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弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答

弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答
弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答

弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答

徐芝纶

第一章绪论

【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体?

【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。

非均匀的各向同性体如:混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体?

【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用?

【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定:假定位移和变形是微小的。亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时,就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时,它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计,使得弹性力学中的微分

方程都简化为线性的微分方程。

【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别?试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向。

【解答】应力的符号规定是:当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时(即正面时),这个面上的应力(不论是正应力还是切应力)以沿坐标轴的正方向为正,沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时(即负面时),该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正,沿坐标轴的正方向为负。

面力的符号规定是:当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正,沿坐标轴的负方向为负。

由下图可以看出,正面上应力分量与面力分量同号,负面上应力分量与面力分量符号相反。

正的应力正的面力

【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。

【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正,反之为负。

弹性力学中规定,作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正,作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正,反之为负。

【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。

【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力,正的形变包

括正的正应变与正的切应变,本题应从两方面解答。

正的正应力对应于正的正应变:轴向拉伸情况下,产生轴向拉

应力为正的应力,引起轴向伸长变形,为正的应变。

正的切应力对应于正的切应变:在如图所示应力状态情况下,

切应力均为正的切应力,引起直角减小,故为正的切应变。

【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。 【解答】

正的体力、面力

正的体力、应力

【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。 【解答】

x

y

x f y

f x

f y

f x

f y

f y

f x

f Oz

【1-9】在图1-3的六面体上,y 面上切应力yz τ的合力与z 面上切应力zy τ的合力是否相等?

【解答】切应力为单位面上的力,量纲为12L MT --,单位为2/N m 。因此,应力的合力应乘以相应的面积,设六面体微元尺寸如dx×dy×dz ,则y 面上切应力yz τ的合力为:

yz dx dz τ?? (a)

z 面上切应力zy τ的合力为:

zy dx dy τ?? (b)

由式(a )(b)可见,两个切应力的合力并不相等。

【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等,但对某点的合力矩相等,才导出切应力互等性。

第二章 平面问题的基本理论

【2-1】试分析说明,在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。

【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中,可以认为在该薄层的上下表面都无面力,且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ,只存在平面应力分量,,x y xy σστ,且它们不沿z 方向变化,仅为x ,y 的函数。可以认为此问题是平面应力问题。

【2-2】试分析说明,在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中(2-15),当板边上只受x ,y 向的面力或约束,且不沿厚度变化时,其应变状态接近于平面应变的情况。

【解答】板上处处受法向约束时0z ε=,且不受切向面力作用,则

0xz yz γγ==(相应0zx zy ττ==)板边上只受x ,y 向的面力或约束,所以仅存

在,,x y xy εεγ,且不沿厚度变化,仅为x ,y 的函数,故其应变状态接近于平面应变的情况。

【2-3】在图2-3的微分体中,若将对形心的力矩平很条件

C

M

0=∑改为对角点的力矩平衡条件,

试问将导出什么形式的方程?

【解答】将对形心的力矩平衡条件

C

M

0=∑,

改为分别对四个角点A 、B 、D 、E 的平衡条件,为计算方便,在z 方向的尺寸取为单位1。

0A

M

=∑

1()1()11222

()1()1110

222

xy x y x xy y y yx y yx x x dx dy dy

dx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ????++??-+??-??

????-+??++??+??-??=?? (a)

0B

M

=∑ ()1()1()122

111110

2222

yx y x x yx y xy x y x y dy dx

dx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dx

dy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ???+

??++??++?????-??-??-??+??+??=

(b)

O

z

y

0D

M

=∑

()111122

1()1110

2222

y

y xy x yx x x x x y dx dy

dy dx dy dx dy dx dy

y dx dy dy dx

dx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ?+

??

-??+??+????-??-+??-??+??=? (c)

0E

M

=∑

()1111222

()1()1110

222y

y x yx y xy x x xy x y dx dy dx

dy dx dy dx dy dx y dy dy dx

dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ?-+

??

+??+??+??-

???+??-+??-??+??=?? (d)

略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量(亦即令2

2

,d xdy dxd y 都趋于0),并将各式都除以dxdy 后合并同类项,分别得到xy yx ττ=。

【分析】由本题可得出结论:微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定理。

【2-4】在图2-3和微分体中,若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的,验证将导出什么形式的平衡微分方程?

【解答】微分单元体ABCD 的边长,dx dy 都是微量,因此可以假设在各面上所受的应力如图a 所示,忽略了二阶以上的高阶微量,而看作是线性分布的,如图(b )所示。为计算方便,单元体在z 方向的尺寸取为一个单位。

x

y

O

x f y

f A B

C

D

()

y A

σ()

y D

σ()yx D τ()yx A τ()x D

σ()

x A

σ()xy A τ()

xy D

τ()

xy C

τ()xy B

τ()

x B

σ()x C

σ()y C

σ()y B

σ()

yx B

τ()

yx C

τ

x

y

O

x f y

f A B

C

D

()

y A

σ()

y D

σ()yx D τ()yx A τ()x D σ()x A

σ()xy A τ()xy D

τ()

xy C

τ()xy B

τ()

x B

σ()x C

σ()y C σ()y B

σ()

yx B

τ()

yx C

τ

(a) (b)

各点正应力:

()=x A x σσ;

()=y A y σσ

()x

x B x dy y

σσσ?=+

?;

()y y B y dy y

σσσ?=+

?

()?=+

?x

x D x dx x

σσσ;

()?=+

?x

y D y dx x

σσσ ()??=+

+???x x

x C x dx y x y

σσσσ; ()??=+

+

???y y y C y dx y x

y

σσσσ

各点切应力:

()xy A xy ττ=;

()yx A yx ττ=

()?=+

?xy xy B xy dy y

τττ;

()?=+

?yx yx A yx dy y

τττ

()xy xy D xy dx x τττ?=+

?;

()?=+

?yx yx D yx dx x τττ

()xy xy xy C xy dx dy x

y

ττττ??=+

+??;

()??=+

+??yx yx yx C yx dx dy x

y

ττττ

由微分单元体的平衡条件 0,∑=x F 0,∑=y F 得

112211+

22x x x x x x x x

yx yx yx yx yx yx yx yx dy dy dx dx dy dy y x x y y dx dx dy dx dy x y x y σσσσσσσστττττττ???????????????????

