际意义. 一、情境导入,初步认识 学生活动:请同学独立完成下列问题. 问题1:如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm,那么, 根据题意,可得方程为x2+82=102. 整理,得x2-36=0. 列表: 问题2:一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm,则长为（x+2）m. 根据题意,得x（x+2）=120. 整理,得x2+2x-120=0. 列表: 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解,确定未知数的大致范围. 二、思考探究,获取新知 提问:（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题,问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评:（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中,x=10是x2+2x-120=0的解. （2）如果抛开实际问题,问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别,我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看:x2-36=0有两个根,一个是6,另一个是-6,但-6不满足题意；同理,问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知,深化理解 1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把它代入等式,看它是否能使等式两边相等即可. 解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根. 2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值. 分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解. 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0（2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数,可用直接观察结合平方根的意义来求解. 4.x（x-1）=2的两根为（D） A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2 2020年九年级数学上册课时作业 一元二次方程根的判别式 一、选择题 1.若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＜﹣1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＞1 2.已知关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1 3.若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 4.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（） A.﹣1 B.0 C.1 D.3 5.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足( ) A.a≥1 B.a＞1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 6.若关于x的一元二次方程x2－2x＋k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k<1 B.k≤1 C.k>－1 D.k>1 7.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（） A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数 根 8.关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（） A.a≥1 B.a＞1且a≠5 C.a≥1且a≠5 D.a≠5 9.关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A.k＞－1 B.k≥－1 C.k≠0 D.k＞－1且k≠0 10.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（） A.k=﹣4 B.k=4 C.k≥﹣4 D.k≥4 11.若关于x的方程x2-x+a=0有实根,则a的值可以是( ) A.2 B.1 C.0.5 D.0.2 人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》同步练习1 带答案 ◆随堂检测 1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________. （1）32250x x -+=； （2）21x =； （3）221352245 x x x x --=-+； （4）2 2(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=. （提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.） 2、下列方程中不含一次项的是（ ） A ．x x 2532=- B ．2916x x = C ．0)7(=-x x D ．0)5)(5(=-+x x 3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________. 4、1、下列各数是方程21(2)23 x +=解的是（ ） A 、6 B 、2 C 、4 D 、0 5、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x . （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x . （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x . ◆典例分析 已知关于x 的方程22 (1)(1)0m x m x m --++=． （1）x 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解. 解：（1）由题意得，21010m m ?-=?+≠? 时，即1m =时， 方程22 (1)(1)0m x m x m --++=是一元一次方程210x -+=. （2）由题意得，2(1)0m -≠时，即1m ≠±时，方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元二次方程.此方程的二次项系数是2 1m -、一次项系数是(1)m -+、常数项是m . ◆课下作业 第二讲 一元二次方程（组）与一元二次函数 第五课时 一元二次方程 教学目的： 1．会熟练解一元二次方程 2．熟练掌握配方法 教学过程： 一、知识点回顾： 1．一元二次方程的解法常用的有：直接法，配方法，因式分解法和公式法 2．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法 配方的公式是：a b ac a b x a c bx ax 44)2(2 22 -++=++ 3．因式分解法的原理是符号法则：两数相乘有一个为〇则乘积为〇 4．公式法的公式是：当042 >-ac b 时，两根分别为a ac b b x 2422,1-±-= 当042=-ac b 时，两根相等为a b x x 221-== 当042<-a c b 时，方程无解 二、应用拓展： 例1：用配方法解下列方程： (1) 2280x +-=x (2) 235x +=2x (3) 2 410x -+=2x 例2：用公式法解下列方程． （1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0 说明：公式法解题注意点 （1）首先要把方程化为一般形式； （2）强调确定a 、b 、c 值时，不要把它们的符号弄错； （3）先计算24b ac -的值，再代入公式 例3：用因式分解法解下列方程： (1) 2540x x -= (2) 3(3)x x x -=- (3) 2(5)315x x +=+ 例4：已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值 三、课后作业 高一课后作业六 （一元二次方程） 1．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或9 2．代数式2221 x x x ---的值为0，则x 的值为________ 3．下列方程中，没有实数根的是（ ） A.2210x x +-= B. 220x ++= C. 210x ++= D. 220x x -++= 4．如果x 2-4x+y 2，求（xy ）z 的值 5．用公式法解下列方程： (1) 22980x x -+= (2) 2340x -= (3) 29610x x ++= (4)2112 x x =+ (5) 23520x x --+= (6) (1)(1)x x +-= （7）5x 2+2x －1=0 （8）6y 2+13y +6=0 （9）x 2+6x +9=7 6．用因式分解法解下列方程： (1) (41)(57)0x x -+= (2) 2x = (3) 3(1)2(1)x x x -=- (4) 2(1)250x +-= (5) 22(3)9x x -=- (6) 2216(2)9(3)x x -=+ 课时练：第二十一章《一元二次方程》（基础篇） 一．选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（） A．x2﹣＝0 B．x2+1＝0 C．x（x+1）＝x2﹣1 D．x2﹣2xy+y2＝0 2．一元二次方程x2﹣7x+4＝0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 3．