正切、余切函数的图象和性质
正切、余切函数的图象和性质张思明教学目的：教学过程择录：一、引题：师：对比上一节的习题，请同学们看一看自己的作业本，对正弦和余弦函数，在作业中，我们已涉及了多少类型的问题？生众：P159正弦，余弦函数的定义域：P158正弦，余弦函数的最值：P158正弦，余弦函数的奇偶性P159正弦，余弦函数的单调性P159正弦，余弦函数的应用一-----比大小P158正弦，余弦函数的周期P159正弦，余弦函数的图象P160正弦，余弦函数性质的应用教师在黑板上书写：定义域值域奇偶性单调性比大小求最小正周期作图应用教师：今天我们来学习正切、余切函数的图象和性质，可以想一想，我们要觖决什么问题？生众：不就是上面这几点问题吗？教师：说的不错，我们就是要来解决把“正弦、余弦函数”换成“正切、余切函数”后~后面加一个“是什么？”这样一些问题。请同学们带的这些问题看书5分钟。[评述]：这里是通过作业小结的方式引入问题。学生常常是很肓目的做作业，很少观察作业所涉及的问题类型和范围。教师有意识地引导学生作这种观察，既培养了学生看课本的习惯，又自然引出了今天的课题和要探索解决的问题。二、学生自己回顾性设问，5分钟以后：学生阅读完毕，教师指导第一组学生为相邻的同桌的同学就前面七个方向提一个有关正、余切函数性质的问题，要求是后面的同学不要提前面已经提到过的问题，并请同桌同学对着大家回答。做完后，问、答的两组学生角色交换。其它组的同学一边听，一边作判断，对的放过，不对时请同一行的同学予以更正：生1：正切函数的定义域是什么？邻生答：除了，k∈Z外的全体实数。生2：正切函数的值域是整个y轴吗？邻生改正：应说成是全体实数生3：.........生10：学过四种三角函数都是奇数吗？都是增函数吗？邻生答：不对，反例是余弦函数）生11：正切函数是它定义域上的增函数吗？邻生答：是，其它学生更正：不是。教师追问理由 (12)
正切函数是一个周期为2的函数吗？邻生回答：准确地说正切函数是最小正周期为的周期函数。生13：余切函数也是一个以2为周期的周期函数，这个说法对吗？邻生：不对，另外的学生答：对，……… 学生即席讨论………。生14：怎样由y=tgx的图象得到y=ctgx的图象？，邻生答：可以先把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度，再向右平移。另一个邻座同学：也可以先把y=tgx的图象以y轴为轴，翻转180度，再向右平移。教师插说：我怎么不懂了？为什么把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度和把y=tgx的图象
以y轴为轴，翻转180度的效果一样？…学生讨论得到：因为y=tgx是奇函数，f(-x)=-f(x)。教师又插说：非要先翻转后平移吗？…学生讨论略。[评论]学生自己设计问题，自问他答，其它学生协助判定是否正确，可以在很大程度上调动学生自己学习的主动性。但问题的难易控制有一定难度，先问的人设计问题相对容易些，可以用往复问答的方式来解决。邻座的学生作答，同一横行同学做答的是非判定，这样做目的是让反馈的更快、更广些。从学生问答情况看，基本达到了目的。三、自己提出问题，设计问题，当堂练习，自己作评价。师：下面请第3组同学为大家设计一组课堂练习可以讨论。要求是七个方面都要覆盖。请第四组同学上黑板解：其它同学在下面解。再请第5组同学：评价题目和解法的长短。请第6组同学对应设计课后作业。请第7组同学：作全课的小结[评述]活动覆盖面大，学生在教师控制的“方向”上直接参与练习设计，求解，并且加入练习题设计及解法的评价和全课小结，目的是让学生学会“品题”，“品课”，这本身是对学生掌握学法的一种引导，对培养学生的自学能力十分重要。第3组学生上黑板设计的题目：求函数的定义域。求函数的值域。比较和的大小。函数最小正周期是什么？求出的单调增区间。作出函数的图象，并说明它是由y=tgx经过怎样的变换得到的。讨论下面函数的奇偶性和最小周期：，y=tg (mx+n)+b 学生D组7人上黑板解题。：求解过程及改错讨论略。学生E组评价：首先对D组的解答做出评判学生15：我觉得设计的好，它要求先用诱导公式转化成同名函数再比大小。学生16：我先纠正解答中的错误，原解认为最小正周期是，这是一个明显的错误，因为它不是正数。我觉得设计的目的就是要考查最小正周期的表达式中绝对值这一个最容易被忽略的地方。我认为此题设计的很好。学生17：我觉得设计的不很好，原因是，对数后面根号似乎多余，因为对数对真数的要求和算术根大体一致。又复合函数的内、外层函数y=lgt, 都是增函数，再讨论递增区间，显得“挖潜”不够，不如将y=lgt或换成某种减函数如。这样可以考察到更多的复合函数单调性的知识。……[评述]：这里有一个集体协作的场景，组长“派”任务和个人主动抢任务结合，学困生强以优先，各尽其能，各显所长。教师可以在旁边观察、欣赏、记录。作出鼓励或引导性的“旁白”。第七组的两个代表，上来做了全课的总结：学生17：今天我们学习了正切、余切、函数的性质，我觉得比较重要的是要把握函数的性质，就要去研究什么东西？这里面主要是定义域，值域单调性、奇偶性、周期性，和由此得到的函数的图象。对于正、余切函数的性质我觉得通过它们的图象去记忆，去理解是最容易的。只要记住函数的基本图象，我们就可以说出相应的性质。简单地说可以从图象直观走向看增减性、是否对称看奇偶性、是否可重复看周期
《正切函数的性质与图像》的教学设计 一.教材分析 1.地位与作用 《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。 2.教材处理 教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。二．学情分析 通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 三．教学目标确定 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.知识目标： 1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标： 1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法 2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标： 使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点 重点：正切函数的图象及其主要性质。 难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学模式：启发、探究式发现教学. 四．流程设计 （一）.复习引入： （1）问题：如何用正弦线作正弦函数图像呢？ （2）类比：利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan
正切函数的图像和性质-公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在 区间（）的单调性. 教学目的 知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇 偶性，单调性，能利用正切 曲线解决简单的问题。 情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表 示，正切函数tan 的定义域是什么？ y x 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？
画正切函数选取哪一段好呢? 画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若 是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体 现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈?? ? ? ?-2 ,2ππ的图象 说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图 象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 tan()tan x x -=-
（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相 互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2 |ππ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数
课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师： 教学目标 （1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单调性及证明． 教学方法 教师启发讲授，学生积极探究． 教学手段 计算机辅助． 教学过程 一、 设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：,2 x k k Z π π≠+ ∈．
(设计意图：,2 x k k Z π π≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2 x k k Z π π≠+∈）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法； （2）利用基本初等函数图像的变换作图． 大家认为应该选择哪种方法呢？ 学生的回答会选择（1）． 教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质． 二、 主动探究，解决问题 （一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域：|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? ． 学生可以迅速解决． 2、 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、 奇偶性：奇函数． 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？
1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习
A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，
正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对
8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间．
1.4.3正切函数的性质和图象 荥阳市第二高级中学 王青琴 【学习目标】 1.通过预习，能根据正切函数定义，诱导公式，正切线从“数”的角度，推出正切函数性质； 2.通过师生合作,能根据正切函数的性质与正切线，画出正切函数的图象； 3.通过师生合作，能根据正切函数的图象和性质解决相关问题。 【学习重点】 1.正切函数的图象与性质； 2.利用正切函数图象与性质解决问题 【学习难点】 利用正切线研究正切函数的单调性及值域 【学习方法】 自主探究 合作交流 【学习思想】类比、数形结合、整体代换、转化 【学习过程】 一、温故知新 1、正切的定义式是什么？ 即：角a 的终边不能落在 y 轴上 即：使的集合为有意义的角tan αα . 2、正弦，弦函数的相关性质有哪些？ 思考？正切函数y=tanx 是否有这样的性质呢？ 二、新知探究 探究1：根据正切函数定义，诱导公式，正切线推导正切函数的相关性质。 问题1.正切函数的定义域是什么？ 结论：正切函数定义域为： . 问题2、你能根据诱导公式，判断正切函数是不是周期函数吗？ 结论：正切函数的最小正周期为 . 问题3、你能根据诱导公式，判断正切函数的奇偶性吗？ 结论：正切函数为 函数 问题4.你能利用正切线，研究正切函数在一个周期内 的单调性吗？ y =tanx y =tanx ππ(-,)22)0(tan ≠=x x y α
结论： 问题5. 观察正切线：当x 大于2π -且无限接近2π -时，正切值如何变化？ 当x 小于2π且无限接近2π 时, 正切值又如何变化？ 结论：正切函数的值域是___________ 探究2：利用正切线做出正切函数的图象. 问题1. 类比正弦函数图象画法，你能利用正切线，画出y=tanx 在 内的图象吗？ 问题2. 根据正切函数周期性，你能画出在其整个定义域内的图象吗？ 利用正切线作tan y x =，x ∈?? ? ??-2,2ππ的图象 思考？ 正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ 三、利用性质解题 例题1.求函数)3 2tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间。 ??? ??-2,2ππ
1.4.3正切函数的性质与图象 教学目的： 知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 教学过程： 一、复习引入： 问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线： ． 下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课： 1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ? ?????∈+≠ z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？ ()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ?? +=∈≠+∈ ??? 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z π π? ? =∈≠+ ∈ ?? ? 且的一个周期。 π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作tan y x =，x ∈??? ? ?