2019年清华附中新初一分班考试数学试题-真题
一、选择题(本大题共7小题,共24.0分)
1.如图,直径AB=6的半圆,绕B点顺时针旋转30°,此时点A到了点A′,则图中阴影部分的面积是()
A. π
2
B. 3π
4
C. π
D. 3π
2.在抗击疫情网络知识竞赛中,为奖励成绩突出的学生,学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品,A种每
个10元,B种每个20元,C种每个30元,在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下,有多少种购买方案()
A. 12种
B. 15种
C. 16种
D. 14种
3.为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,调查结果如下表:
一周做饭次数45678
人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4.如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为()
A. 24√3?4π
B. 12√3+4π
C. 24√3+8π
D. 24√3+4π
5.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为()
A. 148
B. 152
C. 174
D. 202
6.下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是()
A. B. C. D.
7.在某次演讲比赛中,五位评委给选手圆圆打分,得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分,平均分为x;
去掉一个最低分,平均分为y;同时去掉一个最高分和一个最低分,平均分为z,则()
A. y>z>x
B. x>z>y
C. y>x>z
D. z>y>x
二、填空题(本大题共8小题,共30.0分)
8.某种商品每件的进价为120元,标价为180元.为了拓展销路,商店准备打折销售.若使利润率为20%,则
商店应打______折.
9.如图是某校参加各兴趣小组的学生人数分布扇形统计图,已知参加STEAM课程兴趣小组的人数为120人,则
该校参加各兴趣小组的学生共有______人.
10.世纪公园的门票是每人5元,一次购门票满40张,每张门票可少1元.若少于40人时,一个团队至少要有
______人进公园,买40张门票反而合算.
11.以水平数轴的原点O为圆心,过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆,将Ox逆时针依次旋转30°、60°、
90°、…、330°得到11条射线,构成如图所示的“圆”坐标系,点A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°),则点C的坐标表示为______.
第11题图第12题图
12.如图,在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC的中点为O,分别以点A,C为圆心,以AO的长为半径画
弧,分别与正方形的边相交,则图中的阴影部分的面积为______.(结果保留π)
13.火锅是重庆的一张名片,深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式
经营,6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2.随着促进消费政策的出台,该火锅
,则摆摊的营业额将达到7店老板预计7月份总营业额会增加,其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的2
5
,为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5,则7月份外卖还需增加的营业额与7月份月份总营业额的7
20
总营业额之比是______.
14.为刺激顾客到实体店消费,某商场决定在星期六开展促销活动.活动方案如下:在商场收银台旁放置一个不
透明的箱子,箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个(除颜色外大小、形状、质地等完全相同),顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会,摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额,汇总统计结果为:第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍,摸到黄球次数为第一时段的2倍,摸到绿球次数为第一时段的4倍;第三时段摸到红球次数与第一时段相同,摸到黄球次数为第一时段的4倍,摸到绿球次数为第一时段的2倍,三个时段返现总金额为2510元,第三时段返现金额比第一时段多420元,则第二时段返现金额为______元.
15.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数,随机调查了其中400名学生,结果有150名学生会游
泳,那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为______.
三、解答题(本大题共5小题,共49.0分)
16.甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫,共渡难关”捐款活动,甲公司共捐款100000元,乙公司共捐款
140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
(1)甲、乙两公司各有多少人?
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资,A种防疫物资每箱15000元,B种防疫物资每
箱12000元.若购买B种防疫物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案?请设计出来(注:A、B两种防疫物资均需购买,并按整箱配送).
17.2020年6月1日起,公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动.某校小交警社团在交警带领下,从5月
29日起连续6天,在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查,并将数据绘制成如图表:
2020年6月2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
骑乘摩托车骑乘电动自行车
戴头盔人数1872
不戴头盔人数2m
(1)根据以上信息,小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为95%.你是否同意他的观点?
请说明理由;
(2)相比较而言,你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度?为什么?
(3)求统计表中m的值.
18.观察以下等式:
第1个等式:1
3×(1+2
1
)=2?1
1
,
第2个等式:3
4×(1+2
2
)=2?1
2
,
第3个等式:5
5×(1+2
3
)=2?1
3
,
第4个等式:7
6×(1+2
4
)=2?1
4
.
第5个等式:9
7×(1+2
5
)=2?1
5
.
…
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式:______;
(2)写出你猜想的第n个等式:______(用含n的等式表示),并证明.
19.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价
在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.
(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?
(2)当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元?
(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?
20.在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,如学习自然数时,我们发现一种特殊
的自然数--“好数”.
