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常微分方程期终考试试卷(1)

一、填空题（30%）

1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'

()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％） 1、3

()0ydx x y dy -+=

２、sin cos 2x x t t ''+=-

３、若

2114A ??=?

-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??

==????并求expAt ４、3

(

)480

dy xy y dx

-+=

５、求方程2

x y

=+经过（0，0）的第三次近似解

6.求1,

x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.

三、证明题（１０％）

１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案

一填空题

１、

()

M N y

x N

???-??=

()

M N y

y M

???-

??=-

２、 2

()()()

p x y Q x y R x dx

=++

y y z

３、 ()()n

p x y Q x y

(1)

(

)(,)n p x d x

n u x y y e

-?=

４、12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠

５、

n n

n n n

n d y d

dy x

a a a y dx

---++++=

６、()()t t C ψφ=

７、零稳定中心二计算题

１、解：因为

M N y

??==-??，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子

ln 2

()dy

y y e

y μ--?===

，两边同乘2

y 得3

x y dy y

所以解为

1x x y y dx dy c y y y ?

-++-=????

???????

x y

y +=即

2()x y y c =+另外y=0也是解

２、线性方程0x x ''+=的特征方程2

10λ+=故特征根i λ=±

1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程

A=-1

2B=0 2

()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，原方程有特解

c o s 2s i n 2

x A t

B t =+代入原方程1

3A =

B=0 所以原方程的解为1211

cos sin cos cos 223x c t c t t t t

=+-+ ３、解：

()690

p λλλλλ--=

=-+=-解得

1,23

λ=此时 k=1

12n =

12v ηηη??==????

111123322120()()(3)()!i t i t

i t t t e A E e

t i ηηηη?ηηηη=??+-+????

=-=??????+-+??????∑

由公式expAt=

()

n t i

i t e A E i λλ-=-∑得

[]3331

0111exp (3)01111t

t At e

E t A E e

t e t

t ?-?-??????=+-=+=????????--+??????

４、解：方程可化为

令

则有

p y

（*）

（*）两边对y求导：

32232 2(4)(8)4

y p y p y p y p

-+-=

即

(4)(2)0

p y y p

--=

由

y p

得

p cy

=即

()

将y代入

（*）

c p

即方程的含参数形式的通解为：

()

c p

p为参数

又由

p y

得

(4)

p y

=代入（*）得：

y x

也是方程的解

５、解：

225

410725118

()

4220

()

4400202204400160 x

y xdx

x x x

y x dx

x x x x x x x y x dx

=+=

=++=+

=++++=+++?

６、解：由

x y

--+=

--=

?解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则

x y

=--

?=-

因为

=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）

由

211220

λλλλ

=+++=++=

得1i

λ=-±故（3，-2）为稳

定焦点。

三、证明题

由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：

10200'

102001

00()1,()0,,()0()0,()1,,()0()0,()0,,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========

考虑

10200100010[(),(),,()]10

1n w x t x t x t =

=≠

从而()(1,2,)i x t i n = 是线性无关的。

常微分方程期终试卷(2)

一、填空题 30%

1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ?分别为x.y 的连

续函数。

2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函

数.n ，可化为线性方程。

是常数。引入变量变换-------≠1.0

3、如果存在常数

使得不等,0 L _____________对于所有

称为利普希兹都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于

y 满足利普希兹条件。

4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21a a

5、设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ_____________-。

二、计算题40%

1、求方程的通解。

6xy x

y dx

2、求方程xy

y dx

=+的通解。

3、求方程t

e x x x 25'6''=++的隐式解。 4、求方程）的第三次近似解。

、通过点（002

y x dx dy

三、证明题30% 1.试验证()t Φ=??

?122t t t 是方程组x '=???

?????-t t

x,x=???

???21x

x ，在任何不包含原点的区间

a b t ≤≤上的基解矩阵。

2.设()t Φ为方程x '

=Ax （A 为n ?n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明: ()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.