???-+++++++-???????? ? ? ??????

??????????????????????????????

?????++++++?????? ? ? ???????????????????0x dx f dxdy ????+=??????

112211+++22y y y y y y y y xy xy xy xy xy xy xy xy dx dx dy dx dy dx x y x y dy dy dx dy dx y x y x σσσσσσσσττττττττ?????????????????????

?-++

+++++-???????? ? ? ????????????????????????????????????

?????++++?????? ? ? ???????????????????0y dy f dxdy ????+=??????

以上二式分别展开并约简,再分别除以dxdy ,就得到平面问题中的平衡微分方程:

0;0yx

y xy x x y f f x y y x

τστσ????++=++=???? 【分析】由本题可以得出结论:弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。 【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时,分别应用了哪些基本假定?这些方程的适用条件是什么?

【解答】(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是:物体的连续性和小变形假定,这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。

(2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是:连续性,完全弹性,均匀性和各向同性假定,即理想弹性体假定。同样,理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。

【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定?

【2-6】在工地上技术人员发现,当直径和厚度相同的情况下,在自重作用下的钢圆环(接近平面应力问题)总比钢圆筒(接近平面应变问题)的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。

【解答】体力相同情况下,两类平面问题的平衡微分方程完全相同,故所求的应力分量相同。由物理方程可以看出,两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E 为GPa 级别的量,而泊松比μ取值一般在(0,0.5),故主要控制参数为含有弹性模量的系数项,比较两类平面问题的系数项,不难看出平面应力问题的系数1/E 要大于平面应变问题的系数

()2

1/-E μ。因此,平面应力问题情况下应变要大,故钢圆环变形大。

【2-7】在常体力,全部为应力边界条件和单连体的条件下,对于不同材料的问题和两类平面问题的应力分量x σ,y σ和xy τ均相同。试问其余的应力,应变和位移是否相同?

【解答】(1)应力分量:两类平面问题的应力分量x σ,y σ和xy τ均相同,但平面应力问题

0z yz xz σττ===,而平面应变问题的()0,xz yz z x y ττσμσσ===+。

(2)应变分量:已知应力分量求应变分量需要应用物理方程,而两类平面问题的物理方程不相同,故应变分量0,xz yz xy γγγ==相同,而,,x y z εεε不相同。

(3)位移分量:由于位移分量要靠应变分量积分来求解,故位移分量对于两类平面问题也不同。 【2-8】在图2-16中,试导出无面力作用时AB 边界上的xy

,,x y σστ之间的关系式

【解答】由题可得:

()()()cos ,cos 90sin 0,0

x y l m f AB f AB ααα==-===

将以上条件代入公式(2-15),得:

()()()()

()

2cos sin 0, sin ()cos 0

()tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y AB

AB

σατασαταστασα

+=+=?=-=

x

y

O

y

σx

σxy

τn

α

g

ρ图2-16

B

A

【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

x

y

2

h 1h b

g ρo

()

2h b >> h x

y

l

/2/2

h M

N

F S

F 1

q q

图2-17

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件,若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式,大边界上应精确满足公式(2-15)。

【解答】图2-17:

上(y =0)

左(x =0) 右(x =b )

l

0 -1 1 m

-1

() x f s

()

1g y h ρ+

()

1g y h ρ-+

() y

f

s

1gh ρ

代入公式(2-15)得

①在主要边界上x=0,x=b 上精确满足应力边界条件:

()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;

===-+=x xy x x g y h σρτ

②在小边界0y =上,能精确满足下列应力边界条件:

()

()

,0y

xy y y gh σρτ===-=

③在小边界2y h =上,能精确满足下列位移边界条件:

()()2

2

0,0

====y h

y h u v

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,当板厚=1

δ时,可求得固定端约束反力分别为:

10,,0s N F F gh b M ρ==-=

由于2y h =为正面,故应力分量与面力分量同号,则有:

()()()222

10000

0b y y h b

y y h b

xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2,y=h/2上,应精确满足公式(2-15)

l

m

x f (s)

y f (s)

2h y =-

0 -1 0 q

2

h y =

1

-1q

-/2()y y h q σ==-,-/2()0yx y h τ==,/2()0y y h σ==,/21()yx y h q τ==-

②在x =0的小边界上,应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件:负面上应力与面力符号相反,有

/20/2/2

0/2/20

/2()()()h xy x S

h h x x N h h x x h dx F

dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上,可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先,求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力,如图所示,列平衡方程求反力:

110,x

N N

N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y

S S S S F

F F ql F ql F ''=++=?=--∑

2

211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑

由于x=l 为正面,应力分量与面力分量同号,故

/21/22/2

1/2/2/2

()()22()h x x l N N

h h x x l S h h xy x l S S

h dy F q l F

q lh ql ydy M M F l dy F ql F

σστ=-=-=-?'==-???'==---??

?'==--?????

M '

N F 'S F '

【2-10】试应用圣维南原理,列出图2-19所示的两个问题中OA 边上的三个积分的应力边界条件,并比较两者的面力是否是是静力等效?

【解答】由于h

l ,OA 为小边界,故其上可用圣维南原理,

写出三个积分的应力边界条件:

(a)上端面OA 面上面力q b

x f f y x =

=,0 由于OA 面为负面,故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反,有

()()()0

00020000002

2120b

b b y y y b b b y y y b

yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===?=-=-=-??

???

=-=-=

? ????

?=??

???????(对OA 中点取矩) (b)应用圣维南原理,负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反,面力主矢y 向为正,主矩为负,则

()()()0

0200002

120b

y N y b

y y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===?=-=-??

?=-=??

?=??

