化归与转化的思想方法（教案）
课题：化归与转化的思想方法专题
延寿一中吴东鹏
一、教学目标：
1、知识目标：⑴理解并掌握化归与转化的思想方法；
⑵用哲学观点认识化归与转化的思想方法。
2、能力目标：⑴能运用“化归与转化的思想方法”解决具体条
件下的数学问题；
⑵培养学生观察、分析、处理问题的能力，提高
思维品质；
⑶形成运动变化，对立统一的观点。
3、情感目标：在解题中，让学生体会熟悉化,简单化,和谐化,直
观化,正难则反的数学妙味.
二、教学重点、难点
教学重点：对“化归与转化的思想方法”的理解及运用
教学难点：“化归与转化的思想方法”的运用
三、教法、学法指导
教法：四环递进教学法
学法指导：⑴培养敏锐的洞察能力，类比能力；
⑵找准目标模型，将待解决问题转化为目标模型；
⑶学会用化归与转化的思想方法处理高中数学的
问题；
四、教学过程
1、知识整理
提出问题：结合以前解有关化归与转化题目方面的经验或体会，能否谈谈化归与转化的思想方法：
⑴、在运用已学知识解答一类问题时，不同问题要求运用不同知识，这就要求人们运用类比法，找准某一数学模型为目标模型，通过恰当的手段把问题化归为目标模型，再运用目标模型的内在数学规律，使问题获解，其思维程序是客观问题经抽象数学化→数学问题，经类比化归，找准目标模型把问题转化成模型→数学模型，经求解，运用模型→得解。
⑵、实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式，从宏观上可以实现学科间的化归，也可以调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，在解题中可以多次使用化归，使问题逐次达到规范化、模式化。
⑶、解题的过程就是化归的过程，不断地改变你的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些能用的东西，解决问题为止。
2、范例选讲
例1：设4()42x
x f x =+，求122006()()()200720072007
f f f +++L 解：1144()(1)4242
a a
a a f a f a --+-=+++Q 4442424
a a a =+++?
4214242
a a a =+=++ 122006()()()200720072007f f f ∴+++L 120062************[()()][(()[(()]200720072007200720072007
f f f f f f =+++++L 1003
1111003=+++=L 14243
点评：1。本题从研究结论的数量入手,得到一般性结论, ()(1)1f a f a +-=Q ,转化为已知问题,体现了从特殊到一般的解题思路；
2．从特殊到一般或从一般到特殊的转化,往往有助于发现问题的解决途径,突破难点.
例2：求方程123457x x x x x ++++=的正整数解的组数?
解:本题可转化为“7个相同的小球放入5个不同的盒子。每个盒子至少放一球，共有多少种不同放法？”，这一问题用隔板法解出，故共有4
6C 组解。
变式：本问题有多少组非负整数解？问题可转化为：求方程
1234512x x x x x ++++=的正整数解的组数？答案：411C 点评：1。上述问题的解决依靠了模型转化，将原问题转化为：
模型一：把()m m n >个相同小球放入n 个不同的盒子，每个盒子至少放一球，用用隔板法解决；模型二：把m 个相同小球随意放入n 个不同的盒子，用隔板法解决；
2．从数学解题过程实质上是对问题由未知向已知的转化过程，注意
类比以前解决过的问题，找出其共性和差异，应用于解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解问题与已知问题间转模即未知向已知和转化。
例3：已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]
-内至少有一个值c,使得()0f c >，求实数p 的取值范围.
解：此题从反面分析，采取补集法则比较简单.
如果在[1,1]-内没有点满足()0f c >，
则(1)0(1)0f f -≤??≤?11,23
32p orp p orp ?≤-≥?????≤-≥??3p ?≤-或32
p ≥ 取补集为332p -<<即为所求的p 的取值范围.
点评：1。在有些数学问题中，正面复杂，反面简单，只要逆向分析，进行排除，就能使问题得到简单的解答，同时这也是解答选择题的有效方法；
2．解答某些问题，若按习惯正面进攻很难奏效或运算较繁时，就可考虑从相反方向去探求，攻其反面成功便使正面问题得到解决。
例4： 若对一切2,,p p R ≤∈不等式
2222(log )log 12log x p x x p ++>+恒成立，
求实数x 的取值范围.
