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高中数学公式定理定律概念大全

第一章集合与简易逻辑１集合的概念与运算

1.1 集合的有关概念

（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。

（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法；（4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作φ；（5）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ?A ；（6）常用数集：

自然数集：N ；正整数集：*N 或N +；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。 *N N Z Q R ????

1.2 子集

（1）定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集；记作：A ?B ，

注意：A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ

（2）性质：①A A A ??φ,；②若C B B A ??,，则C A ?；③若A B B A ??,则A =B ； 1.3 真子集

（1）定义：A 是B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ?；（2）性质：①,A A φφ≠?；②若,A B B C ??，则A C ?； 1.4 补集：

（1）定义：记作：},|{A x U x x A C U ?∈=且；

（2）性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，， φ； 1.5 交集与并集

（1）交集：{|,且}A B x x A x B =∈∈

性质：①φφ== A A A A , ②若B B A = ，则A B ? （2）并集：{|,或}A B x x A x B =∈∈

性质：①A A A A A ==φ , ②若B B A = ，则B A ? 1.6 集合运算中常用结论

（1）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . （

）

U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?=

（3）含n 个元素的集合的所有子集有n

2个

2 一元二次不等式的解法 2.1 一元一次不等式的解法

通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b

x a

>；若0a <,则b

x a

；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈?。如：已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

,(--∞，则关于x 的不等式

0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）

2.2 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系:

2.4 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？

二次方程2

0ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。如（1）不等式

32ax >+

的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18

）；（2）若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<

()1,(+∞--

-∞n

m ）；（3）不等式23210x b x -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：?）。

2.5 常用等价转换

含参数的不等式ax 2＋b x ＋c>0恒成立问题?含参不等式ax 2

＋b x ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况。３绝对值不等式的解法

（1）去绝对值的方法：定义、等价转换、平方

（2）当0>a 时，a x >||的解集是{|,或}x x a x a <->，a x <||的解集是

}|{a x a x <<-

（

）

当

>c 时，

||,或a x b c a x b c a x

+>?+<-+>， c b ax c c b ax <+<-?<+||

注：“＞”取两边，“＜”取中间

（4）含两个绝对值的不等式：零点分段讨论法：例：2|12||3|>++-x x （5）绝对值的几何意义：数轴上的距离，例：|1||2|3x x -+-≤

4 简易逻辑

4.1 命题的有关概念

（1）命题：可以判断真假的语句；逻辑联结词：或、且、非；

（2）简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题；

三种形式：p 或q 、p 且q 、非p ；（3）判断复合命题真假：

（1）思路：①确定复合命题的结构，②判断构成复合命题的简单命题的真假，

③利用真值表判断复合命题的真假；

（2）真值表：p 或q ，同假为假，否则为真；p 且q ，同真为真；非p ，真假相反。如：在下列说法中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；④“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：①③） 4.2 四种命题

（1）命题的四种形式：

原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若?p 则?q ；逆否命题：若?q 则?p ；注意：

①互为逆否的两个命题是等价的；

②“命题的否定”与“否命题”；

“命题的否定”不是简单的否定结论

③在写出一个含有“或”、

要注意“非或即且，非且即或”。

（2）反证法步骤：

假设结论不成立→推出矛盾→否定假设。

（3）充分条件与必要条件：

若q p ?，则p 叫q 的充分条件；若q p ?，则p 叫q 的必要条件；

若q p ?，则p 叫q 的充要条件；

（4）利用集合之间的包含关系判断命题之间的充要关系

设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ①若A B ?，则p 是q 成立的充分条件； ②若A B =，则p 是q 的充要条件；

③若A B ?，则p 是q 的充分不必要条件；

④若,且A B B A ??，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

第二章函数

1、函数的定义：

（1）映射的定义：

(2) 一一映射的定义：

上面是映射的是___（一）（二）__________,是一一映射的是___（二）_____。 (3)函数的定义：定义1 给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，

都有唯一的一个数M y ∈与它相对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作

M D f →:， (1)

.y x

数集D 称为函数f 的定义域，x 所对应的数y ，称为f 在点x 的函数值，常记为)(x f ．

)}(),(|{)(M D x x f y y D f ?∈==称为函数f 的值域．

(1)中第一式“M D →”表示按法则f 建立数集D 到M 的函数关系；第二式“y x ”表示这两个数集中元素之间的对应关系，也可记为“)(x f x ”．习惯上，我们称此函数关系中的x 为自变量，y 为因变量．

（4）在函数定义中，对每一个D x ∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为单值函数．若同一个x 值可以对应多于一个的y 值，则称这种函数为多值函数．在本书

范围内，我们只讨论单值函数． 2、函数的性质

（1）定义域：（2）值域：

（3）奇偶性（在整个定义域内考虑） ①定义：

②判断方法：Ⅰ.定义法步骤：a.求出定义域； b.判断定义域是否关于原点对称； c.求)(x f -； d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 Ⅱ图象法 ③已知：)()()(x g x f x H =

若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相同，则在公共定义域内)(x H 为偶函数

若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相反，则在公共定义域内)(x H 为奇函数 ④常用的结论：若)(x f 是奇函数，且定义域∈0，则)1()1(0)0(f f f -=-=或；

若)(x f 是偶函数，则)1()1(f f =-；反之不然。

（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑） ①定义：

②证明函数单调性的方法：

Ⅰ.定义法步骤： a.设2121,x x A x x <∈且； b.作差)()(21x f x f -；

（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出） c.判断正负号。 ③求单调区间的方法：

a.定义法：

b. 图象法：

c.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：

若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数；若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

④一些有用的结论：

a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；

b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；

c.在公共定义域内

增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

d.函数)0,0(>>+

=b a x

ax y 在(][)

+∞-∞-,,ab ab 或上单调递增；在[)(]

ab ab ，或00,-

上是单调递减。

（5）函数的周期性

定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 3、函数的图象

3.1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、

（5）对数函数、（6）三角函数。

3.2、图象的变换（1）平移变换

①函数y=f(x+a),(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x 轴向左个单位得到的移a ； ②函数y=f(x+a),(a<0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x 轴向右平个单位得到的移a ； ③函数y=f(x)+a,(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y 轴向上平个单位得到的移a ； ④函数y=f(x)+a,(a<0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y 轴向下平个单位得到的移a 。（2）对称变换

①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称；

②如果函数y=f(x)对于一切,R x ∈都有f(x+a)=f(a-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线a x =对称。

如果函数y=f(x)对于一切,R x ∈都有f(x+a)=f(b-x)，那么y=f(x) 的图象关于直线2

a b

x +=对称。

③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线x=0对称。函数)(x a f y +=与函数y=f(b-x)的图象关于直线x =

b a

-对称

④)(x f y =→)(x f y =

⑤)(x f y =→)(x f y =

⑥)(1

x f