【学习目标】
1．会收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图,会利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2．了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程； 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用； 4．了解回归的基本思想、方法及简单应用． 【知识要点】 1．抽样方法
(1)抽样要具有随机性、等可能性,这样才能通过对样本的分析和研究更准确的反映总体的情况,常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．
(2)简单随机抽样是指一个总体的个数为(较小的有限数),通过逐个抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等．简单随机抽样的两种常用方法为抽签法和随机数表法．
(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成,常将总体按差异分成几个部分,然后按各部分所占比例抽样,其中所分成的各部分叫做层．
(4)系统抽样是当总体中的个数较多时,将总体均分成几部分,按事先按确定的在各部分抽取． 2．总体分布的估计
(1)作频率分布直方图的步骤：
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ②决定组距与组数 ③将数据分组 ④列频率分布表(下图)
分组
频数
频率
累计频率
01[)t t ， 1r 1f 1f
12[)t t ，
2r
2f
12f f ＋
…
…
…
…
1[]k k t t －， k r k f
组距的商为高,分别画矩形,共得k 个矩形,这样得到的图形叫频率分布直方图．
频率分布直方图的性质：①第i 个矩形的面积等于样本值落入区间1[)i i t t －，的频率；②由于
,所以所有小矩形的面积的和为1.
(2)连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点,就得到频率分布折线图,随着样本容量的增加,折线图会越来越近似于一条光滑曲线,称之为总体密度曲线．
(3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图,茎是中格中间的一列数,叶是从茎旁边长出来的一列数.
用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计图上没有原始信息的损失,所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录,方便记录与表示． 3．平均数和方差的计算
(1)如果有n 个数据
,则
叫做这组数据的平均数,
叫做这组数据的方差,而s 叫做标准差．
(2)公式
(3)当一组数据
中各数较大时,可以将各数据减去一个适当的常数a ,得到
11x x a '＝－,22x x a '＝－，…,n n x x a '＝－,则
4．利用频率分布直方图估计样本的数字特征
(1)中位数：在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数值. (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和. 6.独立性检验 (1)分类变量
用变量的不同“值”,表示个体所属的不同类别,这种变量称为分类变量.例如：是否吸烟,宗教信仰,国籍等. (2)列联表：即列出两个分类变量的频数表：一般地,假设有两个分类变量x 和y ,它们的值域分别为12{,}x x 和
12{y ,}y ,其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
1y 2y
合计
1x
a b a b +
2x
c
d c d +
合计
a c +
b d +
n
其中
为样本容量.
(3)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系,并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度,具体
做法是：根据观测数据计算由公式
所给出的检验随机变量的观测值k ,并
且k 的值越大,说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大,同时可以利用以下数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.
这种利用随机变量2
K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独
立性检验.
三．高考命题类型分析
（一）随机抽样
例1．从2018名学生中选取50名学生参加某一活动,若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人,则在这2018人中,每个人入选的概率（）
A．不全相等B．均不相等C．都相等,且为D．都相等,且为
【答案】C
【解析】由简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样,从个个体中抽取个个体,则每个个体被抽到的概率
都等于,即可得解.
练习1．下列说法中错误的是（）
A．先把高二年级的2000名学生编号为1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生,其编号为,然后抽取编号为,,的学生,这样的抽样方法是系统抽样法；
B．独立性检验中,越大,则越有把握说两个变量有关；
C．若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1；
D．若一组数据1、a、3的平均数是2,则该组数据的方差是.
【答案】C
【解析】对选项逐个进行分析,排除即可得到答案.
【详解】对于A,根据个体数目较多,且没有明显的差异,抽取样本间隔相等,知这种抽样方法是系统抽样法,∴A 正确；
对应B,独立性检验中,越大,应该是说明两个变量有关系的可能性大,即有足够的把握说明两个变量有关,B 正确；
对于C,两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数|r|的值越接近于1,C错误；
对于D,一组数据1、a、3的平均数是2,∴a＝2；
∴该组数据的方差是s2＝×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]＝,D正确．
故选：C.