??? 综上所述,在小边界OA 上,两个问题的三个积分的应力边界条件相同,故这两个问题是静力等效的。

【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么? 【解答】(1)在区域内用位移表示的平衡微分方程式(2-18); (2)在s σ上用位移表示的应力边界条件式(2-19); (3)在u s 上的位移边界条件式(2-14); 对于平面应变问题,需将E 、μ作相应的变换。

【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时,位移分量必须满足的条件。 【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么? 【解答】(1)在区域A 内的平衡微分方程式(2-2);

x

y

h

o

b

()

,1h b δ>>=q

A

x

y

h

o /2b M

A

/2b N

F 2

N qb

F =

212

qb M =

()

a ()

b 图2-19

(2)在区域A 内用应力表示的相容方程式(2-21)或(2-22);

(3)在边界上的应力边界条件式(2-15),其中假设只求解全部为应力边界条件的问题; (4)对于多连体,还需满足位移单值条件。

【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时,应力分量必须满足的条件。 【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么? 【解答】用应变表示的相容方程式(2-20)

【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么? 【解答】(1)在区域A 内用应力函数表示的相容方程式(2-25); (2)在边界S 上的应力边界条件式(2-15),假设全部为应力边界条件; (3)若为多连体,还需满足位移单值条件。 【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答:

q

q

q

q

a b

a

b

y

x O

x

y

l

O

/2

h /2

h q

l h

?

图2-20 图2-21

(a )图2-20,2

2x y q b

s =,0==y xy στ。

【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答,必须满足:(1)平衡微分方程(2-2);(2)用应力表示的相容方程(2-21);(3)应力边界条件(2-15)。

(1)将应力分量代入平衡微分方程式,且0==x y f f

0??+=??yx x x y τσ 0??+=??y xy

y x

στ 显然满足 (2)将应力分量代入用应力表示的相容方程式(2-21),有

等式左=()2222x y x y σσ????++ ?????

=220≠q

b =右

应力分量不满足相容方程。

因此,该组应力分量不是图示问题的解答。

(b )图2-21,由材料力学公式,=x M y I σ,*

=s xy F S bI

τ(取梁的厚度b=1),得出所示问题的

解答:332=-x x y q lh σ,222

3

3-(4)4=-xy q x h y lh τ。又根据平衡微分方程和边界条件得出:333222=--

y q xy xy q x

q lh lh l

σ。试导出上述公式,并检验解答的正确性。 【解答】(1)推导公式

在分布荷载作用下,梁发生弯曲形变,梁横截面是宽度为1,高为h 的矩形,其对中性轴(Z 轴)

的惯性矩3

12=h I ,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程

()2

3(),62=-=-q qx M x x F x l l

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为:

()332==-x M x x y

y q I lh

σ

()()2222

23

3431.424??=-=-- ?

??s xy F x y q x h y bh h lh τ。 根据平衡微分方程第二式(体力不计)。

0??+

=??y xy y

x

στ

得: 3

33.22=

-+y q xy xy q A lh lh

σ 根据边界条件

()

/2

0==y

y h σ

q .2=-x A l

故 333.2.22=

--y q xy xy q x q lh lh l

σ 将应力分量代入平衡微分方程(2-2) 第一式:

22336.60x y x y

q q lh lh

=-+==左右 满足

第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程(2-23)

()22223312.12.0????=++=--≠= ?????

左右x y xy xy

q q x y lh lh σσ

应力分量不满足相容方程。

故,该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-15】试证明:在发生最大与最小切应力的面上,正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 【解答】(1)确定最大最小切应力发生位置 任意斜面上的切应力为()21n

lm τσσ=-,用关系式221l m +=消去m ,得

()()()()2

2

2

4

221212

111/41/2n l l l l l

τσσσσσ

σ=±--=±--=±---

由上式可见当

2102l -=时,即12l =±

时,n τ为最大或最小,为 ()12

max min 2

n σστ-=±。因此,切应力的最大,最小值发生在与x 轴及y 轴(即应力主向)成45°的斜面上。

(2)求最大,最小切应力作用面上,正应力n σ的值 任一斜面上的正应力为

()2122n l σσσσ=-+

最大、最小切应力作用面上2/1±=l ,带入上式,得

()()1221211

22

n σσσσσσ=-+=+

证毕。

【2-16】设已求得一点处的应力分量,试求112,,σσα

()100,50,1050; ()2000,400;

x y xy x y xy a b σστσστ======-,

()20001000400; ()1000,1500,500.

x y xy x y xy c d σστσστ=-==-=-=-=,,

【解答】由公式(2-6)

212222x y x y xy σσσσστσ+-???=±+? ????及11tan x xy σσατ-=,得11arctan x xy σσατ-= (a)

()

2

2

12150

100501005010500

22σσ??+-??

=±+=?? ???

?? 1150100

arctan

3516'1050

α-==?

(b) ()2

2125122000200040031222σσ??+-??

=±+-=?? ?-???

? ()1512200

arctan

arctan 0.783757'400

α-==-=-?-

(c) ()2

212105220001000200010004002052

22σσ??-+-+??

=±+-=?? ?-???? ()110522000

arctan

arctan 7.388232'400

α+==-=-?-

(d)

2

12

26911000150010001500500180922σσ-??---+??=±+=?? ?-???

? 16911000

arctan

arctan 0.6183143'500

α-+===?

【2-17】设有任意形状的等候厚度薄板,体力可以不计,在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 。试证-x y q ==s s 及0xy τ=能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件,也能满足位移单值条件,因而就是正确的解答。

【解答】(1)将应力分量,0x y xy q σστ==-=,和体力分量

0x y f f ==分别带入平衡微分方程、相容方程

00

xy

x x y xy y

f x

y f y

x τσστ???++=?

????

???++=???? (a ) ()20x y σσ?+= (b )

显然满足(a )(b )

(2)对于微小的三角板A ,dx ,dy 都为正值,斜边上的方向余弦()()cos ,,cos ,l n x m n y ==,将-,0x y xy q σστ===,代入平面问题的应力边界条件的表达式(2-15),且

()()-cos ,,cos ,x y f q n x f q n y ==,则有

()()()()

cos ,cos ,,cos ,cos ,x y n x q n x n y q n y σσ=-=-

所以,x y q q σσ=-=-。

对于单连体,上述条件就是确定应力的全部条件。 (3)对于多连体,应校核位移单值条件是否满足。

x

y

O

x

f y

f q

q

A

y

σx

σ

该题为平面应力情况,首先,将应力分量代入物理方程(2-12),得形变分量,

(1)(1)

,,0x y xy q q E E

μμεεγ---=

== (d ) 将(d )式中形变分量代入几何方程(2-8),得

=,=,0u v v u q q x y x y

μμ????+=????(-1)(-1)E E (e ) 前两式积分得到

12--=(),=()u qx f y v qy f x μμ++(1)(1)E E

(f )

其中()()12,f y f x 分别任意的待定函数,可以通过几何方程的第三式求出,将式(f )代入式(e )的第三式,得

12()()

df y df x dy dx -

=

等式左边只是y 的函数,而等式右边只是x 的函数。因此,只可能两边都等于同一个常数ω,于是有

12()(),df y df x dy dx

ωω=-= 积分后得()()1020,f y y u f x x v ωω=-+=+ 代入式(f )得位移分量

00

(1)(1)u qx y u E

v qy x v E

μωμω-?