解：令2log a x =，记2()(1)21,f p a p a a =-+-+
则()f p 是p 的一次函数，原不等式对任意的[2,2]p ∈-总成立，等价于()0f p >对任意的[2,2]p ∈-总成立，等价于
(2)0(2)0f f >??->?即222(1)2102(1)210
a a a a a a ?-+-+>??--+-+>??等价于 221430a a a ?>??-+>??
3a ∴> 或1a <-，2log 3x ∴>或2log 1x <-
8,x ∴> 或102
x <<。 点评：1。作整体换元2log a x =，使原不等式的特征暴露得更明显，
虽然212a pa a p ++>+有二次不等式的结构,但把它看作是关于p
的一次不等式,从而构造了一个一次函数()f p ；
2．利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即参变量与主元的角色换位),反客为主，变更主元，常常可以简化问题。
例5：
求函数3y =++的值域.
解：2210+=Q
设θ=
，θ=，[0,]2
πθ∈
则3y =++
3θθ=++
)36
πθ=++ 0,2π
θ≤≤Q 2,663
π
π
πθ∴≤+≤ 1sin()126
πθ∴≤+≤
++.
∴所求函数的值域为3,3]
点评：1。三角函数求值域应用较为广泛，常化为基本函数；
2．利用代换进行转化，如代数问题三角化，三角问题代数化，常可以达到繁化简的目的.
五、本课小结
1、化归与转化的思想方法的基本原则是简单化，熟悉化，直观化，
而化归与转化的关键是善于发现问题之间的内在联系，选择有
创造性的手段不实现有效的化归。
2、运用化归与转化的思想解决问题，通常有以下几种策略：
⑴一般与特殊的转化（例一）
⑵未知与已知的转化（例二）
⑶正面与反面的转化（例三）
⑷主元与次元的转化（例四）
⑸简单与复杂的转化（例五）
⑹数与形的转化（见数形结合的思想与方法，此略）
3、通过习题来升华对“化归与转化的思想方法”的认识，且要求学生具有一定的观察、分析能力，在出现多种解法时，要进行解法优化，力争思路简捷运算简单化。
六、课后作业：
高考二轮复习资料P.223~226 14~18
七、板书设计：
化归与转化的思想方法
⑴一般与特殊的转化（例一）
⑵未知与已知的转化（例二）
⑶正面与反面的转化（例三）
⑷主元与次元的转化（例四）
⑸简单与复杂的转化（例五）
八、教学后记
教学过程中我发现学生存在以下问题：
⑴不能对题设问题进行有效的等价转化（等价转化是化归与
转化的思想方法的关键）；
⑵基本概念、性质模糊不清，已知的模型较少，不便于转化；
⑶创新性略欠，简单与复杂的转化难以实现。
解决办法：
①教学过程中，加大对基本概念、性质、公式的理解力度；
②解题教学时有针性的让学生自己已分析问题，帮助学生如何
有效挖掘题设条件，注意解题过程中的等价转化；。
③正难则反的思维；
④加强创新。
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归， 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问 题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有 效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标 的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数 学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转 化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化 的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化, 这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问 题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆
九、化归与转化思想专题 上海市向东中学 刘成宏 经典例题 【例1】若动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点，求 MN 的最大值． 分析: 动直线a x =与函数x x f sin )(=和x x g cos )(=的图像分别交于N M ,两点, 横坐标相同，那么MN 就转化为N M ,两点纵坐标之差，即x x MN cos sin -=求最值． 解: x x MN cos sin -==)4 sin(2π - x 最大值为2． 【例2】设点)0,(m M 在椭圆 112 162 2=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点. 当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围． 解：设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 112 162 2=+y x ，故44≤≤-x ． 因为()y m x MP ,-=，2222312)4(4 1 12241m m x m mx x -+-=++-= ． 依题意可知，当4=x 取得最小值．而[]4,4x ∈-， 故有44≥m ，解得1≥m ． 又点M 在椭圆的长轴上，即44≤≤-m . 故实数m 的取值范围是]4,1[∈m ． 【例3】设R y x ∈,且x y x 6232 2 =+，求2 2 y x +的范围. 分析:设2 2 y x k +=，再代入消去y ，转化为关于x 的方程有实数解时求参数k 范围的问题.其中要注意隐含条件，即x 的范围. 解:方法一、由02362 2 ≥=-y x x 得20≤≤x . 设2 2 y x k +=，则2 2 x k y -=，代入已知等式得：0262 =+-k x x ， 即x x k 32 12 +- =，其对称轴为3=x .