定义:对于三位自然数n,各位数字都不为0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除,则称这个自然数n为“好数”.
例如:426是“好数”,因为4,2,6都不为0,且4+2=6,6能被6整除;
643不是“好数”,因为6+4=10,10不能被3整除.
(1)判断312,675是否是“好数”?并说明理由;
(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数,并说明理由.
答案和解析1.【答案】D
【解析】解:∵半圆AB,绕B点顺时针旋转30°,
∴S
阴影=S
半圆A′B
+S
扇形ABA′
?S
半圆AB
=S
扇形ABA′
=62π?30 360
=3π,
故选:D.
由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积?空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积.
本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质,熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键.
2.【答案】D
【解析】解:设购买A种奖品m个,购买B种奖品n个,
当C种奖品个数为1个时,
根据题意得10m+20n+30=200,
整理得m+2n=17,
∵m、n都是正整数,0<2m<17,
∴m=1,2,3,4,5,6,7,8;
当C种奖品个数为2个时,
根据题意得10m+20n+60=200,
整理得m+2n=14,
∵m、n都是正整数,0<2m<14,
∴m=1,2,3,4,5,6;
∴有8+6=14种购买方案.
故选:D.
有两个等量关系:购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数=200;C种奖品个数为1或2个.设两个未知数,得出二元一次方程,根据实际含义确定解.
本题考查了二元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.要注意题中未知数的取值必须符合实际意义.
3.【答案】C
【解析】解:x ?
=4×7+5×6+6×12+7×10+8×5
7+6+12+10+5
=6(次),
故选:C .
利用加权平均数的计算方法进行计算即可.
本题考查加权平均数的意义和计算方法,理解加权平均数的意义是正确解答的前提.
4.【答案】A
【解析】解:设正六边形的中心为O ,连接OA ,OB .
由题意,OA =OB =AB =4, ∴S 弓形AmB =S 扇形OAB ?S △AOB =
60?π?42360?
√34
×42=8
3
π?4√3,
∴S 阴=6?(S 半圆?S 弓形AmB )=6?(1
2?π?22?8
3π+4√3)=24√3?4π, 故选:A .
设正六边形的中心为O ,连接OA ,OB 首先求出弓形AmB 的面积,再根据S 阴=6?(S 半圆?S 弓形AmB )求解即可. 本题考查正多边形和圆,扇形的面积,弓形的面积等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
5.【答案】C
【解析】解:根据图形,第1个图案有12枚棋子, 第2个图案有22枚棋子, 第3个图案有34枚棋子, …
第n 个图案有2(1+2+?+n +2)+2(n ?1)=n 2+7n +4枚棋子,
故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4=100+70+4=174(枚). 故选:C .
观察各图可知,后一个图案比前一个图案多2(n +3)枚棋子,然后写成第n 个图案的通式,再取n =10进行计算即
可求解.
考查了规律型:图形的变化类,观察图形,发现后一个图案比前一个图案多2(n+3)枚棋子是解题的关键.
6.【答案】C
【解析】解:A、两棵小树的影子的方向相反,不可能为同一时刻阳光下影子,所以A选项错误;
B、两棵小树的影子的方向相反,不可能为同一时刻阳光下影子,所以B选项错误;
C、在同一时刻阳光下,树高与影子成正比,所以C选项正确.
D、图中树高与影子成反比,而在同一时刻阳光下,树高与影子成正比,所以D选项错误;
故选:C.
根据平行投影得特点,利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断;利用在同一时刻阳光下,树高与影子成正比可对C、D进行判断.
本题考查了平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影,如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.7.【答案】A
【解析】解:由题意可得,
y>z>x,
故选:A.
根据题意,可以判断x、y、z的大小关系,从而可以解答本题.
本题考查算术平均数,解答本题的关键是明确算术平均数的含义.
8.【答案】8
【解析】解:设商店打x折,
?120=120×20%,
依题意,得:180×x
10
解得:x=8.
故答案为:8.
设商店打x折,根据利润=售价?进价,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
9.【答案】600
【解析】解:∵参加STEAM课程兴趣小组的人数为120人,百分比为20%,
∴参加各兴趣小组的学生共有120÷20%=600(人),
故答案为:600.
根据扇形统计图中相应的项目的百分比,结合参加STEAM课程兴趣小组的人数为120人,即可算出结果.
本题考查了扇形统计图,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
10.【答案】33
【解析】解:设x人进公园,
若购满40张票则需要:40×(5?1)=40×4=160(元),
故5x>160时,
解得:x>32,
则当有32人时,购买32张票和40张票的价格相同,
则再多1人时买40张票较合算;
32+1=33(人).