（二）样本估计总体
例2．某校高一年级有甲,乙,丙三位学生,他们前三次月考的物理成绩如表：
第一次月考物理成绩第二次月考物理成绩第三次月考物理成绩
学生甲80 85 90
学生乙81 83 85
学生丙90 86 82
A．甲,乙,丙第三次月考物理成绩的平均数为86
B．在这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分最高
C．在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定
D．在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大
【答案】C
【解析】由表格中数据,利用平均数公式以及方差的定义与性质,对选项中的命题逐一判断正误即可．
【详解】
故选C．上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示,则这20个班有网购经历的人数的众数为（）
A．24 B．37 C．35 D．48
【答案】C
【解析】根据茎叶图中的数据,利用众数的定义写出结果．
【点睛】本题主要考查利用茎叶图求众数,意在考查对基础知识的掌握与应用,是基础题．
练习2．已知一组数据3,4,5,a,b的平均数是4,中位数是m,从3,4,5,a,b,m这组数据中任取一数,取到数字4的概率为,那么3,4,5,a,b这组数据的方差为（）
A．B．2 C．D．
【答案】D
【解析】根据3,4,5,a,b的平均数是4,中位数是m,从3,4,5,a,b,m这组数据中任取一数,取到数字4的概率为,可知,由方差公式求解即可.
【详解】因为从3,4,5,a,b,m这组数据中任取一数,取到数字4的概率为,所以3,4,5,a,b,m这6个数字中有4个4,
所以,
所以
故选D.
（三）频率分布直方图
例3.．例3.．2017年APEC会议于11月10日至11日在越南岘港举行,某研究机构为了了解各年龄层对APEC 会议的关注程度,随机选取了100名年龄在[20,45]内的市民举行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分组区间分布为[20,25）,[25.30）,[30,35）,[35,40）,[40,45]）．
（1）求选取的市民年龄在[30,35）内的人数；
（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人参与APEC会议的宣传活动,求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在[35,40）内的概率．
【答案】（1）30；（2）.
【解析】（1）由频率分布直方图可得年龄在内的频率为,从而可得结果；（2）利用分层抽样的方法可知,所选的5人中,从第3组选3人,从第4组选2人,利用列举法,求出总事件以及至少有一人的年龄在内的事件,再利用古典概型概率公式即可得出结果.
【详解】（1）由频率分布直方图可得年龄在[30,35）内的频率为0.06×5=0.3,则选取的市民年龄在[30,35）内的人数0.3×100=30；
练习2．如图是一组样本数据的频率分布直方图,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是()
A．12.5,12.5 B．13,13 C．13.5,12.5 D．13.5,13
【答案】B
【解析】本题首先要通过频率分布直方图得出第一组、第二组、第三组的频率,然后根据平均数的定义计算出平均数,最后根据中位数定义计算出中位数,即可得出答案。
【点睛】频率分布直方图问题需要注意：
在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率/组距,而不是频率；利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时,应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和。
练习3．某市要对2000多名出租车司机的年龄进行调査,现从中随机抽出100名司机,已知该市的司机年龄都在[20,45]之间,根据调査结果得出司机的年龄情况的频率分布直方图如图所示,估计该市出租车司机年龄在频率是( )
A．0.02 B．0.04 C．0.2 D．0.84
【答案】C
【解析】根据题意补全频率直方图,即可求出结果．
【详解】根据频率分布直方图知,在[20,30）岁之间的频率为
1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2,
故选：C
（四）茎叶图
例4．将甲、乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图,若甲、乙两人成绩的中位数分别为,则下列说法正确的是( )
A．；乙比甲成绩稳定B．；甲比乙成绩稳定
C．；乙比甲成绩稳定D．；甲比乙成绩稳定
【答案】A
【解析】中位数为把数据按顺序排列后,处于中间位置的数,分别写出甲乙的中位数即可比较其大小;茎叶图中,数据越集中就越稳定,因此可得乙比甲成绩稳定.
练习1．为比较甲、乙两地某月12时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中12时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地的平均气温低于乙地的平均气温；
②甲地的平均气温高于乙地的平均气温；
③甲地气温的标准差小于乙地气温的标准差；
④甲地气温的标准差大于乙地气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( )
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【解析】由已知的茎叶图,我们易分析出甲、乙两地某月12时的气温抽取的样本温度,进而求出两组数据的平均数、方差,可得答案．
所以甲地该月12时的气温的标准差大于乙地该月12时的气温标准差.