=-+???

-?=++?? (g ) 其中00,,u v ω为表示刚体位移量的常数,需由约束条件求得

从式(g )可见,位移是坐标的单值连续函数,满足位移单值条件。因而,应力分量是正确的解答。

【2-18】设有矩形截面的悬臂梁,在自由端受有集中荷载F (图2-22),体力可以不计。试根据材料力学公式,写出弯应力0y σ=,然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明这些表达式是否就表示正确的解答。

【解答】(1)矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-,横截面对中性轴的惯性矩为

3/12z I h =,根据材料力学公式

x

y

l

O

/2

h /2

h F 1

弯应力3()12x z M x F

y xy I h

σ=

=-; 该截面上的剪力为()s F x F =-,剪应力为

()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ??--????==?-??+=-- ? ??????????

取挤压应力0y σ=

(2)将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式:2312120F F

y y h h

=-

+==左右 第二式:左=0+0=0=右

该应力分量满足平衡微分方程。

(3)将应力分量代入应力表示的相容方程

2()0x y σσ=?+==左右 满足相容方程

(4)考察边界条件

①在主要边界/2y h =±上,应精确满足应力边界条件(2-15)

l

m

x f

y

f

2h y =-上

0 -1 0 0 2h y =上

1

代入公式(2-15),得

()

()

()

()

-/2

/2

/2

/2

0,0;0,0

y

xy y yx y h y h y h y h στστ==-======

②在次要边界x=0上,列出三个积分的应力边界条件,代入应力分量主矢主矩

/2

0/2/2

0/22

/2/22

03/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--??==??==?????=--=-=??????

????向面力主矢面力主矩向面力主矢

满足应力边界条件

③在次要边界上,首先求出固定边面力约束反力,按正方向假设,即面力的主矢、主矩,0,,N S F F F M Fl ==-=-

其次,将应力分量代入应力主矢、主矩表达式,判断是否与面力主矢与主矩等效:

M

N F S

F

/2

/2

3

/2/212()0h h x x l N

h h F

dy lydy F h σ=--=-==??

/2/223/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h σ=--=-=-=??

2/2

/2

23/2

/26()4h h xy x l S h h

F h dy y dy F F h τ=--??=--=-= ???

?

?

满足应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。

【2-19】试证明,如果体力虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以表示为

,x y V V

f f x y

??=-

=-??,其中V 是势函数,则应力分量亦可用应力函数表示成为22222=,=,x y xy V V y x x y

σστ?Φ?Φ?Φ++=-????,试导出相应的相容方程。

【解答】(1)将,x y f f 带入平衡微分方程(2-2)

00 00

yx yx x x x y xy y xy y

V

f x y x

y x V f y x y

x y ττσσστστ???????++=+-=????????????

???????++=+-=????????? (a ) 将(a )式变换为

()0()0

yx x xy y

V x y V y y τστσ???

-+

=????

?

???-+=????

(b ) 为了满足式(b ),可以取

22222,,x y xy V V y x x y

σστ?Φ?Φ?Φ

-=-==-????

即2222

2,,x y xy V V y x x y

σστ?Φ?Φ?Φ

=+=+=-???? (2)对体力、应力分量,,,x y x y f f σσ求偏导数,得

222222424222222

422242422422

222

, , , y x x

x y

y f f V V

x x y y V V x

x y x y y y V V x

x x y x y y σσσσ?????=-=-??????????Φ??Φ??=+=+?????????????Φ??Φ??=+=+????????? (c )

将(c )式代入公式(2-21)得平面应力情况下应力函数表示的相容方程

()2

(1)y x x y f f x y σσμ???

??+=-++ ?????

(2-21)

424242422222

2424222222(1)V V V V

V V x y x y y x x x y y x y μ???Φ??Φ??Φ??Φ???+++++++=++ ???????????????

整理得:

44422422422

2(1)V V x x y y x

y μ??

?Φ?Φ?Φ

??++=--+ ?????????

(d ) 即平面应力问题中的相容方程为

42(1)V μ?Φ=--?

将(c )式代入公式(2-22)或将(d )式中的替换为

μ

-,的平面应变情况下的相容方程: 44422422422

1221V V

x x y y x y μμ??

?Φ?Φ?Φ-??++=-+ ?????-????

(e ) 即 4

2

121V μμ

-?Φ=-?-。 证毕。

第三章 平面问题的直角坐标解答

【3-1】为什么在主要边界(大边界)上必须满足精确的应力边界条件式(2-15),而在小边界上可以应用圣维南原理,用三个积分的应力边界条件(即主矢量、主矩的条件)来代替?如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式(2-15),将会发生什么问题?

【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题,而要使边界条件完全得到满足,往往比较困难。这时,圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同,但静力等效的面力(主矢、主矩均相同),只影响近处的应力分布,对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件(公式2-15),就会影响大部分区域的应力分布,会使问题的解答精度不足。

【3-2】如果在某一应力边界问题中,除了一个小边界条件,平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足,试证:在最后的这个小边界上,三个积分的应力边界条件必然是自然满足的,固而可以不必校核。

【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件,应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件,即外力(面力)与内力(应力)的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的,其它应力边界条件也都满足,那么在最后的这个次要边界上,三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。

【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界,试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件,各有几个条件?