则至少要有33人去世纪公园,买40张票反而合算.
故答案为:33.
先求出购买40张票,优惠后需要多少钱,然后再利用5x>160时,求出买到的张数的取值范围再加上1即可.此题主要考查了一元一次不等式的应用,找到按5元的单价付款和4元单价付款的等量关系是解决本题的关键.11.【答案】(3,240°)
【解析】解:如图所示:点C的坐标表示为(3,240°).
故答案为:(3,240°).
直接利用横纵坐标的意义进而表示出点C的坐标.
此题主要考查了坐标确定位置,正确理解横纵坐标的意义是解题关键.
12.【答案】4?π
【解析】解:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=2,∠DAB=∠DCB=90°,
由勾股定理得,AC=√AB2+BC2=2√2,
∴OA=OC=√2,
∴图中的阴影部分的面积=22?90π×(√2)2
×2=4?π,
360
故答案为:4?π.
根据勾股定理求出AC,得到OA、OC的长,根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算,得到答案.
本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质,掌握扇形面积公式是解题的关键.
13.【答案】1:8
【解析】解:设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ,5a ,2a ,设7月份总的增加营业额为5x ,摆摊增加的营业额为2x ,7月份总营业额20b ,摆摊7月份的营业额为7b ,堂食7月份的营业额为8b ,外卖7月份的营业额为5b ,
由题意可得:{7b ?2a =2x
20b ?10a =5x ,
解得:{a =
x
6
b =x 3
,
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比=(5b ?5a):20b =1:8, 故答案为:1:8.
设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ,5a ,2a ,设7月份总的增加营业额为5x ,摆摊增加的营业额为2x ,7月份总营业额20b ,摆摊7月份的营业额为7b ,堂食7月份的营业额为8b ,外卖7月份的营业额为5b ,由题意列出方程组,可求a ,b 的值,即可求解.
本题考查了三元一次方程组的应用,理解题意,找到正确的等量关系是本题的关键.
14.【答案】1230
【解析】解:设第一时段摸到红球x 次,摸到黄球y 次,摸到绿球z 次,(x,y ,z 均为非负整数),则第一时段返现金额为(50x +30y +10z),
第二时段摸到红球3x 次,摸到黄球2y 次,摸到绿球4z 次,则第二时段返现金额为(50×3x +30×2y +10×4z),
第三时段摸到红球x 次,摸到黄球4y 次,摸到绿球2z 次,则第三时段返现金额为(50x +30×4y +10×2z), ∵第三时段返现金额比第一时段多420元,
∴(50x +30×4y +10×2z)?(50x +30y +10z)=420, ∴z =42?9y①, ∵z 为非负整数, ∴42?9y ≥0, ∴y ≤
429
,
∵三个时段返现总金额为2510元,
∴(50x +30y +10z)+(50x +30×4y +10×2z)+(50x +30×4y +10×2z)=2510, ∴25x +21y +7z =251②,
将①代入②中,化简整理得,25x =42y ?43, ∴x =
42y?4325
④,
∵x为非负整数,∴42y?43
25
≥0,
∴y≥43
42
,
∴43
42≤y≤42
9
,
∵y为非负整数,
∴y=2,34,
当y=2时,x=41
25
,不符合题意,
当y=3时,x=83
25
,不符合题意,
当y=4时,x=5,则z=6,
∴第二时段返现金额为50×3x+30×2y+10×4z=10(15×5+6×4+4×6)=1230(元),
故答案为:1230.
设第一时段摸到红球x次,摸到黄球y次,摸到绿球z次,(x,y,z均为非负整数),则第一时段返现(50x+30y+
10z),根据“第三时段返现金额比第一时段多420元”,得出z=42?9y,进而确定出y≤42
9
,再根据“三个时
段返现总金额为2510元”,得出25x=42y?43,进而得出43
42≤y≤42
9
,再将满足题意的y的知代入④,计算
x,进而得出x,z,即可得出结论.
此题主要考查了三元一次不定方程,审清题意,找出相等关系,确定出y的范围是解本题的关键.15.【答案】3150名
【解析】解:8400×150
400
=3150(名).
答:估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名.
故答案为:3150名.
用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案.
本题主要考查样本估计总体,熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键.
16.【答案】解:(1)设甲公司有x人,则乙公司有(x+30)人,
依题意,得:100000
x ×7
6
=140000
x+30
,
解得:x=150,
经检验,x=150是原方程的解,且符合题意,
∴x+30=180.
