高考数学压轴题：数列
一、解答题（共30小题）
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*(1)()n S n n n N =+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131
n n n b b b b
a =+++?+++++，求数列{}n
b 的通项公式； （Ⅲ）令*()4
n n
n a b c n N =
∈，求数列{}n 的前n 项和n T ． 2．数列{}n a 满足12a =，2
166()n n
n a a a n N ?+=++∈ （Ⅰ）设5log (3)n n C a =+，求证{}n C 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设21166n n n n b a a a =
--+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：51164
n T -<-．
3．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足5452S a a =+，934a a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （3）是否存在正整数m ，使得
221
m
m S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11
2
a =，120(2)n n n a S S n -+=． （1）判断1
{
}n
S 是否为等差数列？并证明你的结论； （2）求n S 和n a ；
（3）求证：222
1211
24n S S S n
++?+-． 5．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中1n =，2，3，?． （Ⅰ）若11a =，n b n =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=，且11b =，22b =．
（ⅰ）记
61(1)n
n a n -=，求证：数列{}n 为等差数列；
（ⅱ）若数列{}n a
n
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求1a 应满足的条件．
6．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}n b 满足1(1)n n n n b a a +=+-，n N +∈． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n b 的前100项和100S ； （Ⅱ）若数列{}n b 是公差为2的等差数列，求数列{}n a 的通项公式．
7．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34S a =，3542a a a +=+ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 前2k 项和2k S ；
（3）在数列{}n a 中，是否存在连续的三项m a ，1m a +，2m a +，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由．
8．已知数列{}n a 是无穷数列，1a a =，2(a b a =，b 是正整数），11
1
11
(1),(1)n
n
n n n n n n
n a a a a a a a
a a --+--?>??=????．
（Ⅰ）若12a =，21a =，写出4a ，5a 的值；
（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1()k a k N =∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1；
（Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记21{n n b max a -=，2}(1n a n =，2，3，?；{max m ，}n 为m ，n 较大者）
．求证：数列{}n b 是单调递减数列． 9．设a 是一个自然数，f （a ）是a 的各位数字的平方和，定义数列1{}:n a a 是自然数，
*1()(n n a f a n N -=∈，2)n ． （Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ； （Ⅱ）若1100a ，求证：12a a >； （Ⅲ）求证：存在*m N ∈，使得100m a <．
10．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且2(12|cos |)|sin |22
n n n n a a ππ+=++，*n N ∈， （1）求*21()k a k N -∈；
（2）数列{}n y ，{}n b 满足21n n y a -=，11b y =，且当2n 时2
222121
111
(
)n n n b y y y y -=++?+．证明当2n 时，有
1222
1
(1)n n b b n n n +-=
+； （3）在（2）的条件下，试比较1231111
(1)(1)(1)(1)n
b b b b +++?+与4的大小关系．
11．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果函数
2()x a
f x bx c
+=
-有且仅有两个不动点0和2． （1）试求b 、c 满足的关系式．
（2）若2c =时，各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =，
求证：1111
(1)(1)n n a a n n
a e a +-<<-． （3）设1
n n
b a =-
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：2009200812009T ln T -<<． 12．数列{}(*)n a n N ∈有100项，1a a =，对任意[2n ∈，100]，存在n i a a d =+，[1i ∈，1]n -，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P ． （1）若11a =，2d =，求4a 所有可能的值；
（2）若{}n a 不为等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P ；
（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，使用a ，d ，c 表示12100a a a ++?+． 13．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，1
1,22,
,2,
k k n k
k n c b n +?<
i i i a c n N =∈∑．
14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，
1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记n c =
*n N ∈
，证明：12n c c c ++?+<，*n N ∈． 15．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．
（1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；
（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1
122
n n n S b b +=-
，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和． ①求数列{}n b 的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．
16．（2019?北京）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、?、第m i 项12()m i i i <