将方程x2+5x＝3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别为（） A．5、﹣3 B．5、3 C．﹣5、3 D．﹣5、﹣3 4．在数1、2、3和4中，是方程x2﹣x﹣12＝0的根为（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．形如x2+ax＝b2的方程可用如图所示的图解法研究：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC ＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则可以发现该方程的一个正根是（） A．AC的长B．BC的长C．AD的长D．CD的长6．2018年某县政府投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2020年共投资 9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年县政府投资的 增长率为x，根据题意，列出方程为（） A．（81+x）2＝9.5 B．2（1+x）2＝9.5 C．2（1+x）2＝8 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝9.5 7．已知（a2﹣b2）2﹣（a2﹣b2）﹣12＝0，则a2﹣b2的值是（） A．﹣3 B．4 C．﹣3或4 D．3或﹣4 8．某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛（） A．10个B．6个C．5个D．4个 9．如图，在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的宽为多少？（） A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m 10．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0） ①若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0； ②b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根； ③若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根； ④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立 其中正确的是（） A．只有①②③B．只有①③④C．只有①②③④D．只有①④ 解一元二次方程同步练习 一．选择题（共12小题） 1．一元二次方程2（x-2）2+7（x-2）+6=0的解为（） A．x1=-1，x2=1B．x1=4，x2=3.5 C．x1=0，x2=0.5D．无实数解 2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（） A．（x+4）2=7B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=-9D．（x+8）2=7 3．若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．3B．2C．1D．0 4．已知矩形的长和宽是方程x2-7x+8=0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（） A ．6B．7C．D． 5．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程0.5kx2-（k+3）x+6=0的两根，则△ABC的周长为（） A．6.5B．7C．6.5或7D．8 6．等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根，则k的值为（） A．30B．34或30C．36或30D．34 7．关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．-3B．0C．1D．-3 或0 8．定义运算：a*b=2ab，若a、b是方程x2+x-m=0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的 值为（） A．m B．2-2m C．2m-2D．-2m-2 9．若整数a既使得关于x的分式方程有非负数解，又使得关于x的方程x2-x+a+6=0无解，则符合条件的所有a的个数为（） A．1B．2C．3D．4 10．已知m，n（m≠n）满足方程x2-5x-1=0，则m2-mn+5n=（） A．-23B．27C．-25D．25 11．若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a-1=0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．6 12．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+2011x2，S2=x12+2011x22，…，Sn=x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（） A．0B．2010C．2011D．2012 二．填空题（共5小题） 13．方程（x-1）（x+2）=0的解是． 14．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8．则x2+y2的值为 15．已知a、b是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为． 16．若关于x的方程x2-4|x|+3-m=0有4个不相等的实数根，则m的取值范围是． 17．若x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，且x1+x2=1-x1x2，则m的值为． 21.2解一元二次方程 第1课时 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 教学目标 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键 1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x 2-8x+______=（x -______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（ ）2 ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2 则PB=x ，BQ=2x 依题意，得：x ·2x=8 B C A Q https://www.doczj.com/doc/3d12364632.html, P 2p 2p 12 22.1一元二次方程 ◆随堂检测 1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________. （1）32250x x -+=； （2）21x =； （3）221 352245 x x x x --=-+； （4）22(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=. （提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.） 2、下列方程中不含一次项的是（ ） A ．x x 2532=- B ．2916x x = C ．0)7(=-x x D ．0)5)(5(=-+x x 3、方程2 3(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数 __________；常数项_________. 4、1、下列各数是方程 2 1(2)23 x +=解的是（ ） A 、6 B 、2 C 、4 D 、0 5、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x . （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x . （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x . ◆典例分析 已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=． （1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解. 解：（1）由题意得，210 10m m ?-=?+≠? 时，即1m =时， 方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元一次方程210x -+=. （2）由题意得，2(1)0m -≠时，即1m ≠±时，方程22(1)(1)0 m x m x m --++=是一元二次方程.此方程的二次项系数是21m -、一次项系数是 (1)m -+、常数项是m . ◆课下作业 ●拓展提高 1、下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A 、22 310x x +-= B 、25630x y --= C 、220ax x -+= D 、22(1)0a x bx c +++= 2、2121003 m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，则x 的值应为（ ） A 、m ＝2 B 、23m = C 、32 m = D 、无法确定 3、根据下列表格对应值： x 20,(0)ax bx c a ++=≠x ） A 、x ＜3.24 B 、3.24＜x ＜3.25 C 、3.25＜x ＜3.26 D 、3.25＜x ＜3.28 4、若一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1，则用因式分解求解一元二次方程同步训练题(含答案)
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