2012陕西高考理科数学试题和答案(word打印版)

本2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)

理科数学

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的).

1、集合}0lg |{>=x x M

,}4|{2≤=x x N ,则=N M ( )

A .(1,2)

B .[1,2)

C .(1,2]

D .[1,2]

2、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A .1+=

x y B .3x y -= C .x

y 1

=

D .||x x y = 3、设a ,R b ∈,i 是虚数单位,则“0=ab ”是“复数i

b

a +

为纯虚数”的( ) A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件 4、已知圆C :0422

=-+x y x

,l 是过点P (3,0)的直线,则( )

A .l 与C 相交

B .l 与

C 相切 C .l 与C 相离

D .以上三个选项均有可能

5、如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111C B A ABC -,CB CC CA 21==,则直线1BC 与直

线1AB 夹角的余弦值为( ) A .

55 B .35 C .5

5

2 D .53

6、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为甲x ,乙x ,中位数分别为甲m ,乙m ,则( )

A .

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乙甲x x <,乙甲m m > B .乙甲x x <,乙甲m m < C .乙甲x x > ,乙甲m m > D .乙甲

x x >,乙甲m m <

7、设函数x xe x f =)(,则( )

A .1=x

为)(x f 的极大值点 B .1=x 为)(x f 的极小值点

C .1-=x 为)(x f 的极大值点 D. 1-=x 为)(x f 的极小值点

8、两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A .10种 B .15种

C .20种

D .30种

9、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若222

2c b a =+,则C cos 的最小

值为( ) A .

23 B .2

2

C .21

D .21-

10、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计 结果,则图中空白框内应填入( )

A .1000N P =

B .1000

4N

P =

C .1000M P =

D .1000

4M

P =

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共有5小题,每小题5分,共25分)

11、观察下列不等式

2

32112

<+

3

53121122

<++

4

74131211222<+++

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??????

照此规律,第五个...不等式为________________________________. 12、5

)(x a +的展开式中2

x 的系数为10,则实数a 的值为_____.

13、右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽______米. 14、设函数

??

?≤-->=,

0,12,

0,ln )(x x x x x f D 是由x 轴和曲线)(x f y =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则y x z 2-=在D 上的最大值为___ _.

15、(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分

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A.(不等式选做题)若存在实数x 使3|1|||≤-+-x a x 成立,则实数a 的取值范围是__________________.

B.(几何证明选做题)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,

DB EF ⊥,垂足为F ,若6=AB ,1=AE ,则=?DB DF _______.

C.(坐标系与参数方程选做题)直线1cos 2=θ

ρ与圆θρcos 2=相交的弦长为___.

三.解答题:(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)。 16、(本小题满分12分)函数

1)6

sin()(+-=π

ωx A x f (0>A ,0>ω)的最大值为3,其图像

相邻两条对称轴之间的距离为2

π. (Ⅰ)求函数

)(x f 的解析式;

(Ⅱ)设)2,0(π

α∈,2)2

(=α

f ,求α的值.

17、(本小题满分12分)

设}{n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且5a ,3a ,4a 成等差数列. (Ⅰ)求数列}{n a 的公比;

(Ⅱ)证明:对任意+∈N k ,2+k S ,k S ,1+k S 成等差数列.

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(Ⅰ)如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若b a

⊥,则c a ⊥”为真;

(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).

19、(本小题满分12分)

已知椭圆1C :14

22=+y x ,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.

(Ⅰ)求椭圆2C 的方程.

(Ⅱ)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,OA OB 2=,求直 线AB 的方程.

某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客办理业务时计时.

(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;

(Ⅱ)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.

21、(本小题满分14分) 设函数

c bx x x f n n ++=)((+∈N n ,b ,c R ∈)

(Ⅰ)设2≥n ,1=b

,1-=c ,证明:)(x f n 在区间(

2

1

,1)内存在唯一零点; (Ⅱ)设2=n ,若对任意1x ,2x ]1,1[-∈,有4|)()(|2212≤-x f x f ,求b 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设n x 是)(x f n 在(

2

1

,1)内的零点,判断数列2x ,3x , ,n x , 的增减性.

办理业务所需的时间(分)

1 2 3 4 5 频率

0.1

0.4

0.3

0.1

0.1

2012年陕西省高考理科数学试题答案

一、选择题

1. 【解析】{}1>=x x M ,{}22≤≤-=x x N ,则{}

21≤<=?x x N M ,故选C 2. 【解析】选项中是奇函数的有B 、C 、D ,增函数有A 、D ,故选D 3. 【解析】“0ab =”则0=a 或0=b ,“复数b

a i

+为纯虚数”则0=a 且0≠b , 则“0ab =”是“复数b

a i

+

为纯虚数”的必要不充分条件,故选B 4. 【解析】点(3,0)P 在圆内,则l 必与C 相交,故选A 5. 【解析】设1=CB ,则()1,2,21-=AB ,()1,2,01-=BC , 则5