《常微分方程》期终试卷答卷

一、填空题（每空5分）

()(y x f dx dy

?= 2、n

x Q y x P dx

)()(+= z=n

-1

),(),(21y x f y x f -2

1y y L -≤ 4、

1=++++----y a dx

dy x

a dx

d x

a dx

y d x

n n n n n n

5、)()()(t t t ?φγ+= 二、计算题（每题10分）

1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=1

-y

,算得dx dy y

--=

代入原方程得到x

z x

=6，这是线性方程，求得它的通解为z=82

x c

带回原来的变量y ，得到y 1

=82

x c

+或者c

，这就是原方程的解。

此外方程还有解y=0.

2、

解：x

xy e

dx y xe

xdy xy

)(-= dx xe ydx xdy xy

dx xe

dxy xy

xdx

dxy xy

积分：

+=--2

故通解为：0

=++-c e x

3、

解：齐线性方程05'6''=++x x x 的特征方程为0562

=++λλ，

5,121-=-=λλ，故通解为t t e c e c t x 521)(--+=

2=λ不是特征根，所以方程有形如t

t x 2)(=

把)(t x 代回原方程 t

Ae Ae

22225124=++

211

A 于是原方程通解为t t

e e

c e

c t x 2521211)(++=--

4、

解 0)(0=x ?

+=x

dx x x x 02

012)]([)(?? 202)]([)(5

12x

dx x x x x

+=??? 4400

160

202

)]([)(11

23x

dx x x x x

+=???

三、证明题（每题15分）

1、证明：令()t Φ的第一列为1?(t)=???? ??t t 22,这时'

1?(t)=

???? ??22t =?

??? ??-t t

221021?(t)故1?(t)

是一个解。同样如果以2?(t)表示()t Φ第二列，我们有2?(t)=?

??? ??01= ?

??? ??-t t

2210

22?(t)

这样2?(t)也是一个解。因此()t Φ是解矩阵。又因为det ()t Φ=-t 2

故()t Φ是基解矩阵。 2、证明：（1）()t Φ,Φ(t- t 0)是基解矩阵。

（2）由于()t Φ为方程x '

=Ax 的解矩阵，所以()t Φ1

-Φ

(t 0)也是x '

=Ax 的解矩阵，

而当t= t 0时，Φ(t 0)1

-Φ

(t 0)=E, Φ(t- t 0)=Φ（0）=E. 故由解的存在唯一性定

理，得()t Φ1

-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)

常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)

1. 1. 2xylnydx+{2

+}dy=0

2. dx dy

=6x y

-x 2

3. '

y =22)12(-++y x y 4. x '

y =2

x ++y

5. 5. tgydx-ctydy=0

6. 6. {y-x(2

x +2

y )}dx-xdy=0

7．一质量为m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k ）

的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k ）。试求此质点的速度与时间的关系。

8. 已知f(x)?x

t f 0)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。

二．证明题(10%*2=20%)

9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试同齐次函数，且xM+yN ≠0,则)

yN xM +是该方程的一个积分因子。

10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。

试题答案： 1. 解：M y ??=2xlny+2x , N y ??=2x,则 M N

y x M

??-

??-=2ln 2ln x y xy y -=-1y ,故方

程有积分因子()

y μ=1dy

，原方程两边同乘以

得

2ln xy y

dx+

y y

dy=0

是恰当方程. d(2

两边积分得方

程的解为2

lny+()

1y +=C 。

2. 解：1）y=0是方程的特解。2）当y ≠0时，令z=

-得

d z d x =

x -z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=2

代回原来的变量y 得方程解为1

y =2

；y=0.

3. 解：令x=u+3, y=v -2, 可将原方程变为dv

du =

v u v ?? ?+??

，

再令z=v

u ，得到z+

dz u

u =

1z z ??

?+??

，即dz u u =

()()22

11z z z +

-+，分离变量并两端积分得2121dz

z z ??

?+ ? ?

