九年级数学圆心角圆周角专项练习题
一、单选题
1．如图，⊙O中，半径OC⊙弦AB于点D，点E在⊙O上，⊙E=22.5°⊙AB=4，则半径OB等于（）
A
B．2C．
D．3
2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）
A．25°B．50°C．65°D．75°
3．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40°D．∠BOC=2∠BAD 4．在半径为1
的弦所对的弧的度数为（）
A．90B．145C．90或270D．270或145 5．如图，ABC是O的内接三角形，,30
AB BC BAC
=∠=?，AD是直径，8
AD=，则AC的长为（）
A．4B
．C
D
．
6．下列说法正确的有（）
①不在同一条直线上的三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等；④圆内接平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
7．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O 的半径为2，则CD的长为_____
8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若AD 的度数为35°，则BE的度数是_____．
9．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．10．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么AB________2CD（填“＞，＜或＝”）
三、解答题
11．如图，已知A⊙B⊙C⊙D是⊙O上的四点，延长DC⊙AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
12．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．
13．如图，在ABC中，AC BC
，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作//
DF BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF EF
15．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半
《圆周角》教案 教学目标： 一．知识技能 1．理解圆周角概念，理解圆周用与圆心角的异同； 2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征； 3．能灵活运用圆周角的性质解决问题； 4．使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 5．使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题． 教学重点： 1．圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 2．圆内接四边形的性质定理． 教学难点： 1．发现并证明圆周角定理． 2．理解“内对角”这一重点词语的意思． 教学过程： 一．创设情景 如图是一个圆柱形的海洋馆，在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗⌒ AB观看窗内的海洋动物．大家请看海洋馆的横截面的示意图，想想看：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？ 二．认识圆周角． 1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？ 2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．(注意两点：1．角的顶点在圆上；2．角的两边都与圆相交，二者缺一不可．) 3．辩一辩，图中的∠CDE是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解．
4．圆周角与圆心角的联系和区别是什么？ 三．探究圆周角的性质． 1．如图所示图中，∠AOB=180°，则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？(推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可用圆周角定理说明．) B 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数． 解：连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°． 又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°． 2．在下图中，同弧⌒ AB所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想．同弧⌒ AB所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想． 3．由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现． 四．证明圆周角定理及推论． 1．问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？ 2．学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角，将他们画的图归纳起来，共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部．如下图
2.2.1 圆心角 1.了解圆心角的概念； 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系定理及该定理在解题中的应用． 自学指导 自学教材P47~48，完成下列问题. 知识探究 1.什么是圆心角? 解：顶点在圆上，角的两边与圆相交，像这样的角叫做圆心角. 2.弧、弦、圆心角的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等 . 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 . 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 3.思考： 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 解：略. 自学反馈 1.如图所示，下列各角是圆心角的是 （ B ） A.ABC ∠ B.AOB ∠ C.OAB ∠ D.OBC ∠ 2.如图，A 、B 、C 、D 是 O 上的四点.
