1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N+)Z Q R
2.集合间的基本关系
关系自然语言符号语言Venn图
子集集合A中所有元素都在集合B中(即
若x∈A,则x∈B)
A?B(或B?A)
真子集集合A是集合B的子集,且集合B
中至少有一个元素不在集合A中
A B(或
B A)
集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B
互为子集
A=B
3.
运算自然语言符号语言Venn图
交集由属于集合A且属于集合B的
所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集由所有属于集合A或属于集合
B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集由全集U中不属于集合A的所
有元素组成的集合
?U A={x|x∈U且x?A}
【知识拓展】
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1. 2.A?B?A∩B=A?A∪B=B.
3.A∩?U A=?;A∪?U A=U;?U(?U A)=A.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.(×)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(×)
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.(×)
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.(√)
(5)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.(√)
(6)若A∩B=A∩C,则B=C.(×)
1.(教材改编)若集合A ={x ∈N |x ≤10},a =22,则下列结论正确的是( ) A .{a }?A B .a ?A C .{a }∈A D .a ?A 答案 D
解析 由题意知A ={0,1,2,3},由a =22,知a ?A .
2.(教材改编)设A ={x |x 2-4x -5=0},B ={x |x 2=1},则A ∪B 等于( ) A .{-1,1,5} B .{-1,5} C .{1,5} D .{-1} 答案 A
解析 ∵A ={-1,5},B ={-1,1}, ∴A ∪B ={-1,1,5}.
3.已知集合A ={x |x 2-x -2≤0},集合B 为整数集,则A ∩B 等于( ) A .{-1,0,1,2} B .{-2,-1,0,1} C .{0,1} D .{-1,0} 答案 A
解析 因为A ={x |x 2-x -2≤0}={x |-1≤x ≤2},又因为集合B 为整数集,所以集合A ∩B ={-1,0,1,2},故选A. 4.(2019·天津)已知集合A ={1,2,3,4},B ={y |y =3x -2,x ∈A },则A ∩B 等于( ) A .{1} B .{4} C .{1,3} D .{1,4} 答案 D
解析 因为集合B 中,x ∈A ,所以当x =1时,y =3-2=1; 当x =2时,y =3×2-2=4; 当x =3时,y =3×3-2=7; 当x =4时,y =3×4-2=10; 即B ={1,4,7,10}.
又因为A ={1,2,3,4},所以A ∩B ={1,4}.故选D.
5.已知集合A ={1,3,m },B ={3,4},A ∪B ={1,2,3,4},则m =________. 答案 2
解析 ∵A ∪B ={1,3,m }∪{3,4}={1,2,3,4}, ∴2∈{1,3,m },∴m =2.
题型一 集合的含义
例1 (1)(2017·石家庄调研)已知集合A ={x |x ∈Z ,且
3
2-x
∈Z },则集合A 中的元素个数为( ) A .2 B .3 C .4 D .5
(2)若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =________.
答案 (1)C (2)0或9
8
解析 (1)∵3
2-x
∈Z ,∴2-x 的取值有-3,-1,1,3,
又∵x ∈Z ,∴x 值分别为5,3,1,-1, 故集合A 中的元素个数为4.
(2)若a =0,则A =????
??
23,符合题意;
若a ≠0,则由题意得Δ=9-8a =0,解得a =9
8
.
综上,a 的值为0或9
8
.
思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合;(2)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
(1)(2019·临沂模拟)已知A ={x |x =3k -1,k ∈Z },则下列表示正确的是( )
A .-1?A
B .-11∈A
C .3k 2
-1∈A (k ∈Z ) D .-34?A
(2)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=???
?
??0,b a ,b ,则b -a =________.
答案 (1)C (2)2
解析 (1)∵k ∈Z ,∴k 2∈Z ,∴3k 2-1∈A .
(2)因为{1,a +b ,a }=?
??
?
??0,b a ,b ,a ≠0,
所以a +b =0,得b
a
=-1,
所以a =-1,b =1,所以b -a =2. 题型二 集合的基本关系
例2 (1)(2019·唐山一模)设A ,B 是全集I ={1,2,3,4}的子集,A ={1,2},则满足A ?B 的B 的个数是( ) A .5 B .4 C .3 D .2
(2)已知集合A ={x |x 2-2 017x +2 016<0},B ={x |x 解析 (1)∵{1,2}?B ,I ={1,2,3,4}, ∴满足条件的集合B 有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. (2)由x 2-2 017x +2 016<0,解得1 又B ={x |x 可得a ≥2 016. 引申探究 本例(2)中,若将集合B 改为{x |x ≥a },其他条件不变,则实数a 的取值范围是____________. 答案 (-∞,1] 解析 A ={x |1 可得a ≤1. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题. (1)已知集合A ={x ∈R |x 2+x -6=0},B ={x ∈R |ax -1=0},若B ?A ,则实数a 的值为( ) A.13或-12 B .-13或12 C.13或-12或0 D .-13或12 或0 (2)已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1 解析 (1)由题意知A ={2,-3}. 当a =0时,B =?,满足B ?A ; 当a ≠0时,ax -1=0的解为x =1 a , 由B ?A ,可得1a =-3或1 a =2, ∴a =-13或a =1 2 . 综上,a 的值为-13或1 2 或0. (2)当B =?时,有m +1≥2m -1,则m ≤2; 当B ≠?时,若B ?A ,如图, 则???? ? m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1, 解得2 A.????-3,-32 B.? ???-3,32 C.????1,32 D.???? 32,3 (2)(2019·浙江)已知集合P ={x ∈R |1≤x ≤3},Q ={x ∈R |x 2≥4},则P ∪(?R Q )等于( ) A .[2,3] B .(-2,3] C .[1,2) D .(-∞,-2]∪[1,+∞) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由A ={x |x 2-4x +3<0}={x |1 B ={x |2x -3>0}={x |x >3 2 }, 得A ∩B ={x |3 2 ∴P ∪(?R Q )=[1,3]∪(-2,2)=(-2,3]. 命题点2 利用集合的运算求参数 例4 (1)设集合A ={x |-1≤x <2},B ={x |x 2 C .a ≥-1 D .a >-1 (2)集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .4 答案 (1)D (2)D 解析 (1)因为A ∩B ≠?,所以集合A ,B 有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a >-1. (2)由题意可得{a ,a 2}={4,16},∴a =4. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示;集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)(2019·山东)设集合A ={y |y =2x ,x ∈R },B ={x |x 2-1<0},则A ∪B 等于( ) A .(-1,1) B .(0,1) C .(-1,+∞) D .(0,+∞) (2)已知集合A ={x |x 2-x -12≤0},B ={x |2m -1 解析 (1)∵A ={y |y >0},B ={x |-1 (2)由x 2-x -12≤0,得(x +3)(x -4)≤0,即-3≤x ≤4,所以A ={x |-3≤x ≤4}.又A ∩B =B ,所以B ?A . ①当B =?时,有m +1≤2m -1,解得m ≥2. ②当B ≠?时,有???? ? -3≤2m -1,m +1≤4, 2m -1 解得-1≤m <2. 综上,m 的取值范围为[-1,+∞). 题型四 集合的新定义问题 例5 若对任意的x ∈A ,1x ∈A ,则称A 是“伙伴关系集合”,则集合M ={-1,0,1 2 ,1,2}的所有非空子集中,具有伙伴 关系的集合的个数为________. 