丰城中学2015-2016学年上学期高二周练试卷
数 学
命题人：任小枝 班型：理科1——13班 总分：150分； 考试时间：2016.1.11
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
1.已知空间中三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4），设→
→
=AB a ，→
→
=AC b ．若
→→+b a k 与→
→-b a k 2互相垂直，则实数k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．或 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A
B
C
D
3．下列说法中正确的是 （ ）
A ．若命题:p x R ?∈有20x >，则:p x R ??∈有2
0x ≤；
B ．直线a ，b 为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交；
C ．若p 是q 的充分不必要条件，则q ?是
D ．方程2
0ax x a ++=有唯一解的充要条件是4．已知点(1,3)A ，(2,1)B --，若直线l ：(2)1y k x =-+与线段AB 没有交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．k >．k <．k >或k <-2 D ．-2 A ．1)23(22=++ y x B ．1)23(22=++y x C ．1)23(22=-+y x D ．1 )23(2 2=+-y x 6． 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为 22 8150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在,1,则k ） B.<0k 或 D.0k ≤或7．棱长均为3的三棱锥ABC S -，若空间一点P 满足SC z SB y SA x SP ++=) 1(=++z y x ( ) A 、1 8．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点M （-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A 、 B ，使 0AF BF ?= ，则直线AB 的斜率k =（ ） B 2 9．设21F F 、为双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的焦点，B A 、分别为双曲线的 左右顶点，以21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足 030=∠MAB ，则该双曲线的离心率为 （A ）2 （B （C ）（D ）10．已知x 轴上一点(),0,M m 抛物线216y x =上任意一点,N 满足则m 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．(],8-∞ C ．[]0,8 D ．() 0,8 11．已知三棱锥C A -B O ，OA ，OB ，C O 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在C ?B O 内运动（含边界），则MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ A B C D 12．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '?是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ） A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上 B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDE C ．三棱锥EF D A -'的体积有最大值 D ．异面直线 E A '与BD 不可能垂直 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13. P ,F 是双曲线的右焦点,已知A (3,1),则的最小值是 . 14. ＋by ＝1与圆x 2 ＋y 2 ＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直 角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最小值为________． 15．已知F 1、F 2分别为双曲线122 22=-b y a x 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得 | |||12 2PF PF ＝8a ，则双曲线的离心率的取值范围是 16．在边长为2的正方形ABCD 中,F E ,分别是BC AB ,的中点,沿DF DE ,以及EF 把 CDF ADE ??,和BEF ?都向上折起,使C B A ,,三点重合,设重合后的点为'A ,那么对于四 面体'A DEF -中的下列命题: ①点'A 在平面DEF 上的射影是DEF ?的垂心； ②四面体'A DEF -的外接球的表面积是π6． ③在线段DE 上存在一点G ,使得直线FG 与直线'EA 所成的角是o 60； 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每小题12分，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17、设:p 函数)4lg()(2 a x ax x f +-=的值域为R ； q :不等式ax x x +>+222，对?x ∈（-∞，-1）上恒成立，如果命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围． 18、已知几何体A BCDE -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． （1）求此几何体的体积V 的大小； （2）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （3）求二面角A-ED-B 的正弦值． 19．已知1F 、2F 分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点. （1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P 的坐标； （2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其 中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 20．正ABC ?的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将ABC ?