极点与极线背景下的高
考试题
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极点与极线背景下的高考试题
王文彬
(江西省抚州市第一中学 344000)
极点与极线是高等几何中的重要概念,当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容,也不属于高考考查的范围,但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征,因此在高考试题中必然会有所反映,自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师,应当了解极点与极线的概念,掌握有关极点与极线的基本性质,只有这样,才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景,进而把握命题规律.
1.从几何角度看极点与极线
定义1 如图1,设P是不在圆锥曲线上的一点,过P
两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,
E F G H,连接,
EH FG
交于N,连接,
EG FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点,则过P点的切线即为极线.
由图1同理可知,PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点,A B两点,则,
PA PB恰为圆锥曲线的两条切线.
定理1 (1)当P在圆锥曲线 上时,则点P的极线是曲线
M 图1
Γ在P点处的切线;
(2)当P在Γ外时,过点P作Γ的两条切线,设其切点分别为,A B,则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线);
(3) 当P在Γ内时,过点P任作一割线交Γ于,A B,设Γ在,A B处的切线交于点Q,则点P的极线是动点Q的轨迹.
定理2 如图2,设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l,过点P任作一割线交Γ于,A B,
交l于Q,则PA PB
AQ BQ
=①;反之,若有①成立,则称点,P Q调和分割线段AB,或称点
P与Q关于Γ调和共轭,或称点P(或点Q)关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线,这条直线就是点P的极线.
推论1 如图2,设点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭
点为点Q,则有
211
PQ PA PB
=+②;反之,若有②成立,
则点P与Q关于Γ调和共轭.
可以证明①与②是等价的.事实上,由①有
211
PQ PA PB
?=+.
特别地,我们还有
图2 B
推论2 如图3,设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ,
PQ 连线经过圆锥曲线的中心,则有2OR OP OQ =? ,反之若有此式成立,则点P 与Q 关
于Γ调和共轭.
证明:设直线PQ 与Γ的另一交点为R ',则
PR PR OP OR OP OR
RQ R Q OR OQ OR OQ
'-+=?='-+,化简 即可得2OR OP OQ =?.反之由此式可推出
PR PR RQ R Q
'=',即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4,,A B 圆锥曲线Γ的一条
对称轴l 上的两点(不在Γ上),若,A B 关于Γ调
和共轭,过B 任作Γ的一条割线,交Γ于,P Q
两点,则PAB QAB ∠=∠.
证明:因Γ关于直线l 对称,故在Γ上存在
,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合,则Q '与P
也重合,此时,P Q 关于l 对称,有PAB QAB ∠=∠;
若P '与Q 不重合,则Q '与P 也不重合,由于,A B
关于Γ调和共轭,故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''
图3
R '
图4
P '
的对边交点,即Q '在PA 上,故,AP AQ 关于直线l
对称,也有PAB QAB ∠=∠.
定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ
的极线p 经过点Q ?点Q 关于Γ的极线q 经过点P ;直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上
?直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.
由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.
以上未加证明的定理,可参阅有关高等几何教材,如【1】,其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
2.从代数角度看极点与极线
定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=,则称点00(,)P x y 和直线
0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.
事实上,在圆锥曲线方程中,以0x x 替换2x ,以
02
x x
+替换x ,以0y y 替换2y ,以02
y y
+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地:
(1)对于椭圆22221x y a b +=,与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y
a b
+=;
(2)对于双曲线22221x y a b -=,与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y
a b
-=;
(3)对于抛物线22y px =,与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.
(4)如果圆锥曲线是椭圆22
221x y a b +=,当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时,极线恰为椭圆的
准线;如果圆锥曲线是双曲线22
221x y a b
-=,当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时,极线恰为双曲
线的准线;如果圆锥曲线是抛物线22y px =,当00(,)P x y 为其焦点(,0)2
p
F 时,极线恰为
抛物线的准线.
3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题
【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中,如图,已知椭圆
15
92
2=+y x 的左右顶点为,A B ,右焦点为F .设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ,其中0m >,1200y y ><,.
(1)设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹;
(2)设121
23
x x ==,,求点T 的坐标;
(3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关).