转化与化归思想方法,就就是在研究与解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化，进而得到解决得一种方法、一般总就是将复杂得问题通过变换转化为简单得问题, 将难解得问题通过变换转化为容易求解得问题,将未解决得问题通过变换转化为已解决得问题、 转化与化归思想在高考中占有十分重要得地位，数学问题得解决,总离不开转化与化归,如 未知向已知得转化、新知识向旧知识得转化、复杂问题向简单问题得转化、不同数学问题 之间得互相转化、实际问题向数学问题转化等、各种变换、具体解题方法都就是转化得手段,转化得思想方法渗透到所有得数学教学内容与解题过程中、 1、转化与化归得原则 (1)熟悉化原则:将陌生得问题转化为熟悉得问题,以利于我们运用熟知得知识、经验来解决、 (２)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题得解决，达到解决复杂问题 得目得，或获得某种解题得启示与依据、 (3)直观化原则:将比较抽象得问题化为比较直观得问题来解决、 （4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题得反面,设法从问题得反面去探讨,使问题获解、 2、常见得转化与化归得方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形,也就就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化就是解决问题得 有效策略,同时也就是成功得思维方式、常见得转化方法有: (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题、 (2）换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂得函数、方程、不等式问题转化为易于解决得基本问题、 (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式（图形)关系,通过互相变换获得 转化途径、 （4）等价转化法:把原问题转化为一个易于解决得等价命题,达到化归得目得、 (5)特殊化方法:把原问题得形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后得问题、结论适合原问题、 随着国家经济得发展,科技得发达，人才得需求,中国教育得改革,数学新课 标得出现,在对学生得知识与技能,数学思想及情感与态度等方面得要求，学生在数学得学习方法也应该要相应改变了,要满足社会得需要、化归与转化思想得实 质就是揭示联系,实现转化、除极简单得数学问题外,每个数学问题得解决都就是通过转化为已知得问题实现得、从这个意义上讲,解决数学问题就就是从未知向 已知转化得过程,同时在生活中许许多多得事情也需要往已知得方面转化,把事情简单化,这对以后学生得能力与德育方面有很大得帮助、化归与转化得思想就是 解决数学问题得根本思想，解题得过程实际上就就是一步步转化得过程、数学
化归与转化的思想方法（教案） 课题：化归与转化的思想方法专题 延寿一中吴东鹏 一、教学目标： 1、知识目标：⑴理解并掌握化归与转化的思想方法； ⑵用哲学观点认识化归与转化的思想方法。 2、能力目标：⑴能运用“化归与转化的思想方法”解决具体条 件下的数学问题； ⑵培养学生观察、分析、处理问题的能力，提高 思维品质； ⑶形成运动变化，对立统一的观点。 3、情感目标：在解题中，让学生体会熟悉化,简单化,和谐化,直 观化,正难则反的数学妙味. 二、教学重点、难点 教学重点：对“化归与转化的思想方法”的理解及运用 教学难点：“化归与转化的思想方法”的运用 三、教法、学法指导 教法：四环递进教学法 学法指导：⑴培养敏锐的洞察能力，类比能力； ⑵找准目标模型，将待解决问题转化为目标模型； ⑶学会用化归与转化的思想方法处理高中数学的 问题；
四、教学过程 1、知识整理 提出问题：结合以前解有关化归与转化题目方面的经验或体会，能否谈谈化归与转化的思想方法： ⑴、在运用已学知识解答一类问题时，不同问题要求运用不同知识，这就要求人们运用类比法，找准某一数学模型为目标模型，通过恰当的手段把问题化归为目标模型，再运用目标模型的内在数学规律，使问题获解，其思维程序是客观问题经抽象数学化→数学问题，经类比化归，找准目标模型把问题转化成模型→数学模型，经求解，运用模型→得解。 ⑵、实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式，从宏观上可以实现学科间的化归，也可以调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，在解题中可以多次使用化归，使问题逐次达到规范化、模式化。 ⑶、解题的过程就是化归的过程，不断地改变你的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些能用的东西，解决问题为止。 2、范例选讲 例1：设4()42x x f x =+，求122006()()()200720072007 f f f +++L 解：1144()(1)4242 a a a a f a f a --+-=+++Q 4442424 a a a =+++?