答案 7 解析 具有伙伴关系的元素组有-1;1;2和1 2 共三组,它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合,所以非 空伙伴关系集合分别为{1},{-1},{12,2},{-1,1},{-1,12,2},{1,12,2},{-1,1,1 2 ,2},共7个. 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质. 定义一种新的集合运算△:A △B ={x |x ∈A ,且x ?B }.若集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2≤x ≤4},则按运 算△,B △A 等于( ) A .{x |3 答案 B 解析 A ={x |1 1.集合关系及运算 典例 (1)已知集合A ={1,3,m },B ={1,m },A ∪B =A ,则m 等于( ) A .0或 3 B .0或3 C .1或 3 D .1或3或0 (2)设集合A ={0,-4},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,x ∈R }.若B ?A ,则实数a 的取值范围是________. 错解展示 解析 (1)由A ∪B =A 得B ?A ,∴m =3或m =m , 故m =3或m =0或m =1. (2)∵B ?A ,讨论如下: ①当B =A ={0,-4}时,???? ? Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)>0,-2(a +1)=-4, a 2-1=0, 解得a =1. ②当B A 时,由Δ=0得a =-1, 此时B ={0}满足题意, 综上,实数a 的取值范围是{1,-1}. 答案 (1)D (2){1,-1} 现场纠错 解析 (1)A ={1,3,m },B ={1,m },A ∪B =A ,故B ?A ,所以m =3或m =m ,即m =3或m =0或m =1,其中m =1不符合题意,所以m =0或m =3,故选B. (2)因为A ={0,-4},所以B ?A 分以下三种情况: ①当B =A 时,B ={0,-4},由此知0和-4是方程x 2+2(a +1)x +a 2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 ???? ? Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)>0,-2(a +1)=-4,a 2-1=0, 解得a =1; ②当B ≠?且B A 时,B ={0}或B ={-4}, 并且Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)=0, 解得a =-1,此时B ={0}满足题意; ③当B =?时,Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)<0, 解得a <-1. 综上所述,所求实数a 的取值范围是(-∞,-1]∪{1}. 答案 (1)B (2)(-∞,-1]∪{1} 纠错心得 (1)集合的元素具有互异性,参数的取值要代入检验. (2)当两个集合之间具有包含关系时,不要忽略空集的情况. 1.(2019·四川)设集合A ={x |-2≤x ≤2},Z 为整数集,则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A .3 B .4 C .5 D .6 答案 C 解析 由题意可知,A ∩Z ={-2,-1,0,1,2},则A ∩Z 中的元素的个数为5.故选C. 2.设集合A ={2,3,4},B ={2,4,6},若x ∈A 且x ?B ,则x 等于( ) A .2 B .3 C .4 D .6 答案 B 解析 因为x ∈A 且x ?B ,所以x =3,故选B. 3.已知集合A ={x |1 A .[13,+∞) B .[0,13) C .(-∞,0] D .[0,+∞) 答案 D 解析 ∵A ∩B =?, ①若2m ≥1-m ,即m ≥1 3时,B =?,符合题意; ②若2m <1-m ,即m <1 3 时, 需满足????? m <13,1-m ≤1 或????? m <13, 2m ≥3, 解得0≤m <13或?,即0≤m <13 . 综上,实数m 的取值范围为[0,+∞). 4.(2017·潍坊调研)已知全集U =R ,集合A ={1,2,3,4,5},B ={x ∈R |x ≥2},则下图中阴影部分所表示的集合为( ) A .{0,1} B .{1} C .{1,2} D .{0,1,2} 答案 B 解析 因为A ∩B ={2,3,4,5},而图中阴影部分为A 去掉A ∩B ,所以阴影部分所表示的集合为{1}. 5.若集合A ={(1,2),(3,4)},则集合A 的真子集的个数是( ) A .16 B .8 C .4 D .3 答案 D 解析 集合A 中有两个元素,则集合A 的真子集的个数是22-1=3. 6.已知集合A ={x |x 2-x -2<0},B ={x |-1 解析 因为A ={x |x 2-x -2<0}={x |-1 解析 由题意知,A ={x |y =lg(x -x 2)}={x |x -x 2>0}=(0,1),B ={x |x 2-cx <0,c >0}=(0,c ).由A ?B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1. 8.(2017·浙江)已知集合 P ={x |x 2-2x ≥0},Q ={x |1<x ≤2},则(? R P )∩Q 等于( ) A .[0,1) B .(0,2] C .(1,2) D .[1,2] 答案 C 解析 ∵P ={x |x ≥2或x ≤0},?R P ={x |0<x <2}, ∴(?R P )∩Q ={x |1<x <2},故选C. 9.设集合Q ={x |2x 2-5x ≤0,x ∈N },且P ?Q ,则满足条件的集合P 的个数是( ) A .3 B .4 C .7 D .8 答案 D 解析 因为Q ={x |2x 2-5x ≤0,x ∈N }={x |0≤x ≤5 2 ,x ∈N }={0,1,2}, 所以满足P ?Q 的集合P 的个数是23=8,故选D. *10.设集合M =??????x |m ≤x ≤m +34,N =???? ?? x |n -13≤x ≤n ,且M ,N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集,如果把b -a 叫作集合 {x |a ≤x ≤b }的“长度”,那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512 答案 C 解析 由已知,可得????? m ≥0,m +34≤1,即0≤m ≤14;????? n -13≥0,n ≤1, 即13 ≤n ≤1,取m 的最小值0,n 的最大值1,可得M =????0,34,N =????23,1,所以M ∩N =????0,34∩????23,1=????23,34,此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34-23=1 12,故选C. 11.已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为__________. 答案 -3 2 解析 ∵3∈A ,∴m +2=3或2m 2+m =3. 当m +2=3,即m =1时,2m 2+m =3,此时集合A 中有重复元素3, 不符合集合的互异性,舍去; 当2m 2+m =3时,解得m =-3 2 或m =1(舍去), 当m =-32时,m +2=12≠3,符合题意,∴m =-3 2 . 12.(2017·南阳月考)设全集U =R ,集合A ={x |y =x 2-2x -3},B ={y |y =e x +1},则A ∪B =__________. 答案 (-∞,-1]∪(1,+∞) 解析 因为A ={x |x ≥3或x ≤-1},B ={y |y >1}, 所以A ∪B ={x |x >1或x ≤-1}. 13.已知集合A ={x |x 2-2x +a >0},且1?A ,则实数a 的取值范围是__________. 答案 (-∞,1] 解析 ∵1?{x |x 2-2x +a >0},∴1∈{x |x 2-2x +a ≤0},即1-2+a ≤0,∴a ≤1. 14.已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是________. 答案 5 解析 当x =0,y =0时,x -y =0; 当x =0,y =1时,x -y =-1; 当x =0,y =2时,x -y =-2; 当x =1,y =0时, x -y =1; 当x =1,y =1时,x -y =0; 当x =1,y =2时, x -y =-1; 当x =2,y =0时,x -y =2; 当x =2,y =1时, x -y =1; 当x =2,y =2时,x -y =0. 根据集合中元素的互异性知,B 中元素有0,-1,-2,1,2,共5个. 15.已知集合A ={x |4≤2x ≤16},B =[a ,b ],若A ?B ,则实数a -b 的取值范围是________. 答案 (-∞,-2] 解析 集合A ={x |4≤2x ≤16}={x |22≤2x ≤24}={x |2≤x ≤4}=[2,4], 因为A ?B ,所以a ≤2,b ≥4,所以a -b ≤2-4=-2, 即实数a -b 的取值范围是(-∞ ,- 2]. 1.四种命题及相互关系 2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ,则p 是q 的充分条件,同时q 是p 的必要条件; (2)如果p ?q ,但q ?p ,则p 是q 的充分不必要条件; (3)如果p ?q ,且q ?p ,则p 是q 的充要条件; (4)如果q ?p ,且p ?q ,则p 是q 的必要不充分条件; (5)如果p ?q ,且q ?p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 【知识拓展】 从集合角度理解充分条件与必要条件 若p 以集合A 的形式出现,q 以集合B 的形式出现,即A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 (1)若A ?B ,则p 是q 的充分条件; (2)若A ?B ,则p 是q 的必要条件; (3)若A =B ,则p 是q 的充要条件; (4)若A B ,则p 是q 的充分不必要条件; (5)若A B ,则p 是q 的必要不充分条件; (6)若A B 且A ?B ,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x 2+2x -3<0”是命题.