高考试卷中的N 型函数零点个数问题解析
近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。
N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。
例1、（2006年福建高考卷）已知函数2()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。 （Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解法一：（I ）2
2
()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，
22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++
当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==
当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2
()()8.h t f t t t ==-+
综上，2267,3,
()16,34,8,4t t t h t t t t t ?-++
=≤≤??-+>?
（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数
()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
22()86ln ,
62862(1)(3)
'()28(0),
x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=
()(1)7,()(3)6ln315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值
当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>
∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
()70,
()6ln 3150,x m x m φφ=->???
=+-
最大值最小值 即7156ln 3.m <<-
所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m
的取值范围为(7,156ln 3).-
解法二；（Ⅱ）构作函数2
()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >；
求导得：22862(1)(3)
'()x x x x x x x
?-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下：
依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，
()0x ?<，
当x 充分大时，()0x ?>，为此有：70
7156ln36ln3150
m m m ??=->??<<-?
=+-
故m 的取值范围为7156ln 3-（，）。
例2、（2008年四川高考卷）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点。
（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围。
解析：（Ⅰ）因为()'
2101a f x x x =
+-+ 所以()'361004
a
f =+-= 因此16a = （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()()2
16ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞ ()()2'
2431x x f x x
-+=
+
当()
()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >
当()1,3x ∈时，()'
0f x <
所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞()f x 的单调减区间是()1,3
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()()()2
16ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞，
()()22432(1)(3)
11x x x x f x x
x
-+--'=
=
++，()1,x ∈-+∞，
故函数单调性与极值情况如下表： 因此，()()21616101616ln291f f =-?>-=，()
()2
13211213f e f --<-+=-<，
所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞上，直线y b =与()y f x =的图象有三个交点，当且仅当()()31f b f <<；因此，b 的取值范围为()32ln221,16ln29--。
例3、（2009年陕西高考卷·文）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠。 （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。
解析：（Ⅰ）'22()333(),f x x a x a =-=- 当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >
∴当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞
当0a >时，由'()0f x >
解得x <
x >
由'()0f x <
解得x <<
∴当0a >时，()f x 的单调增区间
为(,,)-∞+∞；()f x 的单调减区间
为()。
（Ⅱ）因为()f x 在1x =-处取得极大值，所以()2
13(1)30f a '-=?--=，
得：1a =，继而3()31f x x x =-+，2()33f x x '=-，由()0f x '=解得121,1x x =-=。如下表
因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，
(3)171f =>，结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是3-（，1）。
评述：以上三例为两个函数图象（或一条直线与一个函数图象）有三个不同交点的问题，都可以转化为一个N 型函数()f x 有三个零点问题，即方程()0f x =或()f x m =有三个根
的问题，列相应不等式组， 0
0f f >??
或f m f <<极小极大，解出参数范围，如下图。
例4、（2007年全国高考Ⅱ卷）已知函数3()f x x x =-。 （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（Ⅱ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<。 解析：（Ⅰ）切线方程为： 2
3
(31)2y t x t =--。
（Ⅱ）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23
(31)2b t a t =--，即
32230t at a b -++=。于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根。
记32()23g t t at a b =-++，则 2
()66g t t at '=-6()t t a =-。
当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一
0f <极小
0>极大
图一（1）
图一（2）
个实数根；
当0a b +=时，解方程()0g t =得302
a
t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；
当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2
a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．
综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，
则0
()0
a b b f a +>??
-
例5、（2010年湖北高考卷·文）设函数221()32
a
f x x x bx c =-++，其中0a >，
曲线()y f x =在点(0,(0))p f 处的切线方程为1y =。
（Ⅰ）确定,b c 的值；
（Ⅱ）设曲线()y f x =在点1122(,())(,())x f x x f x 及处的切线都过点（0,2）.证明：当12x x ≠时，12()()f x f x ''≠；
（Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围。
解析：（Ⅰ）由f(x)=x 3-x 2+bx+c 得:f(0)=c,f'(x)=x 2-ax+b,f'(0)=b.
又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f'(0)=0.故b=0,c=1. （Ⅱ）证明:f(x)=x 3-x 2+1,f'(x)=x 2-ax.
由于点(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f'(t)(x-t),而点(0,2)在切线上,所以2-f(t)=f'(t)(-t), 化简得t 3-t 2+1=0,即t 满足的方程为t 3-t 2+1=0. 下面用反证法证明.
