§9.8曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫
作方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，
并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个
曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；
方程组无解，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的
交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(√)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2. (×)
(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．(×) 2．方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0的曲线形状是()
答案 C
解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或?
????
x 2＋y 2－4＝0，
x ＋y ＋1≥0，
它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分． 3． 已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的
一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是
( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
答案 D
解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.
4． 已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →
＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________．
答案 y 2＝x
解析 PB →＝(3－x ，－y )，P A →
＝(－2－x ，－y )，
∴P A →·PB →＝(3－x )(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x .
5． 已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形
的面积为________． 答案 4π
解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆． 即轨迹所包围的面积等于4π.
题型一 定义法求轨迹方程
例1 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，
又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
思维启迪 利用两圆内、外切的充要条件找出点M 满足的几何条件，结合双曲线的定义求解．
解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则 由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1； 由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3.
∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74
.
∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32
)．
思维升华 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．
已知点F ????14，0，直线l ：x ＝－1
4
，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是
( )
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．圆
D ．抛物线
答案 D
解析 由已知得，|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．
题型二 相关点法求轨迹方程
例2 设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，
求△ABC 的重心的轨迹方程．
思维启迪 设△ABC 的重心坐标为G (x ，y )，利用重心坐标公式建立x ，y 与△ABC 的顶点C 的关系，再将点C 的坐标(用x ，y 表示)代入抛物线方程即得所求．
解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，
点C 的坐标为C (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由方程组：?
????
x －y ＝4a ，
y 2＝4ax
消去y 并整理得： x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，
y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . 由于G (x ，y )为△ABC 的重心， ∴???
x ＝x 0
＋x 1
＋x 2
3＝x 0
＋12a
3
，y ＝y 0
＋y 1
＋y 2
3＝y 0
＋4a
3
，
∴?
????
x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，
∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得： (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a
3
(x －4a )．
又点C 与A ，B 不重合，∴x ≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y －4a 3)2＝4a
3(x －4a )(x ≠(6±25)a )．
思维升华 “相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
?????
x 1＝f (x ，y )，y 1
＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →
，当点P
在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程． 解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，
∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →
＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，
∴x 0＋y 20＝0.
由MN →＝2MP →
得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，
∴?????
x －x 0＝－2x 0
y ＝2y 0，即?
?
???
x 0＝－x
y 0＝12
y .
∴－x ＋y 2
4
＝0，即y 2＝4x .
故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 题型三 直接法求轨迹方程
例3 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．
思维启迪 (1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系； (2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．
(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点，
∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．
又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .
(2)证明 由题意，设直线l 的方程为 y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.
由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk
k 2，
① x 1x 2＝b 2
k
2，
②
因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以y 1x 1＋1＝－y 2
x 2＋1，
即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0
③
将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，
∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．
思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略．如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步．求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x
轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程． 解 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 是线段AB 的中点，
∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∴P A →＝(2x －2，－4)，PB →
＝(－2,2y －4)． 由已知P A →·PB →
＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0， 即x ＋2y －5＝0.
∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.
分类讨论思想在曲线与方程中的应用
典例：(12分)已知抛物线y 2
＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的右焦点恰为抛物线
的焦点，且椭圆的离心率为1
2.
(1)求抛物线与椭圆的方程；
(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP |
|OQ |＝λ(λ≠0)，
试求Q 的轨迹．
思维启迪 由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准
的确立有两点：一是二次项系数分别为0时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确． 规范解答
解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2.
[2分]
所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)， 即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1.
又椭圆的离心率为1
2，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，
故椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
[6分]
(2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，
因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 20
3＝1，
解得y 20＝3－34
x 2
. 由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34
x 2
x 2＋y
2＝λ2.
得(λ2－1
4)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．
[9分]
当λ2＝14，即λ＝1
2
时，
得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段； 当λ2
<14，即0<λ<12时，得到x 23
λ2－
14＋y 2
3λ2
＝1，
此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分； [11分]
当λ2
>14，即λ>12时，得到x 23
λ2
－
14＋y 2
3λ2
＝1，
此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分． [12分]
温馨提醒 此题求轨迹既有直接法，又有相关点法．求出轨迹方程后，容易忽略x 的范围，
导致轨迹图形出错．
备考建议：(1)区分求轨迹方程与求轨迹的问题．
(2)对常见的曲线特征要熟悉掌握．
(3)除此之外，正确进行化简与计算是必须具备的基本能力.
