武汉理工大学考试试题纸(A 卷)(闭卷)
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武汉理工大学考试试题纸（A 卷）（闭卷）
课程名称 概率统计 专业班级 题号 一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
题分
备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)
1．填空题（15分）
（1）设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P （2）设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量2X Y =的
概率密度函数为=)(y f Y .
（3）设随机变量X 和Y 的期望分别为2-和2，方差分别为1和4，0.5XY ρ=-，
由切比雪夫不等式，(6)________P X Y +≥≤ ．
（4）设某种清漆干燥时间),(~2
σμN X （单位：小时），取容量为n 的样本,其
样本均值和方差分别为2,X S ，则μ的置信度为1-α的单侧置信上限为： .
（5）设),,,(21n X X X Λ为取自总体),(~2σμN X 的样本，参数2
,σμ均未知，
∑==n i i X n X 11，21
2
)(X X Z n i i -=∑=，则对于假设00=μ：
H 作t 检验时，使用 的检验统计量T ＝ （用X 与Z 等表示）.
2．（10分）设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
3. （10分）设随机变量X 的概率分布为f x
A x x ()=<
010
，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件
{}X ≤1
2出现的次数，试确定常数A ，并求概率PY {}
=2。
4. （15分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为
??
?<<=-其它,
00,),(y
x e y x f y 求：（1）随机变量X 的密度函数)(x f X ；（2）概率}1{≤+Y X P 。 5. （10分）已知随机变量X 、Y 分别服从正态分布)3,
0(2N 和)4,2(2N ，且X 与Y 的相关系数
ρX Y =-12/，设Z X Y =+//32，求：（1）数学期望E Z ，方差D Z ；（2）X 与Z 的相关系数ρXZ 。 6. （10分）证明：（马尔科夫定理）如果随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X ，满足
0)(1
lim 1
2=∑=∞→n
k k n X D n 则对任给0>ε，有
1)(1
1lim 11=?
?????<-∑∑==∞→εn k k n k k n X E n X n P . 7. （15分）设),(~2
σμN X ，n X X X ,,,21Λ是取自总体的简单随机样本，X 为样本均值，2
n S 为样本二阶中
心矩，2
S 为样本方差，问下列统计量：（1）
2
2σn
nS ，（2）
1
/--n S X n μ，（3）
2
1
2
)(σμ∑=-n
i i
X
各服从什么分布？
8．（15分）设总体X 服从区间[0，θ]上的均匀分布，θ＞0未知，12,,,n X X X K 是来自X 的样本,（1）求θ的矩估计和极大似然估计；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是请修正为无偏估计量；（3）试问（2）中的两个无偏估计量哪一个更有效？
答案1．（15分）（1）4/7；（2）1
04()4
Y y y f y ?<
=???其他
;（3）
1
12
(4)上限为(1)S
X t n n
α+
-; （5）
)1(-n n Z
X
2．（10分）解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。 则A A A 123Y Y =Ω，且PA i ()>0，A A A 123、、两两互不相容，
（1） 由
全概率公式得
∑=?=3
1
)|()()(i i i A A P A P A P 400
13
100541100441100221=
?+?+?=
（2）由贝叶斯公式得 P A A (|)1=∑=3
1
11)|()()|()(j j
j A A P A P A A P A P 13440013100221=?
= 3. （10分）解：由归一性?
?∞
+∞
-=
==2
)(11
0A
Axdx dx x f 所以A =2。即 ?
?
?<<=其它，，01
02)(x x x f
4
12)()21(}21{21
021====≤??∞-xdx dx x f F X P
所以)4
1
3(~，B Y ，从而 }2{=Y P =64
9
43)4
1(2
2
3=?C
4. （15分）解：（1）x ≤0
时，f x X ()=0； x >0时，f x X ()=fx y d y ed y e y x
x
(,)==--+∞
-∞
+∞
?? 故随机变量X 的密度函数f x X ()=e x
x x -<≤???，，000
（2）P
X Y {}+≤1==--+≤?
???f xy d x d y d x e d y y x
x
XY (,)10
1
21
=+---e e 1
1
2
12
5. （10分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得
E Z 122
1
031)2()3()23(
=?+?=+=+=Y E X E Y X E D Z =+=++D X Y D X D Y X Y ()()()()32
32232
C o v ， DY DX DY DX XY ρ21
31221
3
122
??++=
324143)21(2131242
1
3312222=-+=??-???+?+
?=
（2）C o v C o v C o v C o v ()()(,)(,)
X Z X X Y X X X Y ，，=+=+13121
312
=+=1312
0D X D
XD Y X Y ρ 从而有X 与Z 的相关系数ρX Z XZ D X D Z
=
=C o v (,)
6. （10分）证明： )(1
)1(),(1)1(1
2111∑∑∑∑======n
k k n k k n k k n k k X D n X n D X E n X n E ，由切贝雪
夫不等式，得
2
21
11)(1)(1
1lim ε
εn X D X E n X n P n
k k n k k n k k n ∑∑∑===∞→-≥?
?????<-，
根据题设条件，当∞→n 时, 1)(1
1lim 11≥?
?????<-∑∑==∞→εn
k k n k k n X E n X n P ，
但概率小于等于1，故马尔科夫定理成立. 7. （15分）解：（1）由于
)1(~)1(2
2
2
--n S n χσ，又有2
1221)(1S n
n X X n S n i i n
-=-=∑=
2
2)1(S n nS n
-=，因此
)1(~22
2-n nS n
χσ；
（2）由于
)1(~/--n t n
S X μ，又有1
-=
n S n
S n ，因此
)1(~1
/---n t n S X n μ；
（3）由),,2,1)(,(~2
n i N X i Λ=σμ得：
),,2,1)(1,0(~n i N X i Λ=-σ
μ
，由2χ分
布的定义得：)(~)(22
1
2
n X
n
i i
χσμ∑=-.
8．（15分）解：（1）2
EX θ
=
，令
2
X θ=，得θ的矩估计量1
?2X θ=； 似然函数为：()12121
,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θ
θθ?<
K K ，其它
其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()
?max ,,,n n X X X X θ==K 。 （2） 因为1
?2E EX θθ==，所以1?θ为θ的无偏估计量。 又因为()n X 的概率密度函数为：1()1
,0()0,n n x n x f x θθθ-???<
=???
??
其它 所以1
()0
1
1
n n x n EX xn dx n θ
θθθ
-??
=
=
?+??
?
因此2
?θ为θ的有偏估计量，而3()1
?n n X n
θ+=为θ的无偏估计量。 （3） 22
1
/12
?443D DX n
n
θθθ==?=
，
2
3(2)212
202211?11111?(2)(2)3n n D DX n n x n x n dx n n D n n n n
θθθθθθθθ-+??= ???
??+??????=- ? ? ? ? ?+????????=>=≥+? 于是3
()1?n n X n
θ+=比1
?2X θ=更有效。