新概念力学习题集
第一章
1-1 已知质点沿x 轴作周期性运动，选取某种单位时其坐标x 和t 的数值关系为
t x 6
sin
3π
=，求t=0,3,6,9,12 s 时质点的位移、速度和加速度。
解：位移t x t x x 6
sin
3)0()(π
=-=?，速度t dt dx v 6
cos 2π
π==
，加速度t dt dv a 6
sin 122π
π-==，对于不同的时刻，相应的?x 、v 、a 值见下表（长度单位设为米）
： t (s)
?x (m) v (m/s) a (m/s 2) 0 0 π/2 0 3 3 0 -π2
/12 6 0 -π/2 0 9 -3 0 π2
/12 12
π/2
1-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r =R ( cos ωt i +sin ωt j )
求(1)质点轨迹，(2)速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。
解（1）的圆质点轨迹是圆心在圆点∴=+==,,sin ,cos 2
2
2
R y x t R y t R x ωω
（2） 方向恒指向圆心
)sin (cos )
cos sin (2r j t i t R dt
v d a j t i t R dt
r d v
ωωωωωωω-=+-==+-==
1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数数值形式为
r =4t 2i +(2t +3)t j
求(1)质点轨迹，(2)从t =0到t =1的位移，(3)t =0和t =1两时刻的速度和加速度。
解（1）x y x t y t x 故2
2
)3(,32,4-=+==≥0，y ≥3,质点轨迹为抛物线的一段（见右图）
(2)
6
.264
254.5224,24)0()1(,54)1(,3)0(122==+=+=?+=-=?+==-tg x j i m r j i r r r j i r j r θ轴夹角与大小为 (3) 2
2228)1()1(,28)1(;,/2)0()0(,2)0(/8.8,28+==+========+==v v j i v y s m v v j v x s m a a i dt v d a j i t dt r d v
大小轴正向方向沿大小为
轴正向方向沿
148
2
/721
===-tg x s m α轴夹角方向：与 1-4 站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在?t 1=4.0s 内从他身旁驶过。设火车作匀加速直线运动，问第n 节车厢从他身旁驶过所需的时间间隔?t n 为多少。令n=7，求?t n ．
解：火车初速00=v ，加速度为a ，每节车厢长为l ，第一节车厢经过观测者所需时间为
2
11112
1,4at l l s t t =
===?，第1至n 节车厢经过观察者所需总时间为n t ，显然：
11221
221t n t n t t t l at nl l n n n n ?==?==
=，故第n 节车厢经过者所需时间为： )1(4)1(11--=?--=-=?-n n t n n t t t n n n
令s t n 785.0)67(477=-?=??=
1-5 一球从高度为h 处自静止下落。同时另一球从地面以一定初速度v 0上抛。v 0多大时两球在h ／2处相碰?
解：[法一]：因两球的重力加速度均为g 朝下，故以上球为参照系。两球自出发点至相碰点所费时间为t=
g h (∵22
12gt h =).等价地，相当于下球以gh t
h v =
=0。
[法二]：.,,2212
2100202gh t
h
v h t v g h t h gt t v s h gt s ==∴==????
???
?=-===上下
1-6 一球以初速v 0竖直上抛，t 0 s 后在同一地点以同样速率向上抛出另一小球。两球在多高处相遇?
解：2
2
000200208
122
1/,21,,21gt g v y y t g v t y y gt t v y t t t gt t v y -==∴-='?'=-=+'=-
'='令
1-7 一物体作匀加速直线运动，走过一段距离?s 所用的时间为?t 1，紧接着走过下一段距离
?s 所用的时间为?t 2，试证明，物体的加速度为 2
12
1212t t t t t t s a ?+??-????=
证明：211021t a t v s ?+?=? (1) 2
21210)(2
1)(2t t a t t v s ?+?+?+?=? (2)
)2
1
)(
()2121)((212121021t a t s t t t a t a v t t ?+???+?=?+?+?+?= )()(221211211212t t t t t s t s t t s t a ?+???-??=??-?+??=?? 2
12
1212t t t t t t s a ?+??-????=∴
1-8 路灯距地面的高度为h 1，一身高为h 1的人在路灯下以匀速v 1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v 2 解：112122212,1v dt dx x x h h x x x =-==-
1211
2x h h h x -=∴ 11211121122v v h h h dt dx h h h dt dx v >-=-==?∴==.022dt
dx a 人影的顶端作匀速运动。
1-9 设α为由炮位所在处观看靶子的仰角，β为炮弹的发射角。试证明：若炮弹命中靶点恰为弹道的最高点，则有tan β =2tan α
解：g v y m 2sin 220β= g
v x m 2c o s s i n 221
20ββ=
βββαtg x y tg m m 21
cos sin 212
1===
∴ 或：αβtg tg 2=
1-10 在同一竖直面内的同一水平线上A 、B 两点分别以30?、60?为发射角同时抛出两个小球，欲使两球在各自轨道的最高点相遇，求A 、B 两点之间的距离。已知小球A 的初速为v A0=9.8m/s ．
解： g
v g v y B A m 260sin 230sin 0220220
0==0033A B v v =? (1)
m
g v
v v g x x AB A B A mb mA 83.23
2238.928.9)3
1
23(2)602sin 302sin (21212122
3202020
00=???=-=?-?=-=
1-11 飞机以v 0=100m/s 的速度治水平直线飞行，在离地面高h =98m 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：(1)投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度? 此时目标距飞机在下方地点多远?(2)物品投出1s 后，物品的法向加速度和切向加速度各为多少?
解：（1）??
?
??==????==20021gt y t
v x gt v v v y x 由：g
h
v x s g h t h y 2,20===
?= m s 2.44752008
.98
.92100==??=∴42837764.77)8
.9982100(,210'''==??===
- tg gh v h s tg αα (2) 2
2
222220022
2222
22
0222022/75.918.91001008.9sin /96.018.910018.9cos .
1.s m t g v v g v v g g a s m t g v gt
g v
v g g a s t t g v v v v x n y t y x =?+?=+?=?
===?+?=
+?
=?
===+=+=θθ
又：R
v at g a n 2
2
2
=-=
故t=1s 时的曲率半径为m gv v R 1.1035100
8.9)
18.9100(22203=??+== 1-12 已知炮弹的发射角为θ，初速为v 0，求抛物线轨道的曲率半径随高度的变化。
解： g a gt v v v v y x -=-===,sin cos 0αθθ常数， gy v v v v y x
22
022-=+= 2
3
2
0032
222
222222)2(cos 1 )(221gy v g v gv v v gv v v v g v v g g a a v a v gv v v g v dt dv a x x
y y t n y y
x y t -==?=-=-=-==-=+-==θ
ρρ
1.13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的A 点，下落高度h=0.20m ，斜面与水平夹角
y m
x mB /2
/2
习题1-10
θ=30?．问弹性球第二次碰到斜面的位置B 距A 多远。设弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角。 解：agh v =
0 取 xy 坐标轴如图。 )(2
130sin 60cos 00gt v t g v dt dx v x +=+==
???
