解决排列组合问题常见策略
一、合理选择主元素（确定谁选谁、选过的能否再选，用分步乘法计数原理）
1、公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
2、公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
3、把4封不同的信全部任意投入到3个信箱中，不同的投法有多少种？
4、某公车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有多少种？
5、三个比赛项目，六人报名参加，下列条件下各有多少种不同方法？
(1)每人参加一项; (2)每项一人且每人至多参加一项；（3）每项一人且每人参加项目数不限
6、在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排1次考试，则有多少种不同的安排方案？
二、特殊元素优先法（合理分类，准确分步）
1、6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
2、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？
3、0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？
4、上午要上语文、数学、体育和外语四门课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同的排课方案有多少种？
5、5人站成一排，A不能站两端，B不能站中间，有多少种不同的站法？
6、五列火车停在五条轨道上，若甲车不停在第一轨道上，丙车不停在第三轨道上，则不同的停车方法有多少种？
8、7、从6名短跑运动员种选4人参加4×100米接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？
三、相邻问题——捆绑法
1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？
2、三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？
3、10个人站成一排，规定甲乙两人之间必须有4个人，不同的排法有_______种.
4、一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有五个连续空位的坐法种数为______种.
四、不相邻问题——插空法
1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？
2、三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？
3、6个停车位置，有3辆车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有_________种。
4、一排8个座位,3个去坐,要求每人的左右两边都有空位置的坐法有多少种?
5、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
五、顺序固定问题
1、有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？
六、指标问题采用“隔板法”（相同的元素分成若干部分，每部分至少一个）
1、有10个三好生名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案。
2、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
七、分排问题用“直排法”
1、七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？
2、三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？（答案同上）
3、8人分两排坐，每排4人，限定甲必须坐在前排，乙丙必须坐在同一排，共有多少种安排方法？
八、列举法（题中附加条件增多，直接解决困难时，用列举逐步寻求规律）
1、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？
九、分组分配问题 (包括平均分组和非平均分组）
1、现有4套不同的练习题：
1）平均分给2名同学有多少种不同的分法？
2）平均分成2份，有多少种不同的分法？
2、6本不同的书按下列方法分配，有多少种分法？
⑴分给3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；（各组元素数目确定，分配对象确定）
⑵分给3人，1人1本，1人2本，1人3本；（各组元素数目确定，分配对象不固定）
⑶平均分给3人；（各组元素数目相等，分配给具体对象）
⑷全部分给5个学生，每人至少1本；
⑸分给4个学生，每人至多2本，每人至少1本；（各组数目不相等，分配对象的数额不固定） ⑹平均分成3组； （平均分组，无分配对象） ⑺分成3组，一组3本，一组2本，一组1本； （非平均分组，无分配对象） ⑻分成4组，一组3本，其余各组各1本；
3、4个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的方法共有多少种？
4、将四名教师分配到三所中学任教，每所中学至少一名，则不同的分配方案共有？同上
5、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子种，则恰有一个空盒的方法有________种。
6、n 个不同的球放入n －1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？
1、【海南】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有
种．（用数字作答）
2、【全国】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种
B ．60种
C ．100种
D ．120种
3、【北京理】记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种
Ｂ．960种
Ｃ．720种
Ｄ．480种
4、【四川理】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ） （A ）288个
（B ）240个
（C ）144个
（D ）126个
5、【辽宁文】将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不
同的排列方法种数为（ ） A ．18
B ．30
C ．36
D ．48
6、【全国】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数字作答）
7、【重庆理】某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种。（以数字作答） 8、【重庆文】要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为
。（以数字作答）
9、【陕西理】安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
10、【浙江文】某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)．
11、【江苏】某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有
种
不同选修方案。（用数值作答）
12、【宁夏理】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有
种．（用数字作答）
解决排列组合问题常见策略
一、合理选择主元素（确定谁选谁、选过的能否再选，用分步乘法计数原理）
1、公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
2、公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？
3、把4封不同的信全部任意投入到3个信箱中，不同的投法有多少种？81
4、某公车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有多少种？510
5、三个比赛项目，六人报名参加，下列条件下各有多少种不同方法？
(1)每人参加一项;63 (2)每项一人且每人至多参加一项；6*5*4 （3）每项一人且每人参加项目数不限 36
6、在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排1次考试，则有多少种不同的安排方案？5*4*3 排列（2）分级训练A 组T4 课本P13 T2
二、特殊元素优先法（合理分类，准确分步）
1、6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
＝480（种）或
（种）
2、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？ 781313334
4
=+A A A A 种
3、0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？
216
341
445=?+A A A
5、上午要上语文、数学、体育和外语四门课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同的排课方案有多少种？12排列（2）分级C 组T14
5、5人站成一排，A 不能站两端，B 不能站中间，有多少种不同的站法？60 第三课时排习题课分级训练AT6
6、五列火车停在五条轨道上，若甲车不停在第一轨道上，丙车不停在第三轨道上，则不同的停车方法有多少种？78 第三课时排习题课分级训练C T9
7、从6名短跑运动员种选4人参加4×100米接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？252 第七课时排列组合应用题习题课P33变式引申T2
9、课本P28 B 组T4 三、相邻问题——捆绑法
1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？53
53A A
3、三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？4
43322A A A ??
