本2012年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的).
1、集合}0lg |{>=x x M
,}4|{2≤=x x N ,则=N M ( )
A .(1,2)
B .[1,2)
C .(1,2]
D .[1,2]
2、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A .1+=
x y B .3x y -= C .x
y 1
=
D .||x x y = 3、设a ,R b ∈,i 是虚数单位,则“0=ab ”是“复数i
b
a +
为纯虚数”的( ) A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件 4、已知圆C :0422
=-+x y x
,l 是过点P (3,0)的直线,则( )
A .l 与C 相交
B .l 与
C 相切 C .l 与C 相离
D .以上三个选项均有可能
5、如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111C B A ABC -,CB CC CA 21==,则直线1BC 与直
线1AB 夹角的余弦值为( ) A .
55 B .35 C .5
5
2 D .53
6、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲乙两组数据的平均数分别为甲x ,乙x ,中位数分别为甲m ,乙m ,则( )
A .
乙甲x x <,乙甲m m > B .乙甲x x <,乙甲m m < C .乙甲x x > ,乙甲m m > D .乙甲
x x >,乙甲m m <
7、设函数x xe x f =)(,则( )
A .1=x
为)(x f 的极大值点 B .1=x 为)(x f 的极小值点
C .1-=x 为)(x f 的极大值点 D. 1-=x 为)(x f 的极小值点
8、两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A .10种 B .15种
C .20种
D .30种
9、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,若222
2c b a =+,则C cos 的最小
值为( ) A .
23 B .2
2
C .21
D .21-
10、右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P 表示估计 结果,则图中空白框内应填入( )
A .1000N P =
B .1000
4N
P =
C .1000M P =
D .1000
4M
P =
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共有5小题,每小题5分,共25分)
11、观察下列不等式
2
32112
<+
3
53121122
<++
4
74131211222<+++
??????
照此规律,第五个...不等式为________________________________. 12、5
)(x a +的展开式中2
x 的系数为10,则实数a 的值为_____.
13、右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽______米. 14、设函数
??
?≤-->=,
0,12,
0,ln )(x x x x x f D 是由x 轴和曲线)(x f y =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则y x z 2-=在D 上的最大值为___ _.
15、(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分
)
A.(不等式选做题)若存在实数x 使3|1|||≤-+-x a x 成立,则实数a 的取值范围是__________________.
B.(几何证明选做题)如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,
DB EF ⊥,垂足为F ,若6=AB ,1=AE ,则=?DB DF _______.
C.(坐标系与参数方程选做题)直线1cos 2=θ
ρ与圆θρcos 2=相交的弦长为___.
三.解答题:(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)。 16、(本小题满分12分)函数
1)6
sin()(+-=π
ωx A x f (0>A ,0>ω)的最大值为3,其图像
相邻两条对称轴之间的距离为2
π. (Ⅰ)求函数
)(x f 的解析式;
(Ⅱ)设)2,0(π
α∈,2)2
(=α
f ,求α的值.
17、(本小题满分12分)
设}{n a 是公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且5a ,3a ,4a 成等差数列. (Ⅰ)求数列}{n a 的公比;
(Ⅱ)证明:对任意+∈N k ,2+k S ,k S ,1+k S 成等差数列.
(Ⅰ)如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若b a
⊥,则c a ⊥”为真;
(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).
19、(本小题满分12分)
已知椭圆1C :14
22=+y x ,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.
(Ⅰ)求椭圆2C 的方程.
(Ⅱ)设O 为坐标原点,点A ,B 分别在椭圆1C 和2C 上,OA OB 2=,求直 线AB 的方程.
某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:
从第一个顾客办理业务时计时.
(Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(Ⅱ)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.
21、(本小题满分14分) 设函数
c bx x x f n n ++=)((+∈N n ,b ,c R ∈)
(Ⅰ)设2≥n ,1=b
,1-=c ,证明:)(x f n 在区间(
2
1
,1)内存在唯一零点; (Ⅱ)设2=n ,若对任意1x ,2x ]1,1[-∈,有4|)()(|2212≤-x f x f ,求b 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设n x 是)(x f n 在(
2
1
,1)内的零点,判断数列2x ,3x , ,n x , 的增减性.
