18.已知函数f (x )=mx 2+(m -3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m 的取值范围是( ) A .(0,1]
B .(0,1)
C .(-∞,1)
D .(-∞,1]
19.已知1x 是方程lgx +x =3的解,2x 是310=+x x
的解,求21x x +
( )
A .23
B .32
C .3
D .31
20.方程0lg =-x x 根的个数
( )
A .无穷多
B .3
C .1
D .0
二、填空题
21.方程e x -x -2=0在实数范围内的解有________个.
22.用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为5.20
=x ,那么下一个有根的区间是 .
23.二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R )的部分对应值如下表:
则使ax 2+bx 24.已知关于x 的不等式ax -1x +1<0的解集是(-∞,-1)∪????-1
2,+∞.则a =________. 25.定义在R 上的偶函数y =f (x )在(-∞,0]上递增,函数f (x )的一个零点为-1
2,则满足f (log 14
x )≥0
的x 的取值集合
三、解答题
26.证明方程(x -2)(x -5)=1有两个相异实根,且一个大于5,一个小于2.
27.二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的零点是-2和3,当x ∈(-2,3)时,f (x )<0,且f (-6)=36,求二次函数的解析式.
28.求函数y =x 3-2x 2-x +2的零点,并画出它的简图.
29.若函数f (x )=log 3(ax 2-x +a )有零点,求a 的取值范围.
30.已知函数f (x )=a x +x -2
x +1
(a >1).
(1)证明:函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.
答案: 1.[答案] D
[解析] 对于函数f (x )=e x +3x -6来说f (1)=e -3<0,f (2)=e 2>0∴f (1)f (2)<0,故选D. 2.[答案] D
[解析] ∵f (x )=13x -lnx (x >0),∴f (e )=13e -1<0,f (1)=13>0,f (1e )=1
3e +1>0,
∴f (x )在(1,e )内有零点,在(1
e ,1)内无零点.故选D.
3[答案] C
[解析] ∵f (0)=-1<0,f (1)=e -1>0,即f (0)f (1)<0, ∴由零点定理知,该函数零点在区间(0,1)内. 4[答案] B
[点评] 要准确掌握概念,“零点”是一个数,不是一个点. 5. [答案] B
[解析] 因为f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,它有三个零点,即f (x )的图象与x 轴有三个交点,故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数.∴x 1+x 2+x 3=0.
6. [答案] D
[解析] ∵f (x )为单调减函数,x ∈[a ,b ]且f (a )·f (b )<0,∴f (x )在[a ,b ]内有惟一实根x =0. 8. [答案] C
[解析] 若a =0,则b ≠0,此时f (x )=bx +c 为单调函数, ∵f (1)>0,f (2)<0,∴f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点;
若a ≠0,则f (x )为开口向上或向下的抛物线,若在(1,2)上有两个零点或无零点,则必有f (1)·f (2)>0, ∵f (1)>0,f (2)<0,∴在(1,2)上有且仅有一个零点,故选C. 9[答案] B
[解析] ∵f ????14=214-log 1214=42-2<0,f ????12=2-1>0,f (x )在x >0时连续,∴选B. 10. [答案] C
[解析] 令f (x )=e x -x -2,则f (1)·f (2)=(e -3)(e 2-4)<0,故选C. 11. [答案] C
[解析] 由条件2a +b =0,∴b =-2a ∴g (x )=-ax (2x +1)的零点为0和-12.
12. [答案] C
[解析] 令x 2+2x -3=0,∴x =-3或1∵x ≤0,∴x =-3;令-2+ln x =0,∴ln x =2 ∴x =e 2>0,故函数f (x )有两个零点. 13. [答案] C
[解析] 令f (x )=x 3-????12x ,则f (0)=-1<0,f (1)=1
2>0,故选C. 14. [答案] B
[解析] 由于f (x )=x 2-ax +b 有两个零点2和3,∴a =5,b =6.∴g (x )=6x 2-5x -1有两个零点1和-16
.
15. [答案] A
[解析] 令f (x )=0得,(x -1)ln(x -2)
x -3=0,∴x -1=0或ln(x -2)=0,∴x =1或x =3,
∵x =1时,ln(x -2)无意义,x =3时,分母为零,∴1和3都不是f (x )的零点,∴f (x )无零点,故选A.
16. [答案] C
[解析] ∵α、β是函数f (x )的两个零点,
∴f (α)=f (β)=0,又f (x )=(x -a )(x -b )-2,∴f (a )=f (b )=-2<0.结合二次函数f (x )的图象可知,a 、b 必在α、β之间.
