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高中数学函数(导数部分)教师用书(后附学生用书)

高中数学函数(导数部分)教师用书(后附学生用书)
高中数学函数(导数部分)教师用书(后附学生用书)

函数 导数部分(一) (教师用书,后附有学生用书)

1.设f(x)=???

(x -a )2

,x ≤0,

x +1

x +a ,x>0.

若f(0)是f(x)的最小值,则a 的取值范围为( )

A .[-1,2]

B .[-1,0]

C .[1,2]

D .[0,2]

∵当x ≤0时,f(x)=(x -a)2

,又f(0)是f(x)的最小值,∴a ≥0.当x>0时,f(x)=x +1x +

a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a ≥f(0)=a 2

,即a 2

-a -2≤0,解得-1≤a ≤2,∴a 的取值范围是0≤a ≤2.

2.设函数f(x)=?????x 2+x ,x<0,

-x 2

,x ≥0,

若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是________.

结合图形(图略),由f(f(a))≤2可得f(a)≥-2,可得a ≤ 2.

3.已知实数a≠0,函数f(x)=?

????2x +a ,x <1,

-x -2a ,x ≥1,若f(1-a)=f(1+a),则a 的值为

________.

解析:当1-a <1,即a >0时,1+a >1,由f(1-a)=f(1+a),得2(1-a)+a =-(1+a)-2a ,解得a =-3

2(舍去);当1-a >1,即a <0时,1+a <1,由f(1-a)=f(1+a),

得2(1+a)+a =-(1-a)-2a ,解得a =-34,符合题意.综上所述,a =-3

4

.

4.定义在R 上的函数f(x)满足f(x +1)=2f(x).若当0≤x ≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.

解析:当0≤x ≤1时,f(x)=x(1-x),当-1≤x ≤0时,0≤x +1≤1,∴f(x +1)=(x +1)[1-(x +1)]=-x(x +1),而f(x)=12f(x +1)=-12x 2-12x.∴当-1≤x ≤0时,f(x)=-12

x

2

-12x. 答案:-12x 2-12

x 5.求函数f(x)=-x 2

+2|x|+1的单调区间.

f(x)=

?????-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2

-2x +1,x <0=?????-(x -1)2

+2,x ≥0,

-(x +1)2

+2,x <0.

画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). [探究1] 若将本例中函数变为f(x)=|-x 2

+2x +1|,如何求解?

解:函数y =|-x 2

+2x +1|的图象如图所示.由图象可知,函数y =|-x 2

+2x +1|的单调递增区间为(1-2,1)和(1+2,+∞);单调递减区间为(-∞,1-2)和(1,1+2).

[探究2] 若将本例中函数变为f(x)=-x 2

+2|x|+1,如何求解?

解:由-x 2

+2|x|+1≥0,得1-2≤|x|≤1+2,又|x|≥0,∴0≤|x|≤1+2, 即-1-2≤x ≤1+ 2.根据函数图象可知,f(x)的单调递增区间为[-1-2,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,1+ 2 ].

[探究3] 若将本例中函数变为f(x)=log 12

(-x 2

+2|x|+1),如何求解?

解:要使函数有意义,应有-x 2

+2|x|+1>0,即-1-2

(-

x 2+2|x|+1)是函数y =log 12

μ和μ=-x 2+2|x|+1的复合函数,∴函数f(x)=log 12

(-x

2

+2|x|+1)的单调递增区间为(-1,0)和(1,1+2),单调递减区间为(-1-2,-1)和(0,1).

6.已知函数f(x)=???

-x 2

-ax -5,x ≤1,

a

x ,x >1

在R 上为增函数,则a 的取值范围是( )

A .[-3,0)

B .[-3,-2]

C .(-∞,-2]

D .(-∞,0)

解析:选B 要使函数在R 上是增函数,则有???

-a

2

≥1,a <0,-1-a -5≤a ,

解得-3≤a ≤-2

7.已知函数f(x)=ln x +2x

,若f(x 2

-4)<2,则实数x 的取值范围是( ) A .(-2,2) B .(2,5) C .(-5,-2) D .(-5,-2)∪(2,5)

解析:选D 因为函数f(x)=ln x +2x

在定义域上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x 2

-4)<2得,f(x 2

-4)

-4<1,解得-5

8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f ? ??

??12=1,如果对于0<x <y ,都有f(x)>f(y).(1)求f(1)的值;(2)解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2. 解:(1)令x =y =1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0.(2)由题意知f(x)为(0,+∞)上的减

函数,且?????-x >0,3-x >0,∴x <0.∵f(xy)=f(x)+f(y),x ,y ∈(0,+∞)且f ? ????12=1.

∴f(-x)+f(3-x)≥-2可化为f(-x)+f(3-x)≥-2f ? ????12,即f(-x)+f ? ??

??12+f(3-x)

+f ? ????12≥0=f(1)?f ? ????-x 2+f ? ????3-x 2≥f(1)?f ? ????-x 2·3-x 2≥f(1),则?

??x <0,

-x 2·3-x 2≤1,

解得-1≤x <0.∴不等式的解集为{x|-1≤x<0}.

9.已知函数f(x)=ax 3

+bsin x +4(a ,b ∈R ),f(lg(log 210))=5,则f(lg(lg 2))=( )

A .-5

B .-1

C .3

D .4

∵f(x)=ax 3

+bsin x +4,①∴f(-x)=a(-x)3

+bsin(-x)+4,即f(-x)=-ax 3

-bsin x +4,②①+②得f(x)+f(-x)=8,③又∵lg(log 210)=lg ?

??

?

?1lg 2=lg(lg 2)-1

=-lg(lg 2),∴f(lg(log 2 10))=f(-lg(lg 2))=5,又由③式知f(-lg(lg 2))+f(lg(lg 2))=8,∴5+f(lg(lg 2))=8,∴f(lg(lg 2))=3.