假设f'(x 1)=f'(x 2),由于曲线y=f(x)在点(x 1,f(x 1))及(x 2,f(x 2))处的切线都过点(0,2),则下列等式成立:由③得x 1+x 2=a.由①-②得+x 1x 2+=a 2.④ 又+x 1x 2+=(x 1+x 2)2-x 1x 2=a 2-x 1(a-x 1)=-ax 1+a 2=+a 2≥a 2, 故由④得x 1=,此时x 2=与x 1≠x 2矛盾.所以f'(x 1)≠f'(x 2).
（Ⅲ） 32
1()132
a f x x x =
-+， 2'()f x x ax =-。 由于点(,())t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-，而点（0,2）在切线上，
所以2()()(0f t f t t '-=-，化简得
32
21032
a t t -+=，即t 满足的方程为32
21032
a t t -+=。过点（0,2）可作()y f x =的三条切线，等价于方程2()()(0)f t f t t '-=-有三个相异的实根，即等价于方程3221032
a
t t -+=有三个相
异的实根。设322()132
a
g t t t =-+，则2()2g t t at '=-。令2()2g t t at '=-＝0得
120,(0)2
a
x x a ==>
由32()132g t t t =-+的单调性知，要使32()132
g t t t =-+=0有三个相异的
实根，当且仅当10>，3
1024
a -<，即a >。故a 的取值范围是+∞（）。 例6、（2008年湖南高考卷·文）已知函数43219
()42
f x x x x cx =+-+有三个极值点。 （Ⅰ）证明：275c -<<；
（Ⅱ）若存在c ，使函数()f x 在区间[]2a a +，上单调递减，求a 的取值范围。 解析：（I ）证明：因为函数43219
()42
f x x x x cx =
+-+有三个极值点，也即 32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根。
设3
2
()39g x x x x c =+-+，则2
()3693(3)(1)g x x x x x '=+-=+-，其单调性与极值如下表：
由于()0g x =有三个不同实根，所以(3)0g ->且(1)0g <。即2727270c -+++>，且1390c +-+<，解得27,c >-且5,c <故275c -<<。 （II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点.
不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x 若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，
则[],2a a +?1(]x -∞，, 或[],2a a +?23[,]x x ,
若[],2a a +?1(]x -∞，,则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <- 若[],2a a +?23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<
又32()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2()(3)(3)f x x x '=-+; 当5c =时，2
()(5)(1)f x x x '=+-.
因此, 当275c -<<时，31 3.x <<所以3,a >-且2 3.a +≤
即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时， 总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减.
综上所述, a 的取值范围是(5)(3,1)-∞--，.
评述：例4、例5为过某定点可作曲线（或函数图像）的三条切线的条件问题，此问题可以转化为一个N 型函数有三个零点问题，即方程()0f x =或()f x m =有三个根的问题。而例6则是原函数()f x 有三个极值点的问题，它等同于其导函数()f x '（是N 型函数）有三个零点问题，即可转化为方程()0f x '=有三个根的问题。
例7、（2005年全国高考Ⅱ卷·文）设a 为实数，函数3
2
()f x x x x a =--+。
（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点。 解析：(I)2()321f x x x '=--，令()0f x '=，则11
3
x =-，21x =。 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
∴()f x 的极大值是()327
f a -=
+，极小值是(1)1f a =- (II)函数32
2()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++-，由此可知，取足够大的正数时，
有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点。
结合()f x 的单调性可知： 当()f x 的极大值
527a +<0，即5
(,)27
a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上；当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)
时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－
1
3
)上。 综上所述，当5
(,)27
a ∈-∞-
∪(1,)+∞时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。 例8、（2009年江西高考·文）设函数3
29()62
f x x x x a =-+-。
（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围。
解析：（1）求导得：22
3
33
()3(32)3()2
44
f x x x x '=-+=--
≥-，对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立等价于min 3[()]4m f x '≤=-，故m 的最大值为3
4
-。
（2）因2()3(32)3(1)(2)f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，则11x =，22x =。 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
∴()f x 的极大值是(1)2f a =
-，极小值是(2)2f a =-且函数()f x 定义域为(,)-∞+∞，依题意知，5
(1)02
f a =-<或(2)20f a =->，故a 的取值范围为
5
(,2)(,)2
-∞+∞U 。
评述：N 型函数零点问题的核心就是找出零点个数的相关条件，即()0f x =有三个根，
须满足0
0f f >??