( × ) (2)命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ,则綈q ”.( × ) (3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.( √ ) (4)当q 是p 的必要条件时,p 是q 的充分条件.( √ ) (5)当p 是q 的充要条件时,也可说成q 成立当且仅当p 成立.( √ ) (6)若p 是q 的充分不必要条件,则綈p 是綈q 的必要不充分条件.( √ ) 1.下列命题为真命题的是( ) A .若1x =1 y ,则x =y B .若x 2=1,则x =1 C .若x =y ,则x =y D .若x 2.(教材改编)命题“若x 2>y 2,则x >y ”的逆否命题是( ) A .若x 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x 2>y 2,则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ,则x 2≤y 2”. 3.(教材改编)“(x -1)(x +2)=0”是“x =1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由(x -1)(x +2)=0可得x =1或x =-2, ∵{1}{1,-2}, ∴“(x -1)(x +2)=0”是“x =1”的必要不充分条件. 4.(2019·北京)设a ,b 是向量,则“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若|a |=|b |成立,则以a ,b 为邻边构成的四边形为菱形,a +b ,a -b 表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a +b |=|a -b |不一定成立;反之,若|a +b |=|a -b |成立,则以a ,b 为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a |=|b |不一定成立,所以“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的既不充分也不必要条件. 5.(教材改编)下列命题: ①“x =2”是“x 2-4x +4=0”的必要不充分条件; ②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件; ③“sin α=sin β”是“α=β”的充要条件; ④“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件. 其中为真命题的是________.(填序号) 答案 ②④ 题型一 命题及其关系 例1 (2019·潍坊一模)有下列四个命题: ①若“xy =1,则x ,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题; ③“若m ≤1,则x 2-2x +m =0有实数解”的逆否命题; ④“若A ∩B =B ,则A ?B ”的逆否命题. 其中真命题为( ) A .①② B .②③ C .①④ D .①②③ 答案 D 解析 ①的逆命题:“若x ,y 互为倒数,则xy =1”是真命题;②的否命题:“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题;③的逆否命题:“若x 2-2x +m =0没有实数解,则m >1”是真命题;命题④是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.故选D. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p ,则q ”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. (1)命题“若x >0,则x 2>0”的否命题是( ) A .若x >0,则x 2≤0 B .若x 2>0,则x >0 C .若x ≤0,则x 2≤0 D .若x 2≤0,则x ≤0 (2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A .不拥有的人们会幸福 B .幸福的人们不都拥有 C .拥有的人们不幸福 D .不拥有的人们不幸福 答案 (1)C (2)D 题型二 充分必要条件的判定 例2 (1)(2017·四川)设a ,b 都是不等于1的正数,则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 (2)已知条件p :x >1或x <-3,条件q :5x -6>x 2,则綈p 是綈q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 (1)B (2)A 解析 (1)∵3a >3b >3,∴a >b >1,此时log a 3 2 ,b = 1 3 时,log a 3 所以q ?p ,p ?q ,所以綈p ?綈q ,綈q ?綈p , 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件,故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法:根据p ?q ,q ?p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据p ,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. (1)(2019·四川)设p :实数x ,y 满足x >1且y >1,q :实数x ,y 满足x +y >2,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 (2)已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案(1)A(2)A 解析(1)当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p?q, 当x+y>2时,可以x=-1,y=4,即q?p, 故p是q的充分不必要条件. (2)(等价法)因为p:x+y≠-2,q:x≠-1或y≠-1, 所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1且y=-1, 因为綈q?綈p但綈p?綈q, 所以綈q是綈p的充分不必要条件, 即p是q的充分不必要条件,故选A. 题型三 充分必要条件的应用 例3 已知P ={x |x 2-8x -20≤0},非空集合S ={x |1-m ≤x ≤1+m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,求m 的取值范围. 解 由x 2-8x -20≤0,得-2≤x ≤10, ∴P ={x |-2≤x ≤10}, 由x ∈P 是x ∈S 的必要条件,知S ?P . 则???? ? 1-m ≤1+m ,1-m ≥-2, ∴0≤m ≤3.1+m ≤10, ∴当0≤m ≤3时,x ∈P 是x ∈S 的必要条件,即所求m 的取值范围是[0,3]. 引申探究 1.本例条件不变,问是否存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件,则P =S , ∴????? 1-m =-2,1+m =10, 方程组无解, 即不存在实数m ,使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 2.本例条件不变,若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ={x |-2≤x ≤10}, ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件, ∴P ?S 且S ?P . ∴[-2,10][1-m,1+m ]. ∴????? 1-m ≤-2,1+m >10或? ???? 1-m <-2,1+m ≥10. ∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)已知命题p :a ≤x ≤a +1,命题q :x 2-4x <0,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是 ________________. (2)已知命题p :-4 解析 (1)令M ={x |a ≤x ≤a +1},N ={x |x 2-4x <0}={x |0 ???? a >0,a +1<4,解得00成立,得2 所以綈p :x ≤a -4或x ≥a +4,綈q :x ≤2或x ≥3, 又綈p 是綈q 的充分条件,所以? ???? a -4≤2, a +4≥3, 解得-1≤a ≤6,故答案为[-1,6]. 1.等价转化思想在充要条件中的应用 典例 (1)(2019·湖北七校联考)已知p ,q 是两个命题,那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 (2)已知条件p :x 2+2x -3>0;条件q :x >a ,且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ,则a 的取值范围是( ) A .[1,+∞) B .(-∞,1] C .[-1,+∞) D .(-∞,-3] 思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题,在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化. 