一 求下列极限 1
1
lim sin n n n
→∞ 1sin ≤n 01lim =∞→n n ∴ 0sin 1lim =∞→n n n 2 求
lim x x
x → 1lim 0
-=-
→x
x x 1lim 0
=+
→x
x x ∴0
lim x x x
→不存在
3 求
1
lim x
x e
→
,lim 10
+∞=+→x
x e 0lim 10
=-→x
x e ∴10
lim x
x e →不存在
0sin 4
lim
sin 5x x x x x →++ 原式=1
5sin 1sin 1lim 0=+
+
→x
x x x
x 一 求下列极限
1
1
lim cos n n n
→∞
,1cos ≤n
01
lim =∞→n
n ∴ 0cos 1lim =∞→n n n
2 求2
2lim 2x x
x
→-- ,122
lim 22lim
22-=--=--+
+→→x x x x x x 122lim 2=---
→x
x x
∴2
2lim 2x x
x →--不存在
3 求1
lim 2
x
x →
,2
2
lim 1lim
10
0+∞==+→+
→x x
x x 02
2lim 1lim
10
0==-→-→x x
x x
∴
10
lim 2
x
x →不存在
02sin 4
lim 3sin x x x x x →++求 原式=43sin 3
1sin 21lim 0=++→x x x x x 一 求下列极限
1
1
lim n tgn n
→∞ 不存在 2 求lim
x a
x a x a
→--
,1lim lim
=--=--+
+
→→a x a x a
x a x a
x a x ,1lim lim -=--=----→→a x x
a a x a x a x a x ∴lim x a x a x a
→--不存在
3 求120lim x
x e
→
,lim 210
+∞=+→x
x e
0lim 21
0=-
→x
x e
∴ 120
lim x
x e
→不存在
0sin 4lim
sin x mx
nx → 原式=n
m
nx mx nx nx nx mx mx mx x x ==???→→00
lim sin sin lim
二
a 取什么值，0
()0
x e x f x a x x ?<=?+≥?连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续
)ii 0x =时，(0)f a =
(00)1f -= (00)f a +=
所以1a =时(0)(0)1f f ±==，
()f x 在0x =处连续
综上所述，a=1时()f x 连续
解： ()1sin lim 0==+
→x x x f x ()1sin lim 0==
-
→x
x
x f x
∴ ()x f 在0=x 处不连续，0点为可去间断点。
2
0()0
x
x f x x
x >?=?≤?二已知
，讨论f （x ）在0x =处的导数
解：
(),10='+f (),00='-f ∴ ()x f 在0=x 处不可导。
三 计算下列各题 1 已知
2sin ln y x x
=? 求,
y 解：x
x x x y 1
sin 2ln cos 2?+=' 2 (),()x f x y f e e y =?已知，求
解：
()()()()()()()()()
()
x f e f e f e e e x f e f e e f e y x x x x f x f x x f x x '+'='+'='
2
3
x xe dx
?求解：
??+==c e dx e dx xe x x x 2
22
21212
1
,
ln[ln(ln )]
y x y
=求 解：
()x
x x y 1
ln 1ln ln 1?
?=
'
2
,,y x x y y =求
两边取对数：
y x x y ln ln =
两边分别求导：
y y
x y x y x y '
?+=?
+'ln 1ln 整理得：()()x y x x y
y x y y ln ln --='
解：原式=
()
??+=+=+C e e de dx e e x
x x x x arctan 1
122
1、3
,
tan
(ln )y x y =已知求 解：
()()x
x x y 1
ln sec ln tan 32
2??=' 2、2,
()y f x y =已知，求 解：
()
2
2x f x y '='
=?+-=-C x x d x 1
sin 11cos
解：
两边对x 求导，其中y 是x 的函数
2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --?-=-?- 2'2sec ()(1)2x y y -?-=
'21
(1)sec ()
y x y -=
-
所以
'221cos ()sin ()y x y x y =--=-
2
2
2
20
100
2
20
10
4
9
04
8
0cos lim
sin cos lim
22cos lim 101cos lim 50x x x x x x x t dt
x x t dt
x x x x x x x →→→→--=-?=-=??四求
解原式
34
704sin 1lim 4010
x x x x →==
证明：
对于
320
()a x f x dx ?
令2
x t =，则2xdxd dt =
且x a =时2
t a =，0x =时0t =
2
2
320
00
()1()21()2a
a a x f x dx
tf t dt xf x dx ===???左边
= 右边 证毕。
五 求y x =，2y x =和2
y x =所围平面图形的面积 解：
12
20
1
223(2)(2)121101231814123376
A x x dx x x dx
x x x =-+-??=+- ???=+--+=??
五 求2
25y x =-和4y x =-所围平面图形的面积
解：)
8
2
(4)A x dx =+--?
?
28331242
222126323218x x ?=++?
?=+-+=
[]2d arctan ;221+x x x πππ+∞
+∞-∞-∞??===--= ???
?
解
原式
六
2
2(1)24dy
x xy x dx
++=
解：此方程为一阶非齐次线性微分方程
2
2()1x P x x =
+
2
24()1
x Q x x =+
2
222231122414()()113
x
x
dx dx x
x x y e
e dx c c x x x -++??=+=+++?
所以原方程通解为
3
214()13
y c x x =++
六 求
2
(1)(arctan )y dx y x dy +=-的通解
解：方程化为
2211arctan 11dx x y dy y y
+=++
此方程为倒线性微分方程
2
21
1
112
1
(arctan )1dy dy y
y x e
ye dy c y
-
++??=++?
arctan arctan 2
1(arctan )1y
y
e
ye dy c y
-=++?
arctan arctan (arctan )y
y
e
yde
c -=+?
arctan arctan arctan (arctan )y y y e ye e c -=-+
所以方程通解为
arctan arctan 1y
x ce
y -=+-
题外：
证明：令x t -=2π，则???
???
?
→→→→0
,22,0t x t x ππ ，dx dt -=
且()()()()????
==-=20
20
2
2
0cos sin cos sin π
πππ
dx x f dt t f dt t f dx x f 得证
解：x C
x C x x C dx xe e
y xdx xdx
cos cos 32cos 32cos 12sin 23tan tan +-=??
? ??+-=??? ??+??
=?-
2
1
n +
++二解：
n 项
n 项
n n n n
n n n n n n n n n 11112
11
11
11
222222+++++
+++
+++++++
又 n
n n ++∞
→2
1lim
=1
11lim =∞
→n
故
1111lim 222=???
???++++++∞
→n n n n
n
n n
五、求
'tan sin 2y y x x +=的通解
解：x C x x C dx xe e y xdx xdx cos 32cos 32cos 12sin 23tan tan +-=??
?
??+-=?
?? ??+??=?-