选修2-2第一章测试题 (二)
时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知f (x )＝(x ＋a )2
，且f ′? ??
??
12＝－3，则a 的值为( )
A ．－1
B ．－2
C ．1
D ．2 2．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3．定积分??0
1(2x ＋e x )d x 的值为( )
A ．e ＋2
B ．e ＋ 1
C ．e
D ．e －1 4．当x 在(－∞，＋∞)上变化时，导函数f ′(x )的符号变化如下表：
5．设函数f (x )＝2
x ＋ln x ，则( )
A ．x ＝12为f (x )的极大值点
B ．x ＝1
2为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点
6．当x ＝a 时，函数y ＝ln(x ＋2)－x 取到极大值b ，则ab 等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
7.一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m 时F (x )做的功为( )
A ．925 J
B ．850 J
C ．825 J
D ．800 J
8．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2]
B ．(－∞，－1]
C ．[2 ，＋∞)
D ．[1，＋∞) 9．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )
A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值
B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值
C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值
D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 10．若0 A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1 11．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 2 8，则x >0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 12．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．若S 1＝??1 2x 2d x ，S 2＝??1 21 x d x ，S 3＝??1 2e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小 关系为________． 14．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 15．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2 ＋b x (a ，b 为常数) 过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 16.若函数y ＝e ax ＋3x 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －3 2，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1 2x . (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－2 3与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间； (2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x ) 19.(12分)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R)． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值； (2)若f (x )在区间? ? ???0，13上单调递增，求b 的取值范围． 20.(12分)甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？ 21.(12分)已知a ∈R ，f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求f ′(x )； (2)若f ′(1)＝0，求f (x )在[－2,2]上的最大值和最小值； (3)若f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上是单调递增的，求实数a 的取值范围． 22.(12分)已知函数f (x )＝e x (x 2＋ax －a )，其中a 是常数． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若存在实数k ，使得关于x 的方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 答案 1．B ∵f (x )＝(x ＋a )2 ，∴f ′(x )＝2x ＋2a ，依题意有2×1 2＋2a ＝ －3，解得a ＝－2. 2．D ∵y ＝ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a －1 x ＋1. ∴y ′|x ＝0＝a －1＝2，得a ＝3. 3．C 因为(x 2＋e x )′＝2x ＋e x ， 所以??0 1(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x ) |10 ＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e. 4．C 从表中可知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减． 5．D 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ? ? ???1－2x ＝0可得x ＝2.当0 6．A y ′＝[ln(x ＋2)－x ]′＝1 x ＋2－1.令y ′＝0，得x ＝－1，此 时y ＝ln1＋1＝1，即a ＝－1，b ＝1，故ab ＝－1. 7．C 依题意F (x )做的功是 W ＝∫105F (x )d x ＝∫105(3x 2 －2x ＋5)d x ＝(x 3－x 2＋5x ) |105＝825(J)． 8．D 由f ′(x )＝k －1 x ，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 则f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)上恒成立， 即k ≥1 x 在x ∈(1，＋∞)上恒成立． 又当x ∈(1，＋∞)时，0<1 x <1，故k ≥1.故选D. 9．C 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x －1， ∵f ′(1)＝e －1≠0， ∴f (x )在x ＝1处不能取到极值； 当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝(x －1)·(x e x ＋e x －2)， 令H (x )＝x e x ＋e x －2， 则H ′(x )＝x e x ＋2e x >0，x ∈(0，＋∞)． 说明H (x )在(0，＋∞)上为增函数， 且H (1)＝2e －2>0，H (0)＝－1<0， 因此当x 0 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴x ＝1是f (x )的极小值点，故选C. 10．C 设f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝x ·e x －1x .当x >0且x 趋近于0 时，x ·e x －1<0； 当x ＝1时，x ·e x －1>0，因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，因此A ，B 不正确；设g (x )＝e x x ，当0 x 2，所以 x 2e x 1>x 1e x 2.故选C. 11．D 令F (x )＝x 2f (x )， 则F ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ， F (2)＝4·f (2)＝e 2 2. 由x 2 f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ， 得x 2 f ′(x )＝e x x －2xf (x )＝e x －2x 2f (x )x ， ∴f ′(x )＝e x －2F (x )x 3. 令φ(x )＝e x －2F (x )， 则φ′(x )＝e x －2F ′(x )＝e x －2e x x ＝e x (x －2)x . ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )的最小值为φ(2)＝e 2－2F (2)＝0. ∴φ(x )≥0. 又x >0，∴f ′(x )≥0. ∴f (x )在(0，＋∞)单调递增． ∴f (x )既无极大值也无极小值．故选D. 12．A 由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2， 即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解，如图所示， 由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3. 13.S 2 解析：S 1＝??1 2x 2 d x ＝13x 3 |21＝7 3， S 2＝??1 21 x d x ＝ln x |21＝ln2， S 3＝??1 2e x d x ＝ e x |21＝e 2 －e ＝e(e －1)>e>73 ， 所以S 2 解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ， ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 15．