第7章 静电场
7-10在边长为a 的正六角形的六个顶点都放有电荷，如图7-68（a ）所示，则六角形中心O 处的电场强度为多少？
分析：在图7-68（a ）中标注各顶点名称后如图7-68（b ）所示，由对称性可知，C 点与F 点的点电荷，B 点与E 点的点电荷在O 点产生的电场相互抵消。因此O 点的电场仅由A 点和D 点的点电荷产生。
解： 根据点电荷在空间某点产生的电场公式3
04q r
πε=
E r 可得： 2
2
2
000442O A D q q q E E a
a
a
πεπεπε=+=
+
=
E i i i i i
7-11一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度，如图7－69（a ）所示。
分析：在带电半圆环上任取一线元dl Rd θ=，其电荷为：Q
dq dl R
π=
，此电荷元可视为点电
荷，它在O 点产生的电场强度大小为：2
01
4dq
dE r
πε=
，方向沿径向，如图7－69（b ）所示，。因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的，即在x 轴上的电场强度
0x x L
E dE ==?，只有y 轴上有电场强度。
解：
22200
1
sin 42y y L
L Q Q
E dE Rd R R R θθπεππε===??
22
02x y Q E E R πε∴=-=-
E i j j
“-”表示电场强度的方向沿y 轴负向。
7-12设均匀电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的轴平行，试计算通过此半球面S 1的电通量；若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S 2，则通过S 2面的电通量又是多少？如图7－70所示。
分析：选半径为R 的大圆面0s 与1s 或2s 和组成一个封闭曲面
s ，由高斯定理可方便求得该闭合曲面的电通量为零，再由积分知
识可知，通过曲面1s 或2s 的电通量大小即为通过大圆面0s 的电通量大小。
解：由高斯定理知：
0i
s
q
d ε=
=∑?
E s
而
1
0s
s s d d d =
+=?
?
?E s E s E s ，所以：
11
2eS s s d d ES E R πΦ=
=-==?
?E s E s
同理，由2s 和以R 为半径的大圆面0s 。组成一个封闭曲面`s ，则可得：
20
2eS s d ES E R πΦ=-==?E s
7-13如图7-71（a ）所示，电荷线密度为1λ的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为2λ的有限长均匀带电直线AB ，两者位于同一平面内。则AB 所受静电作用力的大小为多少？
分析一： 由题意可知，两直线均匀带电。由于库仑定律只适用于点电荷系统。因此，需将两带电直线分成许多电荷元；建立如图7-71 (b)所示的直角坐标系，有11dq dy λ=，22dq dx λ=，根据库仑定律可得1dq ，施加给2dq 的作用力为：
12201
4dq dq dF r πε=
r 为两电荷元之间的距离。将
dF 沿x
、y 轴投影，得：cos x dF dF θ=，sin y dF dF θ=；根
据对称性分析可知：y y F dF =?
为零。因此，F 只沿x 轴正向。
解一：
22
3
cos 4a b x a
xdxdy
F dF dF r λλ
θπε++∞
-∞
===????
12122232
02ln 4()2a b
a
dy
a b xdx x y a
λλλλπεπε+∞
+==+?
?
分析二： 由电场强度定义求解。如图7-71 (b)所示，带电直线AB 处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线AB 视为许多电荷元2dq 的集合，则电场对每个电荷元的作用力为2dF Edq =；各电荷元的dF 的矢量和，即为带电直线AB 所受的电场力。
解二：在距无限长带电直线x 处任取一电荷元22dq dx λ=，由无限长带电直线的场强公式可知
2dq 处的场强为：
1
02E x
λπε=
方向沿x 袖正向。于是有
12
20
12dF Edq dx x
λλπε==
由于各电荷元所受力的方向均沿x 轴正向，所以：
222200ln 22a b
x a
dx a b
F F dF x a
λλλλπεπε++====??
若问题中的1λ和2λ异号，则F 沿x 轴负向。根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力`F ，其大小与F 相等，其方向与F 相反。
7-14 求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E
的空间分布。设圆柱面半径为R 。电荷面密度为σ。
分析：由题可知，无限长均匀带电圆柱体的电荷分布具有柱对称性，因而其产生的电电场强度也具有柱对称分布，由高斯定理求解较为方便。
解：如习题7-14图解所示，过圆柱面内、外任一点作高为l
的圆柱形高斯面，根据高斯定理
习题
7-14
图解
i
S
q
d ε=
∑?
E S ，有：
当r R <时，20E r l π??=，0E =； 当r R >时，022R l E r l σππε??=
，2
0R
r
σε=E r ； 7-15求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R ，所带总电荷为q 。
分析：由题可知，电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此，在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。
解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：
24 e s
E dS r E πΦ=
?=?
根据高斯定理，有：
20
4 e s
Q
d r E πεΦ=
?==
?
E S (1)
当场点在球体外，即r R >时，Q q =，由(1)式可得电场强度为：
2
04q E r πε球外＝
当场点在球体内时 即r R <时，3
3334433
q
qr Q r R R ππ=
=，由(1)式可得电场强度为： 3
04qr E R
πε球内＝
其E r -曲线如习题7-15图解所示。
7-16求均匀带电细棒中垂面上的电场和电势。设棒长2l ，带电量为q 。 分析：由于电势是标量，可由电势叠加原理先求出带电直线在P 点的电势，再由场强与电势的微分关系求P 点的场强。
解：建立如习题7-16图解所示的直角坐标系，并取带电直线中心为坐标原点O 。则在带电直线上任取一电荷元2q
dq dy dy l
λ
==，在P 点产生的电势为：
p dV =
因此，整个带电系统在P 点产生的电势为
4l p l q dy q V dV l πε+-
==
==
??
?
则该点的场强为：x y E E =+E i j ，其中：
x V E x ?=-
=
?，0y V E y ?=-=? 所以，P 点的场强为：
x E ==
E i
7-17求均匀带电球体的电势。已知电荷q 均匀地分布在半径为R 的球体上，求空间个各点的电势。
分析：由题可知，均匀带电球体的电荷分布具有球对称性，其电场分布也具有球对称性。因而可由高斯定理方便地求得其电场分布，再由电势的定义求得其电势分布。
解：由高斯定理可求出电场强度的分布
??????
?≤>R r R
qr R r r
q
E 4 43020πεπε＝ 方向沿径向。 由电势的定义式r
V d ∞
=
??
E l ，可得：
当r R >时，有： 2
0044q q V dr r r
πεπε∞
=
?
球外r
＝
当r R ≤时，有：223230000()4484R
r
R qr q q R r q
V dr dr R r R R
πεπεπεπε∞-+=+?