?
???
-=+=?-=-==),
21(23)21(21)(2330sin 60cos 202000gt t v y gt t v x gt v t g v dt dy v y
由 m h g v g
v g g v v x AB g v t y 80.020.0442)4212(21
202
0220000=?===?+?==?=?=
1-14 一物体从静止开始作圆周运动。切向加速度a t =3.00m/s 2，圆的半径R=300m ．问经过 多少时间物体的加速度a 恰与半径成40?夹角。
解：R
t a R v a t a v at dt dv t n t 2
22,,.45=====
α此时 s a R
t a a t
n t 1000
.3300
===?=
1-15 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速度为v 0=49.0m/s ，而气球以速度v =19.6m/匀速上升，问气球中的观察者分别在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各为多少？
解：t v v v t gt v v 8.94.29 8.9490-=-=-=-=物测物物
第二章
2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为9.22×10-16g ?cm/s 的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量为5.33×10-16g ?cm/s 的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。
解: 衰变过程是: e v e B A ++→-
. 由动量守衡得 .0=++v e B P P P ∴
./1065.10/1033.522.9161622s cm g s cm g P P e B ??=??+==--==--
方向
: 3022
.933.51
1
===--tg tg θ. 15030180=-=?.
1203090=+=φ.
2-2 质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上。质量为m ，速率为v 0的子弹水平地入射到木块内(见本题图)并与它一起运动。求(1)子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。
解:(1)设木块的速率为v ,由动量守衡:v m M mv )(0+=.
故0v m M m v +=. 木块的动量0v m M Mm mv p +==木.子弹的动量02
v m
M m mv p +==子.
(2)子弹施予木块的动量00v m
M Mm
P I +=-=木木.
2-3 如本题图，已知绳的最大强度T 0=1.00kgfm=500g, l=30.0cm ，开始时m 静止。水平冲量
t(s) V 测物(m/s) 2 9.8 (快) 3 0 （不动） 4
-9.8 （慢）
I 等于多大才能把绳子打断？
解:向心力l m mg T v mg T e v m F ->?->=002
. l m
mg T m I mv I ->?-=00 故s m kg l mg T m I /86.0]
100.30)8.9105008.91(10500[)(2
12330?=????-??=-=---
习题2-4 习题2-3
2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为m 1和m 1，设子弹透过两木块的时间间隔为t 1和t 2。设子弹在木块中所受阻力为恒力f ，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动。
解:当子弹穿出m 1时, m 1与 m 2一起运动,故 1211)m m (v ft +=; 2
11
1m m ft v +=.
当子弹穿出m 2时, 12222v m v m ft -= 2
22112212m ft m m ft m ft v v ++=+
=.
2-5 质量70kg 的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg ．若渔人在船上向船头走4.0m 后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？
解:设人向右走,对岸速度为ｖ人,相对船的速度为ｕ人,船向左行,对岸的速度为ｖ船,,
则ｖ人=-ｖ船+ｕ人.水平方向动量守恒:ｍ船ｖ船-ｍ人(-ｖ船+ｕ人)= (ｍ船 +ｍ人) ｖ船-ｍ人ｕ人=0. 两边积分得:人对船人船人船人
人
船人船S m S m m dt u
m dt v m m t
t
=+?=+??
)()(00
.4.14200
70
m S m m m S =?=
+=?人对船人
船人船 (对岸上) m S S dt u dt v dt v S t
t
t 6.244.10
=+-=+-=+==
?
??人对船船人船人人.(对岸).
2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s ．当两船擦肩相遇时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s ．设甲船空载质量为50kg ，货物质量为60kg ，求乙船质量。
解: m 甲=500kg,m 货=60kg,m 乙 待求.v 0=6.0m/s,v 乙=4.0m/s. 忽略水中阻力,两船作为一个系统,其动量守衡.即: (m 甲+ m 货)v 0-m 乙v 0=m 甲v 0-( m 乙+m 货)v kg m v v v v m 300604
64
600=?-+=-+=
?货乙乙乙.
2-7 三只质量均为M 的小船鱼贯而行，速率均为v ．由中间那只船上同时以水平速率M(相对于船)把两质量均为m 的物体分别抛到前后两只船上。求此后三只船的速率。
解:设前v 、中v 、后v 分别为前、中、后三船的待求速度.u 与v 同向时为正,反之为负,由水平方向的动量守衡定律,有:
前:前中v m M u v m v M )()(+=++
中:()()2(u v m v m v m M M ++-+-+中中中 后:后中v m M u v m v M )()(+=-+ 可推出: 前v =m M m ++
中v = 后v =m
M m
+-
∵u 的正方向与v 同向,∴三船的速率分别为:
u m M m v v ++
=前,v v =中,u m
M m
v v +-=后
2-8 一质量为M 的有轨板车上有N 个人，各人质量均为m ．开始时板车静止。(1)若所有人一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为u ，求跳离后车子的速度；(2)若N 个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为u ，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？ 解:(1)设车子的速度为车v ,由水平方向的动量守恒得:
u Nm
M Nm
v u v Nm M +-=?=++车车0)( (1)
(2)第一人跳:Nm
M m
m m N M +-=?=++-+1110)(])1([车车车 (2)
第二人跳: 122])1([)(])2([车车车v m N M u v m v m N M -+=++-+
()u m
N M Nm M m u m N M m v v )1(1
1[112-+++-=-+-=?车车(3)
最后一个人跳: 1)()(-+=++N N N v m M u v m v M 车车车
u m
M m
m M m m N M Nm
M m u
m M m v v N N ]2)1(11[1+++++-+++-=+-=?- 车车
这是车子最后速度的表达式. (3)比较(1)式和(4)式,显然有
N >.即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,能使车
子最后获得更大的动能.但若各个人的相对车的速率不是u,则结论刚好相反.参见3-26题.
2-9 一炮弹以速率v 0和仰角θ0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块(见本题图)，其中一块以速率v 1铅垂下落，求另一块的速率v 2及速度与水平方向的夹角(忽略空气阻力)。 解:炮弹在最高点时00cos θv v x =,0=y v .
在爆炸瞬间,内力>>重力，即外力可忽略不计，故此时动量守衡： mv mv mv v v m x yx x =+=+)(2
121.
即???
???
?