答:甲公司有150人,乙公司有180人.
(2)设购买A种防疫物资m箱,购买B种防疫物资n箱,
依题意,得:15000m +12000n =100000+140000,
∴m =16?4
n.
又∵n ≥10,且m ,n 均为正整数, ∴{
m =8n =10,{m =4
n =15
, ∴有2种购买方案,方案1:购买8箱A 种防疫物资,10箱B 种防疫物资;方案2:购买4箱A 种防疫物资,15箱B 种防疫物资.
【解析】(1)设甲公司有x 人,则乙公司有(x +30)人,根据乙公司的人均捐款数是甲公司的7
6倍,即可得出关于x 的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设购买A 种防疫物资m 箱,购买B 种防疫物资n 箱,根据总价=单价×数量,即可得出关于m ,n 的二元一次方程组,再结合n ≥10且m ,n 均为正整数,即可得出各购买方案.
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)找准等量关系,正确列出二元一次方程.
17.【答案】解:(1)不同意,虽然可用某地区一路口的摩托车骑乘人员佩戴头盔情况来估计该地区的摩托车骑乘人
员佩戴头盔情况,但是,只用6月3日的来估计,具有片面性,不能代表该地区的真实情况,可用某地区一路口一段时间内的平均值进行估计,就比较客观、具有代表性.
(2)通过对折线统计图中,摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔的百分比的变化情况,可以得出:电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行宣传,毕竟这5天,其佩戴的百分比增长速度较慢,且数值减低; (3)由题意得,72
72+m =45%,解得,m =88, 答:统计表中的m 的值为88人.
【解析】(1)6月3日的情况估计总体情况具有片面性,不具有普遍性和代表性; (2)通过数据对比,得出答案;
(3)根据6月2日的电动自行车骑行人员佩戴头盔情况进行计算即可.
本题考查折线统计图的意义和制作方法,理解数量之间的关系是解决问题的前提.
18.【答案】118×(1+26)=2?16 2n?1n+2×(1+2n )=2?1
n
【解析】解:(1)第6个等式:11
8×(1+2
6)=2?1
6; (2)猜想的第n 个等式:2n?1
n+2×(1+2
n )=2?1
n . 证明:∵左边=
2n?1n+2
×
n+2n
=
2n?1n
=2?1
n =右边,
∴等式成立.
故答案为:11
8×(1+2
6
)=2?1
6
;2n?1
n+2
×(1+2
n
)=2?1
n
.
(1)根据题目中前5个等式,可以发现式子的变化特点,从而可以写出第6个等式;
(2)把上面发现的规律用字母n表示出来,并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值,进而得到左右相等便可.
本题考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现式子的变化特点,写出相应的等式,并证明猜想的正确性.
19.【答案】解:(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果=500?10×(55?50)=450千克;
(2)设每千克水果售价为x元,
由题意可得:8750=(x?40)[500?10(x?50)],
解得:x1=65,x2=75,
答:每千克水果售价为65元或75元;
(3)设每千克水果售价为m元,获得的月利润为y元,
由题意可得:y=(m?40)[500?10(m?50)]=?10(m?70)2+9000,
∴当m=70时,y有最大值为9000元,
答:当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大值为9000元.
【解析】(1)由月销售量=500?(销售单价?50)×10,可求解;
(2)设每千克水果售价为x元,由利润=每千克的利润×销售的数量,可列方程,即可求解;
(3)设每千克水果售价为m元,获得的月利润为y元,由利润=每千克的利润×销售的数量,可得y与x的关系式,有二次函数的性质可求解.
本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系,并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质.
20.【答案】解:(1)312是“好数”,因为3,1,2都不为0,且3+1=4,6能被2整除,
675不是“好数”,因为6+7=13,13不能被5整除;
(2)611,617,721,723,729,831,941共7个,理由:
设十位数数字为a,则百位数字为a+5(0 ∴a+a+5=2a+5, 当a=1时,2a+5=7, ∴7能被1,7整除, ∴满足条件的三位数有611,617, 当a=2时,2a+5=9, ∴9能被1,3,9整除, ∴满足条件的三位数有721,723,729, 当a=3时,2a+5=11, ∴11能被1整除, ∴满足条件的三位数有831, 当a=4时,2a+5=13, ∴13能被1整除, ∴满足条件的三位数有941, 即满足条件的三位自然数为611,617,721,723,729,831,941共7个. 【解析】(1)根据“好数”的意义,判断即可得出结论;