新高中必修五数学上期中试题(附答案)(2)
一、选择题
1．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则
313233310log log log log a a a a +++???+=（ ）
A ．10
B ．12
C ．31log 5+
D ．32log 5+
2．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤??
-≥??≥?
则z =x +y 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3．设函数
是定义在
上的单调函数，且对于任意正数
有
，已知
，若一个各项均为正数的数列满足
，其中
是数列
的前项和，则数列
中第
18项（ ）
A ．
B ．9
C ．18
D ．36
4．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和
n S =（ ）
A ．2744n n +
B ．2533n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
5．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则
122019
111
a a a ++?+=（ ） A ．
2020
2019
B ．
2019
1010
C ．
2017
1010
D ．
4037
2020
6．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3
n
n 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89
B ．23
C ．
6481
D ．
125
243
7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -??=-??，则ABC V 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8．在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S
D ．n S 的最小值是7S
10．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =?
，a
=4b =，则B =（ ） A ．30B =?或150B =? B ．150B =? C ．30B =? D ．60B =?
11．若0,0x y >>，且211x y
+=，2
27x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是
（ ） A ．(8,1)-
B ．(,8)(1,)-∞-?+∞
C ．(,1)(8,)-∞-?+∞
D ．(1,8)-
12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且
723
n n S n T n +=+，则220
715
a a
b b +=+（ ）
A ．
49
B ．
378
C ．
7914
D ．
149
24
二、填空题
13．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 14．已知12
0,0,
2a b a b
>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 15．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使
()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}
n b 满足2
n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．
17．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______． 18．如图所示，在平面四边形ABCD
中，AB =
，BC =，AB AD ⊥，
AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．
19．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 20．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．
三、解答题
21．设函数1
()|(0)f x x x a a a
=+
+- （1）证明：()2f x ≥；
（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．
22．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：
（2）若5a =2b =．求ABC V 的面积．
23．已知向量()
1
sin 2A =，m 与()
3sin 3A A =，
n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；
（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 24．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ??
∈?
???
的值域； （2）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若
78663f A f B ππ?
??
?+
=+- ? ?
????
，求a b 的取值范围． 25．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4
cos 5
A =． （1）求2
sin
cos 22
B C
A ++的值； （2）若2b =，ABC ?的面积3S =，求a 的值．
26．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设13
,n n n n b T a a +=
是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。 【详解】
因为313233310log log log log a a a a ++L =()312310log a a a a L =()5
3110log a a ,
又4756110a a a a a a ?=?=?，由475618a a a a ?+?=得1109a a ?=，所以
313233310log log log log a a a a ++L =53log 9=10，故选A 。
【点睛】
本题考查了对数运算及利用等比数列{}n a 的性质，利用等比数列的性质：当
,(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时，m n p q a a a a ?=?，
特别地2,(,,)m n k m n k N *
+=∈时，2m n k a a a ?=，套用性质得解，运算较大。
2．D
解析：D 【解析】
如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故
max 303z =+=，故选D ．
点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．
3．C
解析：C 【解析】
∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=
a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0
∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以
故选C
4．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则
解得
，故选A.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得
1n a =()21n n +=2（1n -1
1
n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】
解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，
可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =
1
2
n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11
n +），
则
122019111a a a ++?+=2（1-12+12-13
+…+12019-12020） =2（1-12020
）=2019
1010．
故选:B ． 【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
6．A
解析：A 【解析】
解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)
n ＋1
－n
n
＝·
n
，
当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
解法二 ＝＝
，
令
>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令
<1，解得n >2.又a n >0，
故a 1a 4>a 5>…>a n ，
所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×
2
＝.故选A.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -??=-??，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -??=-??， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -??=-??， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +??-=+
???
112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+??????+-+
12ln
ln ln 2121n n n n -=++??????++-- 12
ln(
)2121
n n n n -=????????+-- ln 2n =+ 故选A. 9．D 解析：D 【解析】 【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+， 所以()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即
8
7
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D.
【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
将已知代入正弦定理可得1
sin 2
B =
，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B
解：60A =?Q ，a
=4b =
由正弦定理得：sin 1
sin
2b A B a =
== a b >Q 60B ∴
30B ∴=?
故选C. 【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
将代数式21
x y
+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转
化为解不等式()2
min 72m m x y +<+，解出即可.
【详解】
由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ??+=++=++≥=
???
， 当且仅当()4,0y x
x y x y
=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2
min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<.
因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不
等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =, 故令21n =有2121721214921324
S T ?+==+,即1111211492124a b =,所以1111149
24a b = 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质：
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
二、填空题
13．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角
解析：1
4
-
【解析】
在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故
2221
32,3,cos .24
a b c a b b c ab +-=∴===-
故答案为：1
4
-
. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
14．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且
仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换
解析：
92
【解析】 【分析】 先化简1112
2(2)2(2)()22a b a b a b a b
+=?+?=?+?+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a
+=
?+?=?+?+=++
19
(522
≥
+=. 当且仅当2212
2
3222a b a b
a b ?+=?==??=?
即时取等. 故答案为：9
2
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.