-===1220021sin 210cos 21cos mv
mv mv mv mv x ααθ022
0212cos 4θv v v +=?. 2
0012110011
cos 2cos sin cos 2v v v v v v tg θθα---===
2-10 求每分钟射出240发子弹的机枪平均反冲力，假定每粒子弹的质量为10g ，枪口速度为900m/s 。
解:设平均反冲力为F =射击时所需的平均力
=t F 机枪的动量变化=子弹的动量变化=240mv-0=240mv
N t mv t F 3660
900
10102402403=???==∴- 2-11 一起始质量为M 0的火箭以恒定率|dM/dt|=u 排出燃烧过的燃料，排料相对于火箭的速
率为v 0．(a)计算火箭从发射台竖直向上起动时的初始加速度；(b)如果v 0=2000m/s ，则对于一个质量为100t 的这种火箭，要给以等于0.5g 的向上初始加速度，每秒钟必须排出多少kg 的燃料？
解:(1)仿照书上P .50的推导,可得火箭经过dt 时间后动量的改变为
dt dM md =+=-00 则 dM dt
v
d m
=+0 在发射台附近,m=m 0,μ=dt
dM ,F=M 0g.00.a dt dv F v =设方向向下与 则有: g M v
a g M v a M -=?-=-μμ0
000000
(2) s kg g a v M /7358.9)15.0(2000
10100)(3
000=?+?=+=μ.
设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率；
(2)若把48t 燃料放在12t 的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。 解:(1)由P.50的(2.10)式,变为
?
?
=-?-=v
v m
m m
m c v v m dm
c dv 0
000ln . 对第一级火箭:3ln 250040
6060
ln 2500ln
01=-==m m c v . 对第二级火箭:3ln 50003
/201010
ln
250012=-+=v v .
对第三级火箭:s m v v /6.82393ln 75003
/211
ln
250023==-+=.
(2)s m v /6.40235ln 250048
6060
ln
2500==-=.
2-13 一宇宙飞船以恒速v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt 的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为u ，方向与v 相反，在时刻t 飞船的总质量为M(t)，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？
解:由动量定理得:
dt
F dm u d v v d t M dt
dm
u v dt d t M dm t M d dm t M P =-+≈-+=+-++=-)()()()( ]
)([)]()([0 两边求导得:dt
dm
dt d t M =-+)()
(.
∵要求飞船匀速,故
dt
d =0,u v 与的方向相反,以v 为正向, 则 dt
dm
u v F dt dm )
()
(+=?-=为向前的推力.此式的v 、u 为绝对值.
2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率v 运动着(见本题图)。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是dm ／dt ，，试问：
(1)要保持传送带以恒定速率v 运动，水平总推力F 多大？
(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v 在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？ 解:(1)在水平方向上,由动量定理得:
F d t v d m m d v mv dv v dm m =+≈-++))(( 两边求导得dt
dm
v
dt dv m
F += 当要求传送带以匀速运动时,水平总推力为dt
dm
v
F =(向前) (2)在光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v 前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重.用力公式同上.
则:dt
dm
v
F = 即沙子持续进来,便要持续施力.以上问题的答案不改变
2-15 一质量为m 的质点在x-y 平面上运动，其位矢为r =a cos ωt i +b sin ωt j ，求质点受力的情况。
解:1, sin , cos 22
22=+==b y a x t b y t a x ωω.椭圆. t bsin t sin a ωωωω+-=+=dt
dy dt dx
r dt
v
d a 222j t bsin i t cos a ωωωωω-=--==
.质点受力r m a m f 2ω-==恒指向原点.
2-16 如本题图所示，一质量为m A 的木块A 放在光滑的水平桌面上，A 上放置质量为m B 的另一木块B ，A 与B 之间的摩擦系数为μ，现施水平力推A ，问推力至少为多大时才能使A 、B 之间发生相对运动。
解: 对B:???=?====-g m a g m N a m f g m N B B B B B r
B μμμ0
对A:A
B A B A A r m g
m F a g m F a m f F μμ-=?-==-
当B A a a > 时,A,B 之间发生相对运动g m m F B A )(+>?μ
2-17 如本题图所示，质量为m 2的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m 1的立方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？
解:对m 2:?
??
??=--==0
cos sin 222122222y y x a g m N N a m N a m θθ
对m 1:???-=-=g m N a m N a m y x 1211211cos sin θθ
运动学关系:
???
???
?
+=++=?-=?--==-=θθθθθcos sin N sin N )(,2
12212221
22112112121'1'
121'1m m g m m g m m m m m tg a a a a a a a tg a a a a a x x y
x x y y x
y
.次式在P.159的3-11题中有用.
???
?
??
?
+++-=++-=++-=+-=θθθθθθθθθθctg m tg m m gtg m m m m g m m a ctg m tg m m g m m m g m a y
x
221212212211221221221)()(sin sin )()(sin cos sin ????
?=++=+=0)(sin cos sin 2221121212y
x a ctg m tg m m g m m m g m a θ
θθθθ
2-18 在桌上有一质量m 1的木板。板上放一质量为m 2的物体。设板与桌面间的摩擦系数为μ1，物体与板面间的摩擦系数为μ2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？ 解: )(,,,21111122222m m N N f g m N N f +===μμ
g m m F a
a a m f f F a m f ))((212121
2121222++>????
??>=--=μμ
2-19 设斜面的倾角θ是可以改变的，而底边不变。求(1)若摩擦系数为μ，写出物体自斜面顶端从静止滑到底端的时间，与倾角θ 的关系，(2)若斜面倾角θ1=60?与θ2=45?时，物体下滑的时间间隔相同，求摩擦系数μ．
解:(1)θμcos ,mg N N f ==, )cos (sin sin θμθθ-=?=-g a ma f mg
21
2])
cos (sin cos 2[21cos θμθθθ-=?==g d t at d S
(2)
268.0322
1412121232145cos 60cos 45sin 45cos 60sin 60cos ])45cos 45(sin 45cos 2[])
60cos 60(sin 60cos 2[2221
2
1
=-=--=
--=?-=-
μμμg d g d
2-20 本题图中各悬挂物体的质量分别为：m 1=3.0kg, m 2=2.0kg, m 3=1.0kg ．求m 1下降的加速度。忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力，线不可伸长。 解: ??
?==-21
1
1112T T a m T g m
???-==-1'
22
222a a a a m T g m ???+==-1
'
33
332a a a a m g m T )(13232'1a g m m m m a ++-=?
23232132321'1/58.017
1
124)12(3124)12(34)(4)(s m g g g m m m m m m m m m m a ==???++???-+?=++-+=
2-21 在本题图所示装置中，m 1与m 2及m 2与斜面之间的摩擦系数都为μ，设m 1>m 2，斜面的倾角θ可以变动。求θ至少为多大时m 1、m 2才开始运动。略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦，线不可伸长。
解:θμθμcos )(,,cos ,212221111g m m N N f g m N N f +====
??