【解答】在m 个主要边界上,每个边界应有2个精确的应力边界条件,公式(2-15),共2m 个;在n 个次要边界上,如果能满足精确应力边界条件,则有2n 个;如果不能满足公式(2-15)的精确应力边界条件,则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件,共3n 个。

【3-4】试考察应力函数3

ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a 取何值,应力函数3

ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程,式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时,将应力函数Φ代入公式(2-24),得

6,0,0x y xy yx ay σσττ====

x

y

l

O

h

图3-8

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零,故上下边界上无面力. 左右边界上;

当a>0时,考察x σ分布情况,注意到0xy τ=,故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()

0y x y x f τ==

=

右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0

y x y x l

f τ

=== 应力分布如图所示,当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力,等效为主矢,主矩

x

y

O

x

f x

f

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下,可解决各种偏心拉伸问题。

偏心距e :

因为在A 点的应力为零。设板宽为b ,集中荷载p 的偏心距e :

2()0/6/6

x A p pe

e h bh bh σ=

-=?= 同理可知,当a <0时,可以解决偏心压缩问题。 【3-5】取满足相容方程的应力函数为:⑴

2,ax y Φ=⑵2,bxy Φ=⑶3,cxy Φ=试求出应力分量(不计体力),画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布,并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。

【解答】(1)由应力函数2

ax y Φ=,得应力分量表达式

0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-

考察边界条件,由公式(2-15)()()

()()x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ?+=??+=??

①主要边界,上边界2

h

y =-上,面力为

()22=-=x h

f y ax ()2y h f y ah =-=

②主要边界,下边界2

h

y =,面力为

e

P P

e x

y

l

O

/2h 图3-9

/2

h ()

l h ?A

弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答

弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答 徐芝纶 第一章绪论 1、试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体? 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各 向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。 非均匀的各向同性体如:混凝土。 1.2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体? 【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性, 各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不可以作为理想弹性体。 1.3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用? 【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理 量就可以看成是连续的。因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定:假定位移和变形是微小的。亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的 平衡方程时,就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与 形变的关系时,它们的二次幕或乘积相对于其本身都可以略去不计,使得弹性力学中的微分

弹性力学课后习题详解

第一章习题 1-1 试举例证明,什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体,什么是非均匀的各向异性体。 1.均匀的各向异性体: 如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成,故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同,故为各向异性的。 2.非均匀的各向同性体: 实际研究中,以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的,或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值,因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀(即点点材性不同),即使各点单独考察都是各向同性的,也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。 实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体,密度由上到下逐渐加大,非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。 再考察素混凝土构件,由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响,则为均匀的,同时也必然是各向同性的。反之,如果构件尺寸较小,粗骨料颗粒尺寸不允许忽略,则为非均匀的,同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸,因此也必然是各向异性体。因此,将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。 3.非均匀的各向异性体: 如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成,故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同,故为各向异性的。 1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体? 理想弹性体指:连续的、均匀的、各向同性的、完全(线)弹性的物体。 一般的混凝土构件(只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小)可在开裂前可作为理想弹性体,但开裂后有明显塑性形式,不能视为理想弹性体。 一般的钢筋混凝土构件,属于非均匀的各向异性体,不是理想弹性体。 一般的岩质地基,通常有塑性和蠕变性质,有的还有节理、裂隙和断层,一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。 一般的土质地基,虽然是连续的、均匀的、各向同性的,但通常具有蠕变性质,变形与荷载历史有关,应力-应变关系不符合虎克定律,不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。 1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途? 连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全(线)弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样,可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样,坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性,

弹性力学试题参考答案与弹性力学复习题

弹性力学复习资料 一、简答题 1.试写出弹性力学平面问题的基本方程,它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时,应注意些什么问题 答:平面问题中的平衡微分方程:揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ,因此,决定应力分量的问题是超静定的,还必须考虑形变和位移,才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时,形变量即完全确定。反之,当形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程:揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2.按照边界条件的不同,弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答:按照边界条件的不同,弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和

混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的,也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中,物体在全部边界上所受的面力是已知的,即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中,物体的一部分边界具有已知位移,因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3.弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答:弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定,它们是:x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正,沿坐标轴正方向为负。 4.在推导弹性力学基本方程时,采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答:答:在推导弹性力学基本方程时,采用了以下基本假定: (1)假定物体是连续的。 (2)假定物体是完全弹性的。 (3)假定物体是均匀的。 (4)假定物体是各向同性的。 (5)假定位移和变形是微小的。 符合(1)~(4)条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5.什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答:平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力,同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体,它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力,同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化,即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6.在弹性力学里分析问题,要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答:在弹性力学利分析问题,要从3方面来考虑:静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系,也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系,也就是平面问题中的物理方程。 7.按照边界条件的不同,弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答:按照边界条件的不同,弹性力学平面问题可分为两类: (1)平面应力问题 : 很薄的等厚度板,只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 (2)平面应变问题 : 很长的柱形体,在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力,而且体力

弹性力学试卷及答案

一、概念题(32分) 1、 如图所示三角形截面水坝,其右侧受重度为的水压力作用,左侧为 自由面。试列出下述问题的边界条件 解:1)右边界(x=0) 1 1 2)左边界(x=ytg ) 1 1 由: 2 2 2、何谓逆解法和半逆解法。 答:1. 所谓逆解法,就是先设定各种形式、满足相容方程的应力函 数,利用公式求出应力分量,然后根据应力边界条件考察在各种形状的弹性体上,这些应力分量对应于什么样的面力,从而得知设定的应力函数可以解决什么问题。 4 2. 所谓半逆解法,就是针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状与受力情况,假设部分或全部应力分量为某种形式的函数,从而推出应力函数,然后考察该应力函数是否满足相容方程,以及原来假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量,是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足,就可得到正确解答;如果某一方面不能满足,就需要另作假设,重新考察。 4 3、已知一点的应力状态,试求主应力的大小及其作用的方向。 200,0,400x y xy MPa MPa σστ===- 解:根据公式2 12 2 2 2 x y x y xy σσσσστσ+-??=+ ?? ? 2 和公式11tan x xy σσ ατ-= ,求出主应力和主应力方向: 2 ()220002000512.321400312.3222MPa σσ+-=+-=-?? ??? 2 512200tan 0.7808,3757'11400 αα-==-=-o 2 4、最小势能原理等价于 以位移表示的平衡微分 (3) 方程和 应力 (3) 边界条件,选择位移函数仅需满足 位移 (2) 边界条件。 二、图示悬臂梁,长度为l , 高度为h ,l >>h ,在梁上边界受均布荷载。 试检验应力函数 523322ΦAy Bx y Cy Dx Ex y =++++ 能否成为此问题的解,如果可以,试求出应力分量。(20分) y y y n x 000y x x xy x σγτ=-===() () cos ,cos cos ,cos()2sin l n x m n y βπββ====+=-() () () () x y l m x xy s s l m xy y s s f f σττσ+=+=??? ??( ) ()()()cos sin 0cos sin 0x xy s s xy y s s σβτβτβσβ-=+=??? ??