（1）如果AOB COD ∠=∠，那么AB=___CD___，AB =__ ____； （2）如果AB CD =，那么AOB ∠=__∠COD____，AB=___CD___； （3）如果AB=CD ，那么AOB ∠=__∠COD____，AB =__ ____. 活动1 小组讨论 例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( B ) A ．∠ABC B ．∠AOB C ．∠OAB D ．∠OCB 确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 例2 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠B ＝70°，则∠A ＝___40°_____． 在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得 到两弦相等就可以了． 例3 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ， N .求证：AC ︵＝BD ︵ . 证明：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD . ∵OA ＝OB ，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，
《圆周角》 《圆周角》这节内容是在学生学习了圆心角、弧、弦之间关系的基础上的延续，圆周角 定理在圆的有关证明、作图、计算中应用十分广泛。本节内容既可以巩固圆心角与弧、弦之间的关系，又为后面研究圆与其它几何图形的关系提供了条件。 圆周角定理及其推论是本章的重点内容之一，圆周角定理的分情况证明是本章的教学难点。教材一开始先给出圆周角的概念，紧接着安排了一个探究活动，从介绍圆周角概念的图形出发，让学生探究同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，然后分三种情况证明定理。通过对圆周角定理的探讨，达到培养学生严谨的思维品质的目的。同时，还可以让学生掌握从特殊到一般以及分类讨论的思维方法。 圆内接四边形的四个内角都是圆周角，利用圆周角定理可以把圆的内接四边形的四个内角和相应的圆心角联系起来，得到圆内接四边形的性质，圆内接四边形的性质在圆中探索相关角相等或互补时常常用到。 【知识与能力目标】
1、理解圆周角的概念； 2、掌握圆周角定理及其推论； 3、能运用圆周角定理及其推论进行简单计算和证明； 4、掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。 【过程与方法目标】 在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来解决问题。 【情感态度价值观目标】 在探索圆周角定理过程中，帮助学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点，增强学好数学的信心。 【教学重点】 圆周角定理及其推论。 【教学难点】 圆周角定理证明方法的探讨。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境，引入新课 问题1 在圆中，满足什么条件的角是圆心角？ 顶点在圆心的角叫做圆心角。 问题2 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 问题3 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果请你来评判，你知道他们的位置对球门AB的张角大小吗？
。 松滋市实验中学九年级培优辅差《圆周角》训练题 命题人：胡海洋 题号一、选择题二、填空题三、简答题总分 得分。 一、选择题 1、如图，内接于，若，则的大小为（） A．B． C．D． ) （第1题）（第2题）（第3题）（第4题）（第5题） 2、如图，AB是的直径，点C、D在上，，则（）A．70° B．60° C．50° D．40° 3、如图，是的外接圆，已知，则的大小为（） A．40° B．30° C．45° D．50° 4、如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C= ( ) A．180°B．90°C．45°D．30° ￥ 5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20o，则∠ACB，∠DBC分别为（）A．15o与30o B．20o与35o C．20o与40o D．30o与35o
6、. 如右图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，若动点P从点C出发，沿C→D→O→C路线作匀速运动，设运动时间为t，∠APB的度数为y，则y与t之间函数关系的大致图象是 A B C D 二、填空题 7、如图，在⊙O中，∠AOB＝46o，则∠ACB＝o． 8、如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63 o，那么∠B= o． — （第7题）（第8题）（第9题）（第10题）（第11题） 9、如图，AB是⊙0的直径，弦AC长为4a，弦BC长为5a，∠ACB的平分线交⊙0于点D,则CD的长为 . 10、如图, ⊙P过O、、，半径PB⊥PA，双曲线恰好经过B点，则k的值是 ____________． 11、如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________． 12、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交BC于点D，连接DC，则∠ DCB= 。
第三章圆 3．圆周角和圆心角的关系（一） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。 学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），具体地说，本节课的教学目标为： 知识与技能 1．了解圆周角的概念。 2．理解圆周角定理的证明。 过程与方法 1．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。 2．体会分类、归纳等数学思想方法。 情感态度与价值观 通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。 教学重点：圆周角概念及圆周角定理。 教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。 三、教学过程分析 本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新课、新知学习（关于圆周角的定义、圆周角定理）、练习、课堂小结、布置作业． 第一环节创设问题情境，引入新课