方法与技巧
求轨迹的常用方法
(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或
这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程．
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，
再由条件确定其待定系数．
(3)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义
采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．
(4)代入法(相关点法)：
当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动．如果相关点P所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或代入法．
失误与防范
1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．
2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是() A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C
D ．以上说法都正确 答案 C
解析 曲线C 可能只是方程f (x ，y )＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C 正确． 2． 设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为 ( )
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．圆
答案 A
解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．
3． 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为
( )
A ．y 2＝2x
B ．(x －1)2＋y 2＝4
C ．y 2＝－2x
D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D
解析 由题意知P 到圆心(1,0)的距离为2， ∴P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.
4． △ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹
方程是
( )
A.x 29－y 2
16＝1 B.x 216－y 2
9
＝1 C.x 29－y 2
16＝1 (x >3) D.x 216－y 2
9＝1 (x >4) 答案 C
解析 如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 2
9－
y 2
16
＝1 (x >3)． 5． 有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P
的轨迹为
( )
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲线
答案 D
解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ， 由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝
32R ，即|x |＝32
R . 而R ＝|PF |＝(x －a )2＋y 2， ∴|x |＝
3
2
·(x －a )2＋y 2. 整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2， 即(x ＋3a )212a 2－y 24a 2＝1.
∴点P 的轨迹为双曲线． 二、填空题
6． 设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，
则点M 的轨迹为__________． 答案 椭圆
解析 如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是|AM |＝ |PM |，又由于10＝|OP |＝|OM |＋|MP |＝|OM |＋|MA |，即|OM |＋|MA | ＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0 )的距离之和是10，故 动点M 的轨迹是以O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长 是5的椭圆．
7． 已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为
________________． 答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) 解析 设A (x ，y )，则D (x 2，y 2)，
∴|CD |＝
(x 2－5)2＋y 2
4
＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36， 由于A 、B 、C 三点构成三角形，
∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.
8． P 是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→
＋
PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是________________． 答案 x 24a 2＋y 2
4b
2＝1
解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→
， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →
＝－12OQ →
＝(－x 2，－y 2
)，
即P 点坐标为(－x 2，－y 2
)，
又P 在椭圆上，则有(－x 2)2a 2＋(－y
2
)2
b 2＝1上，
即x 24a 2＋y 2
4b 2＝1. 三、解答题
9． 已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)，经过点M (
3
3
，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →
.若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程． 解 设A (x 0，y 0)，∵B (0,2)，M (
3
3
，0)， 故MB →＝(－33，2)，MA →
＝(x 0－33
，y 0)．
由于MB →＝－2MA →
，∴(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．
∴x 0＝
32，y 0＝－1，即A (3
2
，－1)． ∵A ，B 都在曲线E 上， ∴?????
a ·02
＋b ·22
＝1a ·(32)2＋b ·(－1)2
＝1， 解得????
?
a ＝1
b ＝14
.
∴曲线E 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
10．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足DQ →
＝
23
DP →
. (1)求动点Q 的轨迹方程；
(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的点M 、N ，使OE →＝12(OM →
＋
ON →
)(O 是坐标原点)．若存在，求出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意， 则点D 的坐标为D (x 0,0)， ∴DQ →＝(x －x 0，y )，DP →
＝(0，y 0)， 又DQ →＝23
DP →
，∴?????
x －x 0＝0y ＝2
3y 0
，即?????
x 0
＝x y 0＝32y
.
∵P 在圆O 上，故x 20＋y 2
0＝9，
∴x 29＋y 2
4
＝1. ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 2
4
＝1.
(2)存在．假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在两个不重合的点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM
→
＋ON →
)，
则E (1,1)是线段MN 的中点， 且有???
x 1
＋x 22
＝1y 1
＋y
2
2＝1
，即?????
x 1＋x 2＝2y 1＋y 2
＝2.
又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 2
4
＝1上，
∴???
x 219＋y 21
4
＝1x 22
9＋y 22
4＝1
，两式相减，
得
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)9＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
4
＝0.
∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝－4
9，
∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.
∴椭圆上存在点M 、N 满足OE →＝12(OM →＋ON →
)，
此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示一条( )
A ．过点P 且平行于l 的直线
B ．过点P 且垂直于l 的直线
C ．不过点P 但平行于l 的直线
D ．不过点P 但垂直于l 的直线 答案 A
解析 由题意知f (x 0，y 0)≠0，又f (x 0，y 0)－f (x 0，y 0)＝0， ∴直线f (x ，y )＝0与直线f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0平行， 且点P 在直线f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0上．
2． 平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →
(O 为原点)，
其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是 ( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
答案 A
解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →
＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，
∴?????
x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2
， 又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．
3． 点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，
则点M 的轨迹是
( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
答案 A
解析 如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N . ∵|PF 2|＝|PN |， ∴|F 1N |＝2a .