弹性力学简明教程(第四版)_习题解答

【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上,应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件,若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式,大边界上应精确满足公式(2-15)。 【解答】图2-17: 上(y =0) 左(x =0) 右(x =b ) l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式(2-15)得 ①在主要边界上x=0,x=b 上精确满足应力边界条件: ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上,能精确满足下列应力边界条件: () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上,能精确满足下列位移边界条件: ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,当板厚=1δ时,可求得固定端约束反力分别为: 10,,0s N F F gh b M ρ==-=

由于2y h =为正面,故应力分量与面力分量同号,则有: ()()()222 10000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=????? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2,y=h/2上,应精确满足公式(2-15) l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-,-/2()0yx y h τ==,/2()0y y h σ==,/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上,应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件:负面上应力与面力符号相反,有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上,可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先,求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力,如图所示,列平衡方程求反力: 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面,应力分量与面力分量同号,故 M ' N F 'S F '

弹性力学试题及标准答案

弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定,线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定,切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后,其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的,是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ,50=y σMPa ,5010=xy τ MPa ,则主应力=1σ150MPa ,=2σ0MPa ,=1α6135'ο。 8、已知一点处的应力分量, 200=x σMPa ,0=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ512 MPa ,=2σ-312 MPa ,=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量,2000-=x σMPa ,1000=y σMPa ,400-=xy τ MPa ,则主应力=1σ1052 MPa ,=2σ-2052 MPa ,=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题,要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构,然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分:一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分:一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的,是各点不相同的,即所谓变量应变;另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的,即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答,位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续,必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻单元的位移保持连续,就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中,单元的形函数N i 在i 结点N i =1;在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。

弹性力学试卷上学期答案及评分标准

2016-2017第二学期弹性力学考试答案及评分标准 一、 概念问答题 1、 以应力作未知量,应满足什么方程及什么边界条件? 答:以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。(5分) 2、平面问题的未知量有哪些?方程有哪些? 答:平面问题有σx、σy 、τxy 、εx 、εy 、γxy 、u 、v 八个,方程有两个平衡方程,三个几何方程,三个物理方程。(5分) 3、已知200x Pa σ= ,100y Pa σ=-,50xy Pa τ=-及100r Pa σ=,300Pa θσ=, 100r Pa θτ=-,试分别在图中所示单元体画出应力状态图。 (2分) (3分) 4、简述圣维南原理。 答:如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分量将有显著的改变,但远处所受的影响可以不计。(5分) 5、简述应变协调方程的物理意义。 答: ⑴ 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。(2分) ⑵ 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调→对应的位移存在→位移必然连续; 形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。(3分) 6、刚体位移相应于什么应变状态。 答:刚体位移相应于零应变状态,对平面问题为 εx =εy =γxy =0 (5分) 7、简述最小势能原理,该原理等价于弹性力学的哪些基本方程? 答:由位移变分方程可得 ()()0U Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS δ??-++-++=?? ????? 或0δ∏= x y 200Pa =Pa Pa 100r Pa =-100Pa =-

弹性力学简明教程(第四版)习题解答

弹性力学简明教程(第四版) 习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体? 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。 非均匀的各向同性体如:混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体? 【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用? 【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定:假定位移和变形是微小的。亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时,就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形

(完整word版)弹性力学试题及答案

《弹性力学》试题参考答案(答题时间:100分钟) 一、填空题(每小题4分) 1.最小势能原理等价于弹性力学基本方程中: 平衡微分方程 , 应力边界条件 。 2.一组可能的应力分量应满足: 平衡微分方程 ,相容方程(变形协调条件) 。 3.等截面直杆扭转问题中, M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆 截面内的扭矩M 。 4.平面问题的应力函数解法中,Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点(基准点)到任一点外力的矩 。 5.弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为: 0,=+i j ij X σ ,)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题(每小题6分) 1.试简述力学中的圣维南原理,并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理:如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力(主矢与主矩相同),则近处的应力分布将有显著的改变,但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用:(1)将次要边界上复杂的面力(集中力、集中力偶等)作分布的面力代替。 (2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2.图示两楔形体,试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二(2)图 (a )???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x (b )? ??=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3.图示矩形弹性薄板,沿对角线方向作用一对拉力P ,板的几何尺寸如图,材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试求薄板面积的改变量S ?。

弹性力学简明教程(第四版)-习题解答

【2-9】【解答】图2-17: 上(y =0) 左(x =0) 右(x =b ) l -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式(2-15)得 ①在主要边界上x=0,x=b 上精确满足应力边界条件: ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上,能精确满足下列应力边界条件:() () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上,能精确满足下列位移边界条件:()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力边界条件来代替,当板 厚=1δ时,可求得固定端约束反力分别为: 10,,0s N F F gh b M ρ==-= 由于2y h =为正面,故应力分量与面力分量同号,则有: ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2,y=h/2上,应精确满足公式(2-15) l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-,-/2()0yx y h τ==,/2()0y y h σ==,/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上,应用圣维南原理,列出三个积分的应力边界条件:负面上应力

弹性力学基础(程尧舜 同济大学出版社)课后习题解答

1 图2.4 习题解答 第二章 2.1计算:(1)pi iq qj jk δδδδ,(2)pqi ijk jk e e A ,(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解:(1)pi iq qj jk pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===; (2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明:若ij ji a a =,则0ijk jk e a =。 证:20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。 2.3设a 、b 和c 是三个矢量,试证明: 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证:123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量,证明: ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证:()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ???=?=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=??-??a c b d a d b c 。 2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ系,如图2.4所示。试求矢量u 在新坐标系中的分量。 解:11cos βθ'=,12sin βθ'=,130β'=, 21sin βθ'=-,22cos βθ'=,230β'=, 310β'=,320β'=,331β'=。 1112cos sin i i u u u u βθθ''==+,