活动内容：通过一个问题情境，引入课 题 情境：在射门游戏中，球员射中球门的 难易与他所处的位置B对球门A C的张角（∠ A B C）有关。如图，当他站在B，D，E的位 置射球时对球门A C的张角的大小是相等 的？为什么呢？你能观察到这三个角有什 么共同特征吗? 活动目的： 通过此问题引起学生学习的兴趣。此问题意在通过射门游戏引入圆周角的概念。同时为第2课时的学习埋下伏笔． 第二环节新知学习 活动内容： （一）圆周角的定义的学习 为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ 可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。 请同学们考虑两个问题： （1）顶点在圆上的角是圆周角吗？ （2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？ 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。 通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征。圆 周角有两个特征： ①角的顶点在圆上；
《圆周角和圆心角的关系》教案 （第1课时） 教学目标 知识技能：掌握圆周角的概念，理解掌握圆周角定理的证明并会进行简单的计算和证明． 过程与方法：经历圆周角定理证明过程，体会“特殊到一般”和“分类讨论”的数学思想方法．情感与态度：通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法． 教学重点 圆周角概念及圆周角定理． 教学难点 认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性． 教学方法 指导探索法、讲授法． 教学过程 一、复习回顾，引入新课 1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 2．圆心角的度数和它所对的弧的度数的大小关系是：相等． 当角的顶点在圆心时，就是圆心角．这时角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ 二、探索新知： 圆周角的概念（观察圆心角的顶点的变化，导出圆周角的概念） （1）（2）（3） 图（3）中的∠BAC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．
1．强调两个要点： （1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交 2．跟踪训练： 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由． 研究圆周角和圆心角的关系． 证一证 1．当圆心O 在圆周角∠ABC 的一边BC 上时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系． 解：∠ABC = 1 2 ∠AOC ．理由是： ∵ ∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC =∠ABO +∠BAO ． ∵OA =OB ， ∴∠ABO =∠BAO ． ∴∠AOC =2∠ABO ． 即∠ABC = 1 2 ∠AOC ． 2．如果∠ABC 的两边都不经过圆心（如下图），结果会怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？能否将下 图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？（学生互相交流、讨论） 如图（1），点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ， 将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出． （体现“分”的数学思想） 由1的结论可知：∠ABD = 12∠AOD ，∠CBD =1 2 ∠COD ， ∴∠ABD +∠CBD =12 (∠AOD +∠COD ），即∠ABC =1 2 ∠AOC ． 在图（2）中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ， 将这个角转化成上述情形的两个角的差即可证出． （体现“补”的数学思想） 由1的结论可知：∠ABD = 12∠AOD ，∠CBD =1 2 ∠COD ．
3.5圆周角 教学目标: 1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过程. 2.掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等” 3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题. 重点: 圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等” 难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难 例4的辅助线的添法. 教学过程: 一、旧知回放: 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
二. 课前测验 1.100o的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。 2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。 3、如图，在⊙O 中，∠BAC=32o，则∠BOC=________。 4、如图，⊙O 中，∠ACB = 130o，则∠AOB=______。 5、下列命题中是真命题的是（ ） （A ）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B ）60o的圆周角所对的弧的度数是30o （C ）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 （D ）120o的弧所对的圆周角是60o 三, 问题讨论 问题1、如图1,在⊙O 中,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系?为什么? 问题2、如图2，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点，你能确定∠BAC 的度数吗? 问题3、如图3，圆周角∠BAC =90o，弦BC 经过圆心O 吗？为什么？ A O C B A O C ● O B A C D E ● O B C A 图3