①④正确,故选B.
练习1．已知一个样本数据x,1,5,其中点是直线和圆的交点,则这个样本的标准差为
A．5 B．2 C．D．
【答案】D
【解析】求出x,y的值,求出数据的平均数,从而求出数据的标准差即可．
【详解】由,解得：或,
故数据为：,1,3,5,
数据的平均数是2,
故数据的方差是,
故标准差是,
故选：D．
练习2．若样本的平均数是,方差是,则对样本
,下列结论正确的是( )
A．平均数为14,方差为5 B．平均数为13,方差为25
C．平均数为13,方差为5 D．平均数为14,方差为2
【答案】C
【解析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可．
【点睛】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算,根据相应的公式进行计算是解决本题的关键．（七）极差、方差、标准差
例7．已知某7个数的平均数为3,方差为,现又加入一个新数据3,此时这8个数的平均数为x,方差为,则（）
A．,B．,C．,D．,
【答案】B
【解析】由题设条件,利用平均数和方差的计算公式,进行求解,即可得到答案.
【详解】由题意,根据这7个数的平均数为3,方差为,
即,,
即,
现又加入一个新数据3,此时这8个数的平均数为,
方差为,即,
故选B.
练习1．在下列命题中,下列选项正确的是（）
A．在回归直线中,变量时,变量的值一定是15.
B．两个变量相关性越强,则相关系数就越接近于1.
C．在残差图中,残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适,与带状区域的宽度无关.
D．若是两个相等的非零实数,则是纯虚数.
【答案】D
【解析】根据回归方程的定义判断；根据相关系数的定义判断；根据残差图的性质判断；根据纯虚数的
定义判断.
【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断,主要综合考查回归方程的定义、相关系数的定义、残差图的性质、纯虚数的定义,属于中档题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,做这类题目要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.
（九）回归分析
例9．26．已知某商品的价格（元）与需求量（件）之间的关系有如下一组数据：
x 14 1618 20 22
y 12 10 7 5 3
；
参考：；
当时, ,
（1）求,；
（2）求出回归直线方程；
（3）计算相关系数r的值,并说明回归模型拟合程度的好坏。
【答案】（1）；（2）；（3）,拟合效果好.
【解析】（1）由平均数公式计算x,y的平均值即可；
（2）结合回归方程系数公式和（1）的结论求解回归方程即可；
（3）利用相关系数的计算公式求得相关系数即可比较拟合效果的好坏．
【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用,线性回归方程的性质,相关系数的概念等,重点考查学生的计算能力和对基础概念的理解,属于中等题．
【解析】（1）根据散点图选择作为回归方程．
（2）利用公式及所给数据计算回归方程后可估计月销售额．
练习1．某工厂每日生产一种产品吨,每日生产的产品当日销售完毕,日销售额为万元,产品价格随着产量变化而有所变化,经过一段时间的产销,得到了的一组统计数据如下表：
（1）请判断与中,哪个模型更适合刻画之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；
（2）根据你的判断及下面的数据和公式,求出关于的回归方程,并估计当日产量时,日销售额是多少？（结果保留整数）
参考公式及数据：线性回归方程中,,.
,
,
【答案】(1)答案见解析；(2)23万元.
【解析】分析：（1）从函数增长趋势考虑可知更适合刻画之间的关系.
（2）由题意可得非线性回归方程为,据此预测当日产量时,日销售额是23万元.
详解：（1）更适合刻画之间的关系.理由如下：
值每増加1,函数值的増加量分别为7, 4, 3, 2,増加得越来越缓慢,
适合对数型函数的増长规律,与直线型函数的均匀増长存在较大差异,
故更适合刻画之间的关系.
点睛：本题主要考查非线性回归方程的求解,回归分析的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（十一）独立性检验
例11．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时,应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 1 2 3 4 5
违章驾驶员人数120 105 100 90 85
（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人,调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系,得到如下列联表：能否据此判断有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？
不礼让斑马线礼让斑马线合计
驾龄不超过1年22 8 30
驾龄1年以上8 12 20
合计30 20 50
参考公式及数据：
.