(完整)[2018年最新整理]弹性力学简明教程(第四版)-课后习题解答

【3-1】为什么在主要边界(大边界)上必须满足精确的应力边界条件式(2-15),而在小边界上可以应用圣维南原理,用三个积分的应力边界条件(即主矢量、主矩的条件)来代替?如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式(2-15),将会发生什么问题? 【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题,而要使边界条件完全得到满足,往往比较困难。这时,圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同,但静力等效的面力(主矢、主矩均相同),只影响近处的应力分布,对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件(公式2-15),就会影响大部分区域的应力分布,会使问题的解答精度不足。 【3-2】如果在某一应力边界问题中,除了一个小边界条件,平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足,试证:在最后的这个小边界上,三个积分的应力边界条件必然是自然满足的,固而可以不必校核。 【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件,应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件,即外力(面力)与内力(应力)的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的,其它应力边界条件也都满足,那么在最后的这个次要边界上,三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。 【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个小边界,试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件,各有几个条件? 【解答】在m 个主要边界上,每个边界应有2个精确的应力边界条件,公式(2-15),共2m 个;在n 个次要边界上,如果能满足精确应力边界条件,则有2n 个;如果不能满足公式(2-15)的精确应力边界条件,则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件,共3n 个。 【3-4】试考察应力函数3 ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值,应力函数3 ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程,式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时,将应力函数Φ代入公式(2-24),得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零,故上下边界上无面力.

弹性力学简明教程_第四章_课后作业题答案

第四章 平面问题的极坐标解答 【4-8】 实心圆盘在r ρ=的周界上受有均布压力q 的作用,试导出其解答。 【解答】实心圆盘是轴对称的,可引用轴对称应力解答,教材中的式(4-11),即 2 2(12ln )2(32ln )20A B C A B C ρ?ρ? σρρσρρτ? =+++? ???=-+++?? ?? =?? (a) 首先,在圆盘的周界(r ρ=)上,有边界条件()=r q ρρσ=-,由此得 -q 2 (12ln )2A B C ρσρρ = +++= (b) 其次,在圆盘的圆心,当0ρ→时,式(a )中ρσ,?σ的第一、第二项均趋于无限大,这是不可能的。按照有限值条件(即,除了应力集中点以外,弹性体上的应力应为有限值。),当=0ρ时,必须有0A B ==。 把上述条件代入式(b )中,得 /2C q =-。 所以,得应力的解答为 -q 0ρ?ρ?σστ===。 【4-9】 半平面体表面受有均布水平力q ,试用应力函数 2(sin 2)ΦρB φC φ=+求解应力分量(图4-15)。 【解答】(1)相容条件: 将应力函数Φ代入相容方程40?Φ=,显然满足。 (2)由Φ求应力分量表达式 =-2sin 222sin 222cos 2B C B C B C ρ?ρ?σ?? σ??τ??+?? =+??=--??

(3)考察边界条件:注意本题有两个?面,即2 π ?=± ,分别为?±面。在?±面 上,应力符号以正面正向、负面负向为正。因此,有 2()0,??πσ=±= 得0C =; -q 2 (),ρ??πτ=±= 得2 q B =-。 将各系数代入应力分量表达式,得 sin 2sin 2cos 2q q q ρ?ρ?σ?σ?τ? ?=?? =-??=?? 【4-14】 设有内半径为r 而外半径为R 的圆筒受内压力q ,试求内半径和外半径的改 变量,并求圆筒厚度的改变量。 【解答】本题为轴对称问题,只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q 的情况下,取应力分量表达式,教材中式(4-11),注意到B =0。 内外的应力边界条件要求 r r ()0,()0;(), ()0 R R q ρ?ρρ?ρρρρρττσσ=======-= 由表达式可见,前两个关于ρ?τ的条件是满足的,而后两个条件要求 r 2 22,20A C q A C R ?+=-??? ?+=??。 由上式解得 22 2 ,C () 2() 22 22 qr R qr A R -r R -r =-=。 (a) 把A ,B ,C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分离,教材中式(4-12)。 ()()222211cos sin ,(R r )qr R u I K E ρμρμ??ρ?? =-++++??-? ? (b) sin cos 0u H I K ?ρ??=-+=。 (c) 式(c )中的ρ,?取任何值等式都成立,所以各自由项的系数为零

弹性力学试题及答案

弹性力学试题及答案

处具有相同的位移时,也能在整个公共边界上具有相 同的位移。 19、在有限单元法中,单元的形函数N i 在i 结点N i =1;在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度,一般可以采用两种方法:一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况;二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。 二、判断题(请在正确命题后的括号内打“√”,在 错误命题后的括号内打“×”) 1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物 体的介质所填满,不留下任何空隙。(√) 5、如果某一问题中,0===zy zx z ττσ ,只存在平面应力分量x σ,y σ,xy τ,且它们不沿z 方向变化,仅为x ,y 的函数,此问题是平面应力问题。(√) 6、如果某一问题中,0===zy zx z γγε ,只存在平面应变分量x ε,y ε,xy γ,且它们不沿z 方向变化,仅为x ,y 的函数,此问题是平面应变问题。(√) 9、当物体的形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。(√) 10、当物体的位移分量完全确定时,形变分量即完全 确定。(√)

14、在有限单元法中,结点力是指结点对单元的作用力。(√) 15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。(√ ) 三、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的 必要条件,并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 (1)By Ax x +=σ ,Dy Cx y +=σ,Fy Ex xy +=τ; (2))(22y x A x +=σ,)(22y x B y +=σ,Cxy xy =τ; 其中,A ,B ,C ,D ,E ,F 为常数。 解:应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件: (1)在区域内的平衡微分方程 ???????=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ;(2)在区域内的相容方程 ()02222=+???? ????+??y x y x σσ;(3)在边界上的应力边界条件 ()()()()?????=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ;(4)对于多连体的位移单值条件。 (1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平