?
??>---=--=0
s i n
s i n
2122111a f f g m T a m T f g m a m θθμθ21213m m m m tg -+>?.
2-22 如本题图所示装置，已知质量m 1、m 2和m 3，设所有表面都是光滑的，略去绳和滑轮质量和轴承摩擦。求施加多大水平力F 才能使m 3不升不降。
解:??
?
??++===-a
m m m F a
m T T g m )(0
32123g m m m m m F )(3212
3++=?
2-23 如本题图所示，将质量为m 的小球用细线挂在倾角为θ的光滑斜面上。求(1)若斜面以加速度α沿图示方向运动时，求细线的张力及小球对斜面的正压力；(2)当加速度α取何值时，小球刚可以离开斜面？
解:(1)???-=+=???
?=-=+)sin cos ()
cos sin (sin cos cos sin θθθθθθθθa g m N a g m T ma N T mg N T
(2) 令N=0θgctg a =?
2-24 一辆汽车驶入曲率半径为R 的弯道。弯道倾斜一角度θ，轮胎与路面之间的摩擦系数为μ．求汽车在路面上不作侧向滑动时的最大和最小速率。 解: 车子驶慢时,就要往下滑.则有
????
?
????
=-==+R v m f N N
f m
g f N 2
min
cos sin sin cos θθμθθkg tg tg kg v θ
μμ
θθμθθμθ+-=+-=?1sin cos cos sin min
车子驶快时,就要往上滑.则有
????
?
????
=+==-k v m
f N N
f m
g f N 2
max cos sin sin cos θθμθθkg tg tg kg v θ
μμ
θθμθθμθ-+=-+=?1sin cos cos sin max
2-25 质量为m 的环套在绳上，m 相对绳以加速度a ’下落。求环与绳间的摩擦力。图中M 、m 为已知。略去绳与滑轮间的摩擦，绳不可伸长。
解:)2()
(''a g m M Mm f Ma
T Mg T f a a m f mg -+=???
?
??=-=-=-
2-26 升降机中水平桌上有一质量为m 的物体A ，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m 的物体B 相连。当升降机以加速度a =g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到A 、B 两物体的加速度分别是多少？(略去各种摩擦，线轻且不可伸长。)
解:?
??=-+=ma T mg mg ma T 2/(从机内看)g a 4/3=?
从地面上的人看 ???
?
?
??
??-==-===02/2
/Bx Ax By By Ax
Ay a a g a ma mg T ma T g a ???==?g a g a By Ax 2/14/3
??
?-==g a a By
Bx 4/10
2-27 如本题图所示，一根长l 的细棒，可绕其端点在竖直平面内运动，棒的一端有质量为m 的质点固定于其上。(1)试分析，在顶点A 处质点速率取何值，才能使棒对它的作用力为0? (2) 假定m=500g, l =50.0cm ，质点以均匀速度v =40cm/s 运动，求它在B 点时棒对它的切向和法向的作用力。
解:(1)gl v T T dt dv m
T l v m
mg T t n t n =????
?
?
?
???====+02 (2)???
????===-l v m N dt dv m mg N n t 20?????=???===??==----N l v m N N mg N n t 16.01050)1040(105009.48.9105002
22323
2-28 一条均匀的绳子，质量为m ，长度为l ，将它拴在转轴上，以角速度ω旋转，试证明：
略去重力时，绳中的张力分布为)(2)(22
2r l l
m r T -=ω，式中r 为到转轴的距离。 解: 在r 处的张力T 等于从r 到l 这一段绳子作圆周运动所需的向心力,对dr 这一段,所需向
心力为: )(222
222
r l l
m rdr l m r dm dT -=
==ωωω.
2-29 在顶角为2α的光滑圆锥面的顶点上系一劲度系数为k 的轻弹簧，下坠一质量为m 的物体，绕锥面的轴线旋转。试求出使物体离开锥面的角速度ω和此时弹簧的伸长。 解:N=0时物体离开桌面
??????+===?=202sin )(sin cos α??θαl l m mr f mg f l k f ???
???
?+=+=??mg kl kg mg k mg l θ?θcos cos 0
2-30 抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为y=ax 2，a 为常数。小环套于弯管上。求(1)弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。(2)若为圆形光滑弯管，情形如何？
解:(1)ag ax
y tg m ma N mg N n 22sin cos '
2=????
??==?===ωθ?θθ
(2)当y=2R 时,ω取任何值均可.当R R g x R R y y R x y -=?--=-= ω)(22' 2-31 在加速系中分析2—25题。 )2(0' ' a a mM f ma f ma m g Ma f Mg -=????=-+=-- 2-34 列车在北纬30?自南向北沿直线行驶，速率为90km/h ，其中一车厢重50t 。问哪一边铁轨将受到车轮的旁压力。该车厢作用于铁轨的旁压力等于多少？ 解:科里奥利力ω ?=v m f c 2, 东边: N m f c 912 1 60602426060242606010901050230sin 233 =????????????==--ππω 第三章 3-1 有一列火车，总质量为M ，最后一节车厢质量为m ．若m 从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为s 的路程之后停下来。若机车的牵引力不变，且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时，它距列车后端多远。 解：每节车厢所受的阻力为mg f μ=，牵引力g M m Mf F μ==/。m m M ) (-节车厢的前进力为f f m m M F f F =-- =-' 。 [方法一]：在以匀速v 0前进的参照系看，落后一节车厢停止时落后的距离为 22221t m f at s ==， m m M -节车厢多走的距离为s m M m t m M f F t a s -=--==2'2'' 2121此时最后一节车厢与列车后端相距)/(' m M Ms s s s -=+=? 3-2 一质点自球面的顶点由静止开始下滑，设球面的半径为R ，球面质点之间的摩擦可以忽略，问质点离开顶点的高度h 多大时开始脱离球面。 解：N=0时质点脱离球面 ?? ???-===R h R R mv mg mv mgh /)(cos /cos 2/2 2θθ ?3/R h = 3-3 如本题图，一重物从高度为h 处沿光滑轨道滑下后，在环内作圆周运动。设圆环的半径为R ，若要重物转至圆环顶点刚好不脱离，高度h 至少要多少？ 解：?????≥+=+=mg N mg R mv mgR mv mg /22/22 ?2/5R h ≥ 即高度h 至少要为5R/2 3-4 一物体由粗糙斜面底部以初速v 0冲上去后又沿斜面滑下来，回到底部时的速度减为v 0， 求此物体达到的最大高度。 解：?????+==+fs mv mgh mv fs mgh 2 12 02/g v v h 4/)(2 120+=? 3-5 如本题图，物体A 和B 用绳连接，A 置于摩擦系数为μ的水平桌面上，B 在滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量都可忽略，绳不可伸长。