第三节 函数的奇偶性与周期性
1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )
A ．y ＝2|x|
B ．y ＝lg(|x|＋x 2＋1)
C ．y ＝2x ＋2－x
D ．y ＝ln 1x －1
解析：因为y ＝ln 1x －1的定义域为{x|x ＞1}，不关于原点对称，所以y ＝ln 1x －1
是非奇非偶函数．故选D.
答案：D
2．设函数f(x )(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x ＋2)＝f(x)，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )
解析：由f(－x)＝f(x)得y ＝f(x)是偶函数，所以函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由f(x ＋2)＝f(x)得y ＝f(x)是周期为2的周期函数，选项D 的图象的最小正周期是4，不符合，选项B 的图象的最小正周期是2.故选B.
答案：B
3．已知函数y ＝f(x)＋x 3
为偶函数，且f(10)＝10，若函数g(x)＝f(x)＋4，则g(－10)＝( )
A ．2 012
B ．2 013
C ．2 014
D ．2 015
解析：因为y ＝f(x)＋x 3是偶函数，所以f(－x)＋(－x)3＝f(x)＋x 3，即f(－x)＝f(x)＋2x 3，所以g(－10)＝f(－10)＋4＝f(10)＋2·103＋4＝2 014.故选C.
答案：C
4．已知实数a≠0，函数f(x)＝?????2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a 的值为( )
A ．－35 B.35 C ．－34 D.34
解析：由题意得函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减．因为f(1－a)＝f(1＋a)且1－a≠1＋a ，所以1－a ，1＋a 应分别在分段函数的两段上，则当a ＜0时，
因为1－a ＞1＋a ，所以f(1－a)＝f(1＋a)?2(1＋a)＋a ＝－(1－a)－2a ?a ＝－34
；当a ＞0时，1－a ＜1＜1＋a ，所以f(1－a)＝f(1＋a)?2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ?a ＝－32
(不符合题意，舍去)，综上所述，a ＝－34
，故选C. 答案：C
5. 函数f(x)＝|x 3＋1|＋|x 3
－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是
( )
A ．(－a ，－f(a))
B ．(a ，f(－a))
C ．(a ，－f(a))
D ．(－a ，－f(－a))
解析：函数的定义域为R ，且满足f(x)＝f(－x)，
∴f(x)为偶函数．
∴f(a)＝f(－a)．而点(a ，f(a))在函数图象上，
∴(a ，f(－a))也在函数图象上．故选B.
答案：B
6．已知函数f(x)＝?????x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f(－a)＋f (a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0) B ．[0，1] C ．[－1，1] D ．[－2，2]
解析：依题意得f(1)＝3，当a ＝0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)成立；当a≠0时，
不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)等价于?
????a ＞0，2（a 2＋2a ）≤6或?????a ＜0，2（a 2－2a ）≤6，由此解得0＜a≤1或－1≤a＜0.综上所述，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)的解集是[－1，1]，故选C.
答案：C
7．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________． 解析：由已知等式得f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)，由f(x ＋2)＝－f(x)得f(2)＝－f(0)，因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.
答案：0
8．已知函数f(x)是R 上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x∈[0，
2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为________．