化归与转化思想 一．利用换元法进行转化 1．若 ,42x ππ<<求函数3tan 2tan y x x =的最大值。 2．在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213 x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 3．奇函数f(x)的定义域R ，且在[0+∞）上是增函数，当0≤θ≤π/2时，是否存在实数 m, 使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有θ∈〔0，π/2〕的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m;若不存在，说明理由． 二．正难则反的转化 4．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目， 则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A ．15 B ．45 C ．60 D ．75 5．已知非空集合A={x| 2 x -4mx+2m+6=0，x ∈R}，若 A ∩R-≠,求实数m 的取值范围(R- 表示负实数集, R+表示正实数集). 三．利用构造法进行转化 6．已知a b e >>。 证明b a a b < 7．已知函数2 2 ()ln (1).1x f x x x =+-+ (1) 求函数()f x 的单调区间; （2）若不等式1(1) n a e n ++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）. 求a 的最大值. ?
四．空间问题平面化的原则 8．如图，设正三棱锥S-ABC 的底面边长为a ，侧面等腰三角形的顶角 为0 30，过A 作与侧棱SB,SC 都相交的截面AEF ，求这个截面周长的 最小值。 五．等与不等的转化 9．若f(x)是定义在R 上的函数，对任意实数x 都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1，则 f(2 010)= . 六．常量与变量的转化 10．设f （x ）是定义在R 上的单调增函数，若f （21ax x --）≤f （2-a ）对任意 a ∈［-1，1］恒成立，求x 的取值范围. 11．已知函数247(),[0,1]2x f x x x -=∈- （1）求()f x 的单调区间和值域； （2）设1a ≥，函数32 ()32,[0,1]g x x a x a x =--∈，若对于任意的1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 取值范围。
转化与化归的思想方法(3) --巩固练习 1. 若函数是奇函数，则常数a的值为（）. 2.. ７封不同的信发往７处不同地址，由于装信封时未经仔细检查，信收到后发现有３封的内容和地址错位，发生这种错误的可能情形种数为（）. Ａ. ３５Ｂ. ７０ Ｃ. １０５Ｄ. １７５ 3. 在球面上有４个点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ，如果ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ两两互相垂直，且ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ=a，那么这个球面的面积是（）. 4. 若函数在区间（－∞，２］上有意义，则实数m的取值范围 是. 5. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于（） A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5 6.设f(x)＝3x－2，则f-1[f(x)]等于（） A. x+8 9 B. 9x－8 C. x D. 1 32 x- 7. 若m、n、p、q∈R且m2＋n2＝a，p2＋q2＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是（） A. a b + 2 B. ab C. a b 22 2 + D. ab a b + 8. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为（） A. 1 B. 2 C. 2 D. 5
9. 设椭圆y a 2 2 ＋ x b 2 2 ＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b,0)，已知原点到1 的距离等于221 7 c，则椭圆的离心率为（） A. 1 4 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 2 10. 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四棱锥S-BCED的体积为（） A. 15 2 B. 10 C. 25 2 D. 35 2 11. 已知函数 （１）求f（x）的反函数f －１（x）； （２）数列｛a n｝中，a1=1，a n=f －１（an-1）（n∈N+，n≥2）. 如果求数列｛b n｝的通项公式b n及前n项和Ｓn； （３）如果g（n）＝２S n-17n，求g（x）（x∈Ｒ）在区间［t，t＋２］上的最小值. 12. （x+2）10（x2-1）的展开式中x10的系数为.（用数字解答） 13. 设a、b是两个实数， 的点的集合，讨论是否存在a和b，使得：（１）Ａ∩Ｂ≠（２）（a，b）∈Ｃ同时成立. 14. 证明不等式2（n∈N+）. 15. 已知椭圆的一个顶点为Ａ（０，－１），焦点在x轴上，且右焦点到直线x-y+2=0的距离为３，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点Ｍ、Ｎ.且满足，并说明理由. 16. 已知两点Ｍ（１，）、Ｎ（－４、－），给出下列曲线方程： ①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③+y2=1 ④-y2=1 在曲线上存在点Ｐ满足ＭＰ＝NP的所有曲线方程是（）. Ａ. ①③Ｂ. ②④ Ｃ. ①②③Ｄ. ②③④
化归与转化思想在解中学数学习题时的重要性 大理一中雷蕾摘要：“数学是使人变聪明的一门学科”.数学思想方法是数学的灵魂,是数学精神和科学世界观的重要组成部分,而化归与转化思想又是数学思想的核心和精髓,真正的数学高手过招,比拼的往往就是数学思想.本文根据前人的研究成果,首先概述了化归与转化思想的含义、联系、区别,使用化归与转化思想所遵循的原则、及化归与转化的几种常见形式；然后结合自己的实习经验探讨怎样实施化归与转化思想在教学中的渗透,最后通过例题分析浅谈自身学习化归与转化思想的经验. 关键词：数学思想；化归与转化；化归与转化思想；化归思想；转化思想 1引言 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵于知识的发生、发展和应用的过程,是知识转化为能力的桥梁,是在研究和解决数学问题的过程中所采用的手段、途径和方式.数学思想和数学方法是密不可分的.化归与转化思想方法是最基本、最常用的两大数学思想方法之一. 1.1化归与转化的含义 转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种教学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想.转化有等价转化和非等价转化. 化归是“转化归结”的简称,是转化的一种.简单的化归思想就是把那些陌生的或不易解决的问题转化成熟悉、易解决的问题的思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,遵循简单化、熟悉化、具体化、和谐化的原则选择恰当的方法进行变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题是上去,最终解决原问题的解决问题的思想,称为化归思想. 两者基本上是同一个东西,只是侧重点有一些细微的差异而已.化归是把未解决问题转化归结到已经解决的问题上去,而转化一般是把较难解决的问题转化为相对比较容易解决的问题上去.化归是找到我们研究的问题是属于哪一类型,属于哪一个知识范围.转化是我们找到解题的思路之后所进行的有目的的一项工作. 化归与转化思想是解决数学问题的基本且典型的数学思想.解题的过程实际上就是化归与转化的过程.几乎所有问题的解决都离不开化归与转化,我认为运用化归与转化的思想,有这样的三个问题必须明确：(1) 化归的对象：解题中需要变更的部分；(2) 化归的目标：把化归的对象化为熟知的问题,规范性的