弹性力学简明教程 课后习题答案

《弹性力学简明教程》 习题提示和参考答案 第二章习题的提示与答案 2-1 是 2-2 是 2-3 按习题2-1分析。 2-4 按习题2-2分析。 2-5 在的条件中,将出现2、3阶微量。当略去3阶微量后,得出的切应力互等定理完全相同。 2-6 同上题。在平面问题中,考虑到3阶微量的精度时,所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在3阶微量(即更高阶微量)上,可以略去不计。 2-7 应用的基本假定是:平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形,物理方程─理想弹性体。 2-8 在大边界上,应分别列出两个精确的边界条件;在小边界(即次要边界)上,按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。 2-9 在小边界OA边上,对于图2-15(a)、(b)问题的三个积分边界条件相同,因此,这两个问题为静力等效。 2-10 参见本章小结。 2-11 参见本章小结。 2-12 参见本章小结。 2-13 注意按应力求解时,在单连体中应力分量必须满足 (1)平衡微分方程, (2)相容方程, (3)应力边界条件(假设)。 2-14 见教科书。 2-15 见教科书。 2-16 见教科书。 2-17 取 它们均满足平衡微分方程,相容方程及x=0和的应力边界条件,因此,它们是该问题的正确解答。 2-18 见教科书。 2-19 提示:求出任一点的位移分量和,及转动量,再令,便可得出。 第三章习题的提示与答案 3-1 本题属于逆解法,已经给出了应力函数,可按逆解法步骤求解: (1)校核相容条件是否满足, (2)求应力, (3)推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3-2 用逆解法求解。由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界(小边界),可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。 3-3 见3-1例题。 3-4 本题也属于逆解法的问题。首先校核是否满足相容方程。再由求出应力后,并求对应的面力。本题的应力解答如习题3-10所示。应力对应的面力是: 主要边界: 所以在边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力;上边界有向下的法向面力q。 次要边界: x=0面上无剪切面力作用;但其主矢量和主矩在x=0 面上均为零。 因此,本题可解决如习题3-10所示的问题。 3-5 按半逆解法步骤求解。 (1)可假设 (2)可推出 (3)代入相容方程可解出f、,得到 (4)由求应力。 (5)主要边界x=0,b上的条件为 次要边界y=0上,可应用圣维南原理,三个积分边界条件为 读者也可以按或的假设进行计算。 3-6 本题已给出了应力函数,应首先校核相容方程是否满足,然后再求应力,并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件,即 而在次要边界y=0 上,已满足,而的条件不可能精确满足(否则只有A=B=0, 使本题无解),可用积分条件代替: 3-7 见例题2。 3-8 同样,在的边界上,应考虑应用一般的应力边界条件(2-15)。

弹性理论习题及答案

第三章弹性理论 姓名班级学号考试时间:20分钟 一、单项选择题 1、点弹性和弧弹性之间()关系 A、有 B、没有 C、不确定 2、冰棒的需求价格弹性()药品的需求价格弹性 A、大于 B、小于 C、等于 D、大于或等于 3、供给弹性()点弹性和弧弹性的区分 A、有 B、没有 C、不确定 4、垂直的需求曲线是()弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 5、水平的供给曲线是()弹性 A、完全有 B、富有 C、完全无 6、一种商品价格下降,另外一种商品需求上升,则两种商品之间是()关系 A、互补品 B、替代品 C、正常品 D、劣品 7、在长期中,供给曲线更()弹性 A、缺乏 B、富有 C、不确定 D、依商品而定 8、容易被替代的商品,其需求弹性() A、大 B、小 C、不确定 二、多项选择题 1、弹性一般分为()弹性 A、供给 B、需求 C、价格 D、收入 2、利用价格需求弹性可以区分出() A、生活必须品 B、奢侈品 C、经济商品 D、免费物品 三、简答题 1、影响商品需求价格弹性的因素? 2、需求价格弹性的五种情况?

答案 一.单项选择题 1.A 2. A 3.A 4.C 5.A 6.A 7.B 8.A 二.多项选择题 1.ABCD 2.AB 三.简答题 1. 影响商品需求价格弹性的因素? (1). 必需品与奢侈品 一般地说,奢侈品需求对价格是有弹性的,而必需品则是缺乏弹性的。 (2). 相近替代品的可获得性 一般来说,相近替代品越多的商品越富有弹性。替代品多,消费者从这种商品转向购买其他商品较为容易,对商品价格更敏感(如,香烟)。 (3). 商品所划定范畴的大小 一般来说,如果某产品存在着很接近的替代品的数量愈多,其需求价格弹性愈大。(4). 时间的长短 计算某种商品价格弹性系数所考虑的时间愈长,其系数会愈大。当某一商品价格上升时,消费者需要一段时间去寻找可以接受的替代品,因此,短期内对该商品的需求量变化不大,而长期内消费者更可能转向其他替代品,因此,该提价商品的需求量变化会更加明显些。 2. 需求价格弹性的五种情况? (1). 当e=0时,需求对价格是完全无弹性的,即需求量与价格无关。则需求曲线为一条垂直于x轴的直线。如,垄断价格;婚丧用品,特效药等接近于完全无弹性。 (2). 当e=1时,需求对价格为单位弹性,即价格变化的百分比与需求量变化的百分比相等。 (3). 当e=∞时,需求对价格是完全有弹性,即需求曲线为一条垂直于P轴的直线。如,银行以某一固定的价格收购黄金;实行保护价的农产品。 (4). 当e>1时,需求对价格富有弹性,即需求变化的幅度大于价格变化的幅度。如,奢侈品。 (5). 当e<1时,需求队价格缺乏弹性,即需求变化的幅度小于价格变化的幅度。如,生活必需品。

弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)

弹性力学简明教程(第四版)课后习题解答 第一章绪论 【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体? 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定;非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如:竹材,木材。 非均匀的各向同性体如:混凝土。 【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体?一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体? 【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定:连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定。 【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体;一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。 【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用? 【解答】(1)连续性假定:假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙。引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定:假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定,还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的大小而变。 均匀性假定:假定物体是均匀的,即整个物体是由同一材料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定:假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变。 小变形假定:假定位移和变形是微小的。亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时,就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时,它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计,使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。

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