?=du u -?+lnC 即ln z

+2arctgz=

ln u

-+lnC ，

ln zu

=-2arctgz+lnC 代回原变量得v=C 2v arctg

所以，原方程的解为y+2=C 223

y arctg

x e

+--.

4. 解：将方程改写为 '

y =

y -

+ x y （*）令u=x y

,得到x '

y =x '

u + u,则(*)变为x

dx du =

-1, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln

+lnC, 故方程的解为

arcsin x y

=lnCx 。

5. 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= -ln x

cos +C 或sinycosx=C (*)

另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k π(k=0、1…) ，x=t π+2π

(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C 。

6. 解：ydx-xdy-x(2

x +

)dx=0,两边同除以2

x +2

得

ydx xdy

-xdx=0,即d(arctg x

y )-1

=0,故原方程的解为arctg x

y -1

=C 。

7．

解：因为F=ma=m d v

d t ，又F=1

-=12t v k k -，

即m d v

d t =12t v

k k -(v(0)=0)，即d v

d t =12t v k k -(v(0)=0)，

解得v=1

k k 2t

k e

+12k k (t 2

m k

-).

8．解：令f(x)=y ，1

()f x =0()x

f t dt

?，两边求导得

()

y -=y ，

即

-=y ，即

=dx ，两边求积得2

=2x+C ，

从而

y=±

，故

f(x)= ±

9. 证明：如M 、N 都是n 次齐次函数，则因为 x x

+y y

=nM ，x x N +y y N =nN ，故有

y xM yN

x xM yN ??-

?+?+=

()()()

y xM yN M x N y xM yN N M

+-+++2

()()

()

x xM yN N x M y xM yN N N M

+-++-

()()

()

x y M x yN N x y xM yN N N M

+-+-

()()()

M nN N nM xM yN --

+=0.

故命题成立。

10. 解：1）先找到一个特解y= y 。

2）令y=

+z ，化为n=2的伯努利方程。

证明：因为y= y 为方程的解，

所以 d y

dx =P(x)

+Q(x)

y +R(x) (1)

令y= y +z ，则有

d y

dx +d z

d x = P(x)2

()

z + +Q(x)()y z +

+R(x) (2)

(2)-(1)得d z

d x = P(x)2

(2)yz z + +Q(x)z

即d z

d x =[2P(x)

y +Q(x)]z+P(x)2z

此为n=2的伯努利方程。

常微分方程期终试卷（4）

一、填空题 1、（）称为变量分离方程,它有积分因子( )。

２、当（）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（）。

４、对毕卡逼近序列，())()(1≤--x x k k ??。

５、解线性方程的常用方法有（）。

６、若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。

７、方程组x t A x )(='（）。８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系：（）。９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。

１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。

１１、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η

=)(0t x 的解（）。

二、计算题

求下列方程的通解。

１、1

sin 4-=-x e

。

２、1

)(122=??????

-dx dy y 。

３、求方程2

x dx dy

+=通过)0,0(的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。４、0=+'+''x x x 。

５、t

e x x =-'''。

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：

６、5

!--=+--=y x dt

dy y x dt

dx 。三、证明题。

１、１、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ?常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，

证明)(t φ)()(001

t t t -=-φφ其中0t 为某一值。答案：

一、填空题

１、形如)

()(x g x f dx

=的方程

)(1y g u =

２、

x N y

??=??

３、存在常数Ｌ>0，对于所有R

y x y x ∈)(),,(2,211都有使得不等式

12,211)(),(y y L y x f y x f -≤-成立

４、k

k h

k ML

５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法

６、

)

()(1

t x c

t x i n

i i

∑==

，其中

c c c ,,2,1 是任意常数

７、n 个线性无关的解)

(),(),(21t x t x t x n 称之为x t A x )(='的一个基本解组

８、)(t ψ＝)(t φc (b t a ≤≤c 为非奇异常数矩阵９、等于零稳定中心１０、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳

定鞍点或不稳定结点

１１、

s f s t t t t

t )()()()()(0

?--+=φ

φηφ

二、计算题

１、解：方程可化为

sin 4-+-=x e

令y

e z =，得x

z dx

sin 4+-=

由一阶线性方程的求解公式，得

[]x

x x c e x x e

c dx xe

e z ----

-+-=+-=+??