－3 解析：由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b 2＝－5.① 又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－7 2，② 由①②得? ???? a ＝－1， b ＝－2，所以a ＋b ＝－3. 16．(－∞，－3) 解析：设f (x )＝e ax ＋3x ，则f ′(x )＝3＋a e ax . ∵函数在x ∈R 上有大于零的极值点， ∴f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根， ①当a ≥0时，f ′(x )＝3＋a e ax >0， ∴f ′(x )＝3＋a e ax ＝0无实数根， ∴函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 无极值点； ②当a <0时，由f ′(x )＝3＋a e ax ＝0，解得x ＝1a ln ? ?? ?? －3a . 当x >1a ln ? ???? －3a 时，f ′(x )>0， 当x <1a ln ? ???? －3a 时，f ′(x )<0， ∴x ＝1a ln ? ???? －3a 为函数的极值点， ∴1a ln ? ?? ?? －3a >0，解得a <－3， ∴实数a 的取值范围是(－∞，－3)． 17．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1 x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝5 4. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －3 2， 则f ′(x )＝x 2－4x －5 4x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5. 18．解：(1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由f ′? ?? ??－23＝129－4 3a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，得a ＝－1 2，b ＝－2. f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化状态如下表： 所以函数f (x )的单调增区间为? ? ???－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为? ?? ?? －23，1. (2)f (x )＝x 3－1 2x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]， 当x ＝－2 3时，f ? ?? ??－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值， 要使f (x ) 19.解：(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x (x ＋2) 1－2x ， 由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈? ?? ??0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 故f (x )在x ＝－2取极小值f (－2)＝0，在x ＝0取极大值f (0)＝4. (2)f ′(x )＝－x [5x ＋(3b －2)]1－2x ， 因为当x ∈? ? ???0，13时，－x 1－2x <0， 依题意当x ∈? ? ???0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0， 从而5 3＋(3b －2)≤0. 所以b 的取值范围为? ? ? ??－∞，19. 20．解：设CD ＝x (km)，则CE ＝3－x (km)． 由题意得所需电线的长为l ＝AC ＋BC ＝1＋x 2＋ 1.52＋(3－x )2(0≤x ≤3)． 则l ′＝2x 21＋x 2＋－2(3－x )2 1.52＋(3－x )2. 令l ′＝0，则x 1＋x 2－3－x 1.52＋(3－x )2＝0， 即x 1＋x 2＝3－x 1.52＋(3－x )2， 平方，得x 21＋x 2＝(3－x )2 1.52＋(3－x )2 ， 即1.52x 2＋x 2(3－x )2＝(3－x )2＋x 2(3－x )2， ∴1.52x 2＝(3－x )2. ∴1.5x ＝±(3－x )． 解得x ＝1.2或x ＝－6(舍去)． 经检验x ＝1.2为函数的最小值点，故当CD ＝1.2 km 时所需电线最短． 21.解：(1)f ′(x )＝(x 2－4)′(x －a )＋(x 2－4)(x －a )′ ＝2x (x －a )＋x 2－4 ＝3x 2－2ax －4. (2)由f ′(1)＝0，得3－2a －4＝0，即a ＝－1 2. 此时f (x )＝(x 2 －4)? ? ? ??x ＋12， f ′(x )＝3x 2＋x －4＝(x －1)(3x ＋4)． 故x ＝1和x ＝－4 3是函数f (x )的极值点． ∵f (1)＝－92，f ? ????－43＝50 27，f (2)＝f (－2)＝0， ∴f (x )max ＝5027，f (x )min ＝－9 2. (3)f ′(x )＝3x 2－2ax －4， 如图，设f ′(x )>0的解集为(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，其中x 1 则有????? f ′(－2)≥0， f ′(2)≥0，－2≤2a 2×3≤2 ?????? 3×(－2)2＋4a －4≥0，3×22 －4a －4≥0，－6≤a ≤6 ????? ? a ≥－2，a ≤2，－6≤a ≤6， 故－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围为{a |－2≤a ≤2}． 22．解：(1)由f (x )＝e x (x 2＋ax －a )可得f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]． 当a ＝1时，f (1)＝e ，f ′(1)＝4e ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝4e(x －1)， 即y ＝4e x －3e. (2)令f ′(x )＝e x [x 2＋(a ＋2)x ]＝0， 解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0. 当－(a ＋2)≤0即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )≥0， 所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数． 所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根； 当－(a ＋2)>0，即a <－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下： 由上表可知函数f (x )在[0，＋∞)上的极小值为f (－(a ＋2))＝4 e a ＋2. 因为函数f (x )在(0，－(a ＋2))上是减函数，在(－(a ＋2)，＋∞)上是增函数，且当x ≥－a 时，有f (x )≥e －a (－a )>－a ，所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是 ? ?? ??a ＋4e a ＋2，－a . 《导数及其应用》 一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4 导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f / (x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．． 的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 A x D C x B 几种常见函数的导数 ●教学目标 (一)教学知识点 1.公式1 C ′=0(C 为常数) 2.公式2 (x n )′=nx n －1(n ∈Q ) 3.公式3 (sin x )′=cos x 4.公式4 (cos x )′=－sin x 5.变化率 (二)能力训练要求 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. (三)德育渗透目标 1.培养学生的计算能力. 2.培养学生的应用能力. 3.培养学生自学的能力. ●教学重点 四种常见函数的导数C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n －1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ，(cos x )′=－sin x . ●教学难点 四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的. ●教学方法 建构主义式 让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用. Ⅱ.讲授新课 ［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数. 1.y =C (C 是常数)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=C ∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0 x y ??=0 y ′=C ′=x y x ??