连接OM ，则在△NF 1F 2中，OM 为中位线，
则|OM |＝1
2|F 1N |＝a .
∴M 的轨迹是圆．
4． 已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是
______________． 答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)
解析 设P (x ，y )，因为△MPN 为直角三角形， ∴|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，
∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16， 整理得，x 2＋y 2＝4.
∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2， ∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)．
5． 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且
AM ＝1
3AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平
方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点 P 的轨迹方程是____________． 答案 y 2＝23x －19
解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连接PH 、 PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )， 由|PH |2－|PM |2＝1，
得x 2＋1－???
?????x －132＋y 2＝1， 化简得y 2＝23x －1
9
.
6． 如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P
在圆x 2＋y 2＝1上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A 、B 两点，求 △AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．
解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y
2，
①
因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，
所以x 20＋y 2
0＝1.
②
将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2
＋y 2
4
＝1.
(2)由题意知，|t |≥1.
当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1， 点A 、B 的坐标分别为(－
32，1)，(3
2
，1)， 此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3； 当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R ， 由????
?
y ＝kx ＋t x 2＋y 24＝1得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0. ③
设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由③得
x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.
又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |
k 2＋1
＝1， 即t 2＝k 2＋1，
所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝
(1＋k 2
)[4k 2t 2
(4＋k 2)2－4(t 2－4)4＋k 2]＝43|t |t 2＋3
.
因为|AB |＝43|t |t 2＋3
＝43
|t |＋
3|t |
，
且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.
依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径， 所以△AOB 面积S 的最大值为1
2
×2×1＝1，
此时t ＝±3，相应的点T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．