已知两物体的质量分别为m A 和m B ，求物体B 从静止下降一个高度h 后所获得的速度， 解：? ? ?=++=g m f fh v m m gh m A B B A B μ2 )(2 1])(2[B A A B B m m gh m m v +-=?μ 3-6 用细线将一质量为m 的大圆环悬挂起来。两个质量均为M 的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦地滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，θ角取什么值时大圆环刚能升起。 解：大圆环上升时，细线的拉力T=0。此时小环对大环而拟一提力N ，小环受一下压力N ? ?? ??=-=+=2/)c o s 1(/c o s c o s 222Mv MgR R Mv Mg N mg N θ θθ )2313131(c o s 1m i n M M -+=?- θ 3-7 如本题图，在劲度系数为k 的弹簧下挂质量分别为m 1和m 2 的两个物体，开始时处于静 止。若把m 1、m 2之间的连线烧断，求m 1的最大速度 解：设弹簧原长为y 0 , m 1+m 2处于静止时长为y 2 , m 1静止时长为y 1 ,剪断m 2后，m 1经过其平衡位置时，速度最大，记为v max , ???? ??? -++-=-=-+=-) (21)(21)(2 1)()()(1212max 12012021012102y y g m v m y y k y y k g m y y k g m m y y k 3-8 劲度系数为k 的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为m A 的物体。当把弹簧的长度压短x 0后，在它旁边紧贴着放一质量为m B 的物体。撤去外力后，设下面是光滑的水平面，求：(1)A 、B 离开时，B 以多大速率运动；(2) A 距起始点移动的最大距离。 解：（1） 02 20)(2 121x m m k v v m m kx B A B B B A +=?+= （2） 0'02'022 121x m m m x kx v m B A A B A +=?= 0' 00m a x )1(x m m m x x x B A A A ++=+=∴ 3-9 如本题图，用劲度系数为k 的弹簧将质量为m A 和m B 的物体连接，放在光滑的水平面上。m A 紧靠墙，在m B 上施力将弹簧从原长压缩了长度x 0，当外力撤去后，求：(1)弹簧和m A 、m B 所组成的系统的质心加速度的最大值；(2)质心速度的最大值。 解：(1)外力撤去的瞬间， m B 受到向右的弹性力0kx f =, m A 受到向左的弹性力和向右的来自墙体的作用力N ，由于此时A 静止，故kx N f ==,这样，系统(m A +m B +弹簧)受到的外力为N F =外，故有： )/(/0m ax B A c m m kx m F a +==外 当m A 离开墙体后， 0,0==c a F 外 （2）当弹簧恢复到原长时，m A 静止,m B 动能最大： 022022/2 121x m k v kx v m B B =?= 此后系统在没有外力的作用下运动，质心最大速度v cmax 服从关系式： 22m ax 0)(v m v m v m m B B c B A =+=+ 即： 0max x m k m m m m v u v B B A B i i c += = ∑ 此时 222m a x 20m a x 21)(2121v m m m m v m m kx E E E B A B A c B A p k p +++== =+ （弹簧不伸长，不缩短，故其弹性势能为零） 其中 2221v m m m m E B A B A cM k += 3-10 如本题图，质量为m 1和m 2的物体以劲度系数为k 的弹簧相连，竖直地放在地面上，m 1在上，m 2在下。(1)至少先用多大的力F 向下压m 1，突然松开时m 2才能离地？(2)在力F 撤除后，由m 1、m 2和弹簧组成的系统质心加速度a c 何时最大？何时为0？m 2刚要离地面时a c =？ 解：（1）k g m l g m kl /1111=?= R g m F l g m F kl F F /)(11+=?+= 弹簧伸长l 2 时，m 2方能离地（N=0）： k g m l g m kl /2222=?= 由 g m m F l l g m kl kl F F )()(2 12122212 22+=?++= （2）力F 撤除后，（m 1+m 2+弹簧）系统受外力g m m N F )(21+-=外 （以向上为正） g m x l k N 20)(+-=。l 为弹簧原长。 ?当F 刚撤除时， g a a m m g m m F l x l c c F =?+=+=--m ax m ax 21210)()(,外 (方向向上) ?? 当0010=?==-c a F l x l 外时， ??? 当10l x l -=-，即弹簧伸长l 2时，N=0，g a g m m F c -=?+- =)21（外，这便是m 2刚要离地时的质心力加速度，方向向下。 3-11 如本题图，质量为M 的三角形木块静止地放在光滑的水平面上，木块的斜面与地面之间的夹角为θ．一质量为m 的物体从高h 处自静止沿斜面无摩擦地下滑到地面。分别以m 、M 和地面为参考系，计算在下滑的过程中M 对m 的支撑力N 及其反作用力N ’所作的功，并证明二者之和与参考系的选择无关，总是为0． 解：从p.105的2-17题可算出： θθ2' sin cos m M mMg N N +== θ θ θ2 sin cos sin m M mg a Mx += θθ22 s i n s i n )(m M g M m a my ++-= 22 1 x a h my =,θθsin )(cos 212M m mh t a s mx M += = ① 以m 为参照系，m 不动，其位移0=s ，故0cos ==αNs A N 。 ,02 c o s ='='π 相s N A N 0=+'N N A A ② 以M 为参照系，M 不动，其位移0=s ，故0cos ='='αs N A N 。 ,02 c o s ==π 相Ns A N 0=+'N N A A ③ 以地面为参照系，M 的位移为M s ，m 的位移为M m s s s +=相 Mm tg m M M Mgh m m M m M Mhg m s N A M N +++=++=-'='θθθθπ2222222)()sin )((cos )2cos( N M M m N A s N Ns s s N s N A '-=?'-=+=?= 2 cos )(π相相 ) s i n )((cos 222θθ m M m M Mgh m ++-= 0=+'N N A A ④ 设有两参考系k 、k '，M 和m 的位移分别为)(M M s s ' 、)(m m s s ' ，k '相对k 的位移为s 。s s s s s s m m M M -='-=',。 M N M N s N A s N A ?'=?=',，且 0)(=?=-?=?'+?+'相s N s s N s N s N A A M m M M N N s N A s s N A N M N ?'-=-?'='?'') s N A s s N s N A N m m N ?-=-?='?=' )(0)(=?'+-+='+'?''s N N A A A A N N N N 3-12 —根不可伸长的绳子跨过一定滑轮，两端各拴质量为m 和M 的物体(M>m)。M 静止在地面上，绳子起初松弛。当m 自由下落一个距离h 后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度和此后M 上升的最大高度H 。 解： m 下降距离h 时， gh v mgh mv 22 102 0=?