=?)cos (sin 2)cos (sin

2)sin 4()1()1(所以原方程为：y

e ＝x

x x -+-)cos (sin 2

２、解

：设

t p d

s i

==，

则有

t y s

c =，

从而

g t

t t d t

c t

d t t

g t t x +=+=+?=

??2

c s e s

，故方程的解为

1)(y c x =++，另外1±=y 也是方程的解

３、解：0)(0=x ? 2

012

1)(x

x d x x x

220

121)4

1()(x

x dx x x x x

dx x x x x dx x x x x x

??? ??++

+=??????

++=

710

2523201400141)20121()(? 8

160

14400

120

x x +

４、解：对应的特征方程为：012

=++λλ，解得

i 2

3,232

122

-=+-

=λλ

所以方程的通解为：)

3sin

3cos

(212

1t c t c e

x t +=-

５、解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013

=-λ，解得

231,13,21i

=λλ，

故齐线性方程的基本解组为：

i e

e t

3sin

3cos

，因为1=λ是特征根，

所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，t

t t t e Ate Ate Ae =-+3，所以

A ，所以原方程的通解为2

121-

+=e

c e c x t

i e

c i 3

3sin

3cos

13+

６、解： ??

?=--=+--0

50!y x y x 解得???-==23y x 所以奇点为（)2,3- 经变换，??

?+=-=33y Y x X

方程

组化

为

?????-=--=Y X dt

dy Y X dt dx

因为

11≠---又

1)1(1

=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定

焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

三、证明题

１、证明：)(t φ为方程Ax x ='的基解矩阵)

(01

t -φ

为一非奇异常数矩阵，所以

)(t φ)

(01

t -φ

也是方程Ax x ='的基解矩阵，且)(0t t -φ也是方程Ax x =' 的基解矩阵，

且都满足初始条件)(t φ)(01

t -φ

=，E t t ==-)0()(00φφ

所以)(t φ)

()(001

t t t -=-φφ

常微分方程期终考试试卷（5）

一．填空题（30分）

1．)

()(x Q y x P dx

+=称为一阶线性方程，它有积分因子 ?

-dx x P e )( ，其通解为

_________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。

3．若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤______ 。

4．方程2

x dx dy

+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解

的存在区间是 _______ 。

5．函数组t

t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若)

,,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -

为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若)(t Φ是x t A x )('

=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是)()('

t f x t A x +=的满足初始条件

)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____

是)()('

t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。

8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n

v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为

λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='

的一个基解矩阵。

9．满足 _______ 的点),(*

y x ，称为驻定方程组。

二．计算题（60分）

10．求方程0)1(243

=-+dy y x dx y x 的通解。

11．求方程0

=-+x e dx

dx dy

的通解。

12．求初值问题?????=--=0)1(2

2y y x dx

dy 1

,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，

给出在解的存在区间的误差估计。 13．求方程t t x x 3sin 9'

'=+的通解。 14．试求方程组)('

t f Ax x +=的解).(t ?

?????=???

???=??????-=1)(,3421,11)0(t e t f A ? 15．试求线性方程组5

2,1972+-=+-=y x dt dy

y x dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及稳定

性。

三．证明题（10分）

16．如果)(t ?是Ax x ='

满足初始条件η?=)(0t 的解，那么[]η?)(exp )(0t t A t -=

常微分方程期终考试试卷答案一．填空题（30分）

1．

)

)(()()(?+??=-c dx e x Q e y dx

x P dx x P

2．),(y x f 在R 上连续，存在0>L ，使2

121),(),(y y L y x f y x f -≤-，对于任意R y x y x ∈),(),,(21

3．1

)!1(++n n h

n ML

4．414

1≤

≤-x 5．

t t

t t t t e

e e e

e 22242----

6．

)