?球内＝
7-18 如图7-72所示，2AB l =，OCD 是以B 为中心、l 为半径的半圆，A 点有点电荷q +，B 点有点电荷q -。求
（1）把单位正电荷从O 点沿OCD 移到D 点，电场力对它做了多少功? （2）单位负电荷从D 点沿AB 延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功? 分析：由()ab a b W q U U =-可知，要求在电场中移动电荷时电场力所做的功，应先求出始末位置的电势大小。
解：由点电荷在空间某点产生的电势公式04q V r
πε=可
得：
0000
43460O D V q q q V l l l V πεπεπε∞?
=?
?
=-=-??
?=?
由()ab a b W q U U =-可得： (1)01()6OD O D q W V V l
πε=?-=
(2)0(1)()6D D q W V V l
πε∞∞=-?-=
7-19 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为10
0.5310m -?的圆周绕原子核旋转。求：
(1)若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?
(2)电子的电离能为多少?
分析：由ab p W E =-?可知，克服电场力所做的功等于电势能的增量，电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，其能量应等于动能和势能之和。
解：(1)电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为：
2
014p e E r
πε=-
因此，若把电子从原子中拉出来需克服电场力作功为：
2027.2eV 4p e W E r
πε==
=
(2)电子在玻尔轨道上作圆周运动所需向心力为静电力，即：
22
014e m r r
υπε=
电子的动能为：
2
20128k e E m r
υπε==
总能量为：
2013.68k p e E E E eV r
πε=+=-
=-
根据电离能的定义：电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，即：
013.6E E eV ==
7-20 如图7－73（a ）所示，半径为1R 的导体球，带有电量q +，球外是一个内、外半径分别为
2R 、3R 的同心导体球壳，球壳上的带电量为Q +。试求：
（1）求场强和电势分布；
（2）若用导线连接两球后，电势分布如何? （3）若外球接地，两球电势各为多少? （4）若内球接地，内外两球的电势差为多少?
(1) 分析：根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布规律，导体球壳内表面所带的电荷q -，外表面所带的电荷为q Q +，电荷在表面均匀分布，具有球对称性，可由高斯定理求得电场强度分布，再由电势的定义求得电势分布。
解法一：由于场的分布具有对称性，由高斯定理可得各区域的场强分布为：
110 )E R =<（r ， 222
0 )4q E R r
πε=<1（R 330 )E R =<2（R 0 )4q Q E R r πε+= （r > E 的方向均沿径向向外。 导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。由电势定义可分别求得电势分布为： 当1R 123 1 2 3 2 1 3112342 2 00 0123 441 ( )4R R R r R R R R R R V d d d d q q Q dr dr r r q q q Q R R R πεπεπε∞ ∞ =++++=++= -+?????? E r E r E r E r 当12R R < 2 3 2 3 2 322342 2 00 023 441 ()4R R r R R R r R V d d d q q Q dr dr r r q q q Q r R R πεπεπε∞ ∞ =+++=++= -+????? E r E r E r 当23R r R <<)时 3 3 3320 03 44R r R R V d d q Q q Q dr r R πεπε∞ ∞ =+++== ???34E r E r 当3r R >时 40 4r V d q Q r πε∞ =+= ?4E r （2）分析：当用导线把球和球壳连接在一起后，由静平衡条件可知，电荷q Q +全部分布在球壳的外表面上，如图7-73 (b)所示，此时，电场只分布在3r R >的空间中，即 2 01 4q Q E r πε+= 。同时球体与球壳成为一个等势体，即 12V V =，于是120V V V ?=- =。 解：根据电势的定义，可得 当3r R <时 3 3 3123420 031 44R r R R q Q q Q V V d d dr r R πεπε∞ ∞ ++==+==??? E r E r 当3r R >时 2001 44r r q Q q Q V d dr r r πεπε∞∞ ++===?? E r （3）分析：若外球接地，球壳外表面的电荷为零，等量异号电荷分布在球体表面和球壳内表面，此时电场只分布在12R r R <<的空间内，如图7-73 (c) 所示。 解：由于外球壳电势20V =，则内球体内任一场点1P (1r R <)的电势由定义可得： 12 1 2 1 1012 11 () 4R R r R R R V d d q d R R πε=+==-??? 122E r E r E r （4）分析：当内球接地时，内球的电势10V =。但无限远处的电势也为零，这就要求外球壳所带电量在内外表面上重新分配，使球壳外的电场沿着径向指向无限远处，球壳内的电场沿着径向指向球心处。因此，内球必然带负电荷。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电荷也相应减少。当内球上的正电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷也消失完。但就球壳来说，仍带有电荷+Q ，由于静电感应，在内球和大地这一导体系统中便会感应出等量的负电荷-Q ，此负电荷(-Q)的一部分(设为`q -，)均匀地分布在内球表面上。球壳内表面上将出现等量的正电荷(`q +)与之平衡。因此，在达到静电平衡后，内球带电荷`q -，球壳内表面带电量为`q +，外表面上带电量(`Q q -)，如图7-73 (d)所示。 解： 方法一：根据高斯定理可知．各区域内的场强分布为： 1121220323432 00 () ` () 40 ()` ()4E r R q E R r R r E R r R Q q E r R r πεπε= ?=-< ? =<?? 球壳上任一场点2P (23R r R <<)相对于无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义式分别计算，可得： 3 3 3234R 2r R R 0 03Q -q`Q -q` V d d dr 4πεr 4πεR ∞ ∞ =+??? E r E r == 2111 2 2 2 2322R R R R 2 r R R R 0012 (-q`)q`11 V d d d dr (-)4πεr 4πεR R =+???? E r E r =E r == 联立上述两式，可得： 12123213 `R R Q q R R R R R R = +- 将`q 的结果代入2V 的表达式中，可得： 21 20 123213 4R R Q V R R R R R R πε-= +- 相应的球体与球壳间的电势差为： 12 1220 123213 4R R Q V V V V R R R R R R πε-?=-=-= -- 方法二： 亦可根据带电导体球的电势公式及电势叠加原理进行求解。根据电势叠加原理，电势1V 是由`q - (1r R =的球面)、`q +(2r R =的球面)和`Q q -(3r R =的球面)在内球体中任一场点 1P (1r R <)共同产生的电势的叠加。由于内球接地，有： 10 123 1```()04q q Q q V R R R πε-= - ++= 在外球壳体中任一场点2P (23R r R <<产生的电势为： 20 303 1````()44q q Q q Q q V r r R R πεπε--= - ++= 联立上述两式，也可解得 21 20 123213 4R R Q V R R R R R R πε-= +- 相应的球体与球壳间的电势差为： 12 1220 123213 4R R Q V V V V R R R R R R πε-?