= 经t ?（很短）时间后，m , M 同有角速度V ，由动量定理，有： MV t mg T M mv mv t mg T m =?----=?-)(: )()(:0 绳子被拉紧的t ?时间内，Mg T ng T >>>>,， 故可忽略Mg mg 及，0mv mV MV +-=? ∴两物体的速度为gh m M m V 2+= 设m 再下降H ，M 上升H 后，m , M 的终端速度为0，即有 MgH mgH mv MV =++22 2 121 h m M m H 2 22-=? 3-13 如本题图，质量为m 的物体放在光滑的水平面上，m 的两边分别与劲度系数为k 1和k 2的两个弹簧相连，若在右边弹簧末端施以拉力f ，问：(a) 若以拉力非常缓慢地拉了—段距离l ，它作功多少？(b)若拉到距离l 后突然不动，拉力作功又如何？ 解：(a) ∵拉力F 拉得缓慢，1122x k x k f ≈=，21,x x 从0增大，故f 是变力，不是恒力。 ???? ??? +=+===+2 22211212 211212 121x k x k E E A x k x k l x x p p 弹弹2212121l k k k k A +=? (b) 施力的方式比较复杂，现考虑两个极限情形：第一，如上述（a ）的情形：A 被分配到两弹簧上，此时A 最小。第二，A 只分配到2k 上，这相当于拉力22x k f =，为急 速地拉动，此时1k 及m 都来不及变化和运动，故2 2m ax 2 1l k A = 。一般地，有： 22221212 1 21l k A l k k k k ≤≤+ 3-14 质量为M 的木块静止在光滑的水平面上。一质量为m 的子弹以速率v 0水平入射到木块内，并与木块一起运动。已知M=980g, m=20g, v 0=800m/s 。求(1)木块对子弹作用力的功；(2)子弹对木块作用力的功；(3)耗散掉的机械能。 解：V m M mv )(0+= ()s m v m M m V /16800102098010203 3 0=??+?=+=?-- （1）)80016(10202 121212232 020 -??=-= -=-→mV mV E E A k k 子弹子弹子弹木块J 44.6397-= （2）J MV E E A k k 44.12516109802 1 212320=???==-=-→木块木块木块子弹 （3）耗散掉的机械能： 木块子弹子弹木块→→--=+-= ?A A V m M mv E 22 0)(2 121J 627244.12544.6397=-= 3-15 如本题图，m 1、m 2静止在光滑的水平面上，以劲度系数为k 的弹簧相连，弹簧处于自由伸展状态，一质量为m 、水平速率为v 0的子弹入射到m 1内，弹簧最多压缩了多少？ 解：子弹打入m 1内，又未穿出这一过程中，动量守恒： 110)(v m m mv += 然后，m m m ,,21及弹簧系统中，当)(1m m 相对于质心的动能0=cM k E 时，弹簧有最 大的压缩量m ax x ，由动量、能量守恒，得： ??? ??+++=+++=+2 max 2212110 211121)(21)(21)()(kx v m m m v m m v m m m v m m c ()02112max ))((mv k k m m m m m m x ?+++=? 3-16 两球有相同的质量和半径，悬挂于同一高度，静止时两球恰能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为e ．若球A 自高度h 1释放，求该球碰撞弹回后能达到的高度。 解：A 球与B 球碰撞前一刻的速度为120gh v A = ，碰撞后两者的速度分别为B A v v ,： ?????-=-+=0 0A B A B A A ev v v mv mv mv 00)1(21,0)1(21A B A A v e v v e v +=>-=?， A B v v > ???????==222121B B A A mv mgh mv mgh ???????==?222121B B A A gt h gt h ???????+=-=?1 212 )1(4 1)1(41h e h h e h B A ?? ?>>?A B A B t t h h ∴A 球第一次碰撞后返回的高度是12 )1(4 1h e h A -= 3-17 在一铅直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是足够长的水平直线。现有质量分别为m A 和m B 的两个质点，B 在水平轨道上静止，A 在高h 处自静止滑下，与B 发生完全弹性碰撞，碰后A 仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。求A ，B 至少发生两次碰撞的条件。 解：A 质点与B 质点第一次相碰前的速度为gh v A 20= 由（3.63）式可得第一次碰撞后两质点速度为 gh m m m m v B A B A A 2+-= ，gh m m m v B A A B 22+= 若要求A 点返回，则要求0-='0 可解出：3/3B A A B m m m m <>或 3-18 一质量为m 的粒子以速度v 0飞行，与一初始时静止、质量为M 的粒子作完全弹性碰撞。从m ／M=0到m ／M=10画出末速v 与比值m ／M 的函数关系图。 解：由（3.63）式得： ??? ????+=+=+-=+-=0 00 012211v r r v M m m v v r r v M m M m v M m 0v v v m M =- 两粒子末速)(M m v v v 或与质量比r M m =/的函数关系如右图所示)100~(-r ，m v 以 0v 为极限，M v 以02v 为极限。 3-19 一质量为m 1、初速为u 1的粒子碰到一个静止的、质量为m 2的粒子，碰撞是完全弹性的。现观察到碰撞后粒子具有等值反向的速度。求(1)比值m 2／m 1；(2) 质心的速度；(3)两粒子在质心系中的总动能，用m 1u 12/2的分数来表示；(4)在实验室参考系中m 1的最终动能。 解：（1）? ??+=-=2/)(2/::2 221211121v m v m u m v m v m m 能量守恒动量守恒 2/1u v = 123m m =? （2）1211141 0u m m u m m v m v i i i c =++==∑ （3）2 11212121214321u m u m m m m E c k ?=+= （4）2112 118 121u m v m E k == 3-20 在一项历史性的研究中，詹姆斯．查德威克(James Chadwidk)于1932年通过快中子与氢核、氮核的弹性碰撞得到中子质量之值。他发现，氢核(原来静止)的最大反冲速度为3.3×107m/s ，而氮14核的最大反冲速度为4.7×106m/s ，误差为士10%．由此你能得知中子质量和所用中子的初速度分别是什么吗？(要计及氮的测量误差。以一个氢核的质量为1原子质量单位，氮14核的质量为14原子质量单位。) 解： ???+=+=2 /2/2/2 2200H H nH n n H H nH n n v m v m v m v m v m v m H n H v m m v )1(21 0+=? 同理：N n H v m m v )141(21 0+= （1）H H H N H H N n m m m v v v v m 10159107.4103.3103.3107.414146 77 6=?-??-??=--= （2）s m v /1007.3103.3)159 .11 1(21770?=??+= 误差分析： N H N H N N n n H n N H H n n n v v v v v v m m m l v v v v l m l -?+ -?=??+--=141414 而s m v v N N /1047.0%106 ?=?