解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ,q 都为真命题”,且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”,所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由x 2+2x -3>0,得x <-3或x >1,由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ,可知綈p 是綈q 的充分不必要条件,等价于q 是p 的充分不必要条件. ∴{x |x >a }{x |x <-3或x >1},∴a ≥1. 答案 (1)A (2)A 1.命题“若α=π 4,则tan α=1”的否命题是( ) A .若α≠π 4,则tan α≠1 B .若α=π 4 ,则tan α≠1 C .若tan α≠1,则α≠π 4 D .若tan α≠1,则α=π 4 答案 A 2.命题“如果x ≥a 2+b 2,那么x ≥2ab ”的逆否命题是( ) A .如果x 解析 命题“若p ,则q ”的逆否命题是“若綈q ,则綈p ”,“≥”的否定是“<”.故答案C 正确. 3.(2019·山东重点中学模拟)已知命题p :“正数a 的平方不等于0”,命题q :“若a 不是正数,则它的平方等于0”,则q 是p 的( ) A .逆命题 B .否命题 C .逆否命题 D .否定 答案 B 解析 命题p :“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题. 4.(2017·重庆)“x >1”是“log 12 (x +2)<0”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由x >1?x +2>3?log 12 (x +2)<0,log 12 (x +2)<0?x +2>1?x >-1,故“x >1”是“log 12 (x +2)<0”成立的充 分不必要条件.故选B. 5.(2019·山东)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线a 和直线b 相交,则平面α和平面β相交; 若平面α和平面β相交,那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交,故选A. 6.已知集合A ={x ∈R |1 2 <2x <8},B ={x ∈R |-1 范围是( ) A .{m |m ≥2} B .{m |m ≤2} C .{m |m >2} D .{m |-2 解析 A ={x ∈R |1 2 <2x <8}={x |-1 ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A , ∴A B ,∴m +1>3, 即m >2,故选C. 7.设U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ?C ,B ??U C ”是“A ∩B =?”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由Venn 图易知充分性成立.反之,A ∩B =?时,由Venn 图(如图)可知,存在A =C ,同时满足A ?C ,B ??U C . 故“存在集合C 使得A ?C ,B ??U C ”是“A ∩B =?”的充要条件. 8.函数f (x )=? ???? log2x ,x >0, -2x +a ,x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A .a <0 B .0 2 C.1 2 解析 因为函数f (x )过点(1,0),所以函数f (x )有且只有一个零点?函数y =-2x +a (x ≤0)没有零点?函数y =2x (x ≤0)与直线y =a 无公共点.由数形结合,可得a ≤0或a >1. 观察选项,根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1},故选A. 9.设a ,b 为正数,则“a -b >1”是“a 2-b 2>1”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 ∵a -b >1,即a >b +1. 又∵a ,b 为正数, ∴a 2>(b +1)2=b 2+1+2b >b 2+1,即a 2-b 2>1成立,反之,当a =3,b =1时,满足a 2-b 2>1,但a -b >1不成立.所以“a -b >1”是“a 2-b 2>1”的充分不必要条件. 10.有三个命题: ①“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的逆命题; ②“若a >b ,则a 2>b 2”的逆否命题; ③“若x ≤-3,则x 2+x -6>0”的否命题. 其中真命题的序号为____________. 答案 ① 解析 命题①为“若x ,y 互为相反数,则x +y =0”是真命题;因为命题“若a >b ,则a 2>b 2”是假命题,故命题②是假命题;命题③为“若x >-3,则x 2+x -6≤0”,因为x 2+x -6≤0?-3≤x ≤2,故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题. 11.给定两个命题p 、q ,若綈p 是q 的必要不充分条件,则p 是綈q 的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 ∵綈p 是q 的必要不充分条件,∴q ?綈p 但綈p ?q ,其逆否命题为p ?綈q 但綈q ? p ,所以p 是綈q 的充分不必要条件. 12.若x 解析 由已知易得{x |x 2-2x -3>0}{x |x ???? -1 答案 [3 2 ,+∞) 解析 若数列a n =n 2-2λn (n ∈N *)为递增数列,则有a n +1-a n >0,即2n +1>2λ对任意的n ∈N *都成立,于是可得3>2λ,即λ<32 . 故所求λ的取值范围是[3 2 ,+∞). *14.(2019·贵州七校联考)以下四个命题中,真命题的个数是________. ①“若a +b ≥2,则a ,b 中至少有一个不小于1”的逆命题; ②存在正实数a ,b ,使得lg(a +b )=lg a +lg b ; ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”; ④在△ABC 中,A 解析 ①原命题的逆命题为:若a ,b 中至少有一个不小于1,则a +b ≥2,而a =2,b =-2满足条件a ,b 中至少有一个不小于1,但此时a +b =0,故①是假命题;②根据对数的运算性质,知当a =b =2时,lg(a +b )=lg a +lg b ,故②是真命题;③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”,故③是真命题;④根据题意,结合边角的转换,以及正弦定理,可知A *15.已知集合A ={y |y =x 2-32x +1,x ∈[3 4 ,2]},B ={x |x +m 2≥1},若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件,求实数m 的取值 范围. 解 y =x 2-3 2x +1 =(x -34)2+716, ∵x ∈[34,2],∴7 16≤y ≤2. ∴A ={y |7 16 ≤y ≤2}. 由x +m 2≥1,得x ≥1-m 2, ∴B ={x |x ≥1-m 2}. ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件, ∴A ?B ,∴1-m 2≤7 16 , 解得m ≥34或m ≤-3 4 , 故实数m 的取值范围是(-∞,-34]∪[3 4 ,+∞). 1.命题p ∧q ,p ∨q ,綈p 的真假判断 p q p ∧q p ∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词和存在量词 量词名词 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ? 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ? 3.全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M 中任意一个x ,有p (x )成立 ?x ∈M ,p (x ) 特称命题 存在M 中的一个x 0,使p (x 0)成立 ?x 0∈M ,p (x 0) 4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ?x ∈M ,p (x ) ?x 0∈M ,綈p (x 0) ?x 0∈M ,p (x 0) ?x ∈M ,綈p (x ) 【知识拓展】 1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p ∨q :p 、q 中有一个为真,则p ∨q 为真,即有真为真; (2)p ∧q :p 、q 中有一个为假,则p ∧q 为假,即有假即假; (3)綈p :与p 的真假相反,即一真一假,真假相反. 2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p ∧q 为假命题,则命题p 、q 都是假命题.( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题.( √ ) (3)若命题p 、q 至少有一个是真命题,则p ∨q 是真命题.( √ ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题,则命题p ,q 中至少有一个是真命题.( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题.( × ) (6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × ) 1.已知命题p :对任意x ∈R ,总有|x |≥0;q :x =1是方程x +2=0的根.