()()(1

t x t x c

t x i n

i i

=+=

∑

7．

s f s t t

t )()()(1

-Φ

Φ?

s f s t t t t

t )()()()()(0

?--Φ

Φ+Φ

Φη

8．

[]n

v e v e

v e

n λλλ,,,2121

9．0),(,0),(==y x Y y x X 二．计算题（60分）

10．解：y

x x N y x y M 2

26,8=??=??

y M

N y

M 21

=-??-?? 积分因子2

121

)(-

=?=y

y dy

y μ

两边同乘以)(y μ后方程变为恰当方程：0)1(243

=-+-

dy y x y

dx y x

4y x M x

==?? 两边积分得：)

423

y y x u ?+=

121

213

22)(2-

-==+=??y

y x N y y x y

得：2

4)(y y -=?

因此方程的通解为：c y x y =-)3(3

11．解：令p

y dx

=='

则0=-+x e p p

得：p

e p x += 那么

??+=

=dp

p pdx

y p

)1(

pe p

+-+=

因此方程的通解为：???

??+-+=+=c e p p y e p x p

p )1(22

12．解：

),(max ),(==∈y x f M R

y x

y y a x x =≤-=≤-1,100，

41),

min(=

=M b a h

解的存在区间为

4110=≤+=-h x x x

即434

≤≤-x

令0

)(00==y x ?

313

0)(3

-x

dx x x x

4211

918633)313(0)(4

7312322+

---=??????+-+=?-x x x x dx x x x x

? 又L y y

=≤-=??22

误差估计为：241)!

1()()(1

+≤

-+n n

n ML

x x ??

13．解：i i 3,309212

-==?=+λλλ

i 3=λ是方程的特征值，设it

e B At t t x 3)()(+=-

得：it

e At Bi Ait Bt A x 32

)961292(-++-=

则t Bi Ait A =++6122

得：

361,12

=B i A

因此方程的通解为：t

t t t t c t c t x 3sin 36

13cos 12

13sin 3cos )(2

21+

14．解：

)5)(1(3

1)det(=-+=----=

-λλλλλA E

5,121=-=λλ

0)(11=-v A E λ 得

???

??-=αα

1v 取

???

???-=111v 0)(22=-v A E λ 得 ??????=ββ22v 取

?????=212v 则基解矩阵

???

???-=Φ-t t

e e e

e t 552)(

????

?-=??????-?????

?????????-=Φ

Φ-----t t t t

e e e e

e t 112121012)0()(551

???

???+--+=ΦΦ?-51211035241203)()()(551

0t t t t t t e e e e ds s f s t 因此方程的通解为：

?--ΦΦ+ΦΦ=t

t ds

s f s t t t 0

)()()()0()()(1

η?

?????????

?++---+=--5121103524120

355t t t t t t e e e e e e

15．解：

?==????=+-=+-31

05201972y x y x y x （1，3）是奇点

令

25,2

19-

=y Y x X

x dt

dY y X dt

2,72-=-=

0230

722

≠--=--，那么由

=-+-=

+--λλλλλ

可得：i i 3,321-==λλ 因此（1，3）是稳定中心

三．证明题（10分） 16．证明：由定理8可知

s f s t t t t t

t )()()()()()(0

?--ΦΦ+ΦΦ=η?

又因为)exp()(exp )(,exp )(01

001At At t At t -==Φ=Φ--

0)(=s f

所以η?)exp(exp )(0At At t -?= 又因为矩阵)()()()(00At At At At ?-=-?

所以[]η?)(exp )(0t t A t -=

常微分方程期终考试试卷(6)

三．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求dx

dy =f(x,y)满足

0)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程)

,(y x f dx

=的解

y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。

5、若)

(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/

=的_________________称之为x t A x )(/

=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/

的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（*

,y x ），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dx dy

=31

+++-y x y x

2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

3、讨论方程23

y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解

4、求解常系数线性方程：

x x x

cos 32///

-=+- 5、试求方程组Ax x =/

的一个基解矩阵，并计算

???? ?