（其中）
【答案】（1）；（2）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．
【解析】（1）利用所给数据计算、,求出回归系数,写出回归直线方程；
所以的分布列为
例12．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装,每箱80个,每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测,如检测出不合格品,则更换为合格品．检测时,先从这一箱水果中任取10个作检测,再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为,且各个水果是否为不合格品相互独立．
(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为,求取最大值时p的值；
(Ⅱ)现对一箱水果检验了10个,结果恰有2个不合格,以(Ⅰ)中确定的作为p的值．已知每个水果的检测费
用为1.5元,若有不合格水果进入顾客手中,则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？
【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)8
【解析】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为,求得,利用导数即可求解函数的单调性,进而求得函数的最值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,(ⅰ)中,依题意知,,进而利用公式,即可求解；
(ⅱ)如果对余下的水果作检验,得这一箱水果所需要的检验费为120元,列出相应的不等式,判定即可得到结论.
【详解】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p),则,
∴,
由,得.
且当时,；当时,.
∴的最大值点.
【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的应用,以及二项分布的应用,其中解答中认真审题,分析试验过程,根据对立重复试验求得事件的概率,以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
练习2．在某次活动中,有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得、两种奖品中的一种,并规定：每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品（骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点）,抛掷点数小于3的获得奖品,抛掷点数不小于3的获得奖品.
（1）求这5名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率；
（2）设、分别为获得、两种奖品的人数,并记,求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）,的分布列见解析.
【解析】首先求出5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率和B奖品的概率．（1）获得A奖品的人数大于获
得B奖品的人数,得到获得A奖品的人数可能为3,4,5,利用独立重复试验求得概率；（2）由ξ＝|X﹣Y|,可得ξ的可能取值为1,3,5,同样利用独立重复试验求得概率,然后列出频率分布表,代入期望公式求期望．
【详解】这5名幸运之星中,每人获得奖品的概率为,奖品的概率为.
（1）要获得奖品的人数大于获得奖品的人数,则奖品的人数可能为3,4,5,则
所求概率为.
所以的分布列是：
1 3 5
故随机变量的数学期望.
练习3．随着经济的发展,个人收入的提高．自2018年10月1日起,个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得,以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法如下表：
(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元,记表示总收入,y表示应纳的税,试写出调整前后y关于的函数表达式；
(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入,并制成下面的频数分布表：
①先从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员,用a表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数,b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的
人数,随机变量,求Z的分布列与数学期望；
②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时,请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】(1) 依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法表示调整前后y关于的函数表达式；
(2) ①由频数分布表可知Z的取值可能为0,2,4,求出相应的概率值得到分布列与期望值,②由于小李的工资、薪金等收入为7500元,按调整前起征点应纳个税为295元,按调整后起征点应纳个税为75元,从而得到结果.
（2）①由频数分布表可知从[3000,5000）及[5000,7000）的人群中抽取7人,其中[3000,5000）中占3人,[5000,7000）的人中占4人,再从这7人中选4人,所以Z的取值可能为0,2,4,（5分）
,
,
,
所以其分布列为
Z0 2 4
P
所以
②由于小李的工资、薪金等收入为7500元,按调整前起征点应纳个税为1500×3%+2500×10%=295元；
按调整后起征点应纳个税为2500×3%=75元,
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用,考查平均数的计算,考查二项分布中期望的求法,是中档题．
练习5．某企业对设备进行升级改造,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品,否则为不合格品,图1是设备改造前样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的频数分布表.
表1,设备改造后样本的频数分布表:
质量指标值
频数 2 18 48 14 16 2
（2）企业将不合格品全部销毁后,并对合格品进行等级细分,质量指标值落在[25,30)内的定为一等品,每件售价240元,质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品,每件售价180元,其它的合格品定为三等品,每件售价120元.根据表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率,现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X（单位：元）,求X得分布列和数学期望.
【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析, 400.
【解析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）的可能取值为：240, 300,360, 420, 480,根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为,利用独立事件与互斥事件概
率公式求出各随机变量对应的概率,从而可得分布列,进而利用期望公式可得的数学期望.
（2）根据样本频率分布估计总体分布,样本中一、二、三等品的频率分别为,
故从所有产品中随机抽一件,是一、二、三等品的概率分别为,
随机变量的取值为：240, 300,360, 420, 480,
；
,
,
所以随机变量的分布列为：
240 300 360 420 480
.