3、10个人站成一排，规定甲乙两人之间必须有4个人，不同的排法有_______种.4
258
25A A A =403200
4、一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有五个连续空位的坐法种数为______种.4
2
45480A A =
四、不相邻问题——插空法
1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？
3
5
44A A
3、三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？4
4
33A A ?
3、6个停车位置，有3辆车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有_________种。24
4、一排8个座位,3个去坐,要求每人的左右两边都有空位置的坐法 种数? 24
5、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120） 五、顺序固定问题
1、有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？4
733
77A A A =
六、指标问题采用“隔板法”（相同的元素分成若干部分，每部分至少一个）
1、有10个三好生名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案。5
9C
2、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？1653
11
=C
3、将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。286
3、12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少？
因为每盒可空，所以隔板之间允许无球。现建立如下数学模型，将三块隔板与12个小球排成一排，则如图000110000010000中隔板将这一排球分成4块，即球的放法有C315=455 七、分排问题用“直排法”
2、七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？77A 2、三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？（答案同上）
3、8人分两排坐，每排4人，限定甲必须坐在前排，乙丙必须坐在同一排，共有多少种安排方法？2152154254458640A A A A A A +=
八、列举法（题中附加条件增多，直接解决困难时，用列举逐步寻求规律）
1、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种？9
（与第二教材上的四人分贺卡类似） 九、分组分配问题 (包括平均分组和非平均分组） 1、现有4套不同的练习题：
3） 平均分给2名同学有多少种不同的分法？ 4） 平均分成2份，有多少种不同的分法？
解：1）甲学生得2套，有24C 种，乙学生得2套有22C 种分法，根据乘法原理 共有2
4C 2
2C ＝6种分法
2)按1）分法有2
2P
种重复，所以不同的分法有
2
22224P C C =3种 实验检验：把A 、B 、C 、D 四个字母分成2份：⑴AB,CD ； ⑵AC,BD ；⑶AD,BC ； ⑷BC,AD ； ⑸BD,AC ；⑹CD,AB ；
从这个具体例子可以发现，AB,AC,AD,BC,BD,CD 各出现两次，重复计为2
2P 点拨：类似地，如果把A,B,C,D,E,F 六个字母平均分成3份，出现3
3P 重复 一般地，把4个元素平均分成2份，不同的分法有2
22
22
4P C C ，
6个元素平均分成3份，不同的分法有
33
2
2
2426P C C C , 8个元素平均分成4份，不同的分法有44
2
2
242628P C C C C
2、6本不同的书按下列方法分配，有多少种分法？
⑴分给3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本； （各组元素数目确定，分配对象确定）1
6
C 25C 3
3C =60 ⑵分给3人，1人1本，1人2本，1人3本； （各组元素数目确定，分配对象不固定）1
6
C 25C 3
3C 33A =360 ⑶平均分给3人； （各组元素数目相等，分配给具体对象）2
6
C 24C 2
2C =90
⑷全部分给5个学生，每人至少1本；（1
6
C 15C 14C 1
3
C 22C 55A ）/44A =1800 ⑸分给4个学生，每人至多2本，每人至少1本；（各组数目不相等，分配对象的数额不固定）（2
6C 24C 1
2
C 11C 44P ）/(22P 22P )=1080 ⑹平均分成3组； （平均分组，无分配对象）（2
6
C 24C 22C ）/3
3P =15
⑺分成3组，一组3本，一组2本，一组1本； （非平均分组，无分配对象）3
6C 2
3
C 11C =60 ⑻分成4组，一组3本，其余各组各1本；3
6
C 1
3
C 12C 11C ）/33P =20 3、4个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的方法共有多少种？2
34
3C A
4、将四名教师分配到三所中学任教，每所中学至少一名，则不同的分配方案共有？同上36
5、四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子种，则恰有一个空盒的方法有________种。144
6、n 个不同的球放入n －1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？2
n
C 11
n n A
--＝12
n -n ！
1、【海南】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有
种．（用数字作答）240
2、【全国】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ） A ．40种
B ．60种
C ．100种
D ．120种
3、【北京理】记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ B ） Ａ．1440种
Ｂ．960种
Ｃ．720种
Ｄ．480种
4、【四川理】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ） （A ）288个
（B ）240个
（C ）144个
（D ）126个
5、【辽宁文】将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不
同的排列方法种数为（ B ） A ．18
B ．30
C ．36
D ．48
6、【全国】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有___36__种。（用数字作答）
7、【重庆理】某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有_____25______种。（以数字作答） 8、【重庆文】要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 288 。（以数字作答）
9、【陕西理】安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 210 种.（用数字作答）
10、【浙江文】某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是______266____(用数字作答)．
A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有75种
11、【江苏】某校开设9门课程供学生选修，其中,,
不同选修方案。（用数值作答）
12、【宁夏理】某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有
240种．（用数字作答）