高三数学思想、方法、策略专题 第三讲 转化与化归思想 一．知识探究： 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集A C U 获得原问题的解决。 3．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决； （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据； （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律； （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
浅谈转换与化归思想 转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。 一、 转换思想 （1）转换思想的内涵 转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。 （2）转换思想在同一学科中的应用 转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。 比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。 看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：12 2=+b a 。 [分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点 令人望而生畏。 再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。 [解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα 化简得1cos cos sin sin =+αααα 所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb 则 1cos sin 2 222=+=+ααb a [小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现 三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。 转换思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转换，因为学生已经在初中老师的指导下
运用转化与化归思想方法解题 1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换 使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问 题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已 解决的问题．从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当 转化，进而达到解题目的的一个探索过程． 2．转化有等价转化与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保 证转化后的结果仍为原问题的结果．非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行 必要的修正，它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口． 3．常见的转化方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本 问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要 途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问 题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题 通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； A，而（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合（10）补集法：eAUU 获得，通过解决全集及补集把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U原问题的解决． 化归思想练习题（1） 一、选择题 2＝12y的焦点，A，C：xB，C为抛物线上不同的三点，F1．(2015·武汉调研)设为抛物线→→→若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝() A．3B．9 C．12 D．18 答案D 解析设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，因为A，B，C为抛物线上不同的三点，则A，B，3321212＝12y的焦点为F(0,3)C：x，准线方程为y＝－3. C可以构成三角形．抛物线→→→因为FA＋FB＋FC＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F为△ABC的重心，从而有x1＋x＋x＝0，y＋y＋y＝9.又根据抛物线的定义可得|FA|＝y－(－3)＝y＋3，1231312|FB|＝y－(－3)＝y＋3，|FC|＝y－(－3)＝y＋3，32231 18. 9＝＋3＋y＋3＝y＋y＋y＋y所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋3＋y3113222x2上任意一点，为椭圆C)已知点F是椭圆C：＋y＝1的左焦点，点P．2(2015·唐山调研2) P，则当|PQ|＋|PF|取最大值时，点的坐标为(点Q的坐标为(4,3)14B
例说转化与化归思想 复数中的转化与化归 例1 求复数[7+24i]的平方根. 解析设[z=a+bi（a，b∈R）]是复数[7+24i]的平方根， 由平方根的定义得，[z2=（a+bi）2=7+24i]. 即[（a2-b2）+2abi=7+24i]. 因为[a，b∈R]，利用复数相等得，[a2-b2=7，2ab=24，] 则[a=4，b=3，]或[a=-4，b=-3.] 故复数[7+24i]的平方根为[±（4+3i）]. 点评将复数的开平方运算转化为平方运算、将复数（虚数）问题通过复数代数形式化归为实数问题，是处理复数问题的基本策略. 立?w几何中的转化与化归 例2 如图，在四棱锥[P-ABCD]中，[AB∥CD，]且[∠BAP=][∠CDP][=90°]. （1）证明：平面[PAB]⊥平面[PAD]； （2）若[PA=PD=AB=DC]，[∠APD=90°]，求二面角[A-PB-C]的余弦值. 解析（1）证明：因为[∠BAP=∠CDP=90°]， 所以[AB⊥AP，CD⊥DP].