10.设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=???ax +1,-1≤x<0,

bx +2

x +1,0≤x ≤1,

其中a ,b ∈R .若f ? ????12=f ? ??

??32,则a +3b 的值为________. 解析:因为f(x)是定义在R 上且周期为2的函数,所以f ? ????32=f ? ??

??-12,且f(-1)=f(1),故f ? ????12=f ? ??

??-12,所以12b +212+1=-12a +1,即3a +2b =-2.①由f(-1)=f(1),得-a +1=b +2

2

,即b =-2a.②由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10. 11.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(x +4),且当x∈(-1,0)时,f(x)=2x

+15,则f(log 220)=( ) A .1 B.45 C .-1 D .-45

解析:选C 由于f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数;由于f(x)=f(x +4),所以函数的周期为4.log 216<log 220<log 232,即4<log 220<5,0

4<1,∴f(log 220)

=f(log 220-4)=f ? ????log 254=-f ? ????-log 254=-f ? ????log 245=-(2log 245+15)=-? ????45+15=-1.故答案为C.

12.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x -1,则不等式xf(x)>0在[-

1,3]上的解集为________.

解析:f(x)的图象如图.

当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);当x∈(0,1)时,由xf(x)<0得x∈?;当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3). 13.已知函数f(x)=2|x -2|+ax(x∈R )有最小值. (1)求实数a 的取值范围;

(2)设g(x)为定义在R 上的奇函数,且当x <0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.

解:(1)f(x)=?????(a +2)x -4,x ≥2,(a -2)x +4,x <2,要使函数f(x)有最小值,需?????a +2≥0,

a -2≤0,

∴-2≤a ≤2,

故a 的取值范围为[-2,2].

(2)∵g(x)为定义在R 上的奇函数,∴g(-0)=-g(0),∴g(0)=0.设x >0,则-x <0. ∴g(x)=-g(-x)=(a -2)x -4,∴g(x)=????

?(a -2)x -4,x >0,

0, x =0,(a -2)x +4, x <0.

14.已知定义域为R 的函数y =f(x)在[0,7]上只有1和3两个零点,且y =f(2-x)与y =f(7+x)都是偶函数,则函数y =f(x)在[-2 015,2 015]上的零点个数为( )

A .804

B .805

C .806

D .807

解析:选C 由函数y =f(2-x),y =f(7+x)是偶函数得函数y =f(x)的图象关于直线x =2和x =7对称,所以周期为10.又由条件可知函数y =f(x)在[0,10]上只有两个零点1和3,所以函数y =f(x)在[-2 015,2 015]上有402个周期,加上2 011,2 013两个零点,所

以零点个数是402×2+2=806.

15.设函数f(x)(x∈R )满足f(x +π)=f(x)+sin x .当0≤x<π时,f(x)=0,则f ? ??

??23π6=

________.

解析:∵f(x +2π)=f(x +π)+sin(x +π)=f(x)+sin x -sin x =f(x),∴f(x)的周期T =2π.又∵当0≤x<π时,f(x)=0,∴f ? ????5π6=0,即f ? ????-π6+π=f ? ????-π6+sin ? ??

??-π6=0,

∴f ? ????-π6=12,∴f ? ????23π6=f ? ????4π-π6=f ? ????-π6=12

.

16.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x =1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x

-1.

(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)的值.

解:(1)证明:函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).函数f(x)的图象关于x =1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2)当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],又f(x)的图象关于x =1对称,则f(x)=f(2-x)=2

2-x

-1,x ∈[1,2].(3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.又f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=f(0)+f(1)+f(2)=1.

17.已知a 是实数,记函数f(x)=2ax 2

+2x -3在区间[-1,1]上的最小值为g(a),求g(a)的函数解析式.

当a =0时,f(x)=2x -3,g(a)=f(-1)=-5;当a≠0时,f(x)=2ax 2

+2x -3=2a ? ??

?

?x +12a 2

-12a -3,若a>0,当-1≤-12a ≤1,即a ≥12时,g(a)=-12a -3;当-12a <-1时,即0

时,g(a)=f(-1)=2a -5;若a<0,当-1≤-12a ≤1,即a ≤-1

2时,f(-1)=2a -5,f(1)

=2a -1,则g(a)=f(-1)=2a -5;当-12a >1,即-1

2

综上,g(a)=?????2a -5,a<1

2

,-12a -3,a ≥12.

[探究1] 已知a 是实数,函数f(x)=2ax 2

+2x -3在[-1,1]上恒小于零,求实数a 的取值范围.解:2ax 2

+2x -3<0在[-1,1]上恒小于0.当x =0时,适合;当x≠0时,a<32? ??

?

?1x -132

-16,因为1x ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x =1时,右边取最小值12,所以a<12

. 综上,实数a 的取值范围是a<12

.

[探究2] 已知f(x)=2ax 2

+2x -3在a∈[-1,1]上恒小于零,求x 的取值范围. 解:把原函数看成关于a 的一次函数,则g(a)=2ax 2

+2x -3,a ∈[-1,1].由一次函数的单调性得

?????g (-1)<0,g (1)<0,??

????-2x 2

+2x -3<0,2x 2+2x -3<0,?-12-72

2.故x 的取值范围是? ????-1

2-72

,-12+72.

[探究3] 已知a 是实数,记函数f(x)=x 2

-2x +2在[a ,a +1]上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.

解:f(x)=x 2

-2x +2=(x -1)2

+1,x ∈[a ,a +1],a ∈R ,对称轴为x =1.