【点睛】本题主要考查直方图的应用,互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中档题. 求解数学期望问题,首先要正确理解题意,其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 4 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ）A．08 B．07 C．02 D．01 5．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示)
统计和统计案例 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率和统计交汇等. 2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题． 1． 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多． (3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距× 频率 组距 ＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1； ③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1 组距. (2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线和x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 (2)方差：s 2＝n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]． 标准差：
s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. 4． 变量的相关性和最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数． (2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q ＝ i ＝1 n (y i －a －bx i )2 最小时，得到线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 的方法叫做最小二乘法． 5． 独立性检验 对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d n 则K 2 ＝ n ad －bc 2a ＋b c ＋ d a ＋c b ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量). 考点一 抽样方法 例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为 ( ) A ．7 B ．9 C ．10 D ．15 答案 C 分析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为 960 32 ＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人． 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分 成几个组，则分段间隔即为N n (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样
第24卷第1期 数 学 教 育 学 报 Vol.24, No.1 2015年2月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Feb., 2015 收稿日期：2014–10–18 基金项目：全国教育科学规划教育部重点课题——高考能力考查与内容改革创新研究（GFA111006） 高考数学新题型测试研究 任子朝，章建石，陈 昂 （教育部考试中心，北京 100084） 摘要：为深化高考内容和形式改革，数学科研制了5种新题型：多选题、逻辑题、数据分析题、举例题和开放题．从中国东部、中部、西部省份中各选取一省，每个省抽取省重点、市重点和普通中学3个层次学校的高三学生进行试测，各省抽样一千多人，总共有4 205人参加测试．试测统计数据、问卷调查和考后座谈表明：数学科开发的题型新颖别致，能有效考查数学能力，区分度良好，促进中学教学方式的转变，受到学生和教师的欢迎． 关键词：高考；新题型；试测 中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2015）01–0021–05 1 研究背景 1.1 问题提出 党的十八届三中全会提出“推进考试招生制度改革”的目标：“探索全国统考减少科目、不分文理科”．改革的出发点主要有两方面：首先是更好地体现高考的选拔功能．高考选拔的目标发生了巨大转变，已经从对学科知识的全面评价向学习能力的重点测量转变，高考成为有力推动选拔有创造力的高素质人才的重要途径．其次是有利于推进素质教育、促进学生全面发展、个性发展和可持续发展．高考科目的设置主要着眼于在高校人才选拔中发挥基础性和通用性的作用，这样的科目设置模式可以为学生个性潜能和学科特长发展提供更大的空间．数学作为高考中重要的基础学科，要积极进行考试内容和形式的改革，发挥基础学科的重要作用． 1.2 题型试测 题型是题目的呈现方式，是实现考查目的的重要手段．高考的考查目标和考查重点进行改革以后，需要新的题型呈现考查要求，实现考查目的．为更好地考查考生的数学能力，高考数学科进行了题型创新设计的专题研究，开发了5种新题型．为检验新题型的考查效果，抽取考生进行试测． 2 研究方法 2.1 样本的选取 试测的考生为当年参加高考高三学生，考虑到中国教育地区之间存在差异，不同学校的学生之间也存在差异，为了检测新题型的效果，选取不同地区的学生作为被试．根据被试样本的抽样原则，从东部、中部、西部省份中各选取一省进行试测，每个省抽取省重点、市重点和一般学校的高三学生进行试测，每省抽样一千多人，样本基本代表了中国高三学生的平均水平．这次试测总共发放试卷4 205份，其中有效试卷3 800份，有效率90.36%．试卷不分文理科，所有考生使用相同的试卷，试测考生中文科考生占38%，理科考生 占62%． 2.2 研究内容 这次试测研究的主要内容包括：试题的难度[1]、区分 度[1]，新题型与传统题型的相关性[1]，学生对新题型的适应程度，教师和学生对新题型的接受程度和改进建议． 2.3 研究工具 2.3.1 试测试卷 数学科开发了5种新题型（参见附录），分别是： 1. 多项选择题：选择题的答案不唯一，存在多个正确选项． 2. 逻辑题：以日常生活的语言和情景考查推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力． 3. 数据分析题：给出一些材料背景以及相关数据，要求考生自己读懂材料，获取信息，根据材料给出的情境、原理以及猜测等，自主分析数据，得出结论，并解决问题． 4. 举例题：要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干的结论或是具体实例． 5. 开放题：试题开放设问，答案并不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题． 试测试卷将新题型和高考中现有的题型组合成卷，测试时长60分钟，满分75分，时间和满分都是正式高考的一半．高考中现有题型选取了单项选择题，目的是为和新题型进行对比，测试新题型的考查效果．试卷测试结构如表1所示． 1 需要指出的是，有些新题型是在现有题型的基础上发展
1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； 价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 2.【2015·福建】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
3.【2015·山东】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10 分；若能被10整除，得1分. 整除，得1 （I）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； （II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.