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；
（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)?，求数列{}n a 的通项公式．
17．（2019?新课标Ⅰ）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0i p i =，1，?，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=，2，?，7)，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=，1，2，?，7)为等比数列； ()ii 求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．
18．（2018?江苏）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．
（1）设10a =，11b =，2q =，若1||n n a b b -对1n =，2，3，4均成立，求d 的取值范围；
（2）若110a b =>，*m N ∈，(1q ∈，证明：存在d R ∈，使得1||n n a b b -对2n =，3，?，1m +均成立，并求d 的取值范围（用1b ，m ，q 表示）．
19．（2018?浙江）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +． （Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式．
20．（2018?上海）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -，则称{}n b 与{}n a “接近”． （1）设{}n a 是首项为1，公比为1
2
的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；
（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|i M x x b ==，1i =，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；
（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，?，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围．
21．（2017?北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记11{n c max b a n =-，22b a n -，?，}(1n n b a n n -=，2，3，)?，其中1{max x ，2x ，?，}s x 表示1x ，2x ，?，s x 这s 个数中
最大的数．
（1）若n a n =，21n b n =-，求1c ，2c ，3c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m 时，n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得m c ，1m c +，2m c +，?是等差数列．
22．（2017?江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++?+++?++=对任意正整数()n n k >总成立，则称数列
{}n a 是“()P k 数列”
． （1）证明：等差数列{}n a 是“P （3）数列”；
（2）若数列{}n a 既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{}n a 是等差数列． 23．（2017?浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，*11(1)()n n n x x ln x n N ++=++∈，证明：当*
n N ∈时，
（Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1
122
n n n n x x x x ++-； （Ⅲ）
12
11
22n
n n x --． 24．（2016?浙江）设数列满足1
||12
n n a a +-
，*n N ∈． （Ⅰ）求证：1*1||2(||2)()n n a a n N --∈
（Ⅱ）若3
||()2
n n a ，*n N ∈，证明：||2n a ，*n N ∈．
25．（2016?上海）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P ．
（1）若{}n a 具有性质P ，且11a =，22a =，43a =，52a =，67821a a a ++=，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==；5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；
（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈，求证：“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”．
26．（2016?天津）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n N +∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项．
（1）设221n n n c b b +=-，n N +∈，求证：数列{}n c 是等差数列；
（2）设1a d =，22
1
(1)n
k n k
k T b ==-∑，*
n N ∈，求证：2111
2n
i i
T d =<∑
． 27．（2016?四川）已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中0q >，*n N ∈．
（Ⅰ）若22a ，3a ，22a +成等差数列，求n a 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线22
21n y x a -=的离心率为n e ，且25
3
e =，证明：121433n n n n e e e --+++>．
28．（2016?北京）设数列1:A a ，2a ，?，N a (2)N ．如果对小于(2)n n N 的每个正整数k 都有k n a a <，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列:2A -，2，1-，1，3，写出G （A ）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A 中存在n a 使得1n a a >，则G （A ）≠?；
（Ⅲ）证明：若数列A 满足11(2n n a a n --=，3，?，)N ，则G （A ）的元素个数不小于1N a a -． 29．（2016?江苏）记{1U =，2，?，100}，对数列*{}()n a n N ∈和U 的子集T ，若T =?，定义0T S =；若1{T t =，2t ，?，}k t ，定义12k T t t t S a a a =++?+．例如：{1T =，3，66}时，1366T S a a a =++．现设*{}()n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{2T =，4}时，30T S =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数(1100)k k ，若{1T ?，2，?，}k ，求证：1T k S a +<； （3）设C U ?，D U ?，C D S S ，求证：2C D C
D
S S S +．
30．（2018?天津）设函数123()()()()f x x t x t x t =---，其中1t ，2t ，3t R ∈，且1t ，2t ，3t 是公差为d 的等差数列．
（Ⅰ）若20t =，1d =，求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若3d =，求()f x 的极值；