=-=-= +- 7-21 三块平行金属平板A 、B 、C ，面积都是 2100S cm =，A 、B 相距1d ＝2mm ．A 、C 相距2d ＝4mm ， B 、 C 接地，A 板带正电荷8 310q C -=?，忽略边缘效应。如图7－74(a)所示求： （1）B 、C 板上的电荷是多少? （2）A 板的电势是多少 分析：由高斯定理可方便得出：处于静电平衡的平行导体板，相对的两个面应带等量异号电荷。此外，当B 、 C 两 板接地时，0B C BC V V V = ==，导体电势的改变将会引起导体表面电荷的重新分布，但电荷的分布依然满足相对面等量异号；相背面等量同号的规律，以使导体内部0E =，维持导体的静电平衡，根据电荷分布可确定导体板间的电势差。 解：(1)设导体板上电荷面密度分布如图7-74 (b)所示，忽略边缘效应，根据AB AC V V =和A 板上的电荷量恒不变。则有 121 212 0()S q d d σσσσεε+=?? ?=?? 由上述方程可得2112 1 212()()qd d d S qd d d S σσ? =?+???=?+? ，则B 、C 板上的电量分 别为： 82112812 12210()110B c q d q S C d d qd q S C d d σσ--?===-??+? ? ?===-??+? (2)由V dE =可得A 板的电势为： 1 1 452A V d V σε== 7-22计算两条带异号电荷的平行导线单位长度的电容。设导线的线电荷密度分别为λλ+-、，导线的半径为a ，相隔的距离为d (d a )，且两导线为无限长，如图7－75（a ）所示。 分析：由题可知，长直导线电荷分布具有柱对称性，因而电场分布也具有柱对称性，可由高斯定理进行求得，据此可由场强的叠加原理求得导线间的电场分布，由电势差的定义求得两导线间的电势差，由电容的定义式求得电容。 解：如图7-75 (b)所示，由叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P 的场强。以导线A 的轴线为轴以r 为半径，作过P 点的圆柱形高斯画，柱长为l ，则由对称性分析可知： 110 2S q d E lr πε== ∑? E S 由于 q dl l λλ==∑?代人上式得： 图7-75 习题7－22图解(b) 102E r λ πε= 同理可得，导线B 在P 点产生的场强为： 202() E d r λ πε= - 由于1E 和2E 的方向均是由带λ+电荷线密度的导线指向带λ-电荷线密度的导线，故P 点的总场强为： 12011 ()2E E E r d r λπε=+= +- 则两导线之间的电势差为： 011()ln 2d a d a a a d a V d dr r d r a λ λπεπε---?== +=-? ? E l 因此，单位长度导线上的电容为： 0`ln C C d a l V a πελ = ==-? 由题意可知，d a ，则d a d -≈，所以： ln C d a πε= 7-23半径为R 的导体球，带有正电荷Q ，球外有一同心均匀电介质球壳，其半径分别为a 和b ，相对电容率为r ε，如图7－76所示。试求： (1)介质内外的电位移D 和场强E ； (2)介质内的极化强度P 和介质表面的极化面电荷密度`σ； (3)离球心为r 处的电势V ； (4)画出D(r)、E(r)和V(r)的曲线。 分析：自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上，电场呈球对称分布，取同心球面为高斯面，根据介质的高斯定理可球得介质中的电场分布，由0D E P ε=+可求得介质内的极化强度，由`P σ=，可求得介质内外表面上的极化电荷面密度，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势，由 a V d ∞= ? E l 可求得电势分布。 解：(1)依题意，电场分布球面对称，如图7-76 (b)，过点1(r R <)，2(R r a <<)，3(a r b <<)，4(r b >)分别作球形高斯面，根据介质中的高斯定理 0S d q =∑? D S 和D E ε=有： 21140D r π= 10D = 10E = 2224D r Q π= 2224Q D r π= 2 2 024Q E r πε= 2334D r Q π= 323 4Q D r π= 32 034r Q E r πεε= 2444D r Q π= 4244Q D r π= 42 04 4Q E r πε= (2)介质内的极化强度为： 0231 (1)4r Q P D E r επε=-= - 方向与矢径一致。 由`P σ=可得介质内外表面上的极化电荷面密度分别为： 1`=(1)1=(1)2r `2r Q -4a Q -4a σπεσπε? -?? ? ?-?? 外 方向如图7-76 (c)所示。 (3)根据 a V d =?0E l 或三个均匀带电球面产生的电势的叠加,可得图7-76(d)中各点的电势分别 为： 112340 0Q 1111 =[(1)()] 4R a b R a b r V d d d d R a b πεε∞ =+---????E r E r +E r +E r 223402Q 1111 =[(1)()] 4a b R a b r V d d d r a b πεε∞ =---???E r +E r +E r 334031Q 1 =[] 4b a b r r V d d r b επεε∞ =-+??E r +E r 图7-76 习题7－23图解 (b) 图7-76 习题7－23图解(c) 4404 Q = 4b V d r πε∞ =?E r (4) D(r)、E(r)和V(r)的曲线如图7-76 (e)所示。 7-24实验表明：在靠近地面处的电场强度约21.010/N C ?，方向指向地球中心,在离地面 31.510m ?高处，电场强度约为20/N C ，方向也是指向地球中心.试求： (1)地球所带的总电量； (2)离地面下3 1.510m ?的大气层中电荷的平均密度。 分析：将地球视为均匀的带电球休，其电荷分布具有球对称性，因而电场分布也具有球对称性，可由高斯定理求出地球所带电量，然后再求电荷密度。 解：(1)根据电场分布的对称性，以地球中心为球心，以近似于地球半径R 为半径作同心球面为高斯面．则由高斯定理有： 2 1 10 cos i S q q d E π4πR εε=?= = ∑? E S 故： 251014 4.610()q R E C πε=-=-? (2) 以r R h =+为半径作同心球面为高斯面，则由高斯定理有： 22 20 cos 4i S q q d E r ππεε== = ∑? E S 得： 22024q r E πε=- 则大气的电荷平均体密度为： 图7-76 习题7－23图解(d) 图7-76 习题7－23图解(e) 1332133 4.7210()4 ()3 q q c m r R ρπ---= =??- 综合练习题 一、填空题 1、 如图7-77所示，半径为R 的半球面置于场强为E 的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示，则通过该半球面的电场强度通量为__ _______。 2、半径为R 、带电量为q 的均匀带电圆环环心处的电场强度为 。 3、在点电荷q +的电场中，若取图7-78中P 点处为电势零点，则P 点的电势为 。 4、两个点电荷电量分别为1q ，2q ，当它们相距为r 时，两电荷之间的相互作用力F ＝ 若 12q q Q +=，欲使F 最大，则12:q q = 。 5、 半径为R 的均匀带电球面，带电量为q ，若取无限远处为电势零点。则球心处的电势0 V ＝ ，球面外离球心r 处的电势r V ＝ 。 6、半径为1R 的金属球外有一层相对电容率为2r ε=的介质球壳，其外半径为2R ，若金属带电为q ，如图7-79所示。 则介质外离球心r 处的电场强度E ＝ ，介质内离球心r 处的电场强度`E = 金属球心处的电势 V = 。 7、极板面积为S ，间距为d 的平行板电容器，接入电源，保持电压V 恒定，此时若把间距拉开为2d ，则电容器中的静电能改变了 。 8、如图7-80所示，把一块原来不带电的金属板B ，移近一块已带有正电荷Q 的金属板A ，平行放置。