则下列命题为真命题的是( ) A .p ∧(綈q ) B .(綈p )∧q C .(綈p )∧(綈q ) D .p ∧q 答案 A 解析 命题p 为真命题,命题q 为假命题,所以命题綈q 为真命题,所以p ∧(綈q )为真命题,故选A. 2.已知命题p ,q ,“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 解析 綈p 为真知p 为假,可得p ∧q 为假;反之,若p ∧q 为假,则可能是p 真q 假,从而綈p 为假,故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件,故选A. 3.(教材改编)下列命题中, 为真命题的是( ) A .?x ∈R ,-x 2-1<0 B .?x 0∈R ,x 20+x 0 =-1 C .?x ∈R ,x 2-x +1 4 >0 D .?x 0∈R ,x 20+2x 0+2<0 答案 A 4.设命题p :?x ∈R ,x 2+1>0,则綈p 为( ) A .?x 0∈R ,x 20+1>0 B .?x 0∈R ,x 20 +1≤0 C .?x 0∈R ,x 20 +1<0 D .?x ∈R ,x 2+1≤0 答案 B 解析 全称命题的否定,要对结论进行否定,同时要把全称量词换成存在量词,故命题p 的否定为“?x 0∈R ,x 20+1≤0”,故选B. 5.(2017·山东)若“?x ∈??? ?0,π 4,tan x ≤m ”是真命题,则实数m 的最小值为________. 答案 1 解析 ∵函数y =tan x 在??? ?0,π 4上是增函数, ∴y max =tan π 4 =1. 依题意,m ≥y max ,即m ≥1. ∴m 的最小值为1. 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1 (1)已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x >0;q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A .p ∧q B .(綈p )∧(綈q ) 《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上,贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2,且d 1 d 2 =6,则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇:解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0),则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3,则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点,若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60,则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴,y 轴交于A , B 两点,点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ,则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2,过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1 8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为() D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ,B 两点,则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点,贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点(1,0)且垂直于 轴,若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1(a 0)的离心率为 a 4 -1,则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中,经过三点( 0,0) 1),( 2,0)的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F (c,0)到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中,A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0),以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0,则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P (0,1),椭圆^+y 2=m (m>1)上两点A ,B 满足AP =2"P B ,则 4 当m= 时,点B 横坐标的绝对值最大. (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0 ≤x<3} (D) {x|0 ≤x ≤3} (C) { x -1≤ x ≤1} (D) { x -1≤ x < 1} 3. ( 2010辽宁文)(1)已知集合 U 1,3,5,7,9 , A 1,5,7 ,则C U A 7. ( 2010山东文)(1)已知全集 U R ,集合 M x x 2 4 0 ,则 C U M = A. x 2 x 2 B. x 2 x 2 C . x x 2或 x 2 D. x x 2或 x 2 2 8. ( 2010北京理)(1) 集合 P {x Z 0 x 3},M {x Z x 2 9},则 PI M = 第一章 集合与常用逻辑用 语 一、选择题 1. ( 2010浙江理)(1)设 P={x ︱x <4},Q={x ︱ x 2 <4},则 A ) p Q B )Q P ( C ) p CR Q (D ) Q CR P 2. (2010 陕西文) 1. 集合 A ={x -1≤ x ≤2}, B ={ x x<1},则 A ∩B =( (A){ x x< 1} B ){x -1≤ x≤2} A ) 1,3 B ) 3,7,9 C ) 3,5,9 D ) 3,9 4. ( 2010辽宁理) 1.已知 A ,B 均为集合 U={1,3,5,7,9} 的子集,且 A ∩B={3}, eu (A ){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 5. ( 2010 江 西 理 ) 2. 若 集 合 A= x| x 1, x R , A. x| 1 x 1 B. x|x 0 C. x|0 x 1 D. 6. ( 2010浙江文)(1)设 P {x|x 1}, Q {x|x 2 4},则 P Q (A) {x| 1 x 2} (B) {x| 3 x 1} (C) { x|1 x 4} (D) {x| 2 x 1} 2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 本试卷共4页,21题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1?答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相 应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2?选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3?非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4?作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5?考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 4 , 参考公式:球的体积V= R ,其中R为球的半径. 3 1 锥体的体积公式为V = —Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。 3 一组数据X1, X2,…,X n 的标准差S二j2[(X1 X)2(X2 X)2 L (X n X)2],其中X 表示这组数据的平均数。 一?选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 3 4i 1. 设i为虚数单位,则复数i A. 4 3i B. 4 3i C. 4 3i D. 4 3i 2. 设集合U={1.2. 3. 4. 5.6} , M={1.3.5},则e U M = A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U uuu uuu UULT 3.若向量AB(1,2) , BC(3,4),则AC A. (4.6) B. (-4,-6) C. (-2, -2) D. (2, 2) 4.下列函数为偶函数的是 选修4-5不等式选讲 1.两个实数大小关系的基本事实 a>b?________;a=b?________;ab,那么________;如果________,那么a>b.即a>b?________. (2)传递性:如果a>b,b>c,那么________. (3)可加性:如果a>b,那么____________. (4)可乘性:如果a>b,c>0,那么________;如果a>b,c<0,那么________. (5)乘方:如果a>b>0,那么a n________b n(n∈N,n>1). (6)开方:如果a>b>0,那么n a________ n b(n∈N,n>1). 3.绝对值三角不等式 (1)性质1:|a+b|≤________. (2)性质2:|a|-|b|≤________. 