第十一章马氏链模型
11.1 健康与疾病
11.2 钢琴销售的存贮策略11.3 基因遗传
11.4 等级结构
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
?系统在每个时期所处的状态是随机的
?从一时期到下时期的状态按一定概率转移
?下时期状态只取决于本时期状态和转移概率已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链(Markov Chain)
——时间、状态均为离散的随机转移过程
11.1 健康与疾病
通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变
保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制订保险金和理赔金的数额
例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7，
若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率
,1,0,2,1,),(1=====+n j i i X j X P p n n ij 转移概率X n +1只取决于X n 和p ij , 与X n -1,…无关
8.011=p 2
.011112=-=p p 7.021=p 3
.012122=-=p p ??
?=年疾病
第年健康
第状态n n X n ,2,1
,1,0,2,1),
()(====n i i X P n a n i 状态概率状态与状态转移
状态转移具有无后效性
21
21111)()()1(p n a p n a n a +=+1
2
0.8
0.2
0.3
0.7
)()()1(p n a p n a n a +=+
n 0
a 2(n ) 0
a 1(n ) 1设投保时健康给定a (0), 预测a (n ), n =1,2…设投保时疾病
a 2(n ) 1
a 1(n ) 0 n →∞时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
???+=++=+22
212122121111)()()1()()()1(p n a p n a n a p n a p n a n a 3 …
0.778 …0.222 …∞
7/92/9
0.7 0.77 0.777 …0.3 0.33 0.333 …
7/92/9
状态与状态转移
1
2
0.80.20.3
0.7
1
0.80.2
2
0.780.22
1
2
3
0.1
0.02
1
0.80.25
0.180.65
例2.健康和疾病状态同上，X n =1~ 健康, X n =2~ 疾病
33
3232131332322212123132121111)()()()1()()()()1()()()()1(p n a p n a p n a n a p n a p n a p n a n a p n a p n a p n a n a ++=+++=+++=+p 11=0.8, p 12=0.18, p 13=0.02 死亡为第3种状态，记X n =3健康与疾病
p 21=0.65, p 22=0.25, p 23=0.1 p 31=0, p 32=0, p 33=1
n 0 1 2 3 ?
a 2(n ) 0 0.18 0.189 0.1835 ?
a 3(n ) 0 0.02 0.054 0.0880 ?a 1(n ) 1 0.8 0.757 0.7285 ?设投保时处于健康状态，预测a (n ), n =1,2…
?不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ；?一旦a 1(k )= a 2(k )=0, a 3(k )=1, 则对于n>k , a 1(n )=0，a 2(n )=0, a 3(n )=1, 即从状态3不会转移到其它状态。
状态与状态转移
001
∞
50 ?
0.1293 ?
0.0326 ?
0.8381 ?
,1,0,,,2,1),
()(====n k i i X P n a n i 状态概率)(1i X j X P p n n ij ===+转移概率)
,1,0(,2,1 ==n k X n 状态马氏链的基本方程1
)(1
=∑=n a k
i i
k
i p p k j ij ij ,,2,1,1,01
==≥∑=）
（非负，行和为转移概率矩阵1~}{k k ij p P ?=P n a n a )()1(=+k
i p n a n a k
j ji j i ,,2,1,)()1(1
==+∑=基本方程
状态概率向量
~))(,),(),(()(21n a n a n a n a k =n
P
a n a )0()(=
w
wP w =满足马氏链的两个重要类型
1. 正则链~ 从任一状态出发经有限次转移能以正概率到达另外任一状态（如例1）。
,>??N
P N 正则链P
n a n a )()1(=+)()(,∞→→??n w n a w 正则链?
?
?
???=3.07.02.08.0.1P 例)
9/2,9/7(=w 2
211213.02.07.08.0w w w w w w =+=+1
=∑k
i w w 满足1
21=+w w 2
17.02.0w w =w ~ 稳态概率
????