圆周角和圆心角的关系-- 知识讲解(基础) 【学习目标】 1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 【要点梳理】 要点一、圆周角 1. 圆周角定义： 像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 3. 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释： (1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. ( 3)圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周 要点二、圆内接四边形 1. 圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆
2. 圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° D 要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补 典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙ O中，，求∠ A的度数. 答案与解析】 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，正方形ABCD内接于⊙ O，点E在劣弧AD上，则∠ BEC等于( )
圆心角2 教学目标: 1.经历探索圆心角定理的逆定理的过程; 2.掌握”在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦， 两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质; 3.会运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简 单的几何问题.. 教学重点与难点: 教学难点: 关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的性质 教学难点:例2(1)题,例3涉及四边形,圆等较多知识点,且思路不易形成,是本节的教学难点 教学过程: 一.复习旧知,创设情景: 1.圆具有什么性质? 2.如图,已知:⊙O上有两点A、B,连结OA、OB,作∠AOB的角平 分线交⊙O于点C,连结AC、BC.图中有哪些量是相等的? C B A O
B E D A F C O 复习圆心角定理的内容. 3. 请写出圆心角定理的逆命题,并证明它们的正确性. (1).逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 (2) 逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等。 （3）逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的 弧相等。 结合图形说出已知和求证并给出简要的证明过程 由此引出新课. 二. 新课讲解
1、运用上面的结论来解决下面的问题: 已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空： （1）如果AB=CD，那么 _____________,________,____________。 （2）如果OE=OF，那么 _____________,________,____________。 （3）如果弧AB=弧CD 那么 ______________,__________,____________。 （4）如果∠AOB=∠COD，那么 _________,________,_________。 2.上面的练习说明: 以下的四个量中只要有一个量相等,就可以得到 其余的量相等: ⑴∠AOB=∠COD⑵AB=CD
圆周角与圆心角的关系 一、知识讲解： 1．圆周角与圆心角的的概念： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 5．圆的内接四边形对角之和是180度。 6．弧的度数就是圆心角的度数。 解题思路： 1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角 2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角 3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角 1.圆周角与圆心角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个基本特征： (1)顶点在圆上； (2)两边都和圆相交。 二、教学内容 【1】圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征： 练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
【2】理解圆周角定理的证明 一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。 已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC= 1/2∠BOC. 分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系 本题有三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边上 O （2）圆心O在∠BAC的内部 （3）圆心O在∠BAC的外部 B D C ●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即 可证明 ●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个 角的和或差即可 证明: 圆心O在∠BAC的一条边上 A OA=OC==>∠C=∠BAC ∠BOC=∠BAC+∠C O ==>∠BAC=1/2∠BOC. B C 【3】圆周角与圆心角的关系 （1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 （2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 （3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 （4）．圆的内接四边形对角之和是180度。 （5）．弧的度数就是圆心角的度数。 三、精讲精练 （一）选择、填空题： 1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对 2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 3．下列说法正确的是（） A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角 C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 4．下列说法错误的是（） A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等 C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