沿CD 翻折成直二面角A DC B --． （Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求异面直线AD 和EF 的距离 （Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？ 证明你的结论． 21、如图，已知四边形11AAC C 和11AA B B 都是菱形，平面11AA B B 和平面11AAC C 互相垂直， 且11160, 2.ACC BAA AA ∠=∠== （Ⅰ）求证：11;AA BC ⊥ （Ⅱ）求四面体11A CC B -的体积; （Ⅲ）求与平面CAB 所成角的正弦值. 22，其一条渐近线的倾斜角为θ， ，以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆为E ． （1）求椭圆E 的方程； （2）设点A 是椭圆E 的左顶点，Q P ,为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AQ AP ,的，问直线PQ 是否恒过定点？若横过定点，求出该点坐标；若不横过定点，说明理由． 答案为： CACCD AABDB DD (1,3] .1 . ①②③ . 三、解答题 17、试题解析：解：对于p ：2()4u x ax x a =-+取到(0,)+∞的所有值． 0a =时符合题意． 0a <时二次函数()u x 的图象开口向下，不符合题意;0a >时需0?≥，解得02a <≤ 从而p 真[0,2]a ?∈.对于q ：，对)1,(--∞∈?x 恒成立． 在(,1)-∞-上为增函数．因此q 真 命题“p q ∨”为真命题等价于,p q 至少一个为真命题．命题“p q ∧”为假命题等价于,p q 至少一个为假命题．因此,p q 必然一真一假． p 真q 假2a ?>且1a <，无解．p 假q 真2a ?≤且1a ≥，解得[1,2]a ∈． 综合可得a 的取值范围为[1,2]． 18、试题解析：（1） AC ⊥平面BCE ， 则V 为16． （2）取EC 的中点是F ，连结BF ，则 BF//DE ，∴∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成 的角．在△BAF 中， ∴异面直线DE 与AB （3）AC ⊥平面BCE ，过C 作CG ⊥DE 交DE 于G ，连AG ．可得DE ⊥平面ACG ， 从而AG ⊥DE,∴∠AGC 为二面角A-ED-B 的平面角． 在△ACG 中，∠ACG=90°，AC=4，Ｃ ∴二面角A-ED-B 19试题解析：（1）因为椭圆方 程为2 21 4x y +=， 知2,1 , 3a b c ==， 12(F F ∴， 设(,)(0, 0)P x y x y >>，则22125 (,),)34PF PF x y x y x y =--=+-=- ， 又2214x y +=，联立22 2 27414x y x y ?+=????+=?? ，解得2211342x x y y =??=?????==??? ? ，2P ∴ 6分 （2）显然0x =不满足题意，所直线的斜率存在，可设l 的方程为2y kx =+， 设1122(,),(,)A x y B x y ，联立22 221 (14)161204 2x y k x kx y kx ?+=??+++=??=+? 1212 221216,1414k x x x x k k ∴= +=-++， 8分 且△ 2223 (16)4(14)120,4k k k =-+?>∴> 10分 又AOB ∠为锐角，0OA OB ∴?> ， 12120x x y y ∴+>，1212(2)(2)0x x kx kx ∴+++>， 22 2 1212222 12164(4) (1)2()4(1)2()40141414k k k x x k x x k k k k k -∴++++=++-+=>+++ 24,k ∴<又 234k > ，23 44k ∴<<， (2,(22k ∴∈-- 20、（Ⅰ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF//AB ， 又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ．∴AB ∥平面DEF ． （Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系， 则A （0，0，2）D （0，0，0） 设同时垂直AD 和EF 的法向量为(,,)n x y z = 则 即 ，则 ， = ∴在线段BC 上存在点，使AP DE ⊥ 21、（1）设1AA 的中点为O ，连接OB ， 1OA ， 因为四边形11AAC C 和11AA B B 都是菱形， 且1160ACC BAA ∠=∠=?， 所以三角形1AA B 和三角形11AAC 都是等边三角形，所以1OB OC ⊥ 又1OB O OC = ，所以11AA OBC ⊥平面所以11AA BC ⊥ （2）因为三角形111CC B CC B 和面积相等， 所以11A CC B V -=所以四面体11A CC B -的体积为1. （3）由（1）知1AA OB ⊥，又因为平面11AA B B 和平面11AAC C 互相垂直， 所以11OB A C AC ⊥平面，所以11 ,OA OC OB ，，三条直线两两垂直， 以O 为坐标原点，分别以11,OA OC OB ，为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系， ， ， 设平面ABC 的法向量的坐标分别为(a,b,c) ， 由,m AB m AC ⊥⊥ 可得 ,所以 与平面CAB 所成角的正弦值 22．（1 ，722=+∴b a ，①分 由①②解得3,422==b a ，∴椭圆E （2）在（1）的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为m kx y +=， ，消去y 得： () 0124843222=-+++m kmx x k ， 设()()2211,,,y x Q y x P ， ．又()0,2-A ，由题 知 则()()2,,0422212121-≠=+++x x y y x x 且， 则()()()m kx m kx x x x x ++++++?212121442 =() ()()4442412 21212 +++++?+m x x km x x k 则022 2=--k km m ．∴()()k m k m k m k m -==∴=+-或2,02．当k m 2=时，直线PQ 的方程为()22+=+=x k k kx y ， 此时直线PQ 过点()0,2-，显然不适合题意． 当k m -=时，直线PQ 的方程为()1-=-=x k k kx y ，此时直线PQ 过点()0,1． 当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过点()0,1，Q P 、点 的坐标分别是 ，综上，直线PQ 恒过点()0,1．
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