当a +1<1,即a<0时,函数图象如图(1),函数f(x)在区间[a ,a +1]上为减函数,所以最小值为f(a +1)=a 2

+1;当a ≤1≤a +1,即0≤a ≤1时,函数图象如图(2),在对称轴x =1处取得最小值,最小值为f(1)=1;当a>1时,函数图象如图(3),函数f(x)在区间[a ,a

+1]上为增函数,所以最小值为f(a)=a 2

-2a +2.综上可知,g(a)=????

?a 2

+1,a<0,

1,0≤a ≤1,a 2

-2a +2,a>1.

18.设不等式x 2

-2ax +a +2≤0的解集为A ,若A ?[1,3],则实数a 的取值范围是( )

A.? ????-1,115

B.? ????1,115

C.?

????2,115 D .(-1,3]

解析:选B 令f(x)=x 2

-2ax +a +2,因为A ?[1,3],所以?????1

f (1)≥0,f (3)≥0,

解得1

5

.

19.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},且f(x +1)为奇函数,当x>1时,f(x)=2x 2

-12x +16,则直线y =2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( )

A .5

B .4

C .2

D .1

解析:选A 由于f(x +1)为奇函数,其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象,因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,如图所示,由对称性可得x 2+x 3=6,易知x 1=-1,故x 1+x 2+x 3=5.

20.已知函数f(x)=x 2

-2x ,g(x)=ax +2(a>0),若?x 1∈[-1,2],?x 2∈[-1,2],f(x 1)=g(x 2),则实数a 的取值范围是( )

A.? ????0,12

B.????

??12,3 C .(0,3] D .[3,+∞) 解析:选D 由题意得g(x)min ≤f(x)min 且g(x)max ≥f(x)max ,f(x)在区间[-1,2]上的最大值f(x)max =f(-1)=3,f(x)在区间[-1,2]上的最小值f(x)min =f(1)=-1.由于g(x)=ax +2(a>0)在区间[-1,2]上单调递增,则g(x)min =g(-1)=-a +2,g(x)max =g(2)=2a +2,

故?????-a +2≤-1,2a +2≥3,

解得a ≥3. 21.已知函数f(x)=x 2

-2ax +5(a >1).若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a +1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,求实数a 的取值范围.

解:∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,∴a ≥2.又x =a∈[1,a +1],且(a +1)-a ≤a -1,∴f(x)max =f(1)=6-2a ,f(x)min =f(a)=5-a 2

.∵对任意的x 1,x 2∈[1,a +1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,∴f(x)max -f(x)min ≤4,得-1≤a ≤3.又a ≥2,∴2≤a ≤3.

22.已知y =f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-x 2

+2x ,则满足f(f(a))=12的实数a 的个

数为( ) A .8 B .6 C .4 D .2

解析:选A 由题意知,

f(x)=?????-x 2

+2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x<0,

其图象如图所示.令t =f(a),则t ≤1,令f(t)=12,解得t

=1-22或t =-1±22,即f(a)=1-22或f(a)=-1±2

2

,由数形结合得,共有8个交点.

23.已知奇函数f(x)的定义域为R ,当x>0时,f(x)=2x -x 2

.若x∈[a ,b]时,函数f(x)

的值域为????

??1b ,1a ,则ab =________. 解析:由题意知a1b ,则a ,b 同号.当x>0时,f(x)=2x -x 2=-(x -1)2

+1≤1,

若0

a ≤1,即a ≥1.因为f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以?????f (a )=2a -a 2=1

a ,f (

b )=2b -b 2

=1

b

,解得???a =1,

b =1+

52

所以ab =1+52.由f(x)是奇函数知,当x<0时,f(x)=x 2

+2x ,同理可知,当a

=1

a

,f (b )=2b +b 2

=1b ,解得?

??b =-1,a =

-1-

52,

所以ab =1+5

2.综上,ab =1+52

.

24.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ,b]上的两个函数,若函数y =f(x)-g(x)在[a ,b]上有两个不同的零点,则称f(x) 和g(x)在[a ,b]上是“关联函数”,区间[a ,b]称为“关联区间”.若f(x)=x 2

-3x +4与g(x)=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,求m 的取值范围.

解:由题意知,y =f(x)-g(x)=x 2

-5x +4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y =m 与y =x 2

-5x +4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当

x∈[2,3]时,y =x 2-5x +4∈??????-94,-2,故当m∈? ??

??-94,-2时,函数y =m 与y =x 2

-5x

+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.

25.已知实数a ,b 满足等式? ????12a =? ??

??13b

,下列五个关系式:①0

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个 解析:选B

函数y 1=? ????12x 与y 2=? ????13x 的图象如图所示.由? ????12a =? ??

??13b

得,a

26.若存在正数x 使2x

(x -a)<1成立,则a 的取值范围是( )

A .(-∞,+∞)

B .(-2,+∞)

C .(0,+∞)

D .(-1,+∞) [听前试做]

法一:不等式2x

(x -a)<1可变形为x -a

??12x

.在同一平面直角坐标系内作出直线y =x -a 与y =? ????12x

的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a<1,所以a>-1,选D 项.法二:不等式2x

(x -a)<1可变形为a>x -? ????12x

.记g(x)=x -? ??

??12x

(x>0),易知当x 增大时,y =x 与y =-? ??

??12x

的函数值都增大,故g(x)为增函数,又g(0)

=-1,所以g(x)∈(-1,+∞).由题意可知a>-1. 27.对于函数f(x)=4x

-m·2

x +1

,若存在实数x 0,使得f(-x 0)=-f(x 0)成立,则实数m 的

取值范围是( ) A.? ????-∞,12 B.??????12,+∞ C .(-∞,1] D .[1,+∞) 解析:选B 若存在实数x 0,使得f(-x 0)=-f(x 0)成立,即4-x 0-m·2-x 0+1=-4x 0+m·2x 0+1,所以14x 0+4x 0=2m ? ????12x 0+2x 0.令t =2x 0(t>0),则1t 2+t 2

=2m ? ????1t +t ,令λ=1t +

t(λ≥2),所以2m =λ-2λ,令g(λ)=λ-2

λ(λ≥2),易知g(λ)在区间[2,+∞)上单

调递增,所以2m ≥2-22=1,故m ≥1

2

.