圆周角定理及其运用 1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。 2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。 （1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。 知识点一圆周角定理及其推论 【知识梳理】 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧； C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。 （2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。因为一条弦所对的弧有两段。 2、圆周角定理的推论： 推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。 推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32 ，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标 为 。 （第1题） （第2题） 2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46° B ．72° C ．64° D ．36° 3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。 （第3 题） （第4 题） 4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。 O E D A B C O A B C C B A O
1 / 2 知识框架 圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①∟AOB=∟DOE ；②AB=DE ； ③OC=OF ；④ 弧BA =弧BD 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵∟AOB 和∟ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∟AOB=2∟ACB 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵∟C 、∟D 都是所对的圆周角 ∴∟C=∟D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∟C=90° ∴∟C=90°∴AB 是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∟C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 【典型例题】 考点一：圆心角，弧，弦的位置关系 例1、如图，BE 是半径为6的圆D 的四分之一圆周，C 点是BE 上的任意一点， △ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ） 例2、下列语句中正确的是（ ） A 、相等的圆心角所对的弧相等 B 、平分弦的直径垂直于弦 C 、长度相等的两条弧是等弧 D\经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 例3、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ） 例4、（2007?重庆）如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点 D ，AC 交⊙O 于点 E ，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧AE 是劣孤DE 的2倍；⑤AE=BC ．其中正确结论的序号是 考点二：圆周角定理 例1 如图， ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ） 例2、（2011?衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ） 例3、 （2010?荆门）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠ AMN=30°，B 为 AN^的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ） 、 F E D C B A O D C B A O C B A O C B A O
九年级数学 圆周角 圆心角 知识点： 圆心角： 弧度： 圆周角： 圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 例1.如图，已知P 是O 外任意一点，过点P 作直线PAB ，PCD ，分别交O 于点A ，C ，D ． 求证：1 2 P ∠= （BD 的度数AC -的度数）． 例2.如图①，点A 、B 、C 在⊙O 上，连结OC 、OB ： ⑴ 求证：∠A=∠B+∠C ；⑵ 若点A 在如图②的位置，以上结论仍成立吗？说明理由。 例3.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=300 ,求弦DC 的长. 30? D C B A O
例4.如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO=∠BCD ；（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径． 例5.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD. (1)P 是CAD 上一点(不与C 、D 重合),试判断∠CPD 与∠COB 的大小关系, 并说明理由. (2)点P / 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合时),∠CP / D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论. D C B P A O 例6.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,求弦AC 的长. D C B A O 例7.如图所示，在△ABC 中，∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于点E ，延长AE 交△ABC 的外接圆于 D 点，连接BD 、CD 、C E ，且∠BDA=600 . (1)求证△BDE 是等边三角形；(2) 若∠BDC=1200 ，猜想BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想。