17. [答案] B
[解析] 设方程x 2+(m -3)x +m =0的两根为x 1,x 2,则有Δ=(m -3)2-4m ≥0,且x 1+x 2=3-m >0,x 1·x 2=m >0,解得018. [答案] D
[解析] 解法1:取m =0有f (x )=-3x +1的根x =1
3>0,则m =0应符合题设,所以排除A 、B ,
当m =1时,f (x )=x 2-2x +1=(x -1)2它的根是x =1符合要求,排除C.∴选D.
解法2:直接法,∵f (0)=1,∴(1)当m <0时必成立,排除A 、B ,
(2)当m >0时,要使与x 轴交点至少有一个在原点右侧,则??
?
m >0,
Δ=(m -3)2
-4m >0,
-m -3
2m >0,
∴0(3)当m =0时根为x =1
3>0.∴选D.
23. [答案] (-∞,-2)∪(3,+∞) 24. [答案] -2 [解析]
ax -1x +1
<0?(ax -1)(x +1)<0,∵其解集为(-∞,-1)∪(-1
2,+∞),
∴a <0且-1和-1
2
是(ax -1)(x +1)=0的两根,解得a =-2.
[点评] 由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知,-1
2是ax -1=0的根,∴a =-2.
25. [解析] ∵-12是函数的零点,∴f ????-12=0,∵f (x )为偶函数,∴f (1
2)=0, ∵f (x )在(-∞,0]上递增,f (log 14x )≥f ????-12,∴0≥log 14
x ≥-1
2,∴1≤x ≤2, ∵f (x )为偶函数,∴f (x )在[0,+∞)上单调减,又f (log 14x )≥f (12),∴0≤log 14
x ≤12,∴12≤x ≤1,∴
1
2≤x ≤2.故x 的取值集合为{x |1
2
≤x ≤2}.
26. [解析] 令f (x )=(x -2)(x -5)-1 ∵f (2)=f (5)=-1<0,且f (0)=9>0. f (6)=3>0.∴f (x )在(0,2)和(5,6)内都有零点,
又f (x )为二次函数,故f (x )有两个相异实根,且一个大于5、一个小于2. 27. [解析] 由条件知f (x )=a (x +2)(x -3)且a >0 ∵f (-6)=36,∴a =1∴f (x )=(x +2)(x -3) 满足条件-228. [解析] 因为x 3-2x 2-x +2=x 2(x -2)-(x -2)=(x -2)(x 2-1)=(x -2)(x -1)(x +1), 所以函数的零点为-1,1,2.3个零点把x 轴分成4个区间: (-∞,-1],[-1,1],[1,2],[2,+∞].
在这4个区间内,取x 的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表:
y … -4.38
1.88
2
1.13
-0.63
2.63
…
29. [解析] ∵f (x )=log 3(ax 2-x +a )有零点,∴log 3(ax 2-x +a )=0有解.∴ax 2-x +a =1有解. 当a =0时,x =-1.
当a ≠0时,若ax 2-x +a -1=0有解, 则Δ=1-4a (a -1)≥0,即
4a 2-4a -1≤0,解得
1-22≤a ≤1+2
2
且a ≠0. 综上所述,1-22≤a ≤1+2
2
.
30. [解析] (1)任取x 1、x 2∈(-1,+∞),不妨设x 10,ax 2-x 1>1,且ax 1>0.
∴ax 2-ax 1=ax 1(ax 2-x 1-1)>0.又∵x 1+1>0,x 2+1>0,
∴x 2-2x 2+1-x 1-2x 1+1=(x 2-2)(x 1+1)-(x 1-2)(x 2+1)(x 1+1)(x 2+1)=3(x 2-x 1)
(x 1+1)(x 2+1)
>0 于是f (x 2)-f (x 1)=ax 2-ax 1+x 2-2x 2+1-x 1-2x 1+1>0,故函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.
(2)证法1:设存在x 0<0(x 0≠-1),满足f (x 0)=0,则ax 0=-x 0-2
x 0+1,且0∴0<-x 0-2x 0+1<1,即1
2证法2:设存在x 0<0(x 0≠-1),满足f (x 0)=0
(Ⅰ)若-1x 0+1<-2,ax 0<1,∴f (x 0)<-1与f (x 0)=0矛盾.
(Ⅱ)若x 0<-1,则x 0-2
x 0+1>0,ax 0>0,∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾,
故方程f (x )=0没有负数根.