=? %72.2110 7.4103.31047.0103.3107.4141047.0146 76766=?-??+?-????=?∴n n m m H n n m m m 252 .0%72.21=?=? 又n n H H n n H H m m m m m v v m m v v ???+-=??++=1 )1ln(21ln ln 000 即 s m v v /1031.0%07.10252.01 159.11700?==?+=? 最后得 ·H n m m )252.010159(±= ·s m v /10)31.007.3(7 0?±= 3-21 在(原理)一书中牛顿提到，在一组碰撞实验中他发现，某种材料的两个物体分离时的相对速度为它们趋近时的5/9．假设一原先不动的物体质量为m 0，另一物体质量为2m 0，以初 速v 0与前者相撞。求两物体的末速。 解：设21v v >，则?? ?+==-=-1 020********* /59/05v m v m v m v v v v 020127 13,2728v v v v == ? 注意：若设1020101227/23,27/8,9/5v v v v v v v v >===-则，不符合物理事实，故 舍去。 3-22 一质量为m 0，以速率v 0运动的粒子，碰到一质量为2m 0静止的粒子。结果，质量为m 0的粒子偏转了45?并具有末速v 0/2。求质量为2m 0的粒子偏转后的速率和方向。动能守恒吗？ 解：由动量守恒得： ?????? ?=-+=0sin 24sin 2cos 24 cos 200000000θπθπv m v m v m v m v m ???? ????=-==-=- 68.28242368.022541100tg v v v θ 末态动能2 00200200 2 002 12152.016225221421v m v m v m v m E k 3-23 在一次交通事故中(这是以一个真实的案情为依据的)，一质量为以2000kg 、向南行驶的汽车在一交叉路中心撞上一质量为6000kg 、向西行驶的卡车。两辆车连接在一起沿着差不多是正西南的方向滑离公路。一目击者断言，卡车进入交叉点时的速库为80km/h ．(1)你相信目击者的判断吗？(2)不管你是否相信他，总初始动能的几分之几由于这碰撞而转换成了其它形式的能量？ 解：（1）由动量守恒，有卡卡卡总卡汽总v m P v m m P 22)(==+= 而：卡卡汽汽卡汽v m v m P P === ??? ????==?+=+===?==?卡卡 卡汽卡总卡卡汽 卡汽v h km v m m m v v h km v m m v 243/26080262623/2408026 一般的小汽车最高时速为120公里，此处h km v /120>汽，故目击者的判断不可信。 （2）()2 22222/80624022 12121h km t v m v m E k ??+?=+=卡卡汽汽初 ()2 22224126322 1/1068.7卡卡v v h km t =+?=??= ()()2 2422/1088.2260622121h km t v m m E k ??=??+?=+=总卡汽末 ()2 25.4216 96221卡 卡v v =??+= 12 5 .41285625.068.788.268.7-===-=-=?=∴k k k k k E E E E E x 初末初初 即总初始动能的5/8由于碰撞而转换成了其他形式的能量。 3-24 两船在静水中依惯性相向匀速而行，速率皆为6.0m/s ．当它们相遇时，将甲船上的货物搬到乙船上。以后，甲船速度不变，乙船沿原方向继续前进，但速率变为4.0m/s ，设甲船空载时的质量为500kg ，货物的质量为60kg ，求乙船质量。在搬运货物的前后，两船和货物 的总动能有没有变化？ 解：由2-6题求得kg m 300=乙 记kg m kg m 60,500==货甲时， s m v s m v /4,/60==乙 则 ()2021v m m m E k 货乙甲初++= ()2 202 121乙货乙甲末v m m v m E k ++= 由于乙v v >0，故末初k k E E >，即搬运货物前后，两船和公斤的总动能有变化（减少了）。 3-25 一质量为m 的物体，开始时静止在一无摩擦的水平面上，受到一连串粒子的轰击。每个粒子的质量为δm (< ()()() ()( ) ()()()() ln 001321 00 323 040 22 030 1 02001111212121)(22,2v e v b v b b b b a m v m v v v b b b a m v m v v v b b a m v m v v v b a m v m v v m a v a v m v n b n n m n m m n m m m m m m m m m m m m m ?'---='-='++'+'+'+'=+-+= '+'+'+'=+-+= '+'+'=+-+='+'=+-+=+= ''=+= δδδδδδδδδδδδδδδδ 由于a m m m m m m m b m m m m m m m -=-=--≈??? ? ?+-??? ??-=+-='δδδδδδδ21ln 1ln ln ln ()01v e v na n --≈∴，其中m a m δ 2= （1） 讨论：101,1,1nv nav v na e na e a n na na n ≈=?≈--≈< 0,0,v v e a n na n →→∞→?-，但严格结果∞→0nav ，故此时近似式（1）无效。 3-26 水平地面上停放着一辆小车，车上站着10个质量相同的人，每人都以相同的方式、消耗同样的体力从车后沿水平方向跳出。设车的质量远大于10个人的质量，以及所有人所消耗的体力全部转化为车与人的动能，在整个过程中可略去一切阻力。为了使小车得到最大的动能，车上的人应一个一个地往后跳，还是10个人一起跳？ 解：设每人贡献的能量为E ，小车的质量为M ，把N 个人看成一个质点组，则其动能为： )(212定理人人人konig E Nmv E cM k c k += 其中：Nm mv m mv v i i i N i i c ∑∑∑===1 人 又： 2 22 1,21车车人车MV E E MV N k k E =+= 01 =- ∑=N i i mv MV 车，车v 为几个人全部跳离车子后的速度。 解上述诸式，便得车子动能车k E 为： ()cM k k E NE Nm M Nm E 人车-+= 当几个人一起跳车时，各i v 一样，且0,==cM i c i v v v ，故0=cM k E 人，此时 () Nm M mE N E k += 2一起 车 当几个人一个一个跳车时，各i v 不一样，且i v N v v i i c ,≠= ∑为某个人的序号， 0≠-=c i cM i v v v ，故 ()()一起车一个一个车k k E E < ∴10个人一起跳时，车子获得最大的动能。 3-27 求圆心角为2θ的一段均匀圆弧的质心。 解：显然αθλcos ,2,0R x R m y c === θ θ αθαλθθsin 2cos 111R Rd R m R m dl x m xdm m x c = ?===???- 特例：.,0圆周质心在圆心上=?=?c x πθ . ,0) (22一个点的质心在质点上半圆弧的质心R x R x c c =?=?=?=?θπ πθ 3-28 求均匀半球体的质心。 解：显然0,0==c c z x ，θθθπρd R dy R y R m sin ,cos ,3 /22 -=== ()()???=-== =023 028 3c o s s i n 23s i n 1π θθθρθπR d R dy R y m m ydm y R c 3-29 如本题图，半径为R 的大圆环固定地挂于顶点A ，质量为m 的小环套于其上，通过一劲度系数为k 、自然长度为l (l <2R)的弹簧系于A 点。分析在不同的参数下这装置平衡点的稳定性，并作出相应的势能曲线。 