办理业务所需的时间(分)
1 2 3 4 5 频率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
2012年陕西省高考理科数学试题答案
一、选择题
1. 【解析】{}1>=x x M ,{}22≤≤-=x x N ,则{}
21≤<=?x x N M ,故选C 2. 【解析】选项中是奇函数的有B 、C 、D ,增函数有A 、D ,故选D 3. 【解析】“0ab =”则0=a 或0=b ,“复数b
a i
+为纯虚数”则0=a 且0≠b , 则“0ab =”是“复数b
a i
+
为纯虚数”的必要不充分条件,故选B 4. 【解析】点(3,0)P 在圆内,则l 必与C 相交,故选A 5. 【解析】设1=CB ,则()1,2,21-=AB ,()1,2,01-=BC , 则5
5
,cos 1
11111=
?>=
7. 【解析】()x f x xe =,()1'+=x e f x x ,0>x e 恒成立,令0'=x f ,则1-=x 当1- 8. 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的,所以假设甲赢的情况如下: 若两人进行3场比赛,则情况只有是甲全赢1种情况; 若两人进行4场比赛,第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为31 3=C 种情况; 若两人进行5场比赛,第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为624=C 种情况; 综上,甲赢有10种情况,同理,乙赢有10种情况, 则所有可能出现的情况共20种,故选C 9. 【解析】21 22cos 2 222222=+-≥-+= b a c c ab c b a C ,故选C 10.【解析】M 表示落入扇形的点的个数,1000表示落入正方形的点的个数, 则点落入扇形的概率为1000M , 由几何概型知,点落入扇形的概率为4 π , 则1000 4M P = =π,故选D 二. 填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11. 【答案】6 11 6151413121122222<+++++ 【解析】观察不等式的左边发现,第n 个不等式的左边=() 2 2211 31211+++++ n L , 右边=()1112+-+n n ,所以第五个不等式为6 11 6151413121122222<+++++. 12.【答案】1 【解析】∵r r r r x a C T -+=551,令2=r ,则2 3253x a C T =, 又∵2x 的系数为10,则10325=a C ,∴1=a 13.【答案】62 【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0), 设l 与抛物线的交点为A 、B ,根据题意知A (-2,-2),B (2,-2) 设抛物线的解析式为2ax y =,则有()2 22-?=-a , ∴21- =a ,∴抛物线的解析式为2 2 1x y -= 水位下降1米,则y=-3,此时有6=x 或6-=x ∴此时水面宽为62米。 14.【答案】2 【解析】当2>x 时,()x x f 1 ' = ,()11'=f ,∴曲线在点(1,0)处的切线为1-=x y 则根据题意可画出可行域D 如右图: 目标函数z x y 2 1 21-= , 当0=x ,1-=y 时,z 取得最大值2 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A .【答案】42≤≤-a 【解析】|||1|3x a x -+-≤表示在数轴上,a 到1的距离小于等于3,即31≤-a ,则42≤≤-a B .【答案】5 【解析】∵6AB =,则圆的半径为3,连接OD ,则OD=3[来源学+科+网] 又1AE =,则OE=2 在直角三角形OED 中,52 2 2 =-=OE OD ED 根据射影定理,在直角三角形EDB 中,52 ==?ED DB DF C .【答案】3 【解析】2cos 1ρθ=是过点?? ? ??0,21且垂直于极轴的直线, 2cos ρθ=是以()0,1为圆心,1为半径的圆,则弦长=321122 =?? ? ??-. 三、解答题 16.【解析】(Ⅰ)∵函数()f x 的最大值是3,∴13A +=,即2A =。 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2 π ,∴最小正周期T π=,∴2ω=。 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16 f x x π =-+。 (Ⅱ)∵()2 f α2sin()126π α=- +=,即1 sin()62πα-=, ∵02 π α<< ,∴6 63 π π π α- <- < ,∴6 6 π π α- = ,故3 π α= 。 17.【解析】(1)设数列{}n a 的公比为q (01q q ≠≠,)。 由534a a a ,,成等差数列,得3542a a a =+,即2431112a q a q a q =+。 由100a q ≠≠,得220q q +-=,解得12q =-,21q =(舍去),所以2q =-。 (2)证法一:对任意k N +∈, ()()21212k k k k k k k S S S S S S S +++++-=-+- 121k k k a a a +++=++ ()11220k k a a ++=+?-=, 所以,对任意k N +∈,21, ,k k k S S S ++成等差数列。 证法二:对任意k N +∈,()12121k k a q S q -= -, 21k k S S +++= ()()21111111k k a q a q q q ++--+ --() 21121k k a q q q ++--= -, ()()1212121k k k k a q S S S q ++--+= -() 21121k k a q q q ++--- - ()()211 2121k k k a q q q q ++??= ----? ?- ()2 1201k a q q q q =+-=-, 因此,对任意k N +∈,21, ,k k k S S S ++成等差数列。 18. 【解析】(Ⅰ)证法一 如图,过直线b 上一点作平面π的垂线n ,设直线a ,b ,c , n 的方向向 量分别是a ,b ,c ,n ,则b ,c ,n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得n b c μλ+=,则)()()(n a b a n b a c a ?+?=+?=?μλμλ, 因为b a ⊥,所以0=?b a , 又因为π?a ,π⊥n ,所以0=?n a ,故0=?c a ,从而c a ⊥ . 证法二 如图,记A b c =?,P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作π⊥PO ,垂足为O ,则 c O ∈.ππ?