第三篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径 专题01 三角函数解答题
1. 已知OA ＝(2asin 2x ，a)，(1,cos 1)OB x x =-+，O 为坐标原点，a≠0，设f(x)＝OA OB ?＋b ，b>a. (1)若a>0，写出函数y ＝f(x)的单调递增区间； (2)若函数y ＝f(x)的定义域为[ 2 π ，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值． 2. 已知直线12,x x x x ==分别是函数()2sin(2)6f x x π=-与3()sin(2)2g x x π=+图象的对称轴. （1）求12()f x x +的值； （2）若关于x 的方程()()1g x f x m =+-在区间[0,]3π 上有两解，求实数m 的取值范围. 3. 已知函数f （x ），g （x ）满足关系g （x ）=f （x ）?f （x +α），其中α是常数．
（1）设()cos sin f x x x =+，2 πα=，求g （x ）的解析式； （2）设计一个函数f （x ）及一个α的值，使得()()2g x cosx cosx =+； （3）当()sin cos f x x x =+，2π α=时，存在x 1，x 2∈R ，对任意x ∈R ，g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2）恒成立， 求|x 1-x 2|的最小值． 4. 已知函数()21111cos cos sin ,2222f x x x x x x R ??=-+∈ ???. （1）求函数()f x 的值域； （2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2,f B b ==ABC S ?=，求a c +的值； （3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明. 5. 已知函数()2sin cos sin .f x x x x =- (1)求()f x 的最小正周期； (2)设ABC ?为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ?的面积. 6. 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数. (1)若4f π??= ??? ()f x ，求a 、b 的值. (2)若1a =，6x π =是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()f x =0[0,2]x ∈π. 7. 已知函数()2sin 2sin 2cos2f x x x x =-. （1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期； （2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π??∈???? ，求点A 的坐标. 8. 已知函数21()2cos 22 f x x x x R =--∈，． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ， 的
§10.2统计及统计案例 考纲解读 分析解读
从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.
(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6, 所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60, 所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 五年高考 考点一 抽样方法 1.(2015北京,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为( )
2020年浙江统计术语与热点问题解读 1.地区经济检测工具地区经济运行指数和中国经济检测地图的主要功能是（D）（3分） A.对某一地区的经济运行状态做出判断 B.经济走势的区际比较 C.直观地观察各地区经济运行状况间的差异 D.以上全部 2.在岗职工工资总额等于（A）（3分） A.计时工资＋计件工资＋奖金＋津贴和补贴＋加班加点工资＋特殊情况下支付的工资＋个人应交纳的养老、医疗、住房等个人账户的基金 B.计时工资＋计件工资＋奖金＋津贴和补贴＋加班加点工资＋特殊情况下支付的工资 C.计时工资＋加班加点工资＋特殊情况下支付的工资＋个人应交纳的养老、医疗、住房等个人账户的基金 D.奖金＋津贴和补贴＋加班加点工资＋特殊情况下支付的工资＋个人应交纳的养老、医疗、住房等个人账户的基金 3.农村住户家庭总收入等于（C）（3分） A.工资性收入＋家庭经营收入＋财产性收入 B.工资性收入＋财产性收入＋转移性收入 C.工资性收入＋家庭经营收入＋财产性收入＋转移性收入 D.工资性收入＋家庭经营收入＋转移性收入 4.下列关于GDP的表述，不正确的是（D）（3分） A.GDP核算遵循“在地原则” B.在中国的外企属于中国常住单位，它提供的产品和服务包括在我国的GDP中 C.GDP以价值形式表示 D.GDP核算的是任何形式的产品和服务
5.下列关于权数的表述，错误的是（C）（3分） A.是用来描述或反映个体对总体作用大小的数值 B.权数一般有绝对数形式和相对数形式 C.在计算平均水平时，权数不起作用 D.权数的选取与界定须严谨科学 6.以下关于恩格尔系数的说法，错误的是（A）（3分） A.恩格尔系数是用来衡量收入分配差异程度的指标 B.恩格尔系数是根据恩格尔定律计算的比例数 C.恩格尔系数＝食品消费支出／生活消费支出＊100% D.对恩格尔系数的使用个分析不能绝对化，还应当同时考虑程式化程度、食品加工、饮食业和食物本身结构变化等因素的影响。 7.以下关于平均速度的说法，错误的是（B）（3分） A.平均速度分为平均发展速度和平均增长速度 B.平均增长速度反映社会经济现象在一个较长时间内平均发展变化的程度 C.计算平均发展速度通常使用几何平均法 D.平均增长速度＝平均发展速度－1 8.以下关于抽样调查的说法，错误的是（D）（3分） OA.抽样调查是按照随机的原则，从全部调查对象（总体）中，抽取一部分对象（样本）进行观察，并依据所获得的样本数据对全部调查对象的数量 特征做出具有一定可靠性的估计判断，从而实现对总体的认识的一种统计调查方法。B.随机原则是指在总体中抽取样本单位时完全排除主观意识的作用，不能有意识地抽取哪些单位或不抽取哪些单位，要保证总体中所有单位都 有被抽中的同等可能性。