28.若存在负实数使得方程2x

-a =1x -1

成立,则实数a 的取值范围是( )

A .(2,+∞)

B .(0,+∞)

C .(0,2)

D .(0,1)

解析:选C 在同一坐标系内分别作出函数y =1x -1和y =2x

-a 的图象,则由图知,当

a ∈(0,2)时符合要求.

29.已知函数f(x)=e |x|

,对任意的x∈[1,m](m>1),都有f(x -2)≤ex ,则最大的正整数m 为________.

解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y 1=e

|x -2|

与y 2=ex 的图象如图所示.当x =4时,

y 1=e 2

,y 2=4e ,此时y 1

,y 2=5e ,此时y 1>y 2,故最大的正整数m 的值为4.

30.已知定义域为R 的函数f(x)=-2x

+b

2x +1+a

是奇函数.

(1)求a ,b 的值; (2)解关于t 的不等式f(t 2

-2t)+f(2t 2

-1)<0.

解:(1)因为f(x)是定义在R 上的奇函数,所以f(0)=0,即-1+b

2+a =0,解得b =1,所以

f(x)=-2x

+12x +1+a .又由f(1)=-f(-1)知-2+1

4+a =--12+11+a

,解得a =2.

(2)由(1)知f(x)=-2x

+12x +1+2=-12+1

2x +1.由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数(此外

可用定义或导数法证明函数f(x)在R 上是减函数).又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t

2

-2t)+f(2t 2

-1)<0等价于f(t 2

-2t)<-f(2t 2

-1)=f(-2t 2

+1).因为f(x)是减函数,由

上式推得t 2-2t>-2t 2+1,即3t 2

-2t -1>0,解不等式可得?

?????t|t>1或t<-13.

31.已知函数f(x)=??

?? ??

??

12x

,x ≥4,

f (x +1),x<4,

则f(2+log 2

3)的值为________. 解析:∵3<2+log 23<4,∴f(2+log 23)=f(3+log 23)=? ??

??123+log 23

=? ????123·? ??

??12log 23

=18×13=124

.

32.设2a =5b

=m ,且1a +1b

=2,则m =________.

解析:∵2a =5b

=m>0,∴a =log 2m ,b =log 5m ,∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10

=2.∴m 2

=10,∴m =10.答案:10

32 (1)函数y =2log 4(1-x)的图象大致是( )

(2)当0

时,4x

(1)函数y =2log 4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A 、B ;又函数y =2log 4(1-x)在定义域内单调递减,排除D.选C.

(2)

构造函数f(x)=4x

和g(x)=log a x.当a>1时不满足条件;当0

?

?0,12上的图象可知,f ? ????1222.所以a 的取值范围为? ????22,1. [探究1] 若将本例(2)中的条件换为“不等式(x -1)2

解析:设f 1(x)=(x -1)2,f 2(x)=log a x ,要使当x∈(1,2)时,不等式(x -1)2

在(1,2)上的图象在f 2(x)=log a x 图象的下方即可.当01时,如图,

要使x∈(1,2)时f 1(x)=(x -1)2

的图象在f 2(x)=log a x 的图象下方,只需f 1(2)≤f 2(2), 即(2-1)2

≤log a 2,又即log a 2≥1.所以1

解:

不等式log a x>(x -1)2

恰有三个整数解,画出示意图可知a>1,其整数解集为{2,3,4},

则应满足?????log a 4>(4-1)2

,log a 5≤(5-1)2

得165≤a<94.即实数a 的取值范围为[165,9

4).

[探究3] 若将本例(2)中的条件换为“已知函数f(x)=?

????log 2x ,x>0,

2x

,x ≤0,且关于x 的方程f(x)

-a =0存在两个实根”,如何求解?

解:

当x ≤0时,0<2x

≤1,由图象可知方程f(x)-a =0有两个实根,即y =f(x)与y =a 的图象有两个交点,所以由图象可知0

A .(1,+∞)

B .(0,1) C.? ??

??0,13 D .(3,+∞) 解析:选D 由于a>0,且a≠1,∴u =ax -3为增函数,∴若函数f(x)为增函数,则f(x)=log a u 必为增函数,因此a>1,又u =ax -3在[1,3]上恒为正,∴a -3>0,即a>3. 34.已知函数f(x)=log a (8-ax)(a >0,a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________.

解析:当a >1时,f(x)=log a (8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1恒成立,则f(x)min =log a (8-2a)>1,即8-2a>a ,解得1<a <8

3.若0<a <1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函

数,由f(x)>1恒成立,则f(x)min =log a (8-a)>1,即8-a

∴a >4,且a <4,故不存在.综上可知,实数a 的取值范围是? ??

??1,83. 35.若非零实数x ,y ,z 满足2x

=3y

=6z

,则有( )

A.x +y z ∈(5,6)

B.x +y z ∈(4,5)

C.x +y z ∈(3,4)

D.x +y z

∈(2,3)

解析:选B 令2x

=3y

=6z

=k(k≠1),则x =log 2k ,y =log 3k ,z =log 6k ,所以

x +y

z

=log 2k +log 3k log 6k =log 2k log 6k +log 3k

log 6k =log 26+log 36=1+log 23+1+log 32=2+log 23+log 32,又2

+log 23+log 32>2+2=4,2+log 23+log 32<2+2+1=5,故选B.