→?0lim =0，∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=x n ∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=(x +Δx )n －x n 数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 导数题型分类解析（中等难度） 一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即)('0x f =0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。 例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0 例2：若' 0()3f x =-，则000()(3) lim h f x h f x h h →+--=（ ） A.3- B ．6- C ．9- D ．12- 例3：求0lim →h h x f h x f ) ()(020-+ 二、“隐函数”的求值 将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。 例1：已知()()232 f x x x f '+=，则()='2f 例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+?? ? ??'=π，则??? ??4πf 的值为 . 例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2 -+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ） A. 12-=x y B. x y = C. 23-=x y D. 32+-=x y 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。 例1：一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。 例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ） 四、基本导数的求导公式 A ． B ． C ． D ． 高中数学选修2-2导数及其应用知识点总结 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个 根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤 （“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥?b a dx x f ①推广：1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±???? 《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 数学选修 2-2 第一章 单元测试题 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点() A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 1 1 2．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在 1 同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是() C．8D．4 2 3．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( ) ππ3 A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π) 3 π 3 C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π] 1 4．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是() 3 3 A．m≥2 B．m＞2 3 3 C．m≤2 D．m＜2 x 2 2 5．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 () f x 0＋3 －f x 0 Δx 6．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx ＝1， Δx→0 则 f ′(x0)等于( ) A．1 B．0 C．3 x＋9 7．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为() A．x＋y＝0 B．x＋25y＝0 C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0 D．以上皆非 8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－ 3b＜0 时，f ( x) 是() A．增函数 B．减函数 C．常数 D．既不是增函数也不是减函数 数学选修—导数及其应用 1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．' 0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ． 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 A ．7米/秒 B ． 6米/秒 C ． 5米/秒 D ． 8米/秒 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于 A ．19/3 B ．16/3 C ．13/3 D ．10/3 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_____；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为_____；3．函数sin x y x =的导数为_____；4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的 斜率是____，切线的方程为______；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是________。 1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线 3235y x x =+-相切的直线方程。 2．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。 3．求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。 4．已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。 2．若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h →+--= A ．-3 B ．-6 C ．-9 D ．-12 4．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足A ．()f x =()g x B ．()f x -()g x 为常数函数 C ．()f x =()0g x = D ．()f x +()g x 为常数函数 6．函数x x y ln =的最大值为（ ）A ．1-e B ．e C ．2e D ．10/3 1．函数2cos y x x =+在区间[0,]2 π上的最大值是 。 2．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为____________。 3．函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。 4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。 5．函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为______。 已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值。 3． 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。 2021年高中数学选修本(理科)复合函数的导数(1) 教学目的： 1.理解掌握复合函数的求导法则. 2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导 3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点. 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程： 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： ；；； 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, 法则3 ' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 二、讲解新课： 1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u 称为中间变量． 2.求函数的导数的两种方法与思路： 方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-； 方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下： ， 两个导数相乘，得 232(32)31812u x y u u x x ''==-=-， 从而有 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的 §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 第三章 导数及其应用 1 一、变化率与导数 2 ()()()()()()()() 000000000000000 10,0lim lim lim . x x x x x y f x x x x x y y x x x x x y x x f x x f x y x x y x x f x y f x x f x f x x ?→?→=?→==??≠??+???→=+?-?=??=+?-=?＇＇＇、定义：设在处取得一个增量. 