-2,2ππ的图象 说明： （1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2 π π，2 π+π?→?k x 时，tan x ?? →+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ 2 ，ππ k x +?→? 2 时，-∞?→? x tan 。 （3）周期性：π=T ； （4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （5）单调性：在开区间z k k k ∈?? ? ??++-ππππ2,2内，函数单调递增。 5.讲解范例： 例1比较??? ??- 413tan π与?? ? ??-517tan π的大小解：tan 413tan -=??? ??- π 4π，52tan 5 17tan ππ-=??? ??- ，?? ? ??=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单 调递增， ??->??? ??-->-∴<∴ππππππ 517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan 4tan 即 例2：求下列函数的周期： （1）3tan 5y x π? ? =+ ?? ? 答：T π=。 （2）tan 36y x π?? =- ?? ? 答：3 T π = 。 说明：函数()() tan 0,0y A x A ω?ω=+≠≠的周期T πω = ． 例3：求函数??? ? ? - =33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：1、由233πππ+≠-k x 得1853ππ+≠k x ，所求定义域为? ?? ???∈+≠ ∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 y
高一数学：正切函数的性质和图象 1．函数tan()3y x π =+的定义域（ ）. A ．|,6x R x k k Z ππ??∈≠+∈???? B ．|,6x R x k k Z π π??∈≠-∈???? C ．|2,6x R x k k Z ππ??∈≠+∈???? D ．|2,6x R x k k Z π π??∈≠-∈???? 2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π 3．tan (,)2y x x k k Z π π=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）. A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数 C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππ ππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππ ππ-++∈上为增函数 4．当22x ππ -<<时，函数y=tan |x|的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 5．下列各式正确的是（ ）. A ．13 17 tan()tan()45ππ-<- B ．1317 tan()tan()45ππ->- C ．13 17 tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定 6．函数1 tan y x =（44x π π -≤≤且x ≠0）的值域是（ ） A ．[―1，] B ．（―∞，－1]∪[1，+∞） C ．（－∞，1] D ．[－1，+∞） 7．已知函数y=tan （x+?）的图象过点,012π ?? ???，则?可以是（ ）
A ．6π - B ．6π C ．12 π- D ．12π 8．下列函数中同时满足：①在0,2π?? ???上是增函数；②奇函数；③以π为最小正 周期的函数的是（ ） A ．y=tan x B ．y=cos x C ．tan 2x y = D ．y=|sin x| 9．函数5tan 3x y ??=- ??? 的最小正周期是________。 10．已知tan 2)ααπ= <<，那么α所有可能的值是 。 11. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ． 12. 函数y=tan(2x+π4 )的单调递增区间是__________． 13. 比较下列各数大小： （1）tan2与tan9； （2）tan1与cot4.
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-
说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：
7.3.4正切函数的性质与图像 课标要求素养要求 1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养. 教材知识探究 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 问题类比y＝sin x ，y＝cos x的图像与性质． （1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图像是连续的吗？ 提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的． 函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论
解析式 y ＝tan x 图像 定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π 2＋k π，k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）都是增函数 对称中心 ? ???? k π2，0（k ∈Z ） 零点 x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗 [微判断] 1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×） 提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2. 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√） 4．函数y ＝2tan x ，x ∈??? ???0，π2的值域是[0，＋∞）.（√） [微训练] 与函数y ＝tan ? ? ???2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ） A ．x ＝π2 B ．x ＝－π 2 C ．x ＝π4 D ．x ＝π 8 解析 ∵2x ＋π4≠π 2＋k π（k ∈Z ）， ∴x ≠π8＋k π 2（k ∈Z ），故选D.