圆周角和圆心角的关系教学设计
六、教学流程设计（可加行） 教学 环节教师活动学生活动 信息技术支持（资源、方法、手段等） 创设情境1.圆心角的定义 2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 课件展示，让学生观察思考：球在如图中的点D、 E的位置射门，成功的难易相同吗 让学生自由发 挥，相互交流 复习上节内 容为本节做 铺垫 以学生熟悉 的足球射门 游戏为背景 （PPT展 示），在实物 场景中，抽 象出几何图 形以境生 问，以问激 趣，导入新 课 新 知学习1.圆周角的定义的学习 问题1： 将圆心角顶点向上移， 直至与⊙O相交于点C观察得到的∠ACB有什么特 征（课件展示） (师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点） 问题2：请同学们根据定义回答下面问题：在下列 与圆有关的角中，哪些是圆周角哪些不是，为什么 观察并指出圆周 角的特征，加深 对圆周角概念的 理解 进一步巩固圆周 角的两个特征。 经过学生的 观察与辨析 交流，多数学 生能够完成 对圆周角特 征的探索发 现，并在辨析 中针对这两 个特征进行 强化，达到教 学目标中所 要求的理解 圆周角的概 念 B A C A C . O B
B
B A C E (3).当圆心 (O)在圆周角(∠ABC)的外部时, 圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系会怎样你是如何证明 的 问题5：探索圆周角定理的推论: 当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC. （1）这三个角的大小有什么关系 （2）你能用圆周角定理证明你的结论吗 （3）你得到了什么新的结论 推论：圆周角定理的推论1：＿＿＿或＿＿＿所对的圆周角相等． （1）（2）的证明过程，对于（3）小组合作交流后展示学生的证明过程。 A B C ●O
九年级数学圆心角圆周角专项练习题 一、单选题 1．如图，⊙O中，半径OC⊙弦AB于点D，点E在⊙O上，⊙E=22.5°⊙AB=4，则半径OB等于（） A B．2C． D．3 2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（） A．25°B．50°C．65°D．75° 3．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40°D．∠BOC=2∠BAD 4．在半径为1 的弦所对的弧的度数为（） A．90B．145C．90或270D．270或145 5．如图，ABC是O的内接三角形，,30 AB BC BAC =∠=?，AD是直径，8 AD=，则AC的长为（） A．4B ．C D ． 6．下列说法正确的有（） ①不在同一条直线上的三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等；④圆内接平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题 7．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O 的半径为2，则CD的长为_____ 8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若AD 的度数为35°，则BE的度数是_____． 9．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．10．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么AB________2CD（填“＞，＜或＝”） 三、解答题 11．如图，已知A⊙B⊙C⊙D是⊙O上的四点，延长DC⊙AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形． 12．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数； （2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长． 13．如图，在ABC中，AC BC ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作// DF BC，交⊙O于点F，求证：
圆周角和圆心角的关系 以下是查字典数学网为您推荐的圆周角和圆心角的关系，希望本篇文章对您学习有所帮助。 圆周角和圆心角的关系 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本课是在学习了圆心角后进而要学习的圆的又一个重要的性质，它在推理、论证和计算中应用比较广泛，是圆这章的重点内容之一。 2、依学情定目标 我们面对的是已具备一定知识储备和一定认知能力的个性鲜明的学生，他们有较强的自我发展意识，根据新课程标准的学段目标要求，结合学生实际情况制订以下三个方面的教学目标： 1)知识目标：了解圆周角和圆心角的关系，有机渗透由特殊到一般思想、分类思想、化归思想。 2)能力目标：引导学生能主动地通过：实验、观察、猜想、验证圆周角和圆心角的关系，培养学生的合情推理能力、实践能力和创新精神，从而提高数学素养。 3)情感目标：创设生活情境激发学生对数学的好奇心、求知欲，营造民主、和谐的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，培养学生以严谨求实的态度思考数学。
3、教学重点、难点 重点：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，了解圆周角和圆心角的关系 难点：认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性。 二、教法、学法分析 数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，因此，我认为教法和学法是密不可分的。本课采用以探究式教学法为主，发现法、分组交流合作法、启发式教学法等多种方法相结合，以学生的活动为主线，突出重点突破难点，发展学生的数学素养。注重数学与生活的联系，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想;注重学生的个性差异，因材施教，分层教学;为了转变以往学生只是认真听讲、机械记忆、练习巩固的被动学习方式，以探究式学习和有意义接受式学习为指导，引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知、发展能力，充分发挥学生的主体作用。教师运用多元的评价对学生适时、有度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，以我要学的主人翁姿态投入学习，不仅学会，而且会学、乐学。 三、教学过程分析 1、创设情境，导入新课 新课标指出对数学的认识应处处着眼于人的发展和现实生活之间的密切联系。根据这一理念和九年级学生的年龄特