（Ⅲ）若曲线()y f x =与直线2()y x t =---d 的取值范围．
2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：数列综合题（30题）
参考答案与试题解析
一、解答题（共30小题）
1．（2017?河西区二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*(1)()n S n n n N =+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131
n n n b b b b
a =+++?+++++，求数列{}n
b 的通项公式； （Ⅲ）令*()4
n n
n a b c n N =
∈，求数列{}n 的前n 项和n T ． 【考点】82：数列的函数特性；84：等差数列的通项公式；8E ：数列的求和 【专题】15：综合题
【分析】（Ⅰ）当1n =时，112a S ==，当2n 时，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+--=，由此能求出数列{}n a 的通项公式． （
Ⅱ）由
31223(1)31313131
n n n b b b b
a n =
+++?+++++，知
31121231
3131313131n n n n n b b b b b
a +++=+++?+++++++，所以111231
n n n n b a a +++=-=+，由此能求出n b ．
（Ⅲ）
(31)34
n n n n
n a b c n n n =
=+=+，所以23123(1323333)(12)
n n n
T c c c n n =+++?+
=?+?+?+?+?+++?+，
令
2
3
1323333n
n H n =?+?+?+?+?，由错位相减法能求出1(21)33
4
n n n H +-?+=，由此
能求出数列{}n 的前n 项和．
【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，112a S ==， 当2n 时，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+--=， 知12a =满足该式，
∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =．（2分）
（Ⅱ）
31223(1)31313131
n n n b b b b
a n =
+++?+++++① ∴311212313131313131n n
n n n b b b b b
a +++=
+++?+++++++②（4分） ②-①得：
1
11231
n n n n b a a +++=-=+，
112(31)n n b ++=+，
故*2(31)()n n b n N =+∈．（6分） （Ⅲ）(31)34
n n n n
n a b c n n n =
=+=+， 23123(1323333)(12)n n n
T c c c n n ∴=+++?+
=?+?+?+?+?+++?+（8分）
令231323333n n H n =?+?+?+?+?，① 则234131323333n n H n +=?+?+?+?+?② ①-②得：231233333n n n H n +-=+++?+-?
13(13)313
n n n +-=-?-
∴1(21)33
4
n n n H +-?+=，?（10分）
∴数列{}n 的前n 项和1(21)33(1)
42
n n n n n T +-?++=+?（12分）
【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．
2．（2016?天津一模）数列{}n a 满足12a =，2
166()n n
n a a a n N ?+=++∈ （Ⅰ）设5log (3)n n C a =+，求证{}n C 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设21166n n n n b a a a =
--+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：51
164
n T -<-．
【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式；87：等比数列的性质 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想
【分析】()I 由已知可得，213(3)n n a a ++=+，利用构造法令5log (3)n n C a =+，则可得1
2n n
c c +=，从而可证数列{}n c 为等比数列
()II 由()I 可先求数列n c ，代入5log (3)n n c a =+可求n a ()III 把()II 中的结果代入整理可得，111
66
n n n b a a +=
-
--，则代入12n n T b b b =++?+相消可证
【解答】解：（Ⅰ）由2
166n n
n a a a +=++得213(3)n n a a ++=+， ∴1(3)(3)
55log 2log n n a a +++=，即12n n c c +=
{}n c ∴是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）又15log 51c ==，
12n n c -∴=，即(3)
15log 2n a n +-=，
1
235n n a -∴+=
故1
253n n a -=- （Ⅲ）2111116666n n n n n n b a a a a a +=-=--+--，2111111
66459
n
n n T a a +∴=-=-----． 又2
21
11
0591659n
<
=--． 51164
n T ∴-<-
【点评】本题考查了利用定义证明等比数列：数列{}n a 为等比数列?
1
0n
n a q a -=≠；利用构造法求数列的通项公式及数列的求和公式，属于对基本知识的综合考查．
3．（2015?淮安校级四模）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足5452S a a =+，934a a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （3）是否存在正整数m ，使得
221
m
m S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．
【考点】87：等比数列的性质；83：等差数列的性质 【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列
【分析】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q 由题意列式求出公差和公比，则等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）分2m k =和21m k =-，利用12m m m a a a ++=即可求出满足该等式的正整数m 的值；
（3）对于*
k N ∈，有22(121)2(13)13213
k k k k k S k +--=+=-+-．
21212122132313k k k k k k S S a k k ---=-=-+-=-+．假设存在正整数m ，使得
221
m
m S S -恰好为数列{}n a 中的一项，设*
221()m m S L L N S -=∈，则
221
1313m m m L m --+=-+，变形得到12(3)3(1)(1)m L L m --=--，由此式得到L 的可能取值，然后依次分类讨论求解． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则11a =，22a =，31a d =+，42a q =，914a d =+． 5452S a a =+，
1234a a a a ∴++=，即42d q +=，
又934a a a =+． 1412d d q ∴+=++．
解得：2d =，3q =．
∴对于*k N ∈，有12121(1)221,23k k k a k k a --=+-=-=．
故*1
2,2123,2n n n n k a k N n k
-=-??