《正切函数的性质与图象》课后反思 三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。 在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神. 通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。 在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。 一、指导思想与理论依据 贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而
《正切函数图象与性质》说课稿 各位评委老师好！ 今天我说课的课题是《正切函数的图象和性质》，下面我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序四个方面进行说课，不足的地方希望老师能给予指出。 一．教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 （一）知识和技能目标： 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． （二）过程与方法目标： 1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法； 2、培养学生类比、归纳的数学思想； 3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用， （三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数； 二．教学策略 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如： 1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法； 2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 三．学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障． 四．教学程序 1、复习引入 （一）、复习 问题:1、什么是正切？正切有关的诱导公式？
第14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y
[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间
考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且 求相应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（ ） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>
《正切函数的图象与性质》教学设计 【课标解读】高中数学课程标准在本部分内容的要求和解读： 1.数学教材要自然、生动、要激发学生的兴趣和美感，引发学生的学习激情；要引导学 生提问，要强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用. 2.具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性 的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观. 3.关注三角函数本质(起源于圆周运动的周期函数），使学生获得研究周期函数的基本思 想方法. 4.关注数学内容的内在联系(数形结合)：三角函数——关于圆与三角形的解析几何 5.关注研究方法——类比、推广、特殊化（化归）； 【教学内容解析】 (一）本节教材的地位和作用： 《正切函数的图象和性质》是《普通高中课程标准实验教科书》（人教版B）高一数学的必修4第1.3.2节的内容，它是紧接着正弦和余弦函数的图象和性质后的又一通过图象来研究性质的三角函数。正切函数的图象和性质也是三角函数的重要内容之一，本节课既是对前面正余弦函数知识的延展，也是为学习已知三角函数值求角的问题,对必修二中直线的斜率和选修2-2中导数求切线方程的斜率问题都有联系。 为后续知识作了铺垫。因此掌握好正切函数的图象和性质，意义非常重要。同时，这节课也是进一步培养高一学生的类比、观察和数形结合能力的重要内容. (二)教材分析处理 1.本节课是在学习了正余弦函数的基础上，利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，通过图象系统的研究正切函数的性质。三角函数的图象和性质贯穿了全章教材，它不仅是继续学习三角知识不可缺少的基本知识和基本工具，也是科学研究、生产实践中的重要工具之一，通过学习本节课，培养学生的数形结合能力，形象思维能力和想象能力；同时培养学生观察、发现、独立思考、总结归纳的能力. 2.在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性、奇偶性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。但也要让学生明白，作为正切函
1 正切函数的图象和性质教学案例的实践与认识 温州中学 孔 娣 一、教学设计过程 1．教学设计思路 由于学生在本节课之前刚学习了正余弦函数的图像和性质，我想以此为基础让学生自主探究正切函数的图像和性质，尽量以学生为主体，发挥学生的主动性。因此采取了如下的教学设计思路： 教学方法：探究式教学——“变教学为诱思，以诱达思促发展”。在教学中，要让学生在学习过程中实现自主学习、合作学习和探究学习，教师充当引导者的角色，引导、帮助学生检视和反思自我，明了要学习什么和获得什么；帮助学生寻找、搜集和利用学习资源；帮助学生设计恰当的学习活动；帮助学生发现他们所学东西的意义；帮助学生营造和维持学习过程中积极的心理氛围；帮助学生对学习过程和结果进行评价。 教学手段：多媒体辅助教学———采用PowerPoint 幻灯片，几何画板和实物投影仪辅 助教学，这样可以减少板书时间，利用幻灯片中一些有意思的小动画营造轻松活泼的课堂氛围，利用几何画板作图增强学生对图形形成的直观理解，利用实物投影仪展示学生作品。 教学思路：问题开路→温故知新→师生讨论→动手做图→一起评价→发现问 题→获得性质→性质运用→课外拓展。 2．教学设计内容 I ．课题：正切函数的图象和性质（1） II ．教学目标：①．了解利用正切线画出正切函数图象的方法； ②．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； ③．掌握正切函数的性质。 III ．教学重、难点：①．正切函数图象的作法； ②．正切函数的性质。 IV ．教学过程： （一）情境设置（问题开路）： 前面我们研究了正余弦函数的图像和性质，这节课开始研究正切函数的图像和性质。问怎样作正切函数的图像？→（启发问题）做函数图像的常用方法？→描点连线。→如何找点？→找点的横纵坐标→写出特殊点的横纵坐标，发现直接描点不精确。→有什么方法精确找点？ （二）温故知新（问题导学）： 问题：(1)正弦曲线是怎样画的？（学生回答，利用多媒体演示回顾） （2）如何作一个角的正切线？（学生回忆，教师演示，注意特殊角情形） 问：现在你能否作出正切函数的图像？（发给学生每人一张准备好的有直角坐标系和单位圆的纸，让学生快速动手作图） （三）评价成果，正确作图： 教师巡视，待大部分学生完成作图后，教师有目的的收上学生的各种作品，利用实物投影仪展示学生作品，对其进行评价，就学生暴露的问题进行讨论，寻找原因。 就学生作图出现的问题一起讨论正确作图步骤： (1)学生作图错误：在2π= x 处有图像。 教师问：为什么错？
1．4．3 正切函数的性质和图像 一、教学目标 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 二、课时 1课时 三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用. 四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 五、教具 多媒体、实物投影仪 六、教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？ 活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2 πk ,0)k ∈Z . (3)单调性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π -+kπ,2 π+kπ),k ∈Z 内都是增函数.