36.已知函数f(x)=10-x

-|lg x|与x 轴有两个交点(x 1,0),(x 2,0),则( ) A .0

解析:选A 令h(x)=10-x

=? ??

??110x

,g(x)=|lg

x|,在平面直角坐标系中作出两函数的简图,

由图可知

? ????110x 1=-lg x 1,? ????110x 2=lg x 2,两式相减得? ????110x 1-? ????110x 2

=-lg x 1-lg x 2=-lg x 1x 2,因为? ????110x 1-? ??

??110x 2

>0,所以lg x 1x 2<0,即0

-3x)+1,则f(lg 2)+f ? ??

??lg 12=________.

解析:∵f (x)=ln(1+9x 2

-3x)+1,∴f(-x)=ln(1+9x 2

+3x)+1,∴f(x)+f(-x)=ln 1+1+1=2,又lg 12=-lg 2,∴f(lg 2)+f ? ??

??lg 12=2. 38.已知函数f(x)=???|lg x|,0

-12x +6,x>10,

若a ,b ,c 互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则

abc 的取值范围是( ) A .(1,10) B .(5,6) C .(10,12) D .(20,24) 解析:

选C 作出f(x)的大致图象.不妨设a <b <c ,因为a 、b 、c 互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),由函数的图象可知10

39.设a>1,若对于任意的x∈[a ,2a],都有y∈[a ,a 2

]满足方程log a x +log a y =3,则a 的所有可能取值构成的集合为________.

解析:依题意得y =a 3

x ,当x∈[a ,2a]时,y =a 3

x ∈[12a 2,a 2]?[a ,a 2

],因此有12a 2≥a ,又

a>1,由此解得a ≥2.答案:[2,+∞]

40.已知函数f(x)=-x +log 21-x 1+x .(1)求f ? ????12 015+f ? ??

??-12 015的值;

(2)当x∈(-a ,a),其中a∈(0,1),a 是常数时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.

解:(1)由f(x)+f(-x)=log 21-x 1+x +log 21+x 1-x =log 21=0,∴f ? ????12 015+f ? ????-12 015=0.

(2)f(x)的定义域为(-1,1),∵f(x)=-x +log 2? ????-1+2x +1,当x∈(-1,1)时,f(x)

为减函数,∴当a∈(0,1),x ∈(-a ,a)时f(x)单调递减,∴当x =a 时,f(x)min =-a +log 21-a

1+a

.

41如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y =f(x)在[0,π]的图象大致为( )

[听前试做] 由题意知,f(x)=|cos x|·sin x ,当x∈?

?????0,π2时,f(x)=cos x ·sin

x =12sin 2x ;当x∈? ??

??π2,π时,f(x)=-cos x ·sin x =-12sin 2x ,故选B.

42.如图所示,函数y =f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若?x ∈R ,f(x)>f(x -1),则正实数a 的取值范围为________.

听前试做] 由题中图象知f(x)为奇函数,当x ≤-2a 或x ≥2a 时,f(x)为增函数,f(x)>f(x -1)恒成立;又?x ∈R ,f(x)>f(x -1),且f(4a)=f(-2a)=a ,故只需4a -(-2a)<1,即a<16,又a 为正实数,故a ∈? ??

??0,16. 43.已知有四个平面图形,分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于x 轴的直线l :x =t(0≤t≤a)经过原点O 向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分),若函数y =f(t)的大致图象如图所示,那么平面图形的形状不可能是( )

解析:选C 观察函数图象可得函数y =f(t)在[0,a]上是增函数,即说明随着直线l 的右移,扫过图形的面积不断增大,从这个角度讲,四个图象都适合.再对图象作进一步分析,图象首先是向下凸的,说明此时扫过图形的面积增加得越来越快,然后是向上凸的,说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢.根据这一点很容易判定C 项不适合.这是因为在C 项中直线l 扫到矩形部分时,面积会呈直线上升.

44.已知f(x) 为偶函数,当x ≥0时,f(x)=?????cos πx ,x ∈??????0,12,2x -1,x ∈? ??

??12,+∞, 则不等式f(x -1)≤12

的解集为( )

A.??????14,23∪??????43,74

B.??????-3

4

,-13∪??????14,23 C.??????13,34∪??????43,74 D.??????-34,-13∪??????13,34

[听前试做] 当0≤x ≤12时,令f(x)=cos πx ≤12,解得13≤x ≤12;当x>1

2时,令f(x)=2x

-1≤12,解得12

4,-13∪??????13,34,故f(x -1)≤12的解集为??????14,23∪????

??43,74,故选A.

[探究1] 在本例条件下,若关于x 的方程f(x)=k 有2个不同的实数解,求实数k 的取值范围.

解:由函数f(x)的图象可知,当k =0或k>1时,方程f(x)=k 有2个不同的实数解.即实数k 的取值范围是k =0或k>1.

[探究2] 在本例条件下,若函数y =f(x)-k|x|恰有两个零点,求实数k 的取值范围. 解:函数y =f(x)-k|x|恰有两个零点,即函数y =f(x)的图象与y =k|x|的图象恰有两个交点,借助函数图象可知k ≥2,即实数k 的取值范围为[2,+∞).