15．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【
解析：3
(3,)2
-
【解析】
试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0
{
(1)0
f f ≤-≤，即
2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得22
2390{210
p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是
3
(3,)2
-.
考点：一元二次方程的根与系数的关系.
【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到
一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.
16．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}
【解析】 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n a -=，进而得到n b ；利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】
当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1122n n n n n a S S a a --\=-=-，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 12n n a -\=
2
920n n a b n n =-+-Q 21
920
2
n n n n b --+-∴= ()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N 5n ∴=或6
∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6
本题正确结果：{}5,6 【点睛】
本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.
17．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题
解析：
1941
【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式11
11
S T =，代值计算可得． 【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴
9393936
57846666
222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341?-=?-，∴66
1941a b =， 故答案为
19
41
. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
18．3【解析】分析：详解：设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛：在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角
解析：3 【解析】 分析：
详解：设,3AC x AD x ==， 在直角ACD ?
中，得CD =
，所以sin 3
CD CAD AD ∠=
=
， 在ABC ?
中，由余弦定理2222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠==?
由于2
BAC CAD π
∠+∠=
，所以cos sin BAC CAD ∠=∠，
23=
23830x x --=，解得3x =. 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
19．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运
算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-
【解析】 【分析】
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
20．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)?
【解析】 【分析】
由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,
1
41a q
=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围. 【详解】 由题意可得,1
4,||11a q q
=<- ， 且0q ≠
14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠
故答案为(0,4)(4,8)? 【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.
三、解答题
21．（1）详见解析；（2）15(,22
． 【解析】
试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围.
试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =1
2a a
+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.
（2）因为(3)5f <，所以
1335a a ++-
-<-?
11232a a a -<-<-，解得：1522
a +<<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 22．（1）4
A π
=（2）4
【解析】
分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．
详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，
所以sin cos 0A A -=04A π?
?
-= ??
?
， 又因为()0,A π∈，所以4
A π
=
．
（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-?，
则2
2044c c =+-???
． 即2
160c -=．
解得c =-c =
所以1242S =
??=．·
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
23．（1）π
3A =（2）△ABC 为等边三角形 【解析】
分析：（1）由//m n u r
r
，得3
sin (sin )02
A A A ?-=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin 216A ??
-
= ??
?
，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得22
4b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得
4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．
详解：（1）因为m//n,所以()
3
sin sin 02
A A A ?-=.
所以
1cos23022A A --=1
cos212A A -=， 即 πsin 216A ??
-
= ??
?
. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ??
-∈- ???
，. 故ππ262A -
=，π
3
A =. （2）由余弦定理，得 22
4b c bc =+-
又1sin 24
ABC S bc A bc ?=
=， 而222424b c bc bc bc bc +≥?+≥?≤，（当且仅当b c =时等号成立）
所以1sin 42ABC S bc A ?=
=≤=. 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π
3
A =
，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 24．（1）[]1,2；（2）1,33??????
.
【解析】 【分析】
（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π??
=-
??
?
，由,2x ππ??
∈?
???
计算出6x π-的取
值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ??
????
上的值域； （2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=
，可得出4
sin sin 3
A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1
sin 13
B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出
sin 41sin 3sin a A b B B ==-的取值范围. 【详解】
（1）
(
)1cos 2cos 2sin cos cos sin 2266f x x x x x x x ππ???
?=-=-=- ? ? ?????
Q 2sin 6x π?
?=- ???，
,2x ππ??
∈????
Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π??≤-≤ ???，()12f x ∴≤≤，
因此，函数()y f x =在,2x ππ??
∈?
???
的值域为[]1,2； （2）78663f A f B ππ?
??
?+=+-
? ????
?Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得
4sin sin 3A B +=
，4
sin sin 3
A B ∴=-， 由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 1
30sin 1
B B ?
<-≤??
?<≤?，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4
sin sin 4131,3sin sin 3sin 3B
a A
b B B B -??===-∈????
.
因此，
a b 的取值范围是1,33??????
. 【点睛】
本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 25．（Ⅰ）59
50
（Ⅱ）a
【解析】 【分析】 【详解】
222221131
sin cos 2cos 12sin cos 12sin cos 2sin 222222 B C A A A A A A A ++=+-=++-=+-?
3
sin 5A =
,4cos 5
A ∴= 2
231314959sin cos 2cos 2sin 2222225 5 250
B C A A A ++=+-=+?-?= （2）13
3sin ,2,sin 25
bc A b A =
==
26．(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30. 【解析】
试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出
()()3
311212122121n b n n n n ??
=
=- ?-+-+??
，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，
根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．
试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因为124,,S S S 成等比数列，所以
()()2
111462a a d a d ?+=+．所以2
12a d d =．
因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1
a 1,d 2==，所以
21n a n =-．
（2）因为()()3
311212122121n b n n n n ??==- ?-+-+??
，
所以311111123352121n T n n ??=-+-++- ?-+??L 31312212
n T n ??=-< ?+??． 要使20n m T <
对所有n N *∈都成立，则有
3
202
m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30．
考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．