性质3:________≤|a-b|≤________. 4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集 (2)|ax+b|≤c (c>0)和|ax+b| ①|ax+b|≤c?______________; ②|ax+b|≥c?______________. (3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 5.基本不等式 (1)定理:如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. (2)定理(基本不等式):如果a ,b >0,那么a +b 2________ab ,当且仅当________时,等号成 立.也可以表述为:两个________的算术平均________________它们的几何平均. (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ,y , ①如果它们的和S 是定值,则当且仅当________时,它们的积P 取得最________值; ②如果它们的积P 是定值,则当且仅当________时,它们的和S 取得最________值. 6.三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ,b ,c 均为正数,那么a +b +c 3________3 abc ,当且仅当________时,等号 成立. 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均. (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均__________它们的几何平均,即 a 1+a 2+…+a n n ________n a 1a 2…a n , 当且仅当________________时,等号成立. 7.柯西不等式 (1)设a ,b ,c ,d 均为实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立. (2)设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3,…,b n 是实数,则(a 21+a 22+…+a 2n )(b 21+b 22+…+b 2 n )≥(a 1b 1 +a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0(i =1,2,…,n )或存在一个数k ,使得a i =kb i (i =1,2,…,n )时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k ,使α=k β时,等号成立. 8.证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a -b >0,a b ,只要证明________即可,这种方法称为求差比较法. ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0,b >0,因此当a >0,b >0时要证明a >b ,只要证明________即可,这 种方法称为求商比较法. 2014年高考数学文科分类------集合与简易逻辑 (安徽)2命题“0||,2 ≥+∈?x x R x ”的否定是( ) A.0||,2<+∈?x x R x B. 0||,2≤+∈?x x R x C. 0||,2000<+∈?x x R x D. 0||,2000≥+∈?x x R x 北京1.若集合{}0,1,2,4A =,{}1,2,3B =,则A B =I ( ) A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 5.设a 、b 是实数,则“a b >”是“22a b >”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 (福建卷)1若集合}42|{<≤=x x P ,}3|{≥=x x Q ,则=Q P I 等于( ) A .}43|{<≤x x B .}43|{< 专题1:集合 【考试要求】 1、集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。 (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法和描述法)描述不同的具体集合。 2、集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义。 3、集合的基本运算 (1)理解两个集合并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集和交集。 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。 (3)能用Venn 图表达集合的关系及运算。 【知识要点】 1、元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:、、。 (2)集合中元素与集合的关系: 2、集合间的基本关系: 思考:a {}a ;?{0};?{}? 感悟:正确理解集合的含义,正确使用集合的基本符号。 3、集合的基本运算 是任何非空集A ??,?B(B ≠?) 4、常用的结论 (1))()()(B C A C B A C U U ?=?B)(C )()(U ?=?A C B A C U (2)A B A B ??= ;A B A B ??= 【考点精练】 考点一:集合的有关概念 1、已知集合2{2013,10122013,2012}A a a a =+-+,且2013A ∈,求实数a 的取值集合。 变式:已知集合{,,1}b a a 与集合2{,,0}a a b +相等,求20132013a b +的值。 2、用适当的符号填空:已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈,则由:17A ;5-A ;17B 。 3、设集合{1,1,3}A =-,2{2,4}B a a =++,则{3}A B = 时,实数a 的值为。 考点二:集合间的基本关系 1、设全集为R ,集合{|21}M x y x ==+,2 {|}N y y x ==-,则( ) A 、M N ? B 、N M ? C 、M N = D 、{(1,1)}M N =-- 2、设集合{(,)|46}A x y x y =+=,{(,)|327}B x y x y =+=,则满足()C A B ? 的集合C 的个数是( )A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、若x A ∈,则 1A x ∈,就称A 是伙伴关系的集合,集合11 {1,0,,,1,2,3}32 M =-的所有非空子集中具有伙伴关系的集合各数是。 4、设2 {|8150}A x x x =-+=,{|10}B x ax =-= (1)若1 5 a =,试判定集合A 与B 的关系;(2)若B A ?,求实数a 组成的集合C 。 第一章集合与函数的概念 一、选择题 1 .设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= ( ) A .{1,2,3,4,6} B .{1,2,3,4,5} C .{1,2,5} D .{1,2} 2 .设集合A ={x |1 2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. (1)【2015年广东,文1,5分】若集合{}1,1M =-,{}2,1,0N =-,则M N =( ) (A ){}0,1- (B ){}0 (C ){}1 (D ){}1,1- 【答案】C 【解析】{}1M N =,故选C . (2)【2015年广东,文2】已知i 是虚数单位,则复数()2 1i +=( ) (A )-2 (B )2 (C )2i - (D )2i 【答案】D 【解析】22(1i)12i i 2i +=++=,故选D . (3)【2015年广东,文3,5分】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) (A )2sin y x x =+ (B )2cos y x x =- (C )1 22 x x y =+ (D )sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】()()()2 22sin sin sin x x x x x x -+-=-≠±+,所以非奇非偶,对于B ,函数定义域为R ,关于原点对 称.()2 2cos()cos x x x x ---=-,故为偶函数;对于C ,函数定义域为R ,关于原点对称,因为 1()222 2x x x x f x -=+ =+,所以()22()x x f x f x --=+=,故为偶函数;D 中函数的定义域为R ,关于原点对称,且sin 2()(sin 2)x x x x -+-=-+,故为奇函数,故选A . (4)【2015年广东,文4,5分】若变量x ,y 满足约束条件2204x y x y x +≤?? +≥??≤? ,则23z x y =+的最大值为( ) (A )10 (B )8 (C )5 (D )2 【答案】C 【解析】在平面直角坐标系中画图,作出可行域,可得该可行域是由()2,2-,()4,4-, ()4,1- 组成的三角形.由于该区域是封闭的,可以通过分别代这三个个边界点进行检验,易 知当4x =,1y =-时,2z x y =+取得最大值5.本题也可以通过平移直线2 3 y x =-, 当直线233 z y x =-+经过()4,1-时,截距达到最大,即z 取得最大值5,故选C . (5)【2015年广东,文5,5分】设ABC ?的内角A ,B , C 的对边分别为a ,b ,c .若2a = ,c = cos A =,且b c <,则b =( ) (A (B )2 (C ) (D )3 【答案】B 【解析】由余弦定理得:222a b c =+2cos bc A - ,所以24122b b =+-?,即2680b b -+=,解得2b =或 4b =.