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。

高中高考数学专题复习《函数与导数》

高中高考数学专题复习<函数与导数> 1.下列函数中,在区间()0,+∞上是增函数的是 ( ) A .1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2.函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A .y 轴对称 B .直线y =-x 对称 C .坐标原点对称 D .直线y =x 对称 3.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y .y y C .y =4lgx 与y =2lgx 2 D .y =lgx -2与y =lg x 100 4.下列函数中,既不是奇函数又不是偶函数,且在)0,(-∞上为减函数的是( ) A .x x f ?? ? ??=23)( B .1)(2+=x x f C.3)(x x f -= D.)lg()(x x f -= 5.已知0,0a b >>,且12 (2)y a b x =+为幂函数,则ab 的最大值为 A . 18 B .14 C .12 D .34 6.下列函数中哪个是幂函数( ) A .3 1-??? ??=x y B .2 2-?? ? ??=x y C .3 2-=x y D .()3 2--=x y 7.)43lg(12x x y -++=的定义域为( ) A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8.如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数,则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9.曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学(函数和导数)综合练习含解析 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(题型注释) 1.已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈.3253()422 g x x x x =-+-+ (1)当1a =时,求证:()12,1,x x ?∈+∞,均有12()()f x g x ≥ (2)当[)1,x ∈+∞时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 2.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=,当0≠x 时,0)()(>+'x x f x f ,若)1(f a =,)2(2--=f b , )21(ln )21(ln f c =,则c b a ,,的大小关系正确的是( ) A .b c a << B .a c b << C .c b a << D .b a c << 3.函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值,则实数a 的取值范围是( ) A .[)0,4 B .()0,1 C .()0,4 D .()4,4- 4.在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ,若数列{}n x 是等差数列,数列{}n y 是等比数列,则函数()y f x =的解析式可能为( ) A .()21f x x =+ B .()2 4f x x = C .()3log f x x = D .()34x f x ??= ??? 5.设:x p y c =是R 上的单调递减函数;q :函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R .如果“p 且q ”为假命题,“p 或q ”为真命题,则正实数c 的取值范围是( ) A .1,12?? ??? B .1,2??+∞ ??? C .[)10,1,2??+∞ ??? D .10,2?? ??? 6.如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围 是( ) A .{2}∪(4,)+∞ B .(2,)+∞ C .{2,4} D .(4,)+∞

高中数学函数与导数综合复习

高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理: 1.基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则: 常用函数导数公式:='x ; =')(2 x ;=')(3 x ;=')1 (x ; 初等函数导数公式:='c ; =')(n x ;=')(sin x ;=')(cos x ; =')(x a ; =')(x e ;=')(log x a ;=')(ln x ; 导数运算法则:(1)/ [()()]f x g x ±= ;(2))]'()([x g x f ?= ; (3)/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2.导数的几何意义:______________________________________________________________________; 曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为________________________________________. 3.用导数求函数单调区间的一般步骤: (1)__________________________________; (2)________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值; ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二.巩固练习: 1.一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时 速度是 ( ) A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中,x ?不可能 ( ) A .大于0 B .小于0 C .等于0 D .大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ,则A 处的切线斜率等于 ( ) A .2 B .4 C .6+6x ?+2(x ?)2 D .6 4. 设)(x f y =存在导函数,且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ,则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为( ) A .2 B .-1 C .1 D .-2

高中数学 多项式函数的导数素材

多项式函数的导数 教学目的:会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点:导数运算法则的应用 教学难点:多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =,由定义求)4()(/ /f x f ,并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数: (1)常数函数C y = (2)函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数: 2、导数的运算法则: 如果函数)()(x g x f 、有导数,那么 也就是说,两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数. 例1:求下列函数的导数: (1)37x y = (2)43x y -= (3)3 534x x y += (4))2)(1(2-+=x x y (5)b a b ax x f 、()()(2+=为常数 )

例2:已知曲线331x y =上一点)3 82(,P ,求: (1)过点P 的切线的斜率; (2)过点P 的切线方程. 三、课堂小结:多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习:1、求下列函数的导数: (1)28x y = (2)12-=x y (3)x x y +=2 2 (4)x x y 433-= (5))23)(12(+-=x x y (6))4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A (4,0),B (2,4),求: (1)割线AB 的斜率AB k ;(2)过点A 处的切线的斜率AT k ;(3)点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M (2,6)处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数: (1)1452+-=x x y (2)7352++-=x x y (3)101372-+=x x y (4)333x x y -+= (5)453223-+-=x x x y (6))3)(2()(x x x f -+= (7)1040233)(34-+-=x x x x f (8)x x x f +-=2)2()( (9))3)(12()(23x x x x f +-= (10)x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P (2,-3)处的切线的方程。

高二数学 几种常见函数的导数

高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标:熟记公式(C )'=0 (C 为常数), (x )'=1, ( x 2 )'=2x , 2'11x x -=??? ??.x x 21 )'(= 二、教学重点:牢固、准确地记住五种常见函数的导数,为求导数打下坚实的基础. 教学难点:灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程: (一)公式1:(C )'=0 (C 为常数). 证明:y =f (x )=C , Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说,常数函数的导数等于0. 公式2: 函数x x f y ==)(的导数 证明:(略) 公式3: 函数2)(x x f y ==的导数 公式4: 函数x x f y 1)(==的导数 公式5: 函数x x f y ==)(的导数 (二)举例分析 例1. 求下列函数的导数. ⑴3x ⑵21x ⑶x 解:⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习

求下列函数的导数: ⑴ y =x 5; ⑵ y =x 6; (3);13x y = (4).3x y = (5)x x y 2= 例2.求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3.已知曲线2x y =上有两点A (1,1),B (2,2)。 求:(1)割线AB 的斜率; (2)在[1,1+△x ]内的平均变化率; (3)点A 处的切线的斜率; (4)点A 处的切线方程 例4.求抛物线y =x 2上的点到直线x -y -2=0 的最短距离. (三)课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'=0 (C 为常数), (x )'=1, ( x 2 )'=2x , 2'11x x -=?? ? ??.x x 21)'(= (四)课后作业 《习案》作业四

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二

高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9.已知函数f(x)=x(e2x﹣a). (1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线,求a的值; (2)若f(x)≥1+x+lnx,求a的取值范围. 10.已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (Ⅰ)求a,b,c,d的值; (Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 11.已知函数f(x)=alnx x+1 +b x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y﹣3 =0. (Ⅰ)求a、b的值; (Ⅱ)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx x?1.