；()0f x =有两个根，须满足0f =极大或0f =极小；()0f x =有一个根，
须满足0f <极大或0f >极小（如下图二所示）。若()(0)f x m m =≠，则可以转化为
()()0g x f x m =-=。
N 型函数零点个数问题的题型是在函数定义域优先情况下把函数单调性、极值与函数零
点个数条件很好结合并求参数范围的题型。作用：⑴考查函数单调性；⑵考查函数极值；⑶考查函数零点的个数条件；⑷考查曲线或函数图象中过定点切线个数等；难度：在掌握解题模式下应属于中等偏易题，适合考查文科生，此题型是高考命题者比较青睐的题型，是高考文科类导数命题的一个方向，因此也是高三学生（含理科生）科学备考必须掌握的典型题。
N 型函数零点个数问题的解题模式与套路：求含参函数的定义域→求导函数→列表（写出函数单调区间、单调性、极值点、极值）→转化为N 型函数零点个数问题（即方程()0f x =或()f x m =的根的个数问题）→列相应不等式或不等式组，求出参数的取值范围。
()y f x =
()y f x =
1x
2x
2x
1x f 极小
f 极大
图二（1）
图二（2）
3根 2根 2根 1根 1根
函数的零点 1、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x 轴有交点?函数y=f(x)有零点 注意：零点是一个实数,不是点。 练习：函数23)(2 +-=x x x f 的零点是（ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ.１，２ 方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。 方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。 方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。 ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x 3-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x 2-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3x Ⅱ结合函数的图像判断函数f(x)=x 3-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数 例，当a>0时，方程ax 2+bx+c=0的根与函数y=ax 2+bx+c 的图象之间的关系如下表： 练习：如果函数f(x)= ax 2-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。 3、零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。 例1：观察二次函数f (x)=x 2- 2x - 3的图象: ① 在区间[-2，1]上有零点_______； f (-2)=_____，f (1)=_____， f (-2) · f(1)___0（< 或 > 或 =） ② 在区间[2，4]上有零点_______； f (2) · f(4)___0（< 或 > 或 =） 例1图 例2图 例2：观察函数 y = f (x)的图象: ①在区间[a ，b]上___(有/无)零点； f (a) · f(b)___0（< 或 > 或 =） ②在区间[b ，c]上___(有/无)零点； f (b) · f(c)___0（< 或 > 或 =） 练习：①判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点? 4、函数最值： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x0∈I ，使得f(x0) = M ，那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 方法：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). 练习：①函数 f （x ）= )1(11 x x --的最大值是______ ②函数f （x ）=ax （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值 大2a ，则a 的值为______ ③设a 为实数，函数f （x ）=x2+|x －a|+1，x ∈R. （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值. ④已知二次函数f （x ）＝（lga ）x2＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值.
函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数 222 3+--=x x x y 的零点就是求方程 0222 3=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴ 2(2) (2) x x x --- = ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数 ()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是 一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区 间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系 数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在 []1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440 a a a a ?=++=++=, 解得 37 2a -±= ①当 37 2a --= 时, ()y f x =恰有一个零 点在[ ] 1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时， () y f x =在[ ] 1,1-上也恰有一个零点。 ③当()y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<-
第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1 答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当0 2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出 函数的零点及判断零点个数提高题 1．已知函数()22,52,x x a f x x x x a +>?=?++≤?，函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,1- B ．[]0,2 C ．[)2,2- D ．[)1,2- 【答案】D ． 【解析】 22()()232x x a g x f x x x x x a -+>?=-=?++≤?，而方程20x -+=的解为2，方程 2320x x ++=的解为1-或2-，所以?? ???≤-≤-->，当1x ≤-?1x -≥，又f （x ）为奇函数， ∴0x <时， ()(] 12log (1),1,0()()13,,1x x f x f x x x ?--+∈-?=--=??-+--∈-∞-?，（也可以不求解析式，依 据奇函数的图象关于原点对称，画出y 轴左侧的图象），画出y =f （x ），y =a （01a <<）的图象，如图 共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则45123,322 x x x x ++=-= 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(北京)设函数f (x )＝????? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (天津)已知函数f (x )＝? ??? ? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实 数a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 函数零点个数问题赏析 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 近年高考试卷中的N 型函数零点个数问题赏析 近些年来，有不少的N 型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N 型函数零点个数问题呢，就是含参函数()y f x =在其定义域内连续可导，有两个极值点1x 、2x 并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程()0f x =或()f x m =的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数()y f x =在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。 