函数 导数部分(一) (教师用书,后附有学生用书)
1.设f(x)=???
(x -a )2
,x ≤0,
x +1
x +a ,x>0.
若f(0)是f(x)的最小值,则a 的取值范围为( )
A .[-1,2]
B .[-1,0]
C .[1,2]
D .[0,2]
∵当x ≤0时,f(x)=(x -a)2
,又f(0)是f(x)的最小值,∴a ≥0.当x>0时,f(x)=x +1x +
a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a ≥f(0)=a 2
,即a 2
-a -2≤0,解得-1≤a ≤2,∴a 的取值范围是0≤a ≤2.
2.设函数f(x)=?????x 2+x ,x<0,
-x 2
,x ≥0,
若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是________.
结合图形(图略),由f(f(a))≤2可得f(a)≥-2,可得a ≤ 2.
3.已知实数a≠0,函数f(x)=?
????2x +a ,x <1,
-x -2a ,x ≥1,若f(1-a)=f(1+a),则a 的值为
________.
解析:当1-a <1,即a >0时,1+a >1,由f(1-a)=f(1+a),得2(1-a)+a =-(1+a)-2a ,解得a =-3
2(舍去);当1-a >1,即a <0时,1+a <1,由f(1-a)=f(1+a),
得2(1+a)+a =-(1-a)-2a ,解得a =-34,符合题意.综上所述,a =-3
4
.
4.定义在R 上的函数f(x)满足f(x +1)=2f(x).若当0≤x ≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.
解析:当0≤x ≤1时,f(x)=x(1-x),当-1≤x ≤0时,0≤x +1≤1,∴f(x +1)=(x +1)[1-(x +1)]=-x(x +1),而f(x)=12f(x +1)=-12x 2-12x.∴当-1≤x ≤0时,f(x)=-12
x
2
-12x. 答案:-12x 2-12
x 5.求函数f(x)=-x 2
+2|x|+1的单调区间.
f(x)=
?????-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2
-2x +1,x <0=?????-(x -1)2
+2,x ≥0,
-(x +1)2
+2,x <0.
画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). [探究1] 若将本例中函数变为f(x)=|-x 2
+2x +1|,如何求解?
解:函数y =|-x 2
+2x +1|的图象如图所示.由图象可知,函数y =|-x 2
+2x +1|的单调递增区间为(1-2,1)和(1+2,+∞);单调递减区间为(-∞,1-2)和(1,1+2).
[探究2] 若将本例中函数变为f(x)=-x 2
+2|x|+1,如何求解?
解:由-x 2
+2|x|+1≥0,得1-2≤|x|≤1+2,又|x|≥0,∴0≤|x|≤1+2, 即-1-2≤x ≤1+ 2.根据函数图象可知,f(x)的单调递增区间为[-1-2,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,1+ 2 ].
[探究3] 若将本例中函数变为f(x)=log 12
(-x 2
+2|x|+1),如何求解?
解:要使函数有意义,应有-x 2
+2|x|+1>0,即-1-2 (- x 2+2|x|+1)是函数y =log 12 μ和μ=-x 2+2|x|+1的复合函数,∴函数f(x)=log 12 (-x 2 +2|x|+1)的单调递增区间为(-1,0)和(1,1+2),单调递减区间为(-1-2,-1)和(0,1). 6.已知函数f(x)=??? -x 2 -ax -5,x ≤1, a x ,x >1 在R 上为增函数,则a 的取值范围是( ) A .[-3,0) B .[-3,-2] C .(-∞,-2] D .(-∞,0) 解析:选B 要使函数在R 上是增函数,则有??? -a 2 ≥1,a <0,-1-a -5≤a , 解得-3≤a ≤-2 7.已知函数f(x)=ln x +2x ,若f(x 2 -4)<2,则实数x 的取值范围是( ) A .(-2,2) B .(2,5) C .(-5,-2) D .(-5,-2)∪(2,5) 解析:选D 因为函数f(x)=ln x +2x 在定义域上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x 2 -4)<2得,f(x 2 -4) -4<1,解得-5 8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f ? ?? ??12=1,如果对于0<x <y ,都有f(x)>f(y).(1)求f(1)的值;(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2. 解:(1)令x =y =1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0.(2)由题意知f(x)为(0,+∞)上的减 函数,且?????-x >0,3-x >0,∴x <0.∵f(xy)=f(x)+f(y),x ,y ∈(0,+∞)且f ? ????12=1. ∴f(-x)+f(3-x)≥-2可化为f(-x)+f(3-x)≥-2f ? ????12,即f(-x)+f ? ?? ??12+f(3-x) +f ? ????12≥0=f(1)?f ? ????-x 2+f ? ????3-x 2≥f(1)?f ? ????