第5讲氧化还原反应的计算及方程式的配平 [考纲要求] 1.掌握常见氧化还原反应的配平和相关计算。2.能利用得失电子守恒原理进行相关计算。 考点一氧化还原反应方程式的配平方法 氧化还原反应的实质是反应过程中发生了电子转移，而氧化剂得电子总数(或元素化合价降低总数)必然等于还原剂失电子总数(或元素化合价升高总数)，根据这一原则可以对氧化还原反应的化学方程式进行配平。 配平的步骤： (1)标好价：正确标出反应前后化合价有变化的元素的化合价。 (2)列变化：列出元素化合价升高和降低的数值。 (3)求总数：求元素化合价升高和降低的总数，确定氧化剂、还原剂、氧化产物、还原产物的化学计量数。 (4)配系数：用观察法配平其他各物质的化学计量数。 (5)细检查：利用“守恒”三原则(即质量守恒、得失电子守恒、电荷守恒)，逐项检查配平的方程式是否正确。 [典例]根据FeS2＋O2―→Fe2O3＋SO2，回答下列问题： (1)氧化剂________，还原剂________，氧化产物________，还原产物________。 (2)元素化合价升高的元素为________，元素化合价降低的元素为________。 (3)1“分子”还原剂化合价升高总数为________，1“分子”氧化剂化合价降低总数为________。 (4)配平后各物质的系数依次为____________________。 答案(1)O2FeS2Fe2O3、SO2Fe2O3、SO2 (2)Fe、S O(3)114 (4)4、11、2、8 失误防范配平氧化还原反应方程式的关键是正确标出化合价，找准1“分子”氧化剂化合价降低总数，1“分子”还原剂化合价升高总数，在计算时，往往容易忽略氧化剂、还原剂中的粒子个数。 题组一正向配平类
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
北师大版历史九年级上册第一单元测试题 一、单项选择（每题2分，共40分） 1．恩格斯说“这是一次人类以往从来没有经历过的一次最伟大的、进步的改革，是一个需要巨人而且产生了巨人——在思维能力、热情和性格方面，在多才多艺和学识渊博方面的巨人的时代。”这个“巨人时代”指的是（）。 A．启蒙运动B．天文学的革命 C．文艺复兴运动D．物理学的发展 2．下列关于文艺复兴的表述，错误的是（）。 A．是希腊、罗马古典文化的复兴B．14世纪兴起于意大利 C．资产阶级新文化的兴起D．其社会思潮是人文主义 3．达·芬奇作为艺术大师，他的主要作品有（）。 A．《创世纪》B．《大卫》 C．《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》D．《圣母像》 4．英国著名的文学家莎士比亚创作的著名悲剧是（）。 A．《哈姆雷特》B．《威尼斯商人》 C．《仲夏夜之梦》D．《被缚的普罗米修斯》 5．被认为是欧洲开始从中世纪向新时代过渡的标志是（）。 A．《李尔王》B．《蒙娜丽莎》 C．《奥赛罗》D．《神曲》 6．证明了地圆学说的航行是（）。 A．迪亚士发现好望角的航行B．哥伦布发现美洲新大陆的航行 C．达·伽马到达印度的航行D．麦哲伦船队完成的第一次环球航行 7．新航路开辟的根本原因是（）。 A．欧洲各国商品经济的发展B．伟大航海家的探险计划 C．罗盘针的使用D．地圆学说在欧洲的流行 8．麦哲伦环球航行的路线是（）。 A．大西洋—印度洋—太平洋—大西洋—欧洲 B．大西洋—北冰洋—太平洋—印度洋—欧洲 C．大西洋—太平洋—印度洋—地中海—欧洲 D．大西洋—太平洋—印度洋—大西洋—欧洲 9．1689年，英国议会通过了下列哪一文献，标志着君主立宪制在英国的确立？（）。A．《权利法案》B．《独立宣言》 C．《人权宣言》D．《共产党宣言》 10．“凡未经国会批准，借口国王特权，为国王而征收，或供国王使用而征收金钱，超出国会准许之时间或方式者，皆为非法。”这段引文应出自（）。 A美国《独立宣言》B．英国《权利法案》 C．《共产党宣言》D．法国《人权宣言》 11．英国《权利法案》的意义在于（）。 A．保证资产阶级独掌共和国大权B为限制王权提供法律保障 C．使议会获得自由选举国王的权利D正式宣告英国君主制的废除 12．英国当代仍有象征着封建王权的女王存在，这说明英国资产阶级革命（）。 A．是欧、美资产阶级革命的典范
选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a
5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法．
第1讲探究型实验题 热点一未知产物及物质性质的探究 1．对未知产物的探究 通过化学反应原理猜测可能生成哪些物质，对这些物质逐一进行检验来确定究竟含有哪些物质。正确解答此类试题的关键：(1)猜测要全面；(2)熟记常见物质的检验方法。