12.已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx (a ∈R ). (1)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为x +y ﹣1=0,求a 的值; (2)若f (x )的导函数f '(x )存在两个不相等的零点,求实数a 的取值范围; (3)当a =2时,是否存在整数λ,使得关于x 的不等式f (x )≥λ恒成立?若存在,求出λ的最大值;若不存在,说明理由. 13.已知函数f (x )=4lnx ﹣ax +a+3 x (a ≥0) (Ⅰ)讨论f (x )的单调性; (Ⅱ)当a ≥1时,设g (x )=2e x ﹣4x +2a ,若存在x 1,x 2∈[1 2,2],使f (x 1)>g (x 2), 求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底数,e =2.71828…) 14.已知函数f (x )=a x +x 2﹣xlna (a >0且a ≠1) (1)求函数f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;

2020高考数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 0)('=x f 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值(请同学们参考例5);第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;参考例4; 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++,2x =是)(x f 的一个极值点. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若当[1, 3]x ∈时,2 2()3 f x a ->恒成立,求a 的取值范围. 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . (1)若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6,求函数)(x f y =的解析式;(2)若3>a ,求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 (1)求()f x 在[0,1]x ∈上的值域; (2)若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-, 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+) (0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=,在1-=x 时有极值0,则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2,函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g . (1) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式; (2) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围. 答案: 1、解:(Ⅰ) '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点, ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根,解得32 b =. 令'()0f x >,则2 320x x -+>,解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞,(2, +)∞. (Ⅱ)∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <,(2,3)x ∈时'()0f x >, ∴ ()f x 在(1,2)上单调递减,()f x 在(2,3)上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1,3]上的最小值,且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时,要使 22()3f x a -> 恒成立,只需22(2)3f a >+, 即2 2233 a a +>+,解得 01a <<. 2、解:(Ⅰ)a ax x x f ++='23)(2 . 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ,得 ???=-=23b a . ∴ 233)(23+--=x x x x f . (Ⅱ)023)(2=++='a ax x x f . ∵ 3>a ,∴ 01242>-=?a a .

2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题

2015专题五:函数与导数 在解题中常用的有关结论(需要熟记): (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x ',切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值,则0()0f x '=。反之,不成立。 (3)对于可导函数()f x ,不等式()f x '0>0<()的解集决定函数()f x 的递增(减)区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增(减)的充要条件是:x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值,则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 (若()f x '为二次函数且I=R ,则有0?>)。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数,进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈,()f x 0>恒成立,则min ()f x 0>; 若x I ?∈,()f x 0<恒成立,则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈,使得0()f x 0>,则max ()f x 0>;若0x I ?∈,使得0()f x 0<,则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈,12()()f x g x >恒成立,则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x <. (11)已知()f x 在区间1I 上的值域为A,,()g x 在区间2I 上值域为B , 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得1()f x =2()g x 成立,则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、,且极大值大 于0,极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-()③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->

高中数学函数与导数练习题

1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像,指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间,的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ,且对m 、n R ∈,恒有()()()1f m n f m f n +=+-,且1()02f -=,当12 x >-时,()0f x > (1)求证:()f x 是单调递增函数;(2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数,且(1)(23)f x f x -<-,求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数,对x R ∈有()0f x >,且(5)1f =,设1()()()F x f x f x =+,讨论()F x 的单调性,并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+(其中[,1]x t t ∈+,t R ∈)的最小值为()g t ,求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足:(1)(2)1f =;(2)()()()f xy f x f y =+; (3)当x y >时,有()()f x f y >,若()(3)2f x f x +-≤,求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,a b R ∈, 都满足()()()f ab af b bf a =+ (1)求(0)f ,(1)f 的值;(2)判断()f x 的奇偶性,并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-

高中数学函数与导数常考题型整理归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x -a . 若a ≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ?? ??0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ??1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ????0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ????0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ????1a =ln 1a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ??1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围,通常根据函数的性质得到参数的不等式,再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式,则可以直接解不等式得参数的取值范围;若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时,如求解ln a +a -1<0,则需要构造函数来解.

高中数学导数专题训练

精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是() A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为() A.1 B.2 C.-1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7.曲线f A (1,0)C (1,0)8.函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为() A .' 0()f x B .' 02()f x C .' 02()f x -D .0 二、填空题 11.函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12.已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是.

13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题: 15.求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 (1)求y (2)求 y 18(I (II (III 19(I (II 20.已知x (1)求m (2)求f (3)当x AABCBACCDB 二、填空题 11.递增区间为:(-∞,13),(1,+∞)递减区间为(1 3 -,1) (注:递增区间不能写成:(-∞,1 3 )∪(1,+∞)) 12.(,0)-∞13.3 4 π 14.1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为,

高中数学函数与导数章节知识点总结

高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ,则 的值是______ . 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数,为 的导函数,则 的值为______. 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ,则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ,则 A. B. C. D. 2:设函数满足,则 ______. 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________. 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切,则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切,则直线方程为:

考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切,则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴,则 ________. 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动,设P 点处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ( ) A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中,斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点,则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为( ) A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1:函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11:已知单调性,求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数,则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增,则实数a 的取值范围是______. 考点12:解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数, ,对任意实数都有,则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ,且 , ,则不等式 的解集为______ . 考点13:求具体函数的极值问题 1:函数 ,则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点

最新高中数学导数专题讲义(答案版)

导数专题讲座内容汇总 目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (52) 导数专题四、零点问题 (76) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (168) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (187) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (198) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (211) 导数专题十、极值点偏移问题 (216) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (224)