⊥a PO , ,∴直线a PO ⊥,又b a ⊥,?b 平面PAO ,P b PO =?,⊥∴a 平面PAO ,又?c 平面PAO , c a ⊥∴. (Ⅱ)逆命题为:a 是平面π内的一条直线,b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在 π上的投影,若a b ⊥,则a c ⊥.逆命题为真命题 19. 【解析】(Ⅰ)由已知可设椭圆2 C 的方程为()214 2 22?=+a x a y , 其离心率为23 ,故2342=-a a ,则 4=a , 故椭圆2C 的方程为14 162 2=+x y (Ⅱ)解法一 B A , 两点的坐标分别为()()B B A A y x y x ,,,, 由OA AB 2=及(Ⅰ)知,B A O ,,三点共线且点B A ,不在y 轴上, 因此可设直线AB 的方程为kx y =. 将kx y =代入1422=+y x 中,得() 44122=+x k ,所以2 2 414k x A +=, 将kx y =代入14 1622=+x y 中,得() 1642 2=+x k ,所以22416k x B +=, 又由 OA AB 2=,得2 24A B x x =,即2 24116 416k k +=+, 解得 1±=k ,故直线AB 的方程为x y =或x y -= 解法二 B A , 两点的坐标分别为()()B B A A y x y x ,,,, 由OA AB 2=及(Ⅰ)知,B A O ,,三点共线且点B A ,不在y 轴上, 因此可设直线AB 的方程为kx y =. 将kx y =代入1422=+y x 中,得() 44122=+x k ,所以2 2 414k x A +=, 又由OA AB 2=,得22 4116k x B +=,222 4116k k y B +=, 将22 ,B B y x 代入14 1622=+x y 中,得141422 =++k k ,即22414k k +=+, 解得 1±=k ,故直线AB 的方程为x y =或x y -= 20.【解析】设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,的Y 的分布如下: Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 (1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则时间A 对应三种情形: ① 一个谷歌办理业务所需时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟; ② 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟; ③ 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。 所以)2()2()1()3()3()1()(==+==+===Y P Y P Y P Y P Y P Y P A P 22.04.04.01.03.03.01.0=?+?+?= (2)解法一:X 所有可能的取值为:0,1,2. X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以5.0)2()0(=>==Y P X P ; X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以 )2()1()1()1(=+>===Y P Y P Y P X P =49.04.09.01.0=+?; X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以 01.01.01.0)1()1()2(=?=====Y P Y P X P ; 所以X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 51.001.0249.015.00=?+?+?=EX . 解法二:X 所有可能的取值为0,1,2. X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以 5.0)2()0(=>==Y P X P ; X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,所以 01.01.01.0)1()1()2(=?=====Y P Y P X P ; 49.0)2()0(1)1(==-=-==X P X P X P ; 所以X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 51.001.0249.015.00=?+?+?=EX 。 21. 【解析】(1)1)(2,1,1-+=≥-==x x x f n c b n n 时, ),在(121 )(,01)212 1()1()21(x f f f n n n n ∴-= 内存在零点。 又当,01)()1,2 1(1 '>+=∈-n n nx x f x 时, )内存在唯一零点。,在()上是单调递增的,,在(12 1 )(121)(x f x f n n ∴∴ (2)当n=2时,c bx x x f ++=22)( 对任意]1,1[)(4)()(]1,1[,2221221-≤--∈在等价于都有x f x f x f x x 上的最大值与最小值之差 4≤M ,据此分类讨论如下: (Ⅰ)时, 即当 2,12 >>b b 与题设矛盾,42)1()1(22>=--=b f f M 。 (Ⅱ) 时,即当20,02 - 1-≤<<≤b b 恒成立,4)12 ()2()1(222≤+=--=b b f f M 。 (Ⅲ) 时,即当02-,12 - 0≤≤≤≤b b 恒成立,4)1-2 ()2()1-(222≤=--=b b f f M 。 综上可知,22-≤≤b 。 注:(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下: 用中的较大者表示b a b a ,},max{ 当时,即22-,12 - 1-≤≤≤≤b b 恒成立。 4)2 1() 4 (1) 2 (2)1()1(2)1()1()} 2 (),1(),1(max{22 22222222≤+=+--++=----++-=--=b c b b c b f f f f f b f f f M (3)证法一:设))内的唯一零点(,在(是212 1)(≥n x f x n n , )1,2 1(,01)(,01)(1 11 111∈=-+==-+=++++++n n n n n n n n n n n x x x x f x x x f 于是有)(1)(0)(11 111++++++<-+===n n n n n n n n n x f x x x f x f !, 又由(1)知)2(12 1 )(1≥<+n x x x f n n n )上市递增的,故, 在(, 所以,数列是递增数列,.......,....,n 32x x x 证法二:设)内的唯一零点, 在(是12 1 )(x f x n n , 011)111)(1()1()(11111=-+<-+=-+-+=+++++n n n n n n n n n n n n n x x x x x x f x f , 则,21,)(111)()内,故在(的零点≥<+++n x x x x x f n n n n n 所以,数列是递增数列,.......,....,n 32x x x