4 (2)在烧杯中加入热水(或对烧杯加热)c (3)取少量溶液于试管中，加入KSCN溶液，溶液变成血红色，则有Fe3＋取少量溶液滴入适 量酸性高锰酸钾溶液中，高锰酸钾溶液褪色，则有Fe2＋a(4)b 11m－4n 14n 2．物质性质的探究 无机物、有机物性质的探究，必须在牢牢掌握元素化合物知识的基础上，大胆猜想，细心论证。 对物质性质探究的基本思路如下：
题组一 未知产物的探究 1．实验室中需要22.4 L(标准状况)SO 2气体。化学小组同学依据化学方程式Zn ＋2H 2SO 4(浓)=====△ZnSO 4＋SO 2↑＋2H 2O 计算后，取65.0 g 锌粒与98%的浓H 2SO 4(ρ＝1.84 g·cm －3)110 mL 充分反应，锌全部溶解，对于制得的气体，有同学认为可能混有杂质。 (1)化学小组所制得的气体中混有的主要杂质气体可能是______(填分子式)。产生这种结果的主要原因是________(用化学方程式和必要的文字加以说明)。 (2)为证实相关分析，化学小组的同学设计了实验，组装了如下装置，对所制取的气体进行探究。
①装置B中加入的试剂为________，作用是________。 ②装置D加入的试剂为________________，装置F加入的试剂为________________。 ③可证实一定量的锌粒和一定量的浓硫酸反应后生成的气体中混有某杂质气体的实验现象是________。 ④U形管G的作用为________。 答案(1)H2随着反应的进行，硫酸浓度降低，致使锌与稀硫酸反应生成H2：Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑ (2)①NaOH溶液(或酸性KMnO4溶液，其他合理答案也可) 除去混合气体中的SO2②浓硫酸无水硫酸铜 ③装置E玻璃管中黑色CuO粉末变红色，干燥管F中无水硫酸铜变蓝色 ④防止空气中的H2O进入干燥管F而影响杂质气体的检验 解析(1)从物质的量关系来看，发生反应Zn＋2H2SO4(浓)===ZnSO4＋SO2↑＋2H2O，H2SO4略过量，但是实际上随着反应的进行，硫酸的浓度降低；当硫酸的浓度降到一定程度，反应变为Zn＋H2SO4===ZnSO4＋H2↑。(2)该实验的目的是为了通过加热还原CuO验证H2的存在，通过F装置进一步确认有H2O生成；具体的实验装置及作用是A—产生待研究的气体，B—除去气体中的SO2(可以利用SO2的性质选取NaOH溶液或酸性高锰酸钾溶液)，C—验证SO2已除尽，D—干燥气体，E—若有H2，则加热E玻璃管，CuO固体由黑色变为红色，F—利用无水硫酸铜吸水变蓝进一步确定气体中H2的存在，G—防止空气中的水蒸气进入F装置而干扰实验。
九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线
北师大版九年级上册知识提纲2014.11 第一课文艺复兴 1.14—17世纪，欧洲兴起追求个性解放和思想自由的运动，被称为“文艺复兴”，最早兴起于意大利。原因是意大利最早出现资本主义萌芽 2.文艺复兴运动的核心思想是“人文主义”。 3.实质：是资产阶级叩响近代社会大门的思想解放运动。 4.文艺复兴先驱的是但丁（中世纪的最后一位诗人，又是新时代的最初一位诗人），代表作《神曲》，是欧洲从中世纪向近代社会过渡的标志。 5.达·芬奇：意大利画家，也是数学家、力学家和工程师，代表作《最后的晚餐》（取材于《圣经》）和《蒙娜丽莎》。 6.莎士比亚：英国文艺复兴时期最著名的文学家，四大悲剧是《李尔王》、《哈姆雷特》、《麦克白》、《奥赛罗》。 第二课新航路的开辟 1.新航路开辟的条件： ⑴主观条件：欧洲人对黄金等财物的渴望； ⑵客观条件：①造船和航海技术的进步；②对地球的了解（“地圆说”的传播）； ③中国和阿拉伯的罗盘针、航海知识、地理知识在欧洲传播。 2.15世纪末开始，欧洲人为寻求东方财富，开始了新航路开辟的探索。 3.哥伦布是意大利人，在西班牙王室支持下，1492年从西班牙出发，横渡大西洋，主要目的是寻找通往印度和中国的新航路。他到达巴哈马群岛、古巴、海地等地，误认为那里是印度，把当地居民称为“印第安人”。 4.麦哲伦及其船队第一次环球航行，证明了地球是圆的。太平洋就是他命名的。 5.如何评价哥伦布？ 答：哥伦布既是一个杰出的航海家，也是一个殖民强盗。哥伦布发现新大陆，给美洲带来了深重的灾难，同时在客观上推动了资本主义的发展，具有进步性。 6.新航路开辟的历史意义：①打破了以往世界各个地区相互隔绝和孤立发展的局面。②一场持续了数百年的殖民侵略活动也开始了；③使资本主义触角伸向世界各地。 第三课英国资产阶级革命（1640—1688年）
选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；