=∈??=?； （2）若2m k =，则由12m m m a a a ++=，得
123(21)23k k k -+=，解得：1k =，则2m =； 若21m k =-，则由1(21)2321k k k --=+， 此时左边为偶数，右边为奇数，不成立． 故满足条件的正数为2； （3）对于*k N ∈，有
22(121)2(13)13213
k k k k k S k +--=+=-+-．
21212122132313k k k k k k S S a k k ---=-=-+-=-+． 假设存在正整数m ，使得
221
m
m S S -恰好为数列{}n a 中的一项， 又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设
*221
()m
m S L L N S -=∈， 则221
1313m m m L m --+=-+，变形得到 12(3)3(1)(1)m L L m --=--①．
1m ，1L ，130m ->， 3L ∴．
又*L N ∈，故L 可能取1，2，3．
当1L =时，1(3)30m L -->，2(1)(1)0L m --=，
∴①不成立；
当2L =时，12(32)3(21)(1)m m --=--，即1231m m -=-． 若1m =，1231m m -≠-，
令2*11
(,2)3
m m m T m N m --=∈，
则2211(1)11
33
m m m m m m T T +-+---=-
22
172()2232233
m m
m m m -++
-++== 22
2223
03m -+?+<．
因此，231T T =>>?，
故只有21T =，此时2m =，22L a ==． 当3L =时，12(33)3(31)(1)m m --=--． 1m ∴=，33L a ==．
综上，存在正整数1m =，使得
2
1
S S 恰好为数列{}n a 中的第三项，
存在正整数2m =，使得
4
3
S S 恰好为数列{}n a 中的第二项． 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，考查了学生的逻辑思维能力，是压轴题． 4．（2016?辽宁校级模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11
2
a =，120(2)n n n a S S n -+=．
（1）判断1
{
}n
S 是否为等差数列？并证明你的结论； （2）求n S 和n a ；
（3）求证：222
1211
24n S S S n
++?+-． 【考点】83：等差数列的性质；8E ：数列的求和；8H ：数列递推式；8K ：数列与不等式的综合
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】（1）当2n 时，112n n n n n a S S S S --=-=-，两边同除以1n n S S -，可得1
112n n S S --=，从而可得1
{
}n
S 为等差数列； （2）由（1）知1
{
}n
S 是以首项为2，公差为2的等差数列，从而可得n S ，利用120(2)n n n a S S n -+=，可求n a ；
（3）利用12n S n =
，表示222
12n S S S ++?+，利用放缩法变为
22122211111111
()(1)41241223(1)n S S n n n
+?+=++?++++?+??-?，
从而利用裂项法求和，即可证得．
【解答】解：（1）111
2
S a ==
，∴112S =
当2n 时，112n n n n n a S S S S --=-=-，∴1
11
2n n S S --=
∴1
{
}n
S 为等差数列，首项为2，公差为2?（4分） （2）由（1）知
12(1)22n n n S =+-?=，∴1
2n S n
=?（6分） 当2n 时，1111
22
22(1)2(1)
n n n a S S n n n n -=-=-=---
1
,12
1,22(1)n n a n n n ?=??∴=???-?-?
（9分）
（3）
2212221111111111111111()(1)(11)(2)41241223(1)421424n S S n n n n n n n
+?+=++?++++?+=+-+?+-=-=-?