分析与解:前面两问比较简单,这里从略.
对于(3),当9=t 时,T 点坐标为(9,)m ,
连MN ,设直线AB 与MN 的交点为K ,根据
极点与极线的定义可知,点T 对应的极线经过K ,
图5
又点T 对应的极线方程为
9195
x m y
??+=,即 15
m y
x ?+
=,此直线恒过x 轴上的定点K (1,0), 从而直线MN 也恒过定点K (1,0).
【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点M ,且左焦
点为1(F .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时,在线段AB 上取点
Q ,满足AP QB AQ PB ?=?,证明点Q
分析与解:(1)易求得答案22
142
x y +
=. (2)由条件可有
PA PB AQ
BQ
=
,说明点,P Q 关于
圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2,点Q 的轨迹就是点
P 对应的极线,即
41142
x y
??+=,化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.
图6
【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +
=,直线:1128
x y
l +=,P 是l 上一点,射线OP 交椭圆于点R ,又点Q 在OP 上且满足2
OQ OP OR ?=,当点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.
分析与解:由条件知2
OR OP OQ =?可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭,而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.
设(12,88)P t t -,则与P 对应的极线方程为
12(88)12416
t x t y
?-?+=,化简得 (1)2tx t y +-= ③
又直线OP 的方程为8812t
y x t
-=
,化简得 223t
y x t
-=
④ 解由③④联立方程组得
22654244542t x t t t x t t ?
=??-+?-?=
?-+?
,消去t 得22
2346x y x y +=+,可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0),故点Q 的轨迹是以(1,1)
为中心,长短轴分别为
和,且长轴平行于x 轴的椭圆,但需去掉坐标原点.
x
图7
【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y =
的焦点为F ,,A B 是抛物线上的两动点,且AF FB λ=
(0)λ>,过,A B 两点分别作抛物线的切线,并设其交点
为P .
(1)证明FP AB ?为定值;
(2)设ABP ?的面积为S ,写出()S f λ=的表达式,
并求S 的最小值.
分析与解:(1)显然,点P 的极线为AB ,故可设点
0(,1)P x -,再设1122(,),(,)A x y B x y ,,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-,112()x x y y =+,222()x x y y =+,由于,,A B F 三点共线,故相应的三极线共点于
0(,1)P x -,将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)
2(1)
x x y x x y =-??=-?,两式相减得
12012()2()x x x y y -=-.
又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--,故02121()2()0FP AB x x x y y ?=---=.
(2)设AB 的方程为1y kx =+,与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB 对应的极点为(2,1)P k -,把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+
,所以
21
2(12
ABP S AB FP k ?=
=+.
显然,当0k =时,S 取最小值4.
【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x =
的焦点为F ,动点P 在直线:20l x y --=上运动,
过P 作抛物线的两条切线,PA PB ,且与抛物线分别
相切于,A B 两点.
(1)求APB ?的重心G 的轨迹方程;
(2)证明PFA PFB ∠=∠.
分析与解:(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ,
与
002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1
(,2)2
,P 为直线l 上的动点,则点P 对应的极线AB 必恒过点1
(,2)2
.
设1
:2()2
AB y k x -=-,可化为
2
222
k y k x +
-=,故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -,将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202
k
x kx -+
-=,由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+,APB ?的重心G 的轨迹方程为
12221222332
2422
222333k k x x k k x k k k y y k k k y ?
+++?===???
?++--++--+?===??
,消去k 即得 21
(42)3
y x x =-+.
(2)设221122(,),(,)A x x B x x ,由(1)知1212,22k x x k x x +==
-,又1
(0,)4
F ,由(1)知(,2)22k k P -,即1212(,)2x x P x x +,所以2111(,)4FA x x =-,12121
(,)24
x x FP x x +=-,2221(,)4
FB x x =-.
221211************
111111
()()()()2
44444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++
?∠====?++-.同理121
4cos x x FP FB PFB FP FB
FP
+?∠=
=
?.
所以有PFA PFB ∠=∠.
参考文献
【1】 周兴和.高等几何.科学出版社,2003.9
【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯[J ],2012(4)下半月