??=?Q R
I P r
r 0马氏链的两个重要类型
2. 吸收链~ 存在吸收状态（一旦到达就不会离开的状态i, p ii =1）,且从任一非吸收状态出发经有限次转移能以正概率到达吸收状态（如例2）。有r 个吸收状态的吸收链的转移概率阵标准形式R 有非
零元素
∑∞
=-=-=0
1
)(s s
Q
Q I M T
e )
1,,1,1( =Me
y y y y r k ==-),,(21 y i ~ 从第i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收前的平均转移次数。
11.2 钢琴销售的存贮策略
背景与问题
钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架
存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。
估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。
问题分析
顾客的到来相互独立，需求量近似服从波松分布，其参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率
存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。
用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。
动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过库存）的概率不同。
可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的概率和每周的平均销售量。
模型假设
钢琴每周需求量服从波松分布，均值为每周1架
存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初到货；否则，不订购。
以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。
在稳态情况下计算该存贮策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。
模型建立
D n ~第n 周需求量，均值为1的波松分布
)
2,1,0(!/)(1
===-k k e k D P n S n ~第n 周初库存量(状态变量)状态转移规律???≥<-=+n n n n n n
n S D S D D S S ,
3,1368
.0)0()11(111======+n n n D P S S P p 0
)12(112====+n n S S P p 632
.0)1()13(113=≥====+n n n D P S S P p }3,2,1{∈n S D n 0 1 2 3 >3
P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019??
??
??????=448.0368.0184.0264.0368.0368.0632.00368.0??????????=333231232221131211p p p p p p p p p P 状态转移阵
448
.0)3()0()33(=≥+=====D P D P S S P p … …
模型建立
P
n a n a )()1(=+3
,2,1),()(===i i S P n a n i 状态概率)
452.0,263.0,285.0(),,(321==w w w w 马氏链的基本方程
????
??????=448.0368.0184.0264.0368.0368.0632.00
368.0P 正则链
稳态概率分布w 满足wP=w
已知初始状态，可预测第
n 周初库存量S n =i 的概率
0,>??N
P N 正则链0
2
>P n →∞, 状态概率)
452.0,263.0,285.0()(=n a
第n 周失去销售机会的概率
)
(n n S D P >n 充分大时i
n w i S P ==)(模型求解
105
.0452.0019.0263.0080.0285.0264.0=?+?+?=从长期看，失去销售机会的可能性大约10%。
1. 估计在这种策略下失去销售机会的可能性
)
()(3
1
i S P i S i D P n i n n ==>=∑=D
0 1 2 3 >3
P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019
3
21)3()2()1(w D P w D P w D P >+>+>=)
452.0,263.0,285.0(=w
模型求解
第n 周平均售量
]
),([3
1
1
∑∑=====i n n i
j n i S j D P j R 857
.0452.0977.0263.0896.0285.0632.0=?+?+?=)
(])()([3
1
1
i S P i S i D iP i S j D P j n i n n n n i
j ==>+===∑∑==从长期看，每周的平均销售量为0.857(架)
n 充分大时i
n w i S P ==)(需求不超过存量,销售需求
需求超过存量,销售存量
思考：为什么这个数值略小于每周平均需求量1(架)?
2. 估计这种策略下每周的平均销售量
),(i S i D iP n n =>+
敏感性分析
当平均需求在每周1 (架) 附近波动时，最终结果有多大变化。
设D n 服从均值为λ的波松分布
)
2,1,0(,!/)( =λ==λ
-k k e k D P k n ??
??