设两板面积都是S ，板间距离是d ，忽略边缘效应。当B 板不接地时，两板间电势差U= ，B 板接地时，两板间电势差U′= 。 二、选择题 1、高斯定理 i S q d ε?= ∑? E S 中： （ ） A 、 其值与曲面外的电荷有关； 图7-80 图7-77 图7-78 图7-79 B 、 场强E 与曲面外的电荷无关； C 、 场强E 与曲面外的电荷有关； D 、 以上说法都不对。 2、以下说法正确的是： （ ） A 、电势均匀的空间电场强度一定为零； B 、电场确定不变的空间电势一定为零； C 、电势较高处，电场确定一定较大； D 、电势较低处电场强度一定较大。 3、平行板电容器充电后仍与电源连接，若将极板间距拉大，则极板上的电量Q ，电场强度E 和电场能量e W 将作（ ）变化。 A 、Q 增大，E 增大，e W 增大 B 、Q 减小，E 减小，e W 减小 C 、Q 增大，E 减小，e W 增大 D 、Q 减小， E 增大，e W 增大 4、如图7-81 所示，若将负点电荷q 从电场E 中的点a 移至点b ，下列正确者是：（ ） A 、电场力做负功 B 、电场强度a b E E < C 、电势能减少 D 、电势a b V V < 5、静电场的环路定理0d ?=?E l 表明静电场是：( ) A 、保守力场； B 、非保守力场； C 、均匀场； D 、非均匀场。 6、如图7-82所示，闭合曲面S 内有—点电荷q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有—点电荷`q ，若将`q 移至B 点，则：（ ） A 、穿过S 面的电通量改变、P 点的电场强度不变； B 、穿过S 面的电通量不变，P 点的电场强度改变； C 、穿过S 面的电通量和P 点的电场强度都不变； 图7-82 图7-81 D 、穿过S 面的电通量和P 点的电场强度都改变。 7、若静电场由电荷Q 所产生，试验电荷为q 。当用电场强度的定义式q =F E 确定E 时，对电荷Q 和q 的要求是：( ) A 、Q 和q 都必须是点电荷； B 、Q 为任意电荷，q 必须是点电荷； C 、Q 为任意电荷，q 必须是正点电荷； D 、Q 为任意电荷，q 必须是单位正电荷。 8、边长为l 的正方形，在其四个顶点上各放有等量的点电荷，如图7-83所示。若正方形中心O 处的场强值和电势值都等于零，则：( ) A 、顶点a 、b 、c 、d 处都是正电荷； B 、顶点a 、b 处是正电荷，c 、d 处是负电荷； C 、顶点a 、c 处是正电荷，b 、d 处是负电荷； D 、顶点a 、b 、c 、d 都是负电荷。 三、计算题 1、在相距为2R 的点电荷+q 和-q 的电场中，把点电荷+Q 从O 点沿OCD 移到D 点，如图7-84所示。则电场力做功与+Q 电势能增量分别为多少？ 2、如图7-85所示，三块平行的金属板A 、B 、C 的面积均为2002 cm ，A 、B 相距2mm ，A 、C 相距4mm ，B 、C 两板均接地。若A 板所带电量Q=3.0×7 10-C ，忽略边缘效应,求： （1）B 、C 上的感应电荷； （2）A 板的电势（设地面电势为零）。 3、内外半径分别为1R ，3R 的金属球壳内有一半径为1R 的金属球，两者同心放置，其间填满相对电容率为r ε的均匀介质，若内球带电为q ，外球壳带电为Q 。求内球的电势和介质外表面的极化电荷。 图 7-83 图 7-84 图7-85 大学物理电磁学部分练 习题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 大学物理电磁学部分练习题 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的（D ） （A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值． （B ）等势面上各点的场强一定相等． （C ）场强为零处，电势也一定为零． （D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等． 2.当一个带电导体达到静电平衡时：D （A ）表面上电荷密度较大处电势较高． （B ）表面曲率较大处电势较高． （C ）导体内部的电势比导体表面的电势高． （D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． 3. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布 为（r 表示从球心引出的矢径）： （ 0 r r R 3 02εσ） =)(r E )(R r <， =)(r E )(R r >． 4.电量分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为 R ，则b 点处的电势U ＝ )22(813210q q q R ++πε 5.两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求： （l ）在它们的连线上电场强度0=E 的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？ （2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U ＝ 0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？ ? ? d q +q 3- x θ O d E ? ．解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，X 轴沿两点电荷的连线． （l ）设0=E 的点的坐标为x ′，则 0) '(43' 42 02 0=-- = i d x q i x q E πεπε 可得 0'2'222=-+d dx x 解出 d x )31(21'1+-=和 d x )13(21' 2-= 其中'1x 符合题意，'2x 不符合题意，舍去． （2）设坐标x 处 U ＝ 0，则 ) (43400x d q x q U -- = πεπε 0]) (4[ 40 =--= x d x x d q πε 得 4/0 4d x x d ==- 6.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小. 解答：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O 点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。 今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。 带电圆环在P 点的场强为：() 3222 01 ?4qx E r a x πε= + 在本题中，cos x h R θ==，a r = 大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理. 大学电磁学习题1 一.选择题(每题3分) 1、如图所示,半径为R 的均匀带电球面,总电荷为Q ,设无穷远处的电势 为零,则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小与电势为: (A) E =0,R Q U 04επ= . (B) E =0,r Q U 04επ=. (C) 204r Q E επ=,r Q U 04επ= . (D) 204r Q E επ=,R Q U 04επ=. ［ ］ 2、一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O + 2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的: (A) 2倍. (B) 22倍. (C) 4倍. (D) 42倍. ［ ］ 3、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ,S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ,则通过半球面S 的磁通量(取弯面 向外为正)为 (A) πr 2B . 