N 型函数有哪些呢？一可能是三次函数3 2 ()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠，二可能是函数 2()ln()f x ax bx x t =+++(0)a ≠，它们在定义域内都必须有两个极值点。 例1、（2006年福建高考卷）已知函数2 ()8f x x x =-+，()6ln g x x m =+。 （Ⅰ）求f (x )在区间[,1]t t +上的最大值()h t ； （Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数2 ()()()86ln x f x g x x x x m ?=-=-++，0x >； 求导得：22862(1)(3) '()x x x x x x x ?-+--==，0x >，函数单调性与极值列表如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,)+∞ '()x ? + - + ()x ? 7m ?=- 极大 6ln 315m ?=+-极小 依题意，转化为函数()x ?图象与x 轴的交点为3时情形，当x 充分接近0时，()0x ?<，当x 充分大时，()0x ?>，为此有：707156ln 36ln 3150m m m ??=->? ?<<-? =+- 高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()( 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()( 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点 （C ）无论a 为何值，均有2个零点 （D ）无论a 为何值，均有4个零点 8、设R 上的函数2lg (>0) ()-2(0)x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2 +=x f x f 的零点的个数为【 】． A 2 B 3 C 5 D 7 函数零点经典习题 一．选择题 1．函数f(x)=-x2+4x-4在区间[1，3]上的零点情况是： A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点 2函数f(x)=(x2-4)/(x-2)的零点是 A -2，2 B 2 C -2 D 不存在 3.函数f(x)=x2+27/x的零点是 A -3 B -1/3 C 3 D 1/3 4.如果方程2ax2+x-3=0在区间（0，1）内有一个解，则a的取值范围是 A a<-1 B a>1 C -1 9.函数f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是3，5 则函数g(x)=bx 2-ax-1的零点是 A -3，-5 B 3，5 C -1/3，-1/5 D 1/3，1/5 1.函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,2 1 D.(1,2) 2.若0x 是方程31 )2 1 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ． ?? ? ??1,3 2 . B ．?? ? ??32,21 . C ．?? ? ??21,31 D ．?? ? ? ?31,0 3.函数x x x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)1 ,1(e 和)4,3( D ．),(+∞e 二．填空题 10．已知函数f9x)=x 2-1则函数f(x+2)的零点是------------ 11．方程x 2-2x-5=0在区间（2，3）内有实数根，取区间的中点x 0=2.5，下一个有根区间是------------- 12．若函数f(x)=ax+b 的零点是-3则函数g(x)=bx 2-ax 的零点是-------- 10.若函数 a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()( 教学目标： 1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 . 2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力. 3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想. 重点、难点： 教学过程： 一．自主达标 1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做 ． ２．把一个函数的图像与 叫做这个函数的零点． ３．二次函数ｙ＝ａ2x ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０），当 Δ＝2b －４ａｃ＞０时，二次函数有 个零点； Δ＝2b －４ａｃ＝０时，二次函数有 个零点； Δ＝2b －４ａｃ＜０时，二次函数有 个零点． ４．二次函数零点的性质： （１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点）， ． （２）在相邻的两个零点之间所有 ． 二。典例解析 例１．若函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值． 例1、解：函数ｆ（ｘ）＝2x ＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程2x ＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知???=-?-=-+b a )4(2)4(2得ａ＝２，ｂ ＝－８． 评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键． 例２．求证：方程５2x －７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上． 例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５2x －７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点． 即方程５2x －７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上． 评析：判断函数是否在（ａ，ｂ）上存在零点，除验证ｆ（ａ）?ｆ（ｂ）＜０是否 函数零点 一、知识点回顾 1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 注意：（1）零点不是点； （2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(++c bx ax 的解集是 例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围． 变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<< 《函数的零点》课堂教学设计 一．教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。 1．知识背景 2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 三．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 具体流程设计 一、创设情境 画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一
函数的零点及判断零点个数提高题
高中数学专题练习-函数零点问题
函数的零点问题
高中数学-函数零点问题
函数零点个数问题赏析
高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法
高中数学题型解法归纳《函数的零点个数问题》
函数零点问题(讲解)
复合函数的零点个数问题
函数零点经典习题
高中数学-函数零点问题及例题解析
第13讲 函数的零点个数问题的求解方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析 (1)
(新课程)高中数学 2.4.1《函数的零点》教案 新人教B版必修1
求函数零点的几种方法
高中数学必修一《函数的零点》优秀教学设计
相关主题
文本预览