??-?-（13分）
【点评】本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查数列的通项的求解，关键是利用当
2n 时，1n n n a S S -=-，巧妙构建新数列，同时考查放缩法，考查裂项法求和，有一定的
综合性．
5．（2016?南京三模）已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中1n =，2，3，?． （Ⅰ）若11a =，n b n =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=，且11b =，22b =． （ⅰ）记
61(1)n
n a n -=，求证：数列{}n 为等差数列；
（ⅱ）若数列{}n a
n
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求1a 应满足的条件．
【考点】83：等差数列的性质；8H ：数列递推式 【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论
【分析】（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出6n n b b +=，然后求出1n n
c +-为定值，便可证明数列{}
n 为等差数列；
（ⅱ）数列6{}n i a +均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当76i i a =时和当76
i i
a ≠时，数列{}n a
n
是否满足题中条件，便可求出1a 应满足的条件．
【解答】解：（Ⅰ）当2n 时，
有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+?+- 1121n a b b b -=+++?+（2分）
2(1)11222
n n n n
-?=+=-+．
（3分）
又因为11a =也满足上式，
所以数列{}n a 的通项为2122
n n n
a =-+．（4分）
（Ⅱ）由题设知：0n b >，对任意的*n N ∈有21n n n b b b ++=，132n n n b b b +++=得31n n b b +=， 于是又361n n b b ++=，故6n n b b +=（5分）
6511n b b -∴==，6422n b b -==，6332n b b -==，6241n b b -==，615611
,22
n n b b b -===
（ⅰ
）
165616166162636411
12217(1)22
n n
n n n n n n n n c a a b b b b b b n ++--++++-
=-=+++++=++++
+=，
所以数列{}n 为等差数列．（7分）
（ⅱ）设6(0)n n i d a n +=，（其中i 为常数且{1i ∈，2，3，4，5，6})，
所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i d d a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++= 所以数列6{}n i a +均为以7为公差的等差数列．（9分） 设6777(6)7766666666i i k i i k i i
i k a a a a k f k i i k i k i k
+++--
+====+++++， （其中6(0)n k i k =+，i 为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数）， 当76i i a =时，对任意的6n k i =+有76
n a n =；（10分） 由76i i a =，{1i ∈，2，3，4，5，6}知1741111,,,,,632362
a =--； 此时7
6
重复出现无数次． 当
76
i i a ≠
时，
1777117666()()()()6(1)666(1)66[6(1)](6)
i i k k i
i i i
a a i i f f a a k i k i k i k i k i k i +-
-
--=-=--=-+++++++++ ①若76i i
a >，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列6{}6k i a k i ++为单调减数列； ②若76
i i
a <
，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列6{}6k i a k i ++为单调增数列；
（12分）6{
}(16k i
a i k i
+=+，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各
出现一次，
即数列{}n a
n
中任意一项的值最多出现六次．
综上所述：当174111
{,,,,}63236a B ∈--=时，数列{}n a n 中必有某数重复出现无数次．
当1a B ?时，数列{}n a
n
中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（14分）
【点评】本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．
6．（2015?湖北二模）数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}n b 满足1(1)n n n n b a a +=+-，n N +∈． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n b 的前100项和100S ； （Ⅱ）若数列{}n b 是公差为2的等差数列，求数列{}n a 的通项公式． 【考点】85：等差数列的前n 项和；8H ：数列递推式 【专题】32：分类讨论；54：等差数列与等比数列
【分析】（Ⅰ）先求出等差数列{}n a 的通项公式n a ，再求出{}n b 的通项公式，计算{}n b 的前100项和；
（Ⅱ）先求出等差数列{}n b 的通项公式，再根据1(1)n n n n b a a +=+-，讨论n 为奇数或偶数时，求出n a ．
【解答】解：（Ⅰ）等差数列{}n a 中，11a =，22a =，n a n ∴=； 当n 为奇数时，11n n n b a a +=-=，即135211n b b b b -===?==； 当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=+，则25b =，49b =，613b =， {}n b ∴的前100项和为 10012100S b b b =++?+
139924100()()b b b b b b =++?++++?+
50494
150(505)2
??=?+?+
5200=；?（6分）
（Ⅱ）{}n b 是公差为2的等差数列，且1211b a a =-=，
21n b n ∴=-；
当n 为奇数时，121n n n b a a n +=-=-， 当n 为偶数时，121n n n b a a n +=+=-； 即2122122124341n n n n n n b
a a n
b a a n --+=-=-??=+=-?，
21212n n a a +-∴+= 21212n n a a +-∴=-；
又11a =，
1351a a a ∴===?=，
211n a -∴=，242n a n =-；
∴()()1,22,n n a n n ??=?-??