、 (B) 2 πr 2B . (C) -πr 2B sin α. (D) -πr 2B cos α. ［ ］ 4、一个通有电流I 的导体,厚度为D ,横截面积为S ,放置在磁感强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于导体的侧表面,如图所示.现测得导体上下两面电势差为V ,则此导体的 霍尔系数等于 (A) IB VDS . (B) DS IBV . (C) IBD VS . (D) BD IVS . (E) IB VD . ［ ］ 5、两根无限长载流直导线相互正交放置,如图所示.I 1沿y 轴的正方向,I 2沿z 轴负方向.若载流I 1的导线不能动,载流I 2的导线可以 自由运动,则载流I 2的导线开始运动的趋势就是 (A) 绕x 轴转动. (B) 沿x 方向平动. (C) 绕y 轴转动. (D) 无法判断. ［ ］ y z x I 1 I 2 物理电学计算经典练习 解题要求：1.写出所依据的主要公式或变形公式 2.写出代入数据的过程 3.计算过程和结果都要写明单位 1．如图1所示，已知R1=2Ω, R2=4Ω,U=12V；求： 1）通过电阻R1的电流I1; 2）电阻R2两端的电压U2。 （2A,8V） 2．如图2所示，电流表示数为0.5A, R2=20Ω,通过R2的电流是0.3A，求： 1)电压表的示数； 2)电阻R1=？(6V30Ω) 3. 如图3所示，电源电压为8V，R1=4R2,电流表A的示数为0.2A； 求：电阻R1， R2各为多少欧？(200Ω50Ω) 4. 如图4所示，电源电压U不变，当开关S闭合时，通过电阻R1的电流为3A。当电路中开关S断开时，R1两端电压为5V，R2的电功率为10W. 求：电源电压U及电阻R1和R2的阻值。(15V 5Ω 10Ω) 5.把阻值为300Ω的电阻R1接入电路中后，通过电阻R1的电流为40mA；把阻值为200Ω的电阻R2和R1串联接入同一电路中时； 求：1）通过电阻R2的电流为多少？ 2）R2两端的电压为多少？ 3）5min内电流通过R2做功多少？ (0.25A 0.75A) 6. 如图5所示，电源电压恒为3V，知R1=12Ω, R2=6Ω。求： 1）当开关S断开时电流表A的读数 2）当开关S闭合时电流表A的读数 7. 如图6所示，电源电压U不变，R1=6Ω. 1)当开关S断开时电流表A的示数为1A,求R1两端的电压； 2)当开关S闭合时电流表A的示数为1.2A,求R2的电阻值。 (6V 30Ω) 8．如图7所示，定值电阻R1和R2串联，电源电压为7V，电流表的示数为0.5A, R2的电功率为2.5W。 求:电阻R2两端电压和电阻R1的电功率。(5V 1W) 9．如图8所示，电源电压为8V，且保持不变。R1=4R2。当开关S断开时，电流表的示数为2A。 求：1）电阻R1和R2的阻值各为多少欧？(4Ω 1Ω) 2）当开关S闭合时电阻R1和R2的电功率各为多大？(16W 64W) 10．如图9所示，已知R1=6Ω，通过电阻R2的电流I2=0.5A, 通过电阻R1和R2的电流之比为I1： I2=2：3。求：电阻R2的阻值和电源的总电压。 (4Ω 2V) 11．如图10所示，灯上标有“10V2W”的字样。当开关S闭合时，灯L恰能正常发光，电压表的示数为2V。当开关S断开时，灯L的实际功率仅为额定功率的1/4。求：电阻R2的阻值。(60Ω) 12．如图11所示，当灯正常发光时，求：1）通过灯泡的电流是多少？2）电流表的示数是多少？(2.5A 3A) 13.如图12所示，A是标 有“24V 60W”的用电器， E是串联后电压为32V的 电源，S为开关，B是滑 大学物理电磁学部分练习题 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的？（D ） （A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值． （B ）等势面上各点的场强一定相等． （C ）场强为零处，电势也一定为零． （D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等． 2.当一个带电导体达到静电平衡时：D （A ）表面上电荷密度较大处电势较高． （B ）表面曲率较大处电势较高． （C ）导体内部的电势比导体表面的电势高． （D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． 3. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布 为（r 表示从球心引出的矢径）： （ 0 r r R 3 02εσ） =)(r E )(R r <， =)(r E )(R r >． 4.电量分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U ＝ )22(813210q q q R ++πε 5.两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求： （l ）在它们的连线上电场强度0=E 的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？ （2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U ＝ 0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？ ．解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，X 轴沿两点电荷的连线． （l ）设0=E 的点的坐标为x ′，则 d q +q 3- 0)'(43'42 02 0=-- = i d x q i x q E πεπε 可得 0'2'222=-+d dx x 解出 d x )31(21'1+-=和 d x )13(21' 2-= 其中'1x 符合题意，'2x 不符合题意，舍去． （2）设坐标x 处 U ＝ 0，则 ) (43400x d q x q U -- = πεπε 0]) (4[40 =--= x d x x d q πε 得 4/04d x x d ==- 6.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小. 解答：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O 点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。 今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。 带电圆环在P 点的场强为：() 3222 01 ?4qx E r a x πε= + 在本题中，cos x h R θ==，a r = 所以可得：() 33 222 0044hdq hdq dE R r h πεπε= = + 上式中()222sin dq r Rd R d σπθπσθθ== 即：33 00 2sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσ θθθπεε== 整个半球面为：2000sin cos 24E dE d π σ σθθθεε===????，方向沿半径向外 7. 电荷q 均匀地分布在一半径为R 的圆环上。计算在圆环的轴线上任一给定点 P 的场强。 第一章 习题一 1、电量Q 相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q ＝－(1+2√2)Q/4 的点电荷。 2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。 3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E ：( C ) (A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小 4、两个电量均为+q 的点电荷相距为2a ，O 为其连线的中点，求在其中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离R 。 