-x 2·3-x 2≥f(1),则? ??x <0, -x 2·3-x 2≤1, 解得-1≤x <0.∴不等式的解集为{x|-1≤x<0}. 9.已知函数f(x)=ax 3 +bsin x +4(a ,b ∈R ),f(lg(log 210))=5,则f(lg(lg 2))=( ) A .-5 B .-1 C .3 D .4 ∵f(x)=ax 3 +bsin x +4,①∴f(-x)=a(-x)3 +bsin(-x)+4,即f(-x)=-ax 3 -bsin x +4,②①+②得f(x)+f(-x)=8,③又∵lg(log 210)=lg ? ?? ? ?1lg 2=lg(lg 2)-1 =-lg(lg 2),∴f(lg(log 2 10))=f(-lg(lg 2))=5,又由③式知f(-lg(lg 2))+f(lg(lg 2))=8,∴5+f(lg(lg 2))=8,∴f(lg(lg 2))=3. 10.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=???ax +1,-1≤x<0, bx +2 x +1,0≤x ≤1, 其中a ,b ∈R .若f ? ????12=f ? ?? ??32,则a +3b 的值为________. 解析:因为f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,所以f ? ????32=f ? ?? ??-12,且f(-1)=f(1),故f ? ????12=f ? ?? ??-12,所以12b +212+1=-12a +1,即3a +2b =-2.①由f(-1)=f(1),得-a +1=b +2 2 ,即b =-2a.②由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10. 11.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(x +4),且当x∈(-1,0)时,f(x)=2x +15,则f(log 220)=( ) A .1 B.45 C .-1 D .-45 解析:选C 由于f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数;由于f(x)=f(x +4),所以函数的周期为4.log 216<log 220<log 232,即4<log 220<5,0 4<1,∴f(log 220) =f(log 220-4)=f ? ????log 254=-f ? ????-log 254=-f ? ????log 245=-(2log 245+15)=-? ????45+15=-1.故答案为C. 12.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x -1,则不等式xf(x)>0在[- 1,3]上的解集为________. 解析:f(x)的图象如图. 当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);当x∈(0,1)时,由xf(x)<0得x∈?;当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3). 13.已知函数f(x)=2|x -2|+ax(x∈R )有最小值. (1)求实数a 的取值范围; (2)设g(x)为定义在R 上的奇函数,且当x <0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式. 解:(1)f(x)=?????(a +2)x -4,x ≥2,(a -2)x +4,x <2,要使函数f(x)有最小值,需?????a +2≥0, a -2≤0, ∴-2≤a ≤2, 故a 的取值范围为[-2,2]. (2)∵g(x)为定义在R 上的奇函数,∴g(-0)=-g(0),∴g(0)=0.设x >0,则-x <0. ∴g(x)=-g(-x)=(a -2)x -4,∴g(x)=???? ?(a -2)x -4,x >0, 0, x =0,(a -2)x +4, x <0. 14.已知定义域为R 的函数y =f(x)在[0,7]上只有1和3两个零点,且y =f(2-x)与y =f(7+x)都是偶函数,则函数y =f(x)在[-2 015,2 015]上的零点个数为( ) A .804 B .805 C .806 D .807 解析:选C 由函数y =f(2-x),y =f(7+x)是偶函数得函数y =f(x)的图象关于直线x =2和x =7对称,所以周期为10.又由条件可知函数y =f(x)在[0,10]上只有两个零点1和3,所以函数y =f(x)在[-2 015,2 015]上有402个周期,加上2 011,2 013两个零点,所 以零点个数是402×2+2=806. 15.设函数f(x)(x∈R )满足f(x +π)=f(x)+sin x .当0≤x<π时,f(x)=0,则f ? ?? ??23π6= ________. 解析:∵f(x +2π)=f(x +π)+sin(x +π)=f(x)+sin x -sin x =f(x),∴f(x)的周期T =2π.又∵当0≤x<π时,f(x)=0,∴f ? ????5π6=0,即f ? ????-π6+π=f ? ????-π6+sin ? ?? ??-π6=0, ∴f ? ????-π6=12,∴f ? ????23π6=f ? ????4π-π6=f ? ????-π6=12 . 16.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x =1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x -1. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)的值. 解:(1)证明:函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).函数f(x)的图象关于x =1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2)当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],又f(x)的图象关于x =1对称,则f(x)=f(2-x)=2 2-x -1,x ∈[1,2].(3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.又f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=f(0)+f(1)+f(2)=1. 17.已知a 是实数,记函数f(x)=2ax 2 +2x -3在区间[-1,1]上的最小值为g(a),求g(a)的函数解析式. 当a =0时,f(x)=2x -3,g(a)=f(-1)=-5;当a≠0时,f(x)=2ax 2 +2x -3=2a ? ?? ? ?x +12a 2 -12a -3,若a>0,当-1≤-12a ≤1,即a ≥12时,g(a)=-12a -3;当-12a <-1时,即0 时,g(a)=f(-1)=2a -5;若a<0,当-1≤-12a ≤1,即a ≤-1 2时,f(-1)=2a -5,f(1) =2a -1,则g(a)=f(-1)=2a -5;当-12a >1,即-1 2 综上,g(a)=?????2a -5,a<1 2 ,-12a -3,a ≥12. [探究1] 已知a 是实数,函数f(x)=2ax 2 +2x -3在[-1,1]上恒小于零,求实数a 的取值范围.解:2ax 2 +2x -3<0在[-1,1]上恒小于0.当x =0时,适合;当x≠0时,a<32? ?? ? ?1x -132 -16,因为1x ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x =1时,右边取最小值12,所以a<12 . 综上,实数a 的取值范围是a<12 . [探究2] 已知f(x)=2ax 2 +2x -3在a∈[-1,1]上恒小于零,求x 的取值范围. 解:把原函数看成关于a 的一次函数,则g(a)=2ax 2 +2x -3,a ∈[-1,1].由一次函数的单调性得 ?????g (-1)<0,g (1)<0,?? ????-2x 2 +2x -3<0,2x 2+2x -3<0,?-12-72 2.故x 的取值范围是? ????-1 2-72 ,-12+72. [探究3] 已知a 是实数,记函数f(x)=x 2 -2x +2在[a ,a +1]上的最小值为g(a),求g(a)的解析式. 解:f(x)=x 2 -2x +2=(x -1)2 +1,x ∈[a ,a +1],a ∈R ,对称轴为x =1. 当a +1<1,即a<0时,函数图象如图(1),函数f(x)在区间[a ,a +1]上为减函数,所以最小值为f(a +1)=a 2 +1;当a ≤1≤a +1,即0≤a ≤1时,函数图象如图(2),在对称轴x =1处取得最小值,最小值为f(1)=1;当a>1时,函数图象如图(3),函数f(x)在区间[a ,a +1]上为增函数,所以最小值为f(a)=a 2 -2a +2.综上可知,g(a)=???? ?a 2 +1,a<0, 1,0≤a ≤1,a 2 -2a +2,a>1. 18.设不等式x 2 -2ax +a +2≤0的解集为A ,若A ?[1,3],则实数a 的取值范围是( ) A.? ????-1,115 B.? ????1,115 C.? ????2,115 D .(-1,3] 解析:选B 令f(x)=x 2 -2ax +a +2,因为A ?[1,3],所以?????1 f (1)≥0,f (3)≥0, 解得1 5 . 19.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},且f(x +1)为奇函数,当x>1时,f(x)=2x 2 -12x +16,则直线y =2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( ) A .5 B .4 C .2 D .1 解析:选A 由于f(x +1)为奇函数,其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象,因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,如图所示,由对称性可得x 2+x 3=6,易知x 1=-1,故x 1+x 2+x 3=5. 20.已知函数f(x)=x 2 -2x ,g(x)=ax +2(a>0),若?x 1∈[-1,2],?x 2∈[-1,2],f(x 1)=g(x 2),则实数a 的取值范围是( ) A.? ????0,12 B.???? ??12,3 C .(0,3] D .[3,+∞) 解析:选D 由题意得g(x)min ≤f(x)min 且g(x)max ≥f(x)max ,f(x)在区间[-1,2]上的最大值f(x)max =f(-1)=3,f(x)在区间[-1,2]上的最小值f(x)min =f(1)=-1.由于g(x)=ax +2(a>0)在区间[-1,2]上单调递增,则g(x)min =g(-1)=-a +2,g(x)max =g(2)=2a +2, 故?????-a +2≤-1,2a +2≥3, 解得a ≥3. 21.已知函数f(x)=x 2 -2ax +5(a >1).