函数值也得到一个增量称 为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函 数在处的导数，记作或, 即 3 4 ()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率. 5 6 7 ()()00. PT x f x P PT f x k ?→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即 8 9 ()()()()003==lim lim . x x f x x f x y y f x y f x y x x ?→?→+?-?==??＇＇＇＇、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即 10 二、常见函数的导数公式 11 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 12 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 13 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 14 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 15 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 16 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 17 高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 高中数学 导数及其应用复习学案 例2、若函数y f(x)的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y f(x)在区间［a,b］上的图象 练习1.如右图：是f (x)的导函数 , 例3、(1)求曲线y 2x 1 在点1,1 处的切线方程。2 5 (2)求抛物线y= x过点一,6的切线方程 2 (C) (A)(B) f/(x) 的图象如右图所示，则 f ( X)的图象只可能是( 练习：若存在过点(1,0)的直线y X 3和y ax 2 15 X 9都相切，则a 等于( ) 4 25 21 _ 7 25 7 . A.-1 或- B. 1 或 C.—或- D.—或 7 64 4 4 64 4 7.曲线y = x 2— 2x + a 与直线y = 3x + 1相切时，常数a 的值是 ____________ . 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a , b 为常数，且 0，函数f (x ) =-ax+b+axInx , f(e)=2 (e=2.71828…是自然对数的底数) (I) 求实数b 的值； (II) 求函数f (x )的单调区间； 例5、已知函数f(x)= ax _1在(一2,+^ )内单调递减，求实数 a 的取值范围 x 2 1 1 练习：若函数y= — x 3— ax 2+ (a — 1) x+1在区间(1, 4)内为减函数，在区间(6, +1 内为增函数，试 3 2 求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ln x 例6求函数f x 的极值。 x 3 2 2 例7、已知f x x 3ax bx a 在x 2、直线y = a 与函数f(x) = x 3 — 3x 的图象有相异的三个公共点，则求 a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e (1)求f(x)的单调区间； 1有极值0,求常数a,b 的值 _ 3 2 练习 1、已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是() (A ) -1 v a v 2 (B ) -3 v a v 6 (C ) a v -1 或 a > 2 (D ) a v -3 或 a > 6 选修2-2第一章单元测试 (一) 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝x ·sin x 的导数为( ) A ．f ′(x )＝2x ·sin x ＋x ·cos x B ．f ′(x )＝2x ·sin x －x ·cos x C ．f ′(x )＝sin x 2x ＋x ·cos x D ．f ′(x )＝sin x 2x －x ·cos x 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln2 2 D ．ln2 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 5.图中由函数y ＝f (x )的图象与x 轴围成的阴影部分的面积，用定积分可表示为( ) A. ???-33f (x )d x B.??1 3f (x )d x ＋??1－3f (x )d x C. ???-31f (x )d x D. ???-3 1f (x )d x －??13f (x )d x 6．如图是函数 y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断： ①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②③④ 7．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21 D ．a ＝0或a ＝21 8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元 9．函数f (x )＝－x e x (a f (b ) D ．f (a )，f (b )大小关系不能确定 10．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在? ? ? ??－∞，－13内 高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可 导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ） 高中数学导数讲义完整版 第一部分 导数的背景 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (2 2 1gt s =,其中g 是重力加速度）. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2 x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2 +=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ?对成本的影响. 二、小结: 瞬时速度是平均速度 t s ??当t ?趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率x y ??当x ?趋近于0时的极限；边际成本是平均成本 q C ??当q ?趋近于0时的极限. 三、练习与作业： 1. 某物体的运动方程为2 5)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线2 2x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522 +=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2 t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线2 2 1x y = 在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742 +=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本. 高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C. 第一章导数及其应用 1．1变化率与导数 1．1.1变化率问题1．1.2导数的概念 1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)， 则Δy Δx等于()． A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是()． A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在 1.2 s末的瞬时速度为()． A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 4．已知函数y＝2＋1 x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________. 5．已知函数y＝2 x，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________. 6．利用导数的定义，求函数y＝1 x2＋2在点x＝1处的导数． 7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()．A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 8．设函数f(x)可导，则lim Δx→0f(1＋Δx)－f(1) 3Δx等于()． A．f′(1) B．3f′(1) C.1 3f′(1) D．f′(3) 9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 10．某物体作匀速运动，其运动方程是s＝v t，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________． 11．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 12．(创新拓展)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．人教版数学选修2-2：导数及其应用测试题
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