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高中数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习

题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；

不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：

第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4；

例1.已知函数321()23

f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3

f x a ->恒成立，求a 的取值范围．例2.已知函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P .

（1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。

例3.设2

2(),1

x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；

（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。

例4.已知函数

32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-，

326()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。例5.已知定义在R 上的函数

32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数

()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.

例6.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a

x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22

+-=a bx x f x g ．（1）若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；

（2）若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b

≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．答案：

1、解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点，

∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32

b =. 令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >.

∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞.

（Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，

∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时，要使

22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+，即22233a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）

a ax x x f ++='23)(2．由题意知???=+-=-'==623)1(2)0(a a f

b f ，得 ???=-=23b a ． ∴233)(23+--=x x x x f ．

（Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵3>a ，∴01242>-=?a a ．

由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或3

32a a a x -+->，由0)(<'x f 解得3

33322a a a x a a a -+-<<---． ……………10 ∴)(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),3

3(2+∞-+-a a a ； )(x f 的单调减区间为：)3

3,33(22a a a a a a -+----．……12分 3、解：(1)法一:(导数法)2222

4(1)224()0(1)(1)x x x x x f x x x +-+'==≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增，∴()f x 值域[0,1]。

法二:220,0

22(),(0,1]111x x f x x x x x

=???==?∈+?+??, 复合函数求值域. 法三:2222(1)4(1)22()2(1)4111

x x x f x x x x x +-++===++-+++用双勾函数求值域. (2)()f x 值域[0,1]，()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --.

由条件,只须[0,1][52,5]a a ?--，∴5205451

2a a a -≤??≤≤?-≥?. 特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；

4、解：（Ⅰ）/2

()32f x x ax =+∴/(1)31f b a

?=-?=+?，解得32a b =-??=-? （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又

min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-==

∴()f x 的值域是[4,16]-

（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2

t h x f x g x x t x x =-=-++-∈ ∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-

（1）当[1,2)x ∈时226,2x t x x

-≤- 解得1t ≤-；（2）当2x =时 t R ∈；

（3）当(2,4]x ∈时2262x t x x -≥-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞ 特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；

5、解：（Ⅰ）

32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-

令'()f x =0,得[]1240,2,13

x x ==?-

因此

)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-，

即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴.52(23+-=x x x f ）

（Ⅱ）∵x x x f 43)(2-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ，令x x xt t g 43)(2-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需???≤≤-0)10)1(（g g ，即?

??≤-≤-005322x x x x ，解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1].

6、11 （说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）

7、解：∵223)(x a x f ?=

'，∴由3322=?x a

有a x ±=，即切点坐标为),(a a ，),(a a -- ∴切线方程为)(3a x a y -=-，或)(3a x a y +=+，整理得023=--a y x 或023=+-a y x ∴5

102)1(3|

22|22=-+--a a ，解得1±=a ，∴3)(x x f =，∴33)(3+-=bx x x g 。（1）∵b x x g 33)(2-='，)(x g 在1=x 处有极值，∴0)

1(='g ，即03132=-?b ，解得1=b ，∴33)(3+-=x x x g

（2）∵函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，∴033)(2≥-='b x x g 在区间]1,1[-上恒成立，∴0≤b ，又∵)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上恒成立，∴)1(42g mb b ≥+-，即b mb b 3442-≥+-，∴3+≥b m 在]0,(-∞∈b 上恒成立，∴3≥m ∴m 的取值范围是[)+∞,3

题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题；

（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：

第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；

第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；

第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）；

（2）函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例8．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3

1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

例9.已知函数.313)(23a

x ax x f -+-= （I ）讨论函数)(x f 的单调性。

（II ）若函数)(x f y =在A 、B 两点处取得极值，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围。

例10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，其中a 为实数．

(Ⅰ)求导数f '(x )；(Ⅱ)若f '(－1)＝0，求f (x )在[－2，2]上的最大值和最小值；

(Ⅲ)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围

例11.已知：函数

c bx ax x x f ++-=23)(

（I ）若函数)(x f 的图像上存在点P ，使点P 处的切线与x 轴平行，求实数b a , 的关系式；

（II ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值且图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围.

例12．设()y f x =为三次函数，且图像关于原点对称，当12x =时，()f x 的极小值为1-．

（Ⅰ）求

()f x 的解析式；

（Ⅱ）证明：当),1(∞+∈x 时，函数()f x 图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．例13．在函数

)0()(3≠+=a bx ax x f 图像在点（1，f （1））处的切线与直线.076=++y x 平行，导函数)('x f 的最小

值为－12。（1）求a 、b 的值；（2）讨论方程m x f =)(解的情况（相同根算一根）。

例14．已知定义在R 上的函数),,()(3R c b a c bx ax x f ∈++=，当1-=x 时，)(x f 取得极大值3，1)0(=f .

（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）已知实数t 能使函数f (x)(t,t 3)+在区间上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数

t 组成的集合为M.请判断函数()()()f x g x x M x

=∈的零点个数. 例15.已知函数)(,42)1(3)(223x f k x k kx x f 若+-+-=的单调减区间为（0，4）

（I ）求k 的值；

（II ）若对任意的)(52],1,1[2t f a x x x t =++-∈的方程关于总有实数解，求实数a 的取值范围。例16.已知函数

b a R x x bx ax x f ,,()(23∈-+=是常数)，且当1=x 和2=x 时，函数)(x f 取得极值. （Ⅰ）求函数

)(x f 的解析式；（Ⅱ）若曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.

例17.已知函数正项数列满足：00

=a ，11=a ，点),(11n n n n n a a a a P -+在圆2522=+y x 上，)(N n ∈)(+∈N n （Ⅰ）求证：n n n a a a 2

511=

+-+；（Ⅱ）若n n n a a b 21-=+)(+∈N n ，求证：}{n b 是等比数列；（Ⅲ）求和：n nb b b b ++++ 32132 例18.函数m x t x x f +-=233)(（,0,>∈t R x m 、t 为常数）是奇函数。

（Ⅰ）求实数m 的值和函数)(x f 的图像与x 轴交点坐标；（Ⅱ）设|)(|)(x f x g =，[]1,0∈x ，求)(x g 的最大值)(t F .

例19.已知f (x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋2．

⑴若f(x)在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值；

⑵若函数y ＝x 2＋x －5的图象与函数y ＝

x k 2-的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．例20. 设函数ax x x x f +-=

233

1)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值. （1）求a 的值，并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；

（2）当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求b 的取值范围.

例21.已知5)(23-+-=x x kx x f 在R 上单调递增，记ABC ?的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，若

ac b c a +≥+222时，不等式[]

332()cos(sin 2+<+++m f C A B m f 恒成立．（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）求角B cos 的取值范围；（Ⅲ）求实数m 的取值范围。答案：

8解：（1）由题意

x k x x f )1()(2+-='∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数， ∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立

即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k

（2）设3

12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h

令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，

①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意…②当1

况如下表： x ),(k -∞ k )1,(k 1 ),1(+∞

高中数学,函数图形考点及题型全归纳

第五节函数的图象 ? 基础知识 1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位 a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→ b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0