若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a +1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,求实数a 的取值范围. 解:∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,∴a ≥2.又x =a∈[1,a +1],且(a +1)-a ≤a -1,∴f(x)max =f(1)=6-2a ,f(x)min =f(a)=5-a 2 .∵对任意的x 1,x 2∈[1,a +1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,∴f(x)max -f(x)min ≤4,得-1≤a ≤3.又a ≥2,∴2≤a ≤3. 22.已知y =f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-x 2 +2x ,则满足f(f(a))=12的实数a 的个 数为( ) A .8 B .6 C .4 D .2 解析:选A 由题意知, f(x)=?????-x 2 +2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x<0, 其图象如图所示.令t =f(a),则t ≤1,令f(t)=12,解得t =1-22或t =-1±22,即f(a)=1-22或f(a)=-1±2 2 ,由数形结合得,共有8个交点. 23.已知奇函数f(x)的定义域为R ,当x>0时,f(x)=2x -x 2 .若x∈[a ,b]时,函数f(x) 的值域为???? ??1b ,1a ,则ab =________. 解析:由题意知a1b ,则a ,b 同号.当x>0时,f(x)=2x -x 2=-(x -1)2 +1≤1, 若0 a ≤1,即a ≥1.因为f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以?????f (a )=2a -a 2=1 a ,f ( b )=2b -b 2 =1 b ,解得???a =1, b =1+ 52 , 所以ab =1+52.由f(x)是奇函数知,当x<0时,f(x)=x 2 +2x ,同理可知,当a =1 a ,f (b )=2b +b 2 =1b ,解得? ??b =-1,a = -1- 52, 所以ab =1+5 2.综上,ab =1+52 . 24.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ,b]上的两个函数,若函数y =f(x)-g(x)在[a ,b]上有两个不同的零点,则称f(x) 和g(x)在[a ,b]上是“关联函数”,区间[a ,b]称为“关联区间”.若f(x)=x 2 -3x +4与g(x)=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,求m 的取值范围. 解:由题意知,y =f(x)-g(x)=x 2 -5x +4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y =m 与y =x 2 -5x +4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当 x∈[2,3]时,y =x 2-5x +4∈??????-94,-2,故当m∈? ?? ??-94,-2时,函数y =m 与y =x 2 -5x +4(x∈[0,3])的图象有两个交点. 25.已知实数a ,b 满足等式? ????12a =? ?? ??13b ,下列五个关系式:①0 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 解析:选B 函数y 1=? ????12x 与y 2=? ????13x 的图象如图所示.由? ????12a =? ?? ??13b 得,a 26.若存在正数x 使2x (x -a)<1成立,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,+∞) B .(-2,+∞) C .(0,+∞) D .(-1,+∞) [听前试做] 法一:不等式2x (x -a)<1可变形为x -a ?? ??12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y =x -a 与y =? ????12x 的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a<1,所以a>-1,选D 项.法二:不等式2x (x -a)<1可变形为a>x -? ????12x .记g(x)=x -? ?? ??12x (x>0),易知当x 增大时,y =x 与y =-? ?? ??12x 的函数值都增大,故g(x)为增函数,又g(0) =-1,所以g(x)∈(-1,+∞).由题意可知a>-1. 27.对于函数f(x)=4x -m·2 x +1 ,若存在实数x 0,使得f(-x 0)=-f(x 0)成立,则实数m 的 取值范围是( ) A.? ????-∞,12 B.??????12,+∞ C .(-∞,1] D .[1,+∞) 解析:选B 若存在实数x 0,使得f(-x 0)=-f(x 0)成立,即4-x 0-m·2-x 0+1=-4x 0+m·2x 0+1,所以14x 0+4x 0=2m ? ????12x 0+2x 0.令t =2x 0(t>0),则1t 2+t 2 =2m ? ????1t +t ,令λ=1t + t(λ≥2),所以2m =λ-2λ,令g(λ)=λ-2 λ(λ≥2),易知g(λ)在区间[2,+∞)上单 调递增,所以2m ≥2-22=1,故m ≥1 2 . 