圆心角和圆周角及之间的关系 A C B 看 看 型，圆周角的概念和圆周角定理的证明，理解圆周角定理的证明中的分类证明思想。 重难点（考点）分析： 要注意分类讨论和有关圆的问题的多解性，同时结合阅读理解，条件开放，结论开放的探索题 内容（课题）：圆心角和圆周角及之间的关系 教学目的：1、了解圆周角的概念。 教学过程： 一、圆周角与圆心角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个基本特征： （1）顶点在圆上； ⑵两边都和圆相交。 圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征 练习判 断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由 有没有圆周角？/ BAC 有没有圆心角？/ BOC 4、培养学生的合作交流意识和数学交流能力。 2、理解圆周角定理的证明。 3、通过圆周角定理的证明，培养学生对数学的逻辑严密性的体验，树立正确的数学学习观。
它们有什么共同的特点? 它们都对着同一条弧 BC 三、猜想归纳：请画出弧 BC 所对的圆周角?若按圆心O 与这个圆周角的位置关系来分类 ，我们可以分成几类？圆 1、首先考虑一种特殊情况： 当圆心（O ）在圆周角（/ BAC ）的一边（AB ）上时,圆周角/ BAC 与圆心角/ BOC 的大小关系? ???/ BOO A ACC 的外角 ???/ BOC M C+Z A ?/ OA=OC ? Z A=Z C ? Z BOC=Z A 即 Z BAC = 1/2 Z BOC 2、如果圆心不在圆周角的一边上 ，结果会怎样？ 当圆心（O ）在圆周角（Z ABC ）的内部时，圆周角Z ABC 与圆心角Z AOC 勺大小关系会怎样？ 思考：能否转化成1中的情况？ 证明：过点A 作直径AD.由1可得： vZ BAD = 1/2 Z BOD Z CAD = 1/2 Z COD ? Z BAC = 1/2 Z BOC. 3、当圆心（O ）在圆周角（Z ABC ）的外部时，圆周角 Z ABC 与圆心角 Z AOC 的大小关系会怎样？ 周角的度数与什么有关系？动手量 曰. 量 BOC 与/ BAC 有何数量关系? A
《圆周角与圆心角的关系》说课稿 各位评委，各位老师： 大家好！我是来自银川市回民中学的李慈秀 我今天说课的内容是北师大版九年级数学下册第三章《圆》中的第三节《圆周角与圆心角的关系》的第一课时。下面，我将从背景分析，教学目标设计，教学过程设计三个方面对本节课加以说明。 一、背景分析（下面我从学习任务、学生情况两个方面进行背景分析） 1.学习任务分析 在学习本节课之前，学生已经认识了圆的圆心、半径、弦、弧，也理解了圆心角的概念，并且通过圆的对称性研究了弦，弧，圆心角，以及弦心距之间的关系，在研究过程中已经经历了应用三角形的内角和、等腰三角形的相关知识来解决问题的过程。教材中将《圆周角和圆心角的关系》安排了两课时，而本节课作为第一课时，它的学习任务是：通过观察，猜想、验证、推理等数学活动，帮助学生理解圆周角的概念，证明并掌握圆周角定理。本节课在对圆周角定理的证明过程中充分渗透了分类讨论的数学思想和方法，学习圆周角定理不仅为下节课学习的两个推论及应用奠定了坚实的理论依据。同时，也为后续研究圆和其他图形起到了桥梁和纽带作用。所以我确定本节课的重点是： 重点：圆周角概念及圆周角定理。 2.学生情况分析。 九年级学生已经系统的学习了简单的几何证明，掌握了基本的几何语言和证明的方法，同时，在研究“直线型”几何问题（如三角形、四边形）的过程中，也积累了大量的合作学习的经验，同时了解了分类、归纳等数学思想。但是学生在添加辅助线解决数学问题时，往往无从下手，甚至不能合理添加，尤其本节课还需要在“曲线”几何问题中添加辅助线，更加增大了难度。所以我确定本节课难点是: 难点：添加辅助线证明圆周角定理 二教学目标设计 依据数学课程标准、教学内容的特点及学生的认知水平，我确定本节课的
九年级数学上册圆心角与圆周角练习题 一、选择题 1.在同圆中，同弦所对的圆周角()A.相等B.互补C.相等或互补 D.互余 2.3-63所示，A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的两条对角线把四个内角分成的8个角中，相等的角共有()A.2对B.3对C.4对D.5对 3.3-64所示，⊙O的半径为5，弦AB，C是圆上一点，则∠ACB 的度数是. 4.四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为() A.50° B.80° C.100° D.130° 5.是中国共产主义青年团团旗上的案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是() A.180° B.150° C.135° D.120° 6.下列命题中，正确的命题个数是() ①顶点在圆周上的角是圆周角; ②圆周角度数等于圆心角度数的一半; ③900的圆周角所对的弦是直径; ④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 二、填空题 7.3-65所示，在⊙O中，∠AOB=100°，C为优弧ACB的中点， 则∠CAB=
8.3-66所示，AB为⊙O的直径，AB=6，∠CAD=30°，则弦DC=. 9.3-67所示，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，求 ∠ABD的度数. 10.已知AB是⊙O的直径，AD∥OC弧AD的度数为80°，则 ∠BOC=_________ 11.⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则中和∠1相等的角有 ______。 12.弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AB上，则∠C的度数是________-. 三、解答题 13.3-68所示，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB为直径的 半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数. 14.(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D. (Ⅰ)①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长; (Ⅱ)②，若∠CAB=60°，求BD的长. 15.3-70所示，在⊙O中，AB是直径，弦AC=12cm，BC=16cm， ∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长. 16.3-71所示，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，D是AC 的中点，DH⊥AB，H是垂足，AC分别交BD，DH于E，F，试说明 DF=EF. 1.C 2.C 3.60°[提示：3-72所示，作OD⊥AB，垂足为D，则BD sin∠BOD