因为b c <,所以2b =,故选B . (6)【2015年广东,文6,5分】若直线1l 和2l 是异面直线,1l 在平面α内,2l 在平面β内,l 是平面α与平面β 的交线,则下列命题正确的是( ) (A )l 至少与1l ,2l 中的一条相交 (B )l 与1l ,2l 都相交 (C )l 至多与1l ,2l 中的一条相交 (D )l 与1l ,2l 都不相交 【答案】 A 选修4-4 坐标系与参数方程 1.极坐标系 (1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O ,叫做________,从O 点引一条射线Ox ,叫做________,再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个极坐标系. 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________,记为ρ,以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标,记作M (ρ,θ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x =______,y =________. 另一种关系为ρ2=________,tan θ=________. 2.简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ=α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线; ρcos θ=a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线; ρsin θ=b 表示过??? ?b ,π 2且平行于极轴的直线; ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1)表示过(ρ1,θ1)且与极轴成α角的直线方程. (2)圆的极坐标方程 ρ=2r cos θ表示圆心在(r,0),半径为|r |的圆; ρ=2r sin θ表示圆心在????r ,π 2,半径为|r |的圆; ρ=r 表示圆心在极点,半径为|r |的圆. 3.曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变量t 的函数? ???? x =f (t ), y =g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,则称上式为该曲线的________________,其中变量t 称为________. 4.一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0,y 0),且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数). (2)圆的方程(x -a )2+(y -b )2=r 2的参数方程为________________________(θ为参数). (3)椭圆方程x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数). (4)抛物线方程y 2=2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数). 1.在极坐标系中,直线ρsin(θ+π 4 )=2被圆ρ=4截得的弦长为________. 2.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________. 3.已知点P (3,m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x =4t 2 , y =4t (t 为参数)上,则PF =________. 4.直线? ???? x =-1+t sin 40° ,y =3+t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________. 5.已知曲线C 的参数方程是? ???? x =3t , y =2t 2 +1(t 为参数).则点M 1(0,1),M 2(5,4)在曲线C 上的是________. 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ-π 3)=1,M ,N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点. (1)写出C 的直角坐标方程,并求M 、N 的极坐标; 概率 1.(2019全国II文4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只 兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A.2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 2.(2019全国III文3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 A.1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3.(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 4.(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7 5.(2017新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.1 4 B. 8 π C. 1 2 D. 4 π 6.(2017新课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 7.(2017天津)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A .45 B .35 C .25 D .15 8.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰 好选中2名女生的概率为 . 9.(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4 人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 10.(2017江苏)记函数()f x =的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个 数x ,则x D ∈ 的概率是 . 11.(2018北京)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 12.(2018天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M 发生的概率. 13.(2017新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求 模块 知识点考查内容了解理解集合的含义、元素与集合的属于关系√列举法、描述法√包含于相等的含义√识别给定集合子集√全集于空集√并集于交集的含义与运算√补集的含义与运算√韦恩图表达集合的关系与运算√简单函数定义域和值域,了解映射√图像法、列表法、解析法表示函数√分段函数√函数单调性、最值及几何意义√函数奇偶性√函数图像研究函数性质指数函数模型背景√有理、实数指数幂、幂的运算指数函数概念、单调性√指数函数图像√对数的概念与运算√换底公式、自然对数、常用对数√对数函数的概念、单调性√对数函数的图像指数函数与对数函数互为反函数√幂函数的概念√幂函数的图像√二次函数、零点与方程的根√一元二次方程根的存在性及跟的个数√集合图像,用二分法求近似解指、对、幂函数的增长特征√函数模型的应用√柱、锥、台的结构特征√三视图√斜二测画法和直观图√平行、中心投影√三视图和直观图√球、柱、锥、台的表面积和体积公式√线面的位置关系定义√线面平行的判定 √面面平行的判定 √线面垂直的判定 √面面垂直的判定 √线面平行的性质 √面面平行的性质 √线面垂直的性质 √面面垂直的性质 √ 用已获结论证明空间几何体中的位置关系点、线、面位置关系集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数指数函数对数函数知识要求集合 函数概念 与基本初 等函数1 立体几何初步幂函数函数与方程函数模型及应用空间几何体 结合图形,确定直线位置关系的几何要素√直线倾斜角和斜率的概念√过两点的直线斜率计算公式√判定直线平行或垂直√点斜式、两点式、一般式√斜截式与一次函数的关系√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式√ 点到直线的距离公式两条平行线间的距离公式√圆的几何要素,标准方程和一般方程判断直线与圆的位置关系应用直线与圆的方程√代数方法处理几何问题的思想√空间直角坐标表示点的位置√空间两点间的距离公式√算法的含义与思想√顺序、条件分支、循环逻辑结构√基本算法语句输入、输出、赋值、条件、循环语句√简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√样本频率分布表、频率分布直方图、折线图√茎叶图√标准差的意义和作用√平均数和标准差√用样本估计总体的思想√会画散点图,认识变量间的相关关系√最小二乘法,线性回归方程√频率和概率的意义√互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其计算公式√随机事件所含的基本事件数及发生的概率√随机数的意义,运用模拟方法估计概率√几何概型的意义√任意角的概念√弧度制的概念、弧度与角度的互化√正弦、余弦、正切的定义√单位圆的三角函数线√诱导公式√三角函数的图像√ 三角函数的周期性√ 正余弦函数的单调性、最值、对称 中心 √正切函数性质 √同角三角函数的基本关系式 √正弦型函数的参数对图像变化的影响√向量的实际背景√ 平面向量的概念√ 向量的实际背景用样本估计总体变量的相关性事件与概率几何概型任意角的概念、弧度制三角函数直线与方程 圆的方程空间直角坐标系算法的含义、程序框图随机抽样统计 基本初等函数2平面解析几何初步算法初步 (2017 高考文科数学)2016-4-30 讲义一数列 一、高考趋势 1、考纲要求 (1).