28.若存在负实数使得方程2x -a =1x -1 成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(2,+∞) B .(0,+∞) C .(0,2) D .(0,1) 解析:选C 在同一坐标系内分别作出函数y =1x -1和y =2x -a 的图象,则由图知,当 a ∈(0,2)时符合要求. 29.已知函数f(x)=e |x| ,对任意的x∈[1,m](m>1),都有f(x -2)≤ex ,则最大的正整数m 为________. 解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y 1=e |x -2| 与y 2=ex 的图象如图所示.当x =4时, y 1=e 2 ,y 2=4e ,此时y 1 ,y 2=5e ,此时y 1>y 2,故最大的正整数m 的值为4. 30.已知定义域为R 的函数f(x)=-2x +b 2x +1+a 是奇函数. (1)求a ,b 的值; (2)解关于t 的不等式f(t 2 -2t)+f(2t 2 -1)<0. 解:(1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0,即-1+b 2+a =0,解得b =1,所以 f(x)=-2x +12x +1+a .又由f(1)=-f(-1)知-2+1 4+a =--12+11+a ,解得a =2. (2)由(1)知f(x)=-2x +12x +1+2=-12+1 2x +1.由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数(此外 可用定义或导数法证明函数f(x)在R 上是减函数).又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t 2 -2t)+f(2t 2 -1)<0等价于f(t 2 -2t)<-f(2t 2 -1)=f(-2t 2 +1).因为f(x)是减函数,由 上式推得t 2-2t>-2t 2+1,即3t 2 -2t -1>0,解不等式可得? ?????t|t>1或t<-13. 31.已知函数f(x)=?? ?? ?? ?? 12x ,x ≥4, f (x +1),x<4, 则f(2+log 2 3)的值为________. 解析:∵3<2+log 23<4,∴f(2+log 23)=f(3+log 23)=? ?? ??123+log 23 =? ????123·? ?? ??12log 23 =18×13=124 . 32.设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m =________. 解析:∵2a =5b =m>0,∴a =log 2m ,b =log 5m ,∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10 =2.∴m 2 =10,∴m =10.答案:10 32 (1)函数y =2log 4(1-x)的图象大致是( ) (2)当0 时,4x (1)函数y =2log 4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A 、B ;又函数y =2log 4(1-x)在定义域内单调递减,排除D.选C. (2) 构造函数f(x)=4x 和g(x)=log a x.当a>1时不满足条件;当0 ? ?0,12上的图象可知,f ? ????12 解析:设f 1(x)=(x -1)2,f 2(x)=log a x ,要使当x∈(1,2)时,不等式(x -1)2 在(1,2)上的图象在f 2(x)=log a x 图象的下方即可.当01时,如图, 要使x∈(1,2)时f 1(x)=(x -1)2 的图象在f 2(x)=log a x 的图象下方,只需f 1(2)≤f 2(2), 即(2-1)2 ≤log a 2,又即log a 2≥1.所以1 解: 不等式log a x>(x -1)2 恰有三个整数解,画出示意图可知a>1,其整数解集为{2,3,4}, 则应满足?????log a 4>(4-1)2 ,log a 5≤(5-1)2 , 得165≤a<94.即实数a 的取值范围为[165,9 4). [探究3] 若将本例(2)中的条件换为“已知函数f(x)=? ????log 2x ,x>0, 2x ,x ≤0,且关于x 的方程f(x) -a =0存在两个实根”,如何求解? 解: 当x ≤0时,0<2x ≤1,由图象可知方程f(x)-a =0有两个实根,即y =f(x)与y =a 的图象有两个交点,所以由图象可知0 A .(1,+∞) B .(0,1) C.? ?? ??0,13 D .(3,+∞) 解析:选D 由于a>0,且a≠1,∴u =ax -3为增函数,∴若函数f(x)为增函数,则f(x)=log a u 必为增函数,因此a>1,又u =ax -3在[1,3]上恒为正,∴a -3>0,即a>3. 34.已知函数f(x)=log a (8-ax)(a >0,a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________. 解析:当a >1时,f(x)=log a (8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1恒成立,则f(x)min =log a (8-2a)>1,即8-2a>a ,解得1<a <8 3.若0<a <1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函