第1讲 化学实验基础知识和技能 [考纲要求] 1.了解化学实验室常用仪器的主要用途和使用方法。2.掌握化学实验的基本操作，能识别药品安全使用标志。3.了解实验室一般事故的预防和处理方法。 考点一 常用化学仪器的识别与使用 1．可加热的仪器 (1)仪器①的名称为试管，加热液体时，液体体积不能超过其容积的13 ，加热固体时，试管口应略向下倾斜。 (2)仪器②的名称为蒸发皿。使用方法：蒸发浓缩时要用玻璃棒搅拌。 (3)仪器③的名称为坩埚。使用方法：用于固体物质灼烧，把坩埚放在三脚架上的泥三角上加热，取放坩埚必须使用坩埚钳，加热完的坩埚应放在石棉网上冷却。 (4)仪器④的名称为圆底烧瓶。使用方法：a.常用于组装有液体参与反应的反应器；b.加热液 体时，不能超过其容积的12 。 (5)仪器⑤的名称为锥形瓶。使用方法：a.可用于组装气体发生器；b.用于滴定操作；c.作蒸馏装置的接收器。 收集：樱满唯
(6)仪器⑥的名称为烧杯。使用方法：a.可用于物质的溶解与稀释；b.用于称量具有腐蚀性的固体药品；c.组装水浴加热装置。 2．常用的计量仪器 完成下列空白 (1)仪器A的名称：量筒；用途：量取一定体积的液体；精确度：0.1 mL。 特别提醒①无“0”刻度；②不可加热，不可作反应容器，不可用于溶液的稀释；③选取量筒的规则是“大而近”，例如量取5.6 mL NaOH溶液应选取10 mL量筒，而不能选5 mL 或50 mL 量筒。 (2)仪器B的名称：容量瓶；用途：配制一定物质的量浓度的溶液；该仪器能长时间贮存溶液吗？不能。 (3)仪器C的名称：酸式滴定管。 ①使用前需“查漏”；②“0”刻度在上方；③不可盛装碱性溶液；④精确度：0.01 mL。 (4)仪器D的名称：碱式滴定管。 用于盛装碱性溶液，不可盛装酸性和强氧化性液体(如KMnO4溶液)。 (5)仪器E的名称：托盘天平。 ①称量前先调零点；②腐蚀性药品应放于烧杯内称量；③左盘放被称物，右盘放砝码，即“左物右码”；④精确度：0.1 g。 (6)仪器F的名称：温度计。 ①测反应混合液的温度时，温度计的水银球应插入混合液中但不能接触容器内壁；②测蒸汽的温度时，水银球应在液面以上；测馏分温度时，水银球应放在蒸馏烧瓶支管口处。3．常用的分离、提纯仪器
第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
考点一物质分离、提纯的常用方法及装置 1.物质分离、提纯的区别 (1)物质的分离 将混合物的各组分分离开来，获得几种纯净物的过程。 (2)物质的提纯 将混合物中的杂质除去而得到纯净物的过程，又叫物质的净化或除杂。 2.物质分离、提纯的常用方法及装置 (1)常规实验装置 ①过滤：适用条件：不溶性固体和液体的分离。说明：操作中a.一贴：滤纸紧贴漏斗内壁；二低：滤纸上边缘低于漏斗边缘，液面低于滤纸边缘；三靠：烧杯紧靠玻璃棒，玻璃棒轻靠三层滤纸处，漏斗下端尖口处紧靠烧杯内壁；b.若滤液浑浊，需更换滤纸，重新过滤。浑浊
的原因可能是滤纸破损、滤液超过滤纸边缘。 ②蒸发：适用条件：分离易溶性固体的溶质和溶剂。说明：蒸发结晶适用于溶解度随温度变化不大的物质；而对溶解度受温度变化影响较大的固态溶质，采用降温结晶的方法。 在蒸发结晶中应注意：a.玻璃棒的作用：搅拌，防止液体局部过热而飞溅；b.当有大量晶体析出时，停止加热，利用余热蒸干而不能直接蒸干。 ③蒸馏：适用条件：分离沸点相差较大的互溶液体混合物。说明：a.温度计的水银球放在蒸馏烧瓶的支管口处；b.蒸馏烧瓶内要加沸石；c.冷凝管水流方向应为“逆流”。
④萃取和分液：适用条件：分离互不相溶的两种液体。说明：a.溶质在萃取剂中的溶解度大； b.两种液体互不相溶； c.溶质和萃取剂不反应； d.分液时下层液体从下口流出，上层液体从上口倒出。 ⑤升华(如下左图)：适用条件：除去不挥发性杂质或分离不同挥发程度的固体混合物。说明：利用物质升华的性质进行分离，属于物理变化。
⑥洗气(如上右图)：适用条件：除去气体中的杂质气体。说明：长管进气短管出气。 (2)创新实验装置 ①过滤装置的创新——抽滤 由于水流的作用，使图1装置a、b中气体的压强减小，故使过滤速率加快。
[考纲要求] 1.了解物质的量的单位——摩尔(mol)、摩尔质量、气体摩尔体积、物质的量浓度、阿伏加德罗常数的含义。2.了解相对原子质量、相对分子质量的定义,并能进行有关计算。 3.理解质量守恒定律的含义。 4.能根据物质的量与微粒(原子、分子、离子等)数目、气体体积(标准状况下)之间的相互关系进行有关计算。 5.了解溶液的含义。 6.了解溶解度、饱和溶液的概念。 7.了解溶液的组成,理解溶液中溶质的质量分数的概念,并能进行有关计算。 8.了解配制一定溶质质量分数、物质的量浓度溶液的方法。 (一)洞悉陷阱设置,突破阿伏加德罗常数应用 题组一气体摩尔体积的适用条件及物质的聚集状态 1.正误判断,正确的划“√”,错误的划“×”。 (1)2.24 L CO2中含有的原子数为0.3N A(×) (2)常温下,11.2 L甲烷气体含有的甲烷分子数为0.5N A(×) (3)标准状况下,22.4 L己烷中含共价键数目为19N A(×) (4)常温常压下,22.4 L氯气与足量镁粉充分反应,转移的电子数为2N A(×) (5)标准状况下,2.24 L HF含有的HF分子数为0.1N A(×) 突破陷阱 抓“两看”,突破“状态、状况”陷阱 一看“气体”是否处于“标准状况”。 二看“标准状况”下,物质是否为“气体”(如CCl4、H2O、Br2、SO3、HF、己烷、苯等在标准状况下不为气体)。 题组二物质的量或质量与状况 2.正误判断,正确的划“√”,错误的划“×”。 (1)常温常压下,3.2 g O2所含的原子数为0.2N A(√) (2)标准标况下,18 g H2O所含的氧原子数目为N A(√) (3)常温常压下,92 g NO2和N2O4的混合气体中含有的原子数为6N A(√) 突破陷阱
北 师 大 版 九 年 级 数 学 知 识 点 汇 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。 （3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 （4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形 分成四个全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 （4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。
北师大版历史九年级上册思维导图 历史思维导图逐步构建宏观历史体系和知识网络,同时丰富学生的形象思维和培养 学生的创造性思维。下面小编精心整理了北师大版历史九年级上册思维导图，供大家 参考，希望你们喜欢! 北师大版历史九年级上册思维导图欣赏 北师大版九年级上册历史复习提纲 第1课向人性扼杀者宣战 一、文艺复兴运动 1、时间：14—17世纪(持续了近300年)。 2、爆发地：意大利——扩展到西欧所有国家。 3、核心思想：人文主义(以人为本，把人、人性从宗教束缚中解放出来) 4、实质：是资产阶级叩响近代社会大门的思想解放运动。(是一场新兴的资产阶 级反封建思想解放运动) 5、代表人物： (1)但丁(意大利)——文艺复兴的先驱——《神曲》(但丁是中世纪的最后一位诗人，同时又是新时代的最初一位诗人——恩格斯) (2)达?芬奇(意大利)——多才多艺的文化巨人——《最后的晚餐》、《蒙娜丽莎》(达?芬奇是) (3)莎士比亚(英国)——《奥赛罗》、《李尔王》、《哈姆雷特》、《麦克白》称 为“四大悲剧”。 第2课探险者的梦想 1、时间：15—17世纪 2、过程： 航海家资助国家主要成就 哥伦布西班牙发现美洲新大陆。 迪亚士葡萄牙发现非洲好望角 达?伽马葡萄牙开辟了通往印度的新航路 麦哲伦西班牙第一次环球航行，证明了地球是圆的。太平洋就是他命名的。 3、影响：
(1)积极：新航路的开辟，锤炼了欧洲人敢于冒险、勇于拼搏的精神;打破了相互隔绝的局面，促使世界由分散走向整体，促使世界市场的形成。 (2) 消极：新航路的开辟，亚非拉国家和地区带来了持续了数百年的殖民掠夺、殖民扩张和侵略活动。 第3课剥夺王权保留王位的革命 1、时间：1640—1688年(近半个世纪) 2、根本原因：封建专制统治严重阻碍英国资本主义发展。 3、性质：资产阶级革命 4、领导人：以克伦威尔为代表的新贵族和资产阶级 5、结果：推翻了君主专制统治，制定《权利法案》，确立了君主立宪制 6、影响： (1)国内影响：推翻了封建君主专制，确立了君主立宪政体，走上了迅速发展资本主义的道路，并率先开始了工业革命。 (2) 国际影响：推动了欧洲资产阶级革命的发展。 7、《权利法案》：1689 年，目的——限制国王权力;制定机构——英国国会;内容：对国王在政治、经济、宗教等事务中的权力进行了严格限制，确定了国会拥有最高权力的基本原则，并对公民的权利作了明确规定。 九年级历史上册知识点 第1课向人性扼杀者宣战——文艺复兴(P2) 1、背景：? ①罗马教皇和天主教会的专制统治，禁锢了人们思想、阻碍社会进步和 科学的发展 ②14-17世纪的艺术家、科学家和思想家们发掘和继承古希腊古罗马文化传统，追求个性解放和思想自由，表现了人类不断追求进步的本性。 ③造纸术、印刷术造纸术的推动。 2、时间：14—17世纪(持续了近300年) 3、爆发地：意大利——扩展到西欧所有国家 4、核心思想：人文主义(以人为本，把人、人性从宗教束缚中解放出来) 5、实质：是资产阶级叩响近代社会大门的思想解放运动。(是新兴的资产阶级反封建的思想解放运动)
§5.4复数
1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.