了解数列的概念和几种简单的表示方法( 列表、图像、通项公式 ) .(2).了解数列是自变量为正整数的一类函数. (3).理解等差数列的概念. (4).掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式. (5).了解等差数列与一次函数的关系. (6).理解等比数列的概念. (7).掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式. (8).能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.(9).了解等比数列与指数函数的关系. 2、命题规律 数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12 分。考察形式一般有两种,第一种是选择 题+填空题的形式,第二种是解答题的形式。并且全国文科卷解答题第一 题是数列和三角函数二选一。因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且 拿到满分”的“高期待值”题。 1 二、基础知识 +典型例题 1、等差数列的概念与运算 (1).等差数列的定义 如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. (2).等差数列的通项公式 如果等差数列 { a n 的首项 为 a 1 ,公差为 d,则它的通项公 式是( n N ) } a n a1 (n 1)d . (3).等差中项 a b 如果 A ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 2 (4).等差数列的前n 项和 等差数列 { a n 的 前 项和公 式: n(n 1) n(a 1 a n ) N )n S n na1 d ( n } 2 2 (5).等差数列的判定通常有两种方法: ①第一种是利用定义,an- an- 1= d(常数 ) (n≥2), ②第二种是利用等差中项,即2an= an+ 1+an- 1 (n≥ 2). [ 来源学科网] 背诵知识点一: ( 1)等差数列的通项公式:a n a1(n 1)d( n N ) (2)等差中项: a,b,c构成等差数列,则 a c 2b ( 3)等差数列的前n 项和: S n na1n(n 1) d n(a1a n )(n N ) 2 2 绝密★启用前 试卷类型:B 2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、若集合{}1,1M =-,{}2,1,0N =-,则M N =( ) A .{}0,1- B .{}0 C .{}1 D .{}1,1- 2、已知i 是虚数单位,则复数()2 1i +=( ) A .2- B .2 C .2i - D .2i 3、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A .2sin y x x =+ B .2cos y x x =- C .1 22 x x y =+ D .sin 2y x x =+ 4、若变量x ,y 满足约束条件2204x y x y x +≤?? +≥??≤? ,则23z x y =+的最大值为( ) A .10 B .8 C .5 D .2 5、设C ?A B 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2a =,23c =,3cos 2 A =,且b c <,则b =( ) A .3 B .2 C .22 D .3 6、若直线1l 和2l 是异面直线,1l 在平面α内,2l 在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( ) A .l 至少与1l ,2l 中的一条相交 B .l 与1l ,2l 都相交 C .l 至多与1l ,2l 中的一条相交 D .l 与1l ,2l 都不相交 7、已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( ) A .0.4 B .0.6 C .0.8 D .1 8、已知椭圆22 2125x y m +=(0m >)的左焦点为()1F 4,0-,则m =( ) A .9 B .4 C .3 D .2 9、在平面直角坐标系x y O 中,已知四边形CD AB 是平行四边形,()1,2AB =-,()D 2,1A =,则D C A ?A =( ) A .2 B .3 C .4 D .5 10、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且, (){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则()()card card F E +=( ) A .50 B .100 C .150 D .200 二、填空题(本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.) (一)必做题(11~13题) 11、不等式2340x x --+>的解集为 .(用区间表示) 12、已知样本数据1x ,2x ,???,n x 的均值5x =,则样本数据121x +,221x +,???,21n x +的均值为 . 13、若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中526a =+,526c =-,则b = . (二)选做题(14、15题,考生只能从中选作一题) 14、(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系x y O 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-,曲线2C 的参数 方程为2 22x t y t ?=??=??(t 为参数),则1C 与2C 交点的直角坐标为 . 15、(几何证明选讲选做题)如图1,AB 为圆O 的直径,E 为AB 的延长线上一点,过E 作圆O 的切线,切点为C ,过A 作直线C E 的垂线,垂足为D . 若 2013年高考解析分类汇编16:选修部分 一、选择题 1 .(2013年高考大纲卷(文4))不等式 222x -<的解集是 ( ) A .()-1,1 B .()-2,2 C .()()-1,00,1U D .()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ,所以?????->-<-222222 x x ,所以402 < 高考文科数学重要考点大全 一 考点一:集合与简易逻辑 集合部分一般以选择题出现,属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的 试题加强了对集合计算化简能力的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力。在解决这 些问题时,要注意利用几何的直观性,并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查 有两种形式:一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用 逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。 考点二:函数与导数 函数是高考的重点内容,以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数一次和二次函数、指数、对数、幂函数的应用等,分值约为10分,解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的 运算与导数的几何意义,另一方面考查导数的简单应用,如求函数的单调区间、极值与最 值等,通常以客观题的形式出现,属于容易题和中档题,三是导数的综合应用,主要是和 函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现,如一些不等式恒成立问题、参数 的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。 考点三:三角函数与平面向量 一般是2道小题,1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等,另一 道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用,可能就是一道 和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目,也可能是考查平面向 量为主的试题,要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概 念及应用,向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合,解决角度、垂直、 共线等问题是“新热点”题型. 考点四:数列与不等式 不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基 本不等式的应用等,通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解 析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、 性质、通项公式、求和公式等的灵活应用,一道解答题大多凸显以数列知识为工具,综合 运用函数、方程、不等式等解决问题的能力,它们都属于中、高档题目. 考点五:立体几何与空间向量2018年高考文科数学分类汇编:专题九解析几何
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