解法一：2 2 02 02141 41 a R q πεr q πεE E += = = 21E E E +=，θE θE θE E cos 2cos cos 121=+= 2 2 2 2 042 a R R a R q πε++= ( ) 2 /322 02a R R πεq += E 有极值的条件是： () 0222 /52 2220=+-= a R R a πεq dR dE 即 022 2=-R a ，解得极值点的位置为：a R 2 2= ∵ ( ) 2 /722 2 202 2 3223a R a R πεqR dR E d +-= ，而 03984 02 /222 <- == a πεq dR E d a R ∴ 中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离为a R 2 2= 且 () 2 02 /3220m a x 332/2 / 2a πεq a a a πεq E = += 解法二：θa q πεr q πεE E 2 2 02 021sin 4141= = =，21E E E += +q +q 《电磁学》练习题（附答案） 1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求： (1) 在它们的连线上电场强度0=E 的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ 2. 一带有电荷q ＝3×10- 9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10- 5 J ，粒子动能的增量为4.5×10- 5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 4. 一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值． (ε0＝8.85×10- 12C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位 置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量． 7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩． (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功． 8. 电荷为q 1＝8.0×10-6 C 和q 2＝－16.0×10- 6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2N -1m -2 ) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在 此区域有一静电场，场强为j i E 300200+= .试求穿过各面的电通量． E q L q P 高中物理典型例题集锦 (电磁学部分) 25、如图22-1所示，A、B为平行金属板，两板相距为d，分别与电源两极相连，两板 的中央各有小孔M、N。今有一带电质点，自A板上方相距为d的P点由静止自由下落(P、M、N三点在同一竖直线上)，空气阻力不计，到达N点时速度恰好 为零，然后按原路径返回。若保持两板间的电压不变，则： A.若把A板向上平移一小段距离，质点自P点下落仍能返回。 B.若把B板向下平移一小段距离，质点自P点下落仍能返回。 C.若把A板向上平移一小段距离，质点自P点下落后将穿过 N孔继续下落。 图22-1 D.若把B板向下平移一小段距离，质点自P点下落后将穿过N 孔继续下落。 分析与解：当开关S一直闭合时，A、B两板间的电压保持不变，当带电质点从M向N 运动时，要克服电场力做功，W=qU AB，由题设条件知：带电质点由P到N的运动过程中，重力做的功与质点克服电场力做的功相等，即：mg2d=qU AB 若把A板向上平移一小段距离，因U AB保持不变，上述等式仍成立，故沿原路返回， 应选A。 若把B板下移一小段距离，因U AB保持不变，质点克服电场力做功不变，而重力做功 增加，所以它将一直下落，应选D。 由上述分析可知：选项A和D是正确的。 想一想：在上题中若断开开关S后，再移动金属板，则问题又如何(选A、B)。 26、两平行金属板相距为d，加上如图23-1(b)所示的方波形电压，电压的最大值为U0，周期为T。现有一离子束，其中每个 离子的质量为m，电量为q，从与两板 等距处沿着与板平行的方向连续地射 入两板间的电场中。设离子通过平行 板所需的时间恰为T(与电压变化周图23-1 图23-1(b) 1. 直角坐标系中点电荷电量为Q ，坐标为()c b a ,,，写出Q 所产生的电场在空间任一点的电场强度。 解：画出坐标系及空间任一点()z y x P ,,，则该点相对于点电荷的位矢为 ()c z b y a x r ---=,,? ，由点电荷Q 产生的电场在P 点处的场强分量 为 ()()()[] 2 3 2 2204c z b y a x a x Q E x -+-+--?=πε ()()() []2 3 2 2 2 04c z b y a x b y Q E y -+-+--? = πε () ()() [] 2 3 2 2 2 4c z b y a x c z Q E z -+-+--? = πε 该场强的方向沿r ? 方向：()()()k c z j b y i a x r )))?-+-+-=。 在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。 2. 一电偶极子的电偶极矩为l q P ? ?=，P 点到偶极子中心的距离为r ， r ?与l ? 的夹角为θ，在l r >>时，求P 点的电场强度E ?在P O r ρ?=方 向的分量r E 和垂直于r ? 方向的分量θE 。 解：在极坐标系下，设点()θ,r P 相对于q +和q -的位矢分别为+r ?，-r ?，它们与r ?的夹角分别为α和β，由点电荷的场强公式有 2041 ++?=r q E πε，2041- -?=r q E πε， -++=E E E ? ?? 在极坐标下，E ? 可以分解为： βαcos cos -+-=E E E r ， βαθsin sin -++=E E E 其中，+-=r l r θαcos 2cos ，-+=r l r θβcos 2cos ， +=r l θ αsin 2sin ， -=r l θβsin 2sin 又因为l r >>，在此近似下有 2r r r ≈?-+，r r r 2≈+-+，θcos l r r ≈-+-， 带入以上各式，化简得 3 0cos 241 r P E r θπε?=，30sin 41r P E θ πεθ?=。 此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。 以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x 轴方向取直角坐标系中任一点()z y x P ,,，由点电荷的电势叠加可得： ()???? ? ? ? ?????? ? ++??? ??+-+ ++??? ??-?=+=-+222 2 220 2241z y l x q z y l x q U U P U πε 电场部分： 1.在用试探电荷检测电场时，电场强度的定义为：ο ??q F E =则 （A ）E 与q o 成反比;（B ）如果没有把试探电荷q o 放在这一点上，则E=0 （C ）试探电荷的电量q o 应尽可能小，甚至可以小于电子的电量 （D ）试探电荷的体积应尽可能小，以致可以检测一点的场强. 2.真空中有A 、B 两块带电板，板面积为S ，相距为d （d 很小），带电量分别为+Q 、-Q ， 则两板间的相互作用力的大小为：（ ） （A ）2024d Q πε； （B ）S Q 022ε； （C ）S Q 02ε； （D ）S Q 02 2πε 3.在边长为a 的正方形的两个相对角上各放一电量相同的同性点电荷q ，在另外两个相对 角上各放一电量相同的同性点电荷Q 。欲使作用在Q 上的合力为零，则： (A)q Q 2=； （B ）q Q 2 2=；（C ）q Q 22-=； （D ）q Q 2-= 4. 两个点电荷21q q 和固定在一条直线上，相距为d ，把第三个点电荷3q ，放在21,q q 的延长线上，与2q 相距为d 。欲使3q 保持静止，则： （A ）212q q =； （B ）212q q -=；（C ）214q q -=；（D ）2122q q -= 5.在电场力作用下： （A ）正电荷总是从电位低处向电位高处运动； (B) 负电荷总是从电位高处向电位低处运动； (C) 正电荷总是从电位能高处向电位能低处运动； (D) 负电荷总是从电位能低处向电位能高处运动； 6.