又因为[AB//CD]，所以[AB⊥DP]. 又[PA?PD=P]，[AB?平面PAB]， 所以平面[PAB]⊥平面[PAD]. （2）由于平面[PAB]⊥平面[PAD]，取[AD]的中点[O]，[PA=PD，∠APD=90°]， 所以[OP⊥平面ABCD]. 以[O]为坐标原点，[OA，OP]为[x]轴、[z]轴（建系如上图）. 不妨设[PA=PD=AB=DC=2]. [则O（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（-2，2，0）.] 设平面[PBA]的一个法向量为[m=（x，y，z），] 则[m?AP=0，m?AB=0，]即[2x-2z=0，y=0.] 取[x=1]，则[m=（1，0，1）.] 设平面[PBC]的一个法向量为[n=（x，y，z）.] 则[n?PB=0，n?BC=0，]即[2x+2y-2z=0，x=0.] 取[y=1]，则[n=（0，1，2）.] 记二面角[A-PB-C]的平面角为[θ]， 则[cosθ=m?nm?n=（1，0，1）?（0，1，2）2?3=33]. 点评将立体几何中的一种位置关系转化为另一种位置关系，或转化为空间两向量的数量关系（共线与数量积坐标表示）. 将立体几何中的线面角化归为空间两向量夹角坐标表示，是立体几何最基本的解题策略.
转化与化归的思想方法 2019高考数学考点预测：转化与化归的思想方法 化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解 决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化 思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的 过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题， 无论是难题还是易题，都离不开化归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何 问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途 径与方法。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等 理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价 转化。 1. 转化运算． 例1. 若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则 MN 的最大值为（） A ．1 B C D ．2 分析: 动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点, 横坐标相同，那么MN 就是纵坐标之差，即MN =sin x -cos x 求最值。 解 : MN =sin x -cos x = π?? x -?4? ?
化归思想 1. 化归思想的概念。 人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。 从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。 2. 化归所遵循的原则。 化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。 （2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。 （3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。 （4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。 3. 化归思想的具体应用。
转化与化归思想方法 Prepared on 22 November 2020
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,
第4讲 转化与化归思想 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．(2012·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29 ，则a 10＝________. 2．定义运算：(aD ○＋b )D ○×x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(aD ○＋b )D ○×x <0的解集为{x |1
转化与化归思想 时间：2011-05-18 11:39:43 来源：作者： 虞红燕 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变 换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1. （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2. 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. （6）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. （7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. （8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. （9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.
转化与化归思想 [思想方法解读] 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性． 转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据． (3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决． 体验高考 1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C 解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公 差d ＝a 10－a 5 10－5 ＝1， ∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C. 2．(2016·课标全国丙)已知4 213 5 3 2,4,25,a b c ===则( ) A ．b 高考数学化归与转化的 思想 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 第7讲化归与转化的思想在解题中的应用 一、知识整合 1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。 3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。 4．化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 二、例题分析 例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是 （）高考数学化归与转化的思想
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