为奇数为偶数．?（12分）
【点评】本题考查了等差数列的通项公式的应用问题，也考查了数列前n 项和的计算问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．
7．（2015?高邮市校级模拟）已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34S a =，3542a a a +=+ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 前2k 项和2k S ；
（3）在数列{}n a 中，是否存在连续的三项m a ，1m a +，2m a +，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由．
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和；89：等比数列的前n 项和 【专题】54：等差数列与等比数列
【分析】（1）等差数列和等比数列的通项公式即可得出； （2）利用等差数列的通项公式即可得出；
（3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项1a ，2a ，3a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整
数m 的值为1．分类讨论2m k a a =，21m k a a -=，证明不成立即可． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则11a =，22a =，31a d =+，42a q =，512a d =+． 34S a =，12(1)2d q ∴+++=，即42d q +=，
又3542a a a +=+，11222d d q ∴+++=+，即32d q =，解得2d =，3q =．
∴对于*k N ∈，有211(1)221k a k k -=+-=-，
故12,2123,2n n n n k a n k
-=-??
=??=?，*k N ∈．
（2
）
21221321242(121)2(13)
()()[13(21)]2(1333)13213
k k k
k k k k k S a a a a a a k k --+--=++?++++?+=++?+-++++?+=
+=-+-．
（3）在数列{}n a 中，仅存在连续的三项1a ，2a ，3a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1，下面说明理由
若2m k a a =，则由212m m m a a a +++=，得123232(21)k k k -?+?=+． 化简得14321k k -=+，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立． 若21m k a a -=，则由212m m m a a a +++=，得1(21)(21)223k k k --++=?? 化简得13k k -=， 令*1
()3k k k T k N -=
∈，则111120333
k k k k k k k k
T T +-+--=-=<． 因此，1231T T T =>>>?，故只有11T =，此时1K =，2111m =?-=．
综上，在数列{}n a 中，仅存在连续的三项1a ，2a ，3a ，按原来的顺序成等差数列，此时正整数m 的值为1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n 项和公式等基础知识与基本方法，属于难题．
8．（2016?丰台区一模）已知数列{}n a 是无穷数列，1a a =，2(a b a =，b 是正整数），
11
1
11
(
1),(1)n n
n n n n n n
n a a a a a a a
a a --+--?>??=????．
（Ⅰ）若12a =，21a =，写出4a ，5a 的值；
（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1()k a k N =∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1；
（Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记21{n n b max a -=，2}(1n a n =，2，3，?；{max m ，}n 为m ，n 较大者）．求证：数列{}n b 是单调递减数列． 【考点】82：数列的函数特性
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；54：等差数列与等比数列 【分析】()I 利用递推关系即可得出．
（Ⅱ）*1()k a k N =∈，假设1k a m +=，对m 分类讨论，利用已知递推关系即可证明． （Ⅲ）由条件可知1(1n a n >=，2，3，)?．由于{}n a 中任何一项不等于1，可得1(1n n a a n +≠=，2，3，)?．分类讨论：①若212n n a a ->，则21n n b a -=．②若212n n a a -<，则2n n b a =．再利用递推关系即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）12a =，21a =，
∴
21112a a =<，132
2a
a a ∴==． 同理可得：3422a a a =
=，354
1a
a a ==． （Ⅱ）*1()k a k N =∈，假设1k a m +=， ①当1m =时，依题意有231k k a a ++==?=， ②当1m >时，依题意有2k a m +=，31k a +=， ③当1m <时，依题意有21k a m +=
，321k a m +=，41k a m +=，51
k a m
+=，61k a +=．
由以上过程可知：若*1()k a k N =∈，在无穷数列{}n a 中，第k 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{}n a 中有无穷项为1．
（Ⅲ）证明：由条件可知1(1n a n >=，2，3，)?，