2019年高考数学新题型归纳 （一）解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 （二）新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中
笔者会详细叙述。 （三）新名词 对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路（北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路）。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 （四）知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。
高考复习专题之：概率与统计 一、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. １．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0； 注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法 例1如图1所示，有一电路AB 是由图示的开关控制，闭合a ，b ，c ， d ， e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通 路的概率是 ． 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意 两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。 解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是a b 、a c 、a d 、a e 、bc 、bd 、be 、cd 、ce 、de ，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)= 106=5 3 评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法 例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如， 两人同时出象牌，则两人平局．如果用A 、B 、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1、B 1、C 1分别表示小明 的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？ 分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。 解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P （一次出牌小刚胜小明）= 31 点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法 例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率． 分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数
2021届新高考版高考数学专项突破训练 专项4 新高考·新题型专练 一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则() A.M=N B.N?M C.M∩N=M D.(?R M)∪N=R 2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是() A.复数z=的虚部为 B.复数z=的共轭复数= - 5 - 2i C.复数z=i在复平面内对应的点位于第二象限 D.若复数z满足∈R,则z∈R 3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是() 图1 - 1 A.大部分月份制造业总体衰退 B.2019年3月制造业总体扩张最大 C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长 D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x)=则下列结论中正确的是() A.f ( - 2)=4 B.若f (m)=9,则m=±3
C.f (x)是偶函数 D.f (x)在R上单调递减 5.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和 为1 024,则下列说法正确的是() A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则() A.|b|= B.(2a+b)∥(a+2b) C.向量2a- b与a- 2b的夹角为 D.向量a在b方向上的投影为 7.已知函数f (x)=sin(2x - ),下列结论正确的是() A.f (x)的最小正周期是π B.f (x)=是x=的充分不必要条件 C.函数f (x)在区间(,)上单调递增 D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是() A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)= D.P(A)P(B)P(C)=
专题10.2 统计与统计案例 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在 以下的汽车有辆． ） 【答案】75 2.某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽取的人数为 ▲ . 【答案】17 【解析】高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人 3.若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为▲． 【答案】2 【解析】由题意得，因此方差为 4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 ▲ ． 【答案】200 【解析】男学生占全校总人数，那么 5.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示。若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为.