?34

,为其中A e

6、试讨论方程组cy

dy by ax dt

=+=,

（1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且

ac ≠0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果Ax x t =/

）是（?满足初始条件η?=)(0t 的解，那么

=)(t ?[]η)

(0t t A e

常微分方程期末考试答案卷

一、一、填空题。（30分）

1、x y x N y y x M ??=

??)

,(),(

2、)

(

x y

f dx

3、y=0y +dx

y x f x

x ?

0),(

4、连续的

5、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n

6、n 个线性无关解

7、)0()(1

-Φ

Φt

8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0

9、为零稳定中心二、计算题。（60分） 1、解： (x-y+1)dx-(x+2

y +3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0

即21

d 2

x -d(xy)+dx-3

1dy

-3dy=0

所以C

y y x xy x =--

+-33

2、解：2)(1

)(2-+-+-

=y x y x dx

，令z=x+y

则dx dy dx

121+-+=

---

=z z z z dx

dz dx

dz z z =++-1

所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3

|1|+z =x+z+1C 即y

x Ce

y x +=++23

)1(

3、解：设f(x,y)= 23

1y ,则)

0(2

2≠=

??-

y y

故在0≠y 的任何区域上y f

??存在且连续，

因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

显然，0≡y 是通过点（0，0）的一个解；

又由23

31y 解得，|y|=2

)(c x -

所以，通过点（0，0）的一切解为0≡y 及

|y|=?

?≥>-≤是常数

0),()

()

(02

c c x c x c x

4、解： (1)

21,

0322,12

==+-λλλ

齐次方程的通解为x=)2sin

2cos

(21t c t c e t

(2)i ±-=1λ不是特征根，故取t

e t B t A x -+=)sin cos (

代入方程比较系数得A=415

，B=-414

于是t

t t x --

=)sin 41

4cos 41

通解为x=)2sin

2cos (21t c t c e t

++t

t t --)sin 4cos 5(41

5、解： det(A E -λ)=0

543

=--=----λλλλ

所以，5,

121=-=λλ

设11-=λ对应的特征向量为1v

由0

11044

11≠?

??-==???

?----ααv v 可得

取

??=?

???

??-=211121v v 同理取

所以，)(t Φ= [

]

=-2

v e v e t

????

??---t

t t t e

e e

e 552

???

? ??+--+=???

? ??-???? ??-=???

? ??-????

?-=ΦΦ=----------t t t t

t t t t

t t

t t t

e e e e e e e

e e

e t e

5555551

551

2222311112

23121112)0()(

6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件

≠=ac c

b a ，故奇点为原点（0，0）

又由det(A-λE)=

)(0

=++-=--ac c a c b a λλλ

λ得

c a

==21λλ 所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

a ，c 为实数????

??????>><

?=≠=????

?>><<>≠不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点

奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00c a c a b b c a ac c a c a ac c a

三、证明题。（10分）

证明：设)(t ?的形式为)(t ?=C e At

（1）（C 为待定的常向量）

则由初始条件得)(0t ?η==C

e At 0

又1

)

-At e

At e

所以，C=1

)

-At e

η=0At e -η

代入（1）得)(t ?=ηη)

(00

t t A At At

e e

e --= 即命题得证。

常微分方程期终试卷(7) 一、选择题

1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2

2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A ）充分（B ）必要（C ）充分必要（D ）必要非充分

3. 方程2

1d d y

y -=过点)

1,2

(π共有（）个解．

（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三 4．方程x

x y x

+-=

d d （）奇解．

（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个 5．方程y

d d 的奇解是（）．

（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y

二、计算题 1.x '

y =2

x ++y 2.tgydx-ctydy=0 3. 0d d )2(=-+y x x y x

4. 1

d d +=

y x

5.0

d )ln (d 3

=++y x y x x y

三、求下列方程的通解或通积分

1.)