5

,cos 1

11111=

?>=

7. 【解析】()x f x xe =,()1'+=x e f x x ,0>x

e 恒成立,令0'=x

f ,则1-=x

当1-x 时,0'>x f ,函数单调增, 则1x =-为()f x 的极小值点,故选D

8. 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的,所以假设甲赢的情况如下: 若两人进行3场比赛,则情况只有是甲全赢1种情况;

若两人进行4场比赛,第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为31

3=C 种情况; 若两人进行5场比赛,第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为624=C 种情况;

综上,甲赢有10种情况,同理,乙赢有10种情况, 则所有可能出现的情况共20种,故选C

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9. 【解析】21

22cos 2

222222=+-≥-+=

b a

c c ab c b a C ,故选C 10.【解析】M 表示落入扇形的点的个数,1000表示落入正方形的点的个数, 则点落入扇形的概率为1000M , 由几何概型知,点落入扇形的概率为4

π

, 则1000

4M

P =

=π,故选D 二. 填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11. 【答案】6

11

6151413121122222<+++++

【解析】观察不等式的左边发现,第n 个不等式的左边=()

2

2211

31211+++++

n L , 右边=()1112+-+n n ,所以第五个不等式为6

11

6151413121122222<+++++.

12.【答案】1

【解析】∵r r r r x a C T -+=551,令2=r ,则2

3253x a C T =, 又∵2x 的系数为10,则10325=a C ,∴1=a

13.【答案】62

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【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0), 设l 与抛物线的交点为A 、B ,根据题意知A (-2,-2),B (2,-2) 设抛物线的解析式为2ax y =,则有()2

22-?=-a ,

∴21-

=a ,∴抛物线的解析式为2

2

1x y -= 水位下降1米,则y=-3,此时有6=x 或6-=x

∴此时水面宽为62米。 14.【答案】2

【解析】当2>x 时,()x

x f 1

'

=

,()11'=f ,∴曲线在点(1,0)处的切线为1-=x y

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则根据题意可画出可行域D 如右图: 目标函数z x y 2

1

21-=

, 当0=x ,1-=y 时,z 取得最大值2

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A .【答案】42≤≤-a

【解析】|||1|3x a x -+-≤表示在数轴上,a 到1的距离小于等于3,即31≤-a ,则42≤≤-a B .【答案】5

【解析】∵6AB =,则圆的半径为3,连接OD ,则OD=3[来源学+科+网]

又1AE =,则OE=2

在直角三角形OED 中,52

2

2

=-=OE OD ED

根据射影定理,在直角三角形EDB 中,52

==?ED DB DF C .【答案】3

【解析】2cos 1ρθ=是过点??

?

??0,21且垂直于极轴的直线,

2cos ρθ=是以()0,1为圆心,1为半径的圆,则弦长=321122

=??

?

??-.

三、解答题

16.【解析】(Ⅰ)∵函数()f x 的最大值是3,∴13A +=,即2A =。 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2

π

,∴最小正周期T π=,∴2ω=。 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16

f x x π

=-+。

(Ⅱ)∵()2

f α2sin()126π

α=-

+=,即1

sin()62πα-=, ∵02

π

α<<

,∴6

63

π

π

π

α-

<-

<

,∴6

6

π

π

α-

=

,故3

π

α=

17.【解析】(1)设数列{}n a 的公比为q (01q q ≠≠,)。

由534a a a ,,成等差数列,得3542a a a =+,即2431112a q a q a q =+。

由100a q ≠≠,得220q q +-=,解得12q =-,21q =(舍去),所以2q =-。 (2)证法一:对任意k N +∈,

()()21212k k k k k k k S S S S S S S +++++-=-+-

121k k k a a a +++=++ ()11220k k a a ++=+?-=, 所以,对任意k N +∈,21,

,k k k S S S ++成等差数列。

证法二:对任意k N +∈,()12121k k a q S q

-=

-,

21k k S S +++=

()()21111111k k a q a q q

q ++--+

--()

21121k k a q q q

++--=

-,

()()1212121k k k k a q S S S q

++--+=

-()

21121k k a q q q

++---

-

()()211

2121k k k a q q q q ++??=

----?

?-

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()2

1201k a q q q q

=+-=-,

因此,对任意k N +∈,21,

,k k k S S S ++成等差数列。

18. 【解析】(Ⅰ)证法一 如图,过直线b 上一点作平面π的垂线n ,设直线a ,b ,c ,

n 的方向向

量分别是a ,b ,c ,n ,则b ,c ,n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得n b c μλ+=,则)()()(n a b a n b a c a ?+?=+?=?μλμλ, 因为b a ⊥,所以0=?b a ,

又因为π?a ,π⊥n ,所以0=?n a ,故0=?c a ,从而c a ⊥ .

证法二 如图,记A b c =?,P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作π⊥PO ,垂足为O ,则

c O ∈.ππ?⊥a PO , ,∴直线a PO ⊥,又b a ⊥,?b 平面PAO ,P b PO =?,⊥∴a 平面PAO ,又?c 平面PAO , c a ⊥∴.