导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义:利用导函数的正负来判断原函数单调性; 二、分类讨论求函数单调性:含参函数的单调性问题的求解,难点是如何对参数进行分类讨论,讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤: 第一步、求函数的定义域、求导,并求导函数零点; 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论;当导函数存在多个零点的时,讨论他们的大小关系及与区间的位置关系(分类讨论); 第三步、画出导函数的同号函数的草图,从而判断其导函数的符号(画导图、标正负、截定义域); 第四步、(列表)根据第五步的草图列出()'f x ,()f x 随x 变化的情况表,并写出函数的单调区间; 第五步、综合上述讨论的情形,完整地写出函数的单调区间,写出极值点,极值与区间端点函数值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点: 1.最高次项系数是否为0; 2.导函数是否有极值点; 3.两根的大小关系; 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路: (1)已知函数在区间上单调递增或单调递减,转化为或恒成立; (2)已知区间上不单调,转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参变量的范围; (3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间,转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 (1)参变分离; (2)导函数的根与区间端点直接比较; ()0f x '≥()0f x '≤

高中数学函数导数专题

专题六函数导数专题 函数是高考考查能力的重要素材,以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重.这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.一般说来,选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识,关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透,着力体现概念性、思辨性和应用意识.解答题大多以基本初等函数为载体,综合应用函数、导数、方程、不等式等知识,并与数学思想方法紧密结合,对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查,体现了能力立意的命题原则.这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位.在中学引入导数知识,为研究函数的性质提供了简单有效的方法.解决函数与导数结合的问题,一般有规范的方法,利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤,具有较强的可操作性.高考中,函数与导数的结合,往往不是简单地考查公式的应用,而是与数学思想方法相结合,突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等,所考查的问题具有一定的综合性.在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法,有一道解答题综合考查函数与导数,特别是导数在研究函数问题中的应用,这道解答题是试卷的把关题之一. 【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,导数及其应用、微积分及微积分基本定理等. 【例题解析】 题型1 函数的概念及其表示 例1 (2008高考山东文5)设函数 2 2 11 () 21 x x f x x x x ?- ? =? +-> ?? ,, ,, ≤ 则 1 (2) f f ?? ? ?? 的值为()A. 15 16 B. 27 16 -C. 8 9 D.18 分析:由内向外逐步计算. 解析:()() 11 24, 24 f f ==,故 () 2 11115 1 24416 f f f ?????? ==-= ? ? ? ????? ?? .答案A. 点评:本题考查分段函数的概念和运算能力.解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式,求出函数值. 例2如图,函数() f x的图象是曲线OAB,其中点,, O A B的坐标分别为() 0,0,(1,2),(3,1),则 () 1 3 f f ?? ? ? ??的值等于. 分析:从图象上理解自变量与函数值的对应关系. 解析:对于(3)1, f=(1)2 f=. 点评:图象是表示函数的一种方法,图象上反应了这个函数的一切性质. 题型2 函数的图象与性质 例3已知m为非零实数,若函数ln(1) 1 m y x =- - 的图象关于原点中心对称,则m=.

高中数学专题复习:专题复习(六)——函数与导数

专题复习(六)—— 函数与导数 (一)知识梳理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数 一般地,函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx ,我们称它为函数y =f (x )在x =x 0处的导数,记作f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=lim Δx →0 Δy Δx =lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx . (2)导数的几何意义 函数f (x )在x =x 0处的导数就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率. (3)函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )=lim Δx →0 f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.基本初等函数的导数公式 3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′=f ′(x )±g ′(x ); (2)[f (x )·g (x )]′=f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x ); (3)????f (x )g (x )′=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0). 4.函数的单调性与导数的关系 已知函数f (x )在某个区间内可导,则 (1)如果f ′(x )>0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递增; (2)如果f ′(x )<0,那么函数y =f (x )在这个区间内单调递减; (3)若f ′(x )=0恒成立,则f (x )在这个区间内是常数函数. 5.理清导数与函数单调性的关系

高中数学专题——函数导数专题

专题六函数导数专题 【命题趋向】函数是高考考查能力的重要素材,以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重.这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题,也有以解答题形式出现的试题.一般说来,选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识,关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透,着力体现概念性、思辨性和应用意识.解答题大多以基本初等函数为载体,综合应用函数、导数、方程、不等式等知识,并与数学思想方法紧密结合,对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查,体现了能力立意的命题原则.这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位.在中学引入导数知识,为研究函数的性质提供了简单有效的方法.解决函数与导数结合的问题,一般有规范的方法,利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤,具有较强的可操作性.高考中,函数与导数的结合,往往不是简单地考查公式的应用,而是与数学思想方法相结合,突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等,所考查的问题具有一定的综合性.在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法,有一道解答题综合考查函数与导数,特别是导数在研究函数问题中的应用,这道解答题是试卷的把关题之一.【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,导数及其应用、微积分及微积分基本定理等. 【例题解析】 题型1 函数的概念及其表示 例1 (2008高考山东文5)设函数 2 2 11 () 21 x x f x x x x ?- ? =? +-> ?? ,, ,, ≤ 则 1 (2) f f ?? ? ?? 的值为( ) A. 15 16 B. 27 16 -C. 8 9 D.18 分析:由内向外逐步计算. 解析:()() 11 24, 24 f f ==,故 () 2 11115 1 24416 f f f ?????? ==-= ? ? ? ????? ?? .答案A. 点评:本题考查分段函数的概念和运算能力.解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式,求出函数值. 例2(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题)如图,函数() f x的图象是曲线OAB,其中点,, O A B的坐标分别为() 0,0,(1,2),(3,1),则 () 1 3 f f ?? ? ? ?? 的值等于. 分析:从图象上理解自变量与函数值的对应关系. 解析:对于(3)1, f=(1)2 f=. 点评:图象是表示函数的一种方法,图象上反应了这个函数的一切性质. 题型2 函数的图象与性质

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