概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i
第3讲 硫及其化合物 [考纲要求] 1.了解硫及其重要化合物的主要化学性质及应用。2.了解硫的氧化物对大气的污染与防治。 考点一 硫及其氧化物的性质 1.硫单质的性质及应用 (1)硫元素的存在形态 形态— —游离态—火山喷口附近或地壳的岩层里—化合态—主要以硫化物和硫酸盐的形式存在 (2)硫单质的物理性质 硫单质俗称硫黄，是一种淡黄色固体；不溶于水，微溶于酒精，易溶于CS 2；有多种同素异形体，如单斜硫、斜方硫等。 (3)从化合价的角度认识硫单质的化学性质 S －2 ――→ 氧化性 S 0 ――→ 还原性 S ＋ 4 O 2
2.二氧化硫(SO2) (1)物理性质 二氧化硫是无色，有刺激性气味的有毒气体，是大气污染物之一；易溶于水，通常状况下，1体积水溶解约40体积SO2。 (2)化学性质 按要求完成下列方程式：
SO 2 ??????? ?? 酸性氧化物的通性???? ? 与H 2O 反应：SO 2＋H 2O H 2SO 3与NaOH (足量)反应： 2NaOH ＋SO 2===Na 2SO 3＋H 2O 氧化性 (如与H 2 S 溶液反应)： SO 2 ＋2H 2 S===3S ↓＋2H 2 O 还原性??? ?? O 2：2SO 2＋O 2催化剂△ 2SO 3 Cl 2＋H 2O ：Cl 2＋SO 2＋2H 2O===2HCl ＋H 2SO 4 漂白性：可使品红溶液等有机色质褪色生成不稳定 的化合物 3.三氧化硫(SO 3) SO 3在标准状况下为无色、针状晶体，能与水反应：SO 3＋H 2O===H 2SO 4，放出大量的热，SO 3是酸性氧化物，它跟碱性氧化物或碱都能反应生成硫酸盐。 4.硫的氧化物的污染与治理 (1)来源：含硫化石燃料的燃烧及金属矿物的冶炼等。 (2)危害：危害人体健康，形成酸雨(pH 小于5.6)。 (3)治理：燃煤脱硫，改进燃烧技术。 (4)硫酸型酸雨的形成途径有两个： 途径1：空气中飘尘的催化作用，使2SO 2＋O 2催化剂 2SO 3、SO 3＋H 2O===H 2SO 4。 途径2：SO 2＋H 2O H 2SO 3、2H 2SO 3＋O 2===2H 2SO 4。 深度 思考
[高考关键词] 1.标准与分类、俗名与物质类别。2.变化——物理变化、化学变化。3.化学用语——化学式、电子式、结构式、方程式。4.古文中蕴含的化学知识。 1．有下列10种物质：①明矾②消石灰③小苏打 ④SiO2⑤氯水⑥蛋白质溶液⑦生石灰 ⑧Na2O2⑨漂白粉⑩淀粉 (1)属于纯净物的是________，属于碱性氧化物的是________，属于酸式盐的是________，属于离子化合物的是________。 (2)属于混合物的是________，其中属于溶液的是__________，其中属于胶体的是__________。 答案(1)①②③④⑦⑧⑦③①②③⑦⑧ (2)⑤⑥⑨⑩⑤⑥ 2．下列变化中属于化学变化的是________。 ①煤的干馏②蒸馏③重油裂化④煤的气化 ⑤焰色反应⑥钝化⑦电镀⑧胶体聚沉⑨氧气转化为臭氧⑩137I转变为131I 答案①③④⑥⑦⑨
3．按要求用化学用语表示下列物质。 (1)乙烯的结构式：________，结构简式：________。 (2)Na2O2、H2O2、HClO的电子式________________、____________、 ____________。 (3)MgCl2、NaOH、NaH的电子式________________、____________、 ____________。 答案(1)CH2===CH2 (2) (3) 4．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。 (1)物质发生化学变化时，物质的总能量和总质量保持不变( ) (2)电解质溶液导电时，必然伴随着化学变化( ) (3)H2SO4、SO2、CH3COOH、NH3·H2O均为共价化合物( ) (4)因为Fe2O3是金属氧化物，所以它能与水反应生成碱( ) (5)非金属氧化物不一定是酸性氧化物，但酸性氧化物一定是非金属氧化物( ) (6)Al2O3可与盐酸和氢氧化钠反应，SiO2可与氢氟酸和氢氧化钠反应，因而二者均属于两性氧化物( ) (7)铁粉加入FeCl3溶液中的反应既属于化合反应，又属于离子反应，还属于氧化还原反应( ) 答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×(7)√