一点电荷q 位于边长为d 的立方体的顶角上，通过与q 相连的三个平面的电通量是： （A ）οε4q （B ）οε8q （C ）ο ε10q （D ）0 7.在静电场中，高斯定理成立的条件是：（ ） （A ）电场分布对称，电荷分布对称；（B ）电场分布对称，电荷分布不对称； （C ）电场分布不对称，电荷分布对称；（D ）任意分布的电场，任意分布的电荷。 8.关于高斯定理，下列说法正确的是：( ) (A)只有对称分布的电场，高斯定理才成立；(B)高斯面上的场强是由面内电荷产生的； (C)只有高斯面外无电荷时，才能用高斯定理求场强； (D)高斯定理对任意静电场都成立。 9.一球形气球，电荷均匀分布在气球表面，当此气球被吹大的过程中，球内外场强： （A ）球内场强为零，球外场强在气球未达到该点时不变，掠过该点后， 变为零； （B ）球内场强变大，球外场强不变； （C ）球内场强为零，球外场强始终不变；（D ）球内外场强都不变。 第五章 静 电 场 5 －1 电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A )放置，其周围空间各点电场强度E (设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x 变化的关系曲线为图(B )中的( ) 分析与解 “无限大”均匀带电平板激发的电场强度为0 2εσ，方向沿带电平板法向向外，依照电场叠加原理可以求得各区域电场强度的大小和方向.因而正确答案为(B ). 5 －2 下列说法正确的是( ) (A )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷 (B )闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零 (C )闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零 (D )闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零 分析与解 依照静电场中的高斯定理，闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零，但不能肯定曲面内一定没有电荷；闭合曲面的电通量为零时，表示穿入闭合曲面的电场线数等于穿出闭合曲面的电场线数或没有电场线穿过闭合曲面，不能确定曲面上各点的电场强度必定为零；同理闭合曲面的电通量不为零，也不能推断曲面上任意一点的电场强度都不可能为零，因而正确答案为(B ). 5 －3下列说法正确的是( ) (A) 电场强度为零的点，电势也一定为零 (B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零 (C) 电势为零的点，电场强度也一定为零 (D) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零 分析与解电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点受到的电场力为零，电势为零表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力作功为零.电场中一点的电势等于单位正电荷从该点沿任意路径到参考零电势点电场力所作的功；电场强度等于负电势梯度.因而正确答案为(D). *5 －4在一个带负电的带电棒附近有一个电偶极子，其电偶极矩p的方向如图所示.当电偶极子被释放后，该电偶极子将( ) (A) 沿逆时针方向旋转直到电偶极矩p水平指向棒尖端而停止 (B) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 (C) 沿逆时针方向旋转至电偶极矩p水平指向棒尖端，同时逆电场线方向朝远离棒尖端移动 (D) 沿顺时针方向旋转至电偶极矩p 水平方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动 分析与解电偶极子在非均匀外电场中，除了受到力矩作用使得电偶极子指向电场方向外，还将受到一个指向电场强度增强方向的合力作用，因而正确答案为(B). 5 －5精密实验表明，电子与质子电量差值的最大范围不会超过±10－21e，而中子电量与零差值的最大范围也不会超过±10－21e，由最极端的情况考虑，一个有8个电子，8个质子和8个中子构成的氧原子所带的最大可能净电荷是多少？若将原子视作质点，试比较两个氧原子间的库仑力和万有引 一、单选题 1、如果通过闭合面S的电通量 e 为零，则可以肯定 A、面S内没有电荷 B 、面S内没有净电荷 C、面S上每一点的场强都等于零 D 、面S上每一点的场强都不等于零 2、下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低B、沿电场线方向电势逐渐升高 C、沿电场线方向场强逐渐减小 D、沿电场线方向场强逐渐增大 3、载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向v 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B、有逆时针方向的感应电 C、没有感应电流 D、条件不足，无法判断 4、两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为和， 则 P 点处的场强为 A、 B 、 C 、2 D、 0 P 2000 5、一束粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 12 A、曲线 1 B、曲线 23 C、曲线 3 D、无法判断 6、一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止B、顺时针转动C、逆时针转动D、条件不足，无法判断 7q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 、点电荷 A 、0 B 、q q D 、 q C、 6 0400 8、长直导线通有电流I 3 A ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所I 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动B、线圈向右运动 C、线圈向上运动 D、线圈向下运动 9、关于真空中静电场的高斯定理 E dS q i，下述说法正确的是： S0 A.该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B.q i是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的 E 一定是电荷q i激发的； 高中物理电磁学练习题 一、在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确． 1．如图3-1所示，有一金属箔验电器，起初金属箔闭合，当带正电的棒靠近验电器上部的金属板时，金属箔开．在这个状态下，用手指接触验电器的金属板，金属箔闭合，问当手指从金属板上离开，然后使棒也远离验电器，金属箔的状态如何变化?从图3-1的①～④四个选项中选取一个正确的答案．［］ 图3-1 Ａ．图①Ｂ．图②Ｃ．图③Ｄ．图④ 2．下列关于静电场的说法中正确的是［］ Ａ．在点电荷形成的电场中没有场强相等的两点，但有电势相等的两点 Ｂ．正电荷只在电场力作用下，一定从高电势向低电势运动 Ｃ．场强为零处，电势不一定为零；电势为零处，场强不一定为零 Ｄ．初速为零的正电荷在电场力作用下不一定沿电场线运动 3．在静电场中，带电量大小为ｑ的带电粒子（不计重力），仅在电场力的作用下，先后飞过相距为ｄ的ａ、ｂ两点，动能增加了ΔＥ，则［］Ａ．ａ点的电势一定高于ｂ点的电势 Ｂ．带电粒子的电势能一定减少 Ｃ．电场强度一定等于ΔＥ／ｄｑ Ｄ．ａ、ｂ两点间的电势差大小一定等于ΔＥ／ｑ 4．将原来相距较近的两个带同种电荷的小球同时由静止释放（小球放在光滑绝缘的水平面上），它们仅在相互间库仑力作用下运动的过程中［］Ａ．它们的相互作用力不断减少 Ｂ．它们的加速度之比不断减小 Ｃ．它们的动量之和不断增加 Ｄ．它们的动能之和不断增加 5．