(Ⅱ)逆命题为:a 是平面π内的一条直线,b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在

π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥.逆命题为真命题

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19. 【解析】(Ⅰ)由已知可设椭圆2

C 的方程为()214

2

22?=+a x a y , 其离心率为23

,故2342=-a a ,则

4=a , 故椭圆2C 的方程为14

162

2=+x y (Ⅱ)解法一 B A , 两点的坐标分别为()()B B A A y x y x ,,,, 由OA AB 2=及(Ⅰ)知,B A O ,,三点共线且点B A ,不在y 轴上, 因此可设直线AB 的方程为kx y =.

将kx y =代入1422=+y x 中,得()

44122=+x k ,所以2

2

414k

x A +=, 将kx y =代入14

1622=+x y 中,得()

1642

2=+x k ,所以22416k x B +=, 又由

OA AB 2=,得2

24A B x x =,即2

24116

416k

k +=+, 解得 1±=k ,故直线AB 的方程为x y =或x y -= 解法二 B A , 两点的坐标分别为()()B B A A y x y x ,,,,

由OA AB 2=及(Ⅰ)知,B A O ,,三点共线且点B A ,不在y 轴上, 因此可设直线AB 的方程为kx y =.

将kx y =代入1422=+y x 中,得()

44122=+x k ,所以2

2

414k

x A +=, 又由OA AB 2=,得22

4116k x B

+=,222

4116k

k y B +=,

将22

,B

B

y x 代入14

1622=+x y 中,得141422

=++k k ,即22414k k +=+, 解得 1±=k ,故直线AB 的方程为x y =或x y -=

20.【解析】设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的Y 的分布如下:

Y 1 2 3 4 5 P

0.1

0.4

0.3

0.1

0.1

(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A 对应三种情形:

① 一个谷歌办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟; ② 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟; ③ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。

所以)2()2()1()3()3()1()(==+==+===Y P Y P Y P Y P Y P Y P A P

22.04.04.01.03.03.01.0=?+?+?=

(2)解法一:X 所有可能的取值为:0,1,2.

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以5.0)2()0(=>==Y P X P ;

X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以

)2()1()1()1(=+>===Y P Y P Y P X P =49.04.09.01.0=+?;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以

01.01.01.0)1()1()2(=?=====Y P Y P X P ;

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

0.5

0.49

0.01

51.001.0249.015.00=?+?+?=EX .

解法二:X 所有可能的取值为0,1,2.

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以

5.0)2()0(=>==Y P X P ;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以

01.01.01.0)1()1()2(=?=====Y P Y P X P ; 49.0)2()0(1)1(==-=-==X P X P X P ;

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

0.5

0.49

0.01

51.001.0249.015.00=?+?+?=EX 。

21. 【解析】(1)1)(2,1,1-+=≥-==x x x f n c b n n 时,

),在(121

)(,01)212

1()1()21(x f f f n n n n ∴

又当,01)()1,2

1(1

'>+=∈-n n nx

x f x 时,

)内存在唯一零点。,在()上是单调递增的,,在(12

1

)(121)(x f x f n n ∴∴

(2)当n=2时,c bx x x f ++=22)(

对任意]1,1[)(4)()(]1,1[,2221221-≤--∈在等价于都有x f x f x f x x 上的最大值与最小值之差

4≤M ,据此分类讨论如下:

(Ⅰ)时,

即当

2,12

>>b b

与题设矛盾,42)1()1(22>=--=b f f M 。

(Ⅱ) 时,即当20,02

-

1-≤<<≤b b

恒成立,4)12

()2()1(222≤+=--=b

b f f M 。

(Ⅲ) 时,即当02-,12

-

0≤≤≤≤b b

恒成立,4)1-2

()2()1-(222≤=--=b

b f f M 。

综上可知,22-≤≤b 。

注:(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下: 用中的较大者表示b a b a ,},max{ 当时,即22-,12

-

1-≤≤≤≤b b

恒成立。

4)2

1()

4

(1)

2

(2)1()1(2)1()1()}

2

(),1(),1(max{22

22222222≤+=+--++=----++-=--=b

c b

b c b f f f f f b

f f f M (3)证法一:设))内的唯一零点(,在(是212

1)(≥n x f x n n ,

)1,2

1(,01)(,01)(1

11

111∈=-+==-+=++++++n n n n n n n n n n n x x x x f x x x f 于是有)(1)(0)(11

111++++++<-+===n n n n n n n n n x f x x x f x f !,

又由(1)知)2(12

1

)(1≥<+n x x x f n n n )上市递增的,故,

在(, 所以,数列是递增数列,.......,....,n 32x x x

证法二:设)内的唯一零点,

在(是12

1

)(x f x n n , 011)111)(1()1()(11111=-+<-+=-+-+=+++++n n

n n n n n n n n n n n x x x x x x f x f ,

则,21,)(111)()内,故在(的零点≥<+++n x x x x x f n n n n n 所以,数列是递增数列,.......,....,n 32x x x

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