1(d d 2

y x x y y -=

2. 2

)

(

d d x y x y x

-= 3. x

y x y

3d d =+

四．证明

1.设)(1x y ，)(2x y 是方程

0)()(=+'+''y x q y x p y

的解，且满足)(01x y =)(02x y =0，0)(1≠x y ，这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，)

,(0∞+-∞∈x ．试证明：存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y ．

2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．试卷答案一、选择题

1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

二、计算题

1．

解：将方程改写为'

y =

y -

+x y （*）令u=x y

,得到 '

y =x '

u +u,则(*)变为

x dx du

=u -1, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u

+lnC, 故方程的解为

arcsin x y

=lnCx 。

2．

解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln x cos +C 或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k π(k=0、1…) ，

x=t π+2π

(t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C 。

3. 方程化为

x y x

21d d += 令xu y =，则x u

u x y

d d d d +=，代入上式，得

u x

+=1d d

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期常微分方程课程试卷（B）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）．（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解解：积分因子21)(x x =μ，则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*），两端同时关于求导，

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________. 13.方程组的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

常微分方程试题

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是。 8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装订线装订线

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解：齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解：对应的特征方程为：012 =++λλ，解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分）所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离（3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解（1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程（1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

常微分方程应用题和答案

应用题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=，其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。（1）求曲线()y f x =的方程；（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程试题模拟试题(一)

常微分方程试题模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的条件．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（）．（A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（）．（A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当，在xoy 平面上任一点的解（）．（A ）都不是惟一的（B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交（D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（）．（A ）不稳定结点（B ）稳定焦点（C ）不稳定焦点（D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（）零点．（A ）无（B ）只有一个（C ）至多只有有限个（D ）有无限个三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分）

常微分方程题库

常微分方程试题库（一）、填空题（每空3分） 1、当_______________时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为：。 2、形如________________的方程，称为齐次方程。 3、求),(y x f dx dy =满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为：。 5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组 AX dt dX =的基解矩阵，则At exp = 。 8、方程称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。 9、设)(),(21x x ??是与二阶线性方程： )()()(21x f y x a y x a y =+'+''，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .10、形如的方程称为欧拉方程。 11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt dX )(=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系：。 12、若向量函数);(y t g 在域R 上，则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt dy ==?的解?存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换，可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。 14、方程04=+''y y 的基本解组是． 15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的

常微分方程期末考试练习题及答案.

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。 2. 若f (x)使常微分方程两端恒等，则f (x)称为常微分方程的解。 3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为：x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。 4. 满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一，亦可能不存在) 。 5. 常微分方程之线性及非线性：对于F (x, y, y…y(n)) =0而言，如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与白变量无关)。如：xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y⑵+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。

二.可分离变量的方程

1. 定义：形如dy=f (x) 4 (y)的方程，称为分离变量方程。这里f dx (x), § (x)分别是x, y的连续函数。 2. 解法：分离变量法』芸七=J f (x)dx+c. (*) 说明：a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上§ (y) =0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。例 1. ydx (x2-4x)dy =0 解：由题意分离变量得：2dx dy=0 x -4 y 即：1(工-1)dx 业=。 4 x —4 x y 积分之，得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c 故原方程通解为：(x-4)y4=cx (c为任意常数)，特解y=0 包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(：)dt+|n2,则f (x)是？解：对给定的积分方程两边关于x求导，得： f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导) 分离变量，解之得：f(x)=Ce2x 由原方程知：f (0) =In2 ,代入上解析式得： C=ln2 ,

常微分方程模拟试题

常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线． 2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是． 3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 5．方程 21d d y x y -=的常数解是．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面 7. 方程 1d d +=y x y （）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程 )(d d y f x y =解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间 10．方程32 3d d y x y =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y x y ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x y += 14．0)d (d 22 2=-+y y x x xy 15．3 )(2y y x y '+'= 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．求方程2 55x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解． ?????? ?-=+=x t y t y t x d d sin 1d d

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