??????λ+λ-λλλ+-λ-=λ-λ-λ-λ
-λ-λ-λ
-λ
-e e e e e e e e P )2/(12/)1(11022状态转移阵λ
0.80.9 1.0 1.1 1.2P
0.0730.0890.1050.1220.139
第n 周(n 充分大)失去销售机会的概率)
(n n S D P P >=当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约12%。
11.3 基因遗传
背景
?生物的外部表征由内部相应的基因决定。?基因分优势基因d 和劣势基因r 两种。
?每种外部表征由两个基因决定，每个基因可以是d, r 中的任一个。形成3种基因类型：dd ~ 优种D , dr ~ 混种H ,rr ~ 劣种R 。
?基因类型为优种和混种, 外部表征呈优势；基因类型为劣种, 外部表征呈劣势。
?生物繁殖时后代随机地（等概率地）继承父、母的各一个基因，形成它的两个基因。父母的基因类型决定后代基因类型的概率
完全优势基因遗传
父母基因类型决定后代各种基因类型的概率
父母基因类型组合
后代各种基因类型的概率
DD RR
DH
DR HH
HR
D R
H 100
001
1 / 21 / 20
010
1 / 41 / 21 / 4
01 / 21 / 2
3种基因类型：dd ~优种D , dr ~混种H ,rr ~劣种R 完全优势基因遗传
P (D ∣DH )=P (dd ∣dd,dr )=P (d ∣dd )P (d ∣dr )P (R ∣HH )=P (rr ∣dr,dr )=P (r ∣dr )P (r ∣dr )=1?1/2=1/2
=1/2?1/2=1/4
对于6.4节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数 量1+k x 和k x 决定。如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并 与6.4的结果进行比较。 （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和 1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1） 设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为： )2 (11k k k x x f y +=++ 则 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k 消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ，k=1,2,…. 该方程的特征方程为 022=++αβαβλλ 与6.4节中 )2 (11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0<αβ<2, 即为0p 点的稳定条件。
（2）设 )2 (11k k k x x f y +=++ )2 (11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2 (0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y,得到 0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为 02423=+++αβαβλαβλλ 令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程 0a 2ax ax 4x 23=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ： syms x a solve(4*x^3+a*x^2+2*a*x+a==0,x) 解得 1x = (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3))； 2x = -(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) - 3^(1/2)*a*24*i - 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a + 3^(1/2)*a^2*i +
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1Λ=i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
第一章建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模
1.1从现实对象到数学模型 我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… …~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机… …~ 物理模型地图、电路图、分子结构图… …~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题” 用x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 75050)(750 30)(=?-=?+y x y x 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20y =5求解
航行问题建立数学模型的基本步骤?作出简化假设（船速、水速为常数）； ?用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； ?用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）； ?求解得到数学解答（x=20, y=5）； ?回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型(Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型 数学 建模
数学模型姜启源第四版答案 【篇一：姜启源数学模型课后答案(3版)】 t>第二章(1)（2008年9月16日） 1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分 较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍 分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， 3 p1?235,p2?333,p3?432, ?pi?1000. i?1 方法一（按比例分配） q1? p1n 3 ?2.35,q2? p2n 3 ?3.33, q3? p3n 3 ?4.32 ? i?1 pi ? i?1 pi
i?1 pi 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 q1? 235 2 2?3 ?9204.17, q2? 333 2 3?4 ?9240.75, q3? 432 2 4?5 ?9331.2 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pini pini pini 是 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. 中选较大者，可使对所有的i,尽量接 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ?vdt?2?k?(r?wkn)dn t
姜启源版《数学模型》第四章习题第7题 一、问题重述 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm现有一客户需要15根290mm 28根315mm 21根350mn和30根455mn的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10 增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm 为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm勺钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0。 6假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 四、模型建立 根据题目要求，不妨假设叫左勺王％,于是得到目标函数: 4 min M X i 1 0.1i i 1
需求量的约束: 每一种切法不能超过限制1850,余料不超过100(即产品加起来不小于1750) 极限情况下，根数的范围: D j le n j j 1 1850 一根原料钢管最多生产5根产品： 4 r j 5,i 1,2,3,4 j 1 钢管根数和切割方法都为非负整数： r ij Z ,x i Z 五、模型求解 model : !数学模型132页题7; sets : !定义4种切割模式，每种模式用 x(i)根管材； qiegemoshi/m1..m4/:x; !定义四种长度，每种有需求 ； cha ngdu/cd1..cd4/:le n,dema nd; !定义切法矩阵，行为模式，列为需要的长度类型 ； lin ks(qiegemoshi,cha ngdu):r; en dsets !目标函数，每种切割模式按切割频率增加 10%的费用； min = @sum(qiegemoshi(i):x(i)*(1+i*0.1)); !假设4种切法，一种比一种切得少 ； @for (qiegemoshi(i)|i#lt#4:x(i)>=x(i+1)); !需求量的约束； @for (changdu(j)： 约束条件如下: x-i x 2 x 3 x 4 (4.1 ) D j ，j 1,2,3, 4 (4.2 ) 4 1750 r ij le n j j 1 1850,i 123,4 (4.3) D j 1850 len j (4.4)