正切函数图像及性质 知识点梳理 函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π 例1、求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )． 练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域. 例3、求下列函数的周期（1）??? ?? +=42tan 3πx y （2）??? ??+=42 1tan 3πx y
例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调??? ??-=32tan πx y 练习1、求函数??? ??-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性； 练习2、求函数的单调区间??? ??+-=421 tan 3πx y 课堂练习 1． 函数y ＝tan ????12x －π 3在一个周期内的图象是 ( ) 2.在区间(－3π2，3π 2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间????π2，3π 2内的图象是 ( ) 4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤3 3. 5.下列说法正确的是( ) A.y ＝tan x 是增函数 B.y ＝tan x 在第一象限是增函数 C.y ＝tan x 在每个区间????k π－π 2，k π＋π 2(k ∈Z )内是增函数 D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数 6.函数y ＝3tan(2x ＋π 4)的定义域是 ( )
A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z} B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z} C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z} D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z} 7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( ) A.π2 B.2π C.π D.与a 值有关 8.下列各式中正确的是( ) A.tan 4π7＞tan 3π7 B.tan ????－13π4＜tan ????－17π5 C.tan 4＞tan 3 D.tan 281°＞tan 665° 9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( ) A.????k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) B.????k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) C.????k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) D.????k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 10.已知函数y ＝tan ωx 在????－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________. 11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)????－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为????π4，0，则φ＝________. 12.若tan ????2x －π6≤1，则x 的取值范围是________. 13已知函数f (x )＝3tan ????12x －π3. (1)求f (x )的定义域和值域. (2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性. 14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈????π4，π3的值域.
正切函数的性质和图象 1．若tan 0x ≤,则（ ）. A ．22,2 k x k k Z π ππ-<<∈ B ．2(21),2 k x k k Z π ππ+ ≤<+∈ C ．,2 k x k k Z π ππ- <≤∈ D ．,2 k x k k Z π ππ- ≤≤∈ 2．函数tan 2()tan x f x x = 的定义域为（ ）. A ． {|x x R ∈ 且,4k x k Z π?≠∈?? B ．{|x x R ∈ 且,2 x k k Z ππ? ≠+∈?? C ． {|x x R ∈ 且,4x k k Z ππ?≠+∈?? D ．{|x x R ∈ 且,4 x k k Z ππ? ≠-∈?? 3．函数tan()(0)6 y ax a π =+≠的周期为（ ）. A ． 2a π B ．2a π C ．a π D ．a π 4．下列函数不等式中正确的是（ ）. A ．43tan tan 77ππ> B ．23 tan tan 55ππ< C ． 1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312 tan()tan()45 ππ-<- 5．直线y=3与函数y=tan ωx （ω＞0）的图象相交，则相邻两交点的距离是（ ） A ．π B ． 2π ω C ． πω D ．2π ω 6.函数y =2tan （3x －4π ）的一个对称中心是( ) A.（ 3 π ，0） B.（ 6 π ，0） C.（－ 4 π ，0） D.（－ 2 π ，0） 7．已知cot (tan )x a x =，sin (tan )x b x =，cos (tan ) x c x =，cot log cos x d x =04x π?? << ?? ? ，则a 、b 、c 、d 的大小顺序为（ ） A ．d ＜b ＜a ＜c B ．d ＜a ＜b ＜c C ．d ＜a ＜c ＜b D ．a ＜c ＜b ＜d 8．函数tan 4y x π?? =+ ?? ? 的单调区间为（ ） A ．,2 2k k π πππ?? - + ?? ? ，k ∈Z B ．3,44k k ππππ?? - + ?? ? ，k ∈Z