如图3-2所示，两个正、负点电荷，在库仑力作用下，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说确的是［］ 图3-2 Ａ．它们所需要的向心力不相等 Ｂ．它们做圆周运动的角速度相等 Ｃ．它们的线速度与其质量成反比 Ｄ．它们的运动半径与电荷量成反比 6．如图3-3所示，水平固定的小圆盘Ａ，带电量为Ｑ，电势为零，从盘心处Ｏ由静止释放一质量为ｍ，带电量为＋ｑ的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的ｃ点，Ｏｃ＝ｈ，又知道过竖直线上的ｂ点时，小球速度最大，由此可知在Ｑ所形成的电场中，可以确定的物理量是［］ 图3-3 Ａ．ｂ点场强Ｂ．ｃ点场强 Ｃ．ｂ点电势Ｄ．ｃ点电势 7．如图3-4所示，带电体Ｑ固定，带电体Ｐ的带电量为ｑ，质量为ｍ，与绝缘的水平桌面间的动摩擦因数为μ，将Ｐ在Ａ点由静止放开，则在Ｑ的排斥下运动到Ｂ点停下，Ａ、Ｂ相距为ｓ，下列说确的是［］ 图3-4 Ａ．将Ｐ从Ｂ点由静止拉到Ａ点，水平拉力最少做功2μｍｇｓ Ｂ．将Ｐ从Ｂ点由静止拉到Ａ点，水平拉力做功μｍｇｓ Ｃ．Ｐ从Ａ点运动到Ｂ点，电势能增加μｍｇｓ Ｄ．Ｐ从Ａ点运动到Ｂ点，电势能减少μｍｇｓ 8．如图3-5所示，悬线下挂着一个带正电的小球，它的质量为ｍ、电量为ｑ，整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度为Ｅ．［］ 图3-5 Ａ．小球平衡时，悬线与竖直方向夹角的正切为Ｅｑ／ｍｇ Ｂ．若剪断悬线，则小球做曲线运动 Ｃ．若剪断悬线，则小球做匀速运动 Ｄ．若剪断悬线，则小球做匀加速直线运动 9．将一个6Ｖ、6Ｗ的小灯甲连接在阻不能忽略的电源上，小灯恰好正常发光，现改将一个6Ｖ、3Ｗ的小灯乙连接到同电源上，则［］Ａ．小灯乙可能正常发光 Ｂ．小灯乙可能因电压过高而烧毁 Ｃ．小灯乙可能因电压较低而不能正常发光 Ｄ．小灯乙一定正常发光 10．用三个电动势均为1．5Ｖ、阻均为0．5Ω的相同电池串联起来作电源，向三个阻值都是1Ω的用电器供电，要想获得最大的输出功率，在如图3-6所示电路中应选择的电路是［］ 图3-6 11．如图3-10所示的电路中，Ｒ １、Ｒ ２ 、Ｒ ３ 、Ｒ ４ 、Ｒ ５ 为阻值固定的 电阻，Ｒ ６ 为可变电阻，Ａ为阻可忽略的电流表，Ｖ为阻很大的电压表，电源的 一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 电磁学-复习题 一、基本要求 1. 掌握带电粒子在电磁场中运动时受到的电磁力公式 2. 掌握磁场强度、磁感应强度的求解（无论有无磁介质） 3. 掌握电磁感应现象、电磁感应定律、楞次定律的表述及简单运算 4. 掌握动生电动势的定义求解 5. 掌握感生电动势的定义、感生电场的概念 6. 掌握自感现象及自感系数的求解 7. 掌握互感现象及互感系数的求解 8. 掌握磁场能量的求解 9. 掌握位移电流概念 10. 掌握麦克斯韦方程组的积分形式 二、基本概念、定律、现象 1.何为磁场的高斯和环路定理？它们说明了磁场哪方面的性质？ 2.何为法拉第电磁感应现象及定律？ 3.何为楞次定律？ 4.何为动生电动势？产生它的非静电力是什么？动生电动势的一般数学表达是什么？ 5.何为感生电动势？产生它的非静电力是什么？ 6.何为感生电场或涡旋电场？ 7.何为自感现象和自感电动势？自感系数如何定义？ 8.何为互感现象和互感电动势？互感系数如何定义？ 9.磁场能量的一般表达式是什么？ 10.何为麦克斯韦的两个基本假设. 11.何谓位移电流？ 12.写出麦克斯韦方程组的积分形式 13.利用磁场的环路定理能够解决三类载流导线产生的磁场问题，请画出在如下三类情况下的环路， 并写出环路定理左边积分的结果（用H表述） 三、选择题 1．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面，现改变三根导线间的相互距离，但不越出积分回路，则（ ） （A ）回路L 内的ΣI 不变，L 上各点的B 不变； （B ）回路L 内的ΣI 不变，L 上各点的B 改变； （C ）回路L 内的ΣI 改变，L 上各点的B 不变； （D ）回路L 内的ΣI 改变，L 上各点的B 改变。 2. 关于磁场的高斯定理0=???S d B ，下列说法中错误的是（ ）。 （A ）无论磁场是变化的还是稳恒的，高斯定理都成立； （B ）高斯面上的磁感应强度不一定为零，但其通量为零； （C ）高斯面应该具有对称性； （D ）高斯定理表明，磁感应线一定是无始无终的闭合曲线。 3. 四条相互平行的载流长直导线位于正方形的四个顶点，电流强度均为I ，方向 如图1所示，正方形的边长为a ，则正方形中心处P 点的磁感应强度B 为（ ）。 无限长载流直导线（圆柱体或圆柱面） 环路定理左边积分结果为 螺绕环电流 环路定理左边积分结果为 无限长直螺线管电流 环路定理左边积分结果为 一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 内没有电荷 B 、面S 内没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说法正确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ - P 3 I 物理与电子工程学院 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。 总结： 1、E P 0 （1）极化率 各点相同，为均匀介质 （2） i p P 各点相同，为均匀极化 2、极化电荷体密度 S S S d P S d P q d S d P q （1）对均匀极化的介质：0 q （2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ，则：， （第5节小字部分给出证明） 3、极化电荷面密度 n P P ?12 2P 、1P 分别为媒质2、1的极化强度，n ?为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中： n P n P ? n P ：电介质内的极化强度 n ?：从电介质指向真空或 金属的法向单位矢。 例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极 化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P 。 - -z 解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P 平行的球极 坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则： 学习资料 A n P ? 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷 的分布情况由A n ?与P 的夹角而定，即 是θ的函数（任一点的n ?都是球面的径向r ?） A A A P n P cos ? 任一点有： cos P 所以极化电荷分布： 140230030 22P 右半球在、象限，左半球在、象限，左右两极处，，最大上下两极处，，最小 （2）求极化电荷在球心处产生的场强 由以上分析知 以z 为轴对称地分布在球表面上，因此 在球心处产 生的E 只有z 轴的分量，且方向为z 轴负方向。 在球表面上任意选取一面元S d ，面元所带电荷量dS q d ，其在球心O 处产生场强为： R R dS E d ?42 其z 分量为： cos 4cos 2 0R dS E d E d z （方向为z 轴负方向） 全部极化电荷在O 处所产生的场强为： 2 0222 0cos 4cos sin cos 4z S dS E dE R P R d d R 乙 一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同大学物理电磁学部分练习题讲解
大学物理电磁学练习题及答案
大学物理电磁学考试试题及答案
初中物理电学计算题经典练习 (含答案)
大学物理电磁学部分练习题讲解
电磁学习题答案1-3章
电磁学题库(附答案)剖析
高中物理电磁学经典例题
电磁学部分习题解答
电磁学练习题(电场部分)
大学物理第五版(马文蔚)电磁学习题答案
电磁学试题(含答案)
电磁学经典练习题与答案
电磁场理论习题及答案1
电磁学部分练习题
电磁学试题(含答案)
电磁学第三章例题教学文案
电磁学练习题积累(含部分答案)
相关主题
文本预览