【答案】20 【解析】根据频率分布直方图，得视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4， ∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20. 6.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人． 【答案】37，20 7.下图是2014年在怀化市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为. 【答案】， 【解析】去掉一个最高分和一个最低分之后，剩余的五个数据依次是、、、、，平均数为
高考数学统计与统计案例1．小吴一星期的总开支分布如图 1 所示，一星期的食品开支如图 2 所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() A．1%B．2%C．3%D．5% C[ 由图 1 所示，食品开支占总开支的 30%，由图 2 所示，鸡蛋开支占食 品开支的30 ＝ 1 ， 30＋40＋100＋80＋ 50 10 1 ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10＝3%.故选 C.] 2．(2019 德·州模拟 )某人到甲、乙两市各7 个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为() A．4B． 3C．2D．1 B[ 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是 79－ 76＝3，故选 B.] 3．某工厂对一批新产品的长度(单位： mm)进行检测，如图是检测结果的频
率分布直方，据此估批品的中位数() A．20B． 25C．22.5D．22.75 C[ 品的中位数出在概率是 0.5 的地方 . 自左至右各小矩形面依次 0.1,0.2,0.4，??，中位数是 x，由 0.1＋0.2＋0.08 ·(x－20)＝0.5，得 x＝ 22.5， 故 C.] 4．(2019 ·三明模 )在某次高中数学中，随机抽取 90 名考生，其分数如所示，若所得分数的平均数，众数，中位数分 a， b， c， a，b，c 的大 小关系 () A．b 2019年高考数学新题型分类 新课标以来，高考数学中出现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点： (一)解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者 会详细叙述。 (三)新名词 对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、 11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p 例谈近几年高考题中的新题型 江苏省泰州市民兴实验中学丁益民（225300） 综观这两年各地高考数学试题便会发现几乎每份试卷,都有一定量的新定义题.这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、新定义、新定理、新规则或新情境,并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考察学生在新的情景下,独立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力. 就这两年高考题型的走势来看，高考新题型的结构形式大约有以下的7种。 一、情境新颖型 新的立意，新的背景，新的表述，新的设问都能创设试题的新颖情境. 【例1】（2020年全国卷Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9 十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=【】 A.6E B.72 C.5F D.B0 【点示】情境新颖有三：（1）数符新颖，除熟悉的0，1，…，9这10个数字之外，还有新数字A、B、C、D、E、F. （2）数制新颖，16进制. （3）数意新颖，16进制中的数11，如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话，那么十位数上的1则是另外一种“数意”了；自然，F1这个数在10进制中已经不是两位数了. 【解答】我们用符号［x］(10) ，［y］ (16) 分别表示10进制和16进制中的数. 依题意，有 ［16］(10)=［10］(16) 则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10)=［6×16+14］(10)=［6×10+E］(16) =6E. 答案为A. 二、研究学习型 【例2】(2020年江苏卷)相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点 ．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 （A）1个（B）2个 （C）3个（D）无穷多个 【点示】研究有三：（1）正方体内接几何体 的空间模型；（2）截面图形；（3）新课标要求的 三视图. 【解答】法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个. 专题突破练20 统计与统计案例 1.(2019四川成都二模,理18)为了让税收政策更好地为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后,发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,明确“专项附加扣除”就 是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用,并公布了相应的定额扣除标准,决定自2019年1月1日起施行.某企业为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系,通过问卷调查,整理数据得如下2×2列联表: (1)根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关? (2)为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟按员工贡献积分x(单位:分)给予相应的住房补贴y(单位:元),现有两种补贴方案,方案甲:y=1 000+700x;方案 乙:y=已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,求恰好抽到3名“A类员工”的概率. 附:K2=-,其中n=a+b+c+d. 参考数据: 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型①;=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型②:=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 第三篇 备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径 专题03 三角形解答题 在①ABC ?面积2ABC S ?=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34 ABC π∠= ，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC . 1. 在ABC ?中，7,5,8a b c ===. ()1求sin A 的值； ()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设AP k PC =. ①求k 的取值范围； ②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得AP k PC =. 2. cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin 2 A C b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ?的面积. 3. 在①34asinC ccosA =;②22 B C bsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，a =. (1)求sinA ; (2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π =∠=，求ABC 的面积 4. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-. （1）求A 的大小； （2）再在①2a =，②4B π =，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面 的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积. 5. 在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a B b A π=+，③sin sin 2 B C b a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ?的面积. 6. 某地计划在一处海滩建造一个养殖场.高考数学新题型分类
高考数学复习专题：统计与概率(经典)
例谈近几年高考题中的新题型
通用版2020版高考数学大二轮复习专题突破练20统计与统计案例理
2021届新高考高三数学新题型专题03 三角形解答题 开放性题目第三篇(原卷版)
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