解：总势能弹重p p p E E E +=，选右图中的θ角为变量，则 ()2c o s 221)2c o s 1(l R k m g R E p -+ -=θθ()0c o s 22 1s i n 222>-+=l R k m g R θθ 找平衡点)0210(的点的点即为切向力=-===θθθd dE R dt dv m F d dE p p : ()[]θθθcos 2sin 2kR mg kl R d dE p -+= 令0=θ d dE p ()() mg kR kl mg kR kl -==-==?-±2cos ,02cos 0sin 1 1θθθθ即或 研究稳定性： ()[]()θθθθ 2 2 2s i n 4c o s 2c o s 2kR mg R kR mg kl R d E d p ---+= ① 对于()?? ? ? ? -+ =" =kR kl mg R E p 2140,01θ ·当()0,00,2/,02/1=>"->>+-θp E kl kR mg kl kR mg 时即为稳定平衡点。 ·当()00,2/,02/=" -==+-p E kl kr mg kl kR mg 时即, 弄清几个与从参考系有关的问题 （获得全国二等奖） 北京市顺义一中——张福林（101300） 参考系是物理学的大舞台，但是在中学物理教学实际中并没有深刻认识到演出与舞台的关系。本文试图从参考系的角度出发对物理教学中的一些问题做些清理。 1.处理运动学问题和动力学问题时对参考系的要求：一般说来，研究运动学问题时，只要描述方便，参考系可以随便选择。但考虑到动力学问题时，选择参考系就要慎重了，因为一些动力学规律(如牛顿三定律)只对某些特定的参考系(惯性系)成立。一般物体的运动速度是与参考系有关的，但是对于光速来讲：在彼此相对作匀速直线运动的任何一个惯性参考系中，所测得的光在真空中的速度都是相同的。 2.惯性概念是力学中的一个重要概念，惯性是指物体保持静止或匀速直线运动的性质。表面看惯性是物体的性质，但仔细考虑会发现惯性概念是与参考系有关的。只有在惯性系中物体才有保持静止或匀速直线运动的性质。在非惯性系中物体没有这样的性质。 3.力的概念与参考系的关系：我们知道，对于力的大小可由F=ma来定义，而加速度是与参考系有关系的，因此力也是与参考系有关系的。在非惯性系中的惯性力是与非惯性系的加速度有关的。在广义相对论中，引力场与非惯性系是等价的。 4．摩擦力方向与参考系的关系：我们知道摩擦力方向与相对运动或相对运动趋势方向相反。但在这里必须明确，这里的讲相对方向是以施给摩擦力的物体为参考系的。 例:如图1所示，一质量为m=20千克的钢件，架在两根完全相同的、平行的长直圆柱上，钢件的中心与两柱等距。两柱的轴线在同一水 平面内。圆柱的半径r=0.025米，钢件与圆柱间的摩擦因数 为μ=0.20，两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速 度ω=40弧度/秒。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件作速度为v0=0.050米/秒的匀速运动，推力是多大？（设钢件左右F 图1 第一章温度 1-1在什么温度下,下列一对温标给出相同的读数：（1）华氏温标和摄氏温标；（2）华氏温标和热力学温标；（3）摄氏温标和热力学温标 解：（1） 当时，即可由，解得 故在时 （2）又 当时则即 解得： 故在时， （3） 若则有 显而易见此方程无解，因此不存在的情况。 1-2 定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为50mmHg。 （1）用温度计测量300K的温度时，气体的压强是多少 （2）当气体的压强为68mmHg时，待测温度是多少 解：对于定容气体温度计可知： (1) (2) 1-3 用定容气体温度计测得冰点的理想气体温度为，试求温度计内的气体在冰点时的压强与水的三相点时压强之比的极限值。 解：根据 已知冰点 。 1-4用定容气体温度计测量某种物质的沸点。原来测温泡在水的三相点时，其中气体的压强；当测温泡浸入待测物质中时，测得的压强值为,当从测温泡中抽出一些气体,使减为200mmHg时,重新测得,当再抽出一些气体使减为100mmHg时,测得.试确定待测沸点的理想气体温度. 解：根据 从理想气体温标的定义：依以上两次所测数据,作T-P图看趋势得出时,T约为亦即沸点为. 题1-4图 1-5铂电阻温度计的测量泡浸在水的三相点槽内时，铂电阻的阻值为欧姆。当温度计的测温泡与待测物体接触时，铂电阻的阻值为欧姆。试求待测物体的温度，假设温度与铂电阻的阻值成正比，并规定水的三相点为。 解：依题给条件可得 则 故 1-6在历史上，对摄氏温标是这样规定的：假设测温属性X随温度t做线性变化，即，并规定冰点为，汽化点为。 设和分别表示在冰点和汽化点时X的值，试求上式中的常数a和b。 解： 工程流体力学习题全解 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第1章 绪论 选择题 【】 按连续介质的概念，流体质点是指：（a ）流体的分子；（b ）流体内 的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分 子，且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。 （d ） 【】 与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a ）切应力和压强；（b ）切 应力和剪切变形速度；（c ）切应力和剪切变形；（d ）切应力和流速。 解：牛顿内摩擦定律是 d d v y τμ =，而且速度梯度d d v y 是流体微团的剪切变形速度d d t γ，故 d d t γ τμ =。 （b ） 【】 流体运动黏度υ的国际单位是：（a ）m 2/s ；（b ）N/m 2；（c ）kg/m ；（d ）N·s/m 2。 解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s m 2 。 （a ） 【】 理想流体的特征是：（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏 性；（d ）符合 RT p =ρ 。 解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 （c ） 【】 当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a ）1/20 000；（b ）1/1 000；（c ）1/4 000；（d ）1/2 000。 解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约95d 1d 0.51011020 000k p ρρ-==???=。 （a ） 【】 从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a ）能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（b ）不能承受拉力，平衡时能承受切应 3 v m 新力学习题答案（四） 4—1．如本题图，一质量为m 的质点自由降落，在某时刻具有速度v 。此时它相对于A 、B 、C 三参考点的距离分别为d 1、d 2、d 3。求 （1）质点对三个点的角动量； （2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。 0sin (sin ()2(0 0sin (sin (131213121=====?=?======?=mg d M mg d mg d M mg d M g m r F r M mv d J mv d mv d J mv d J v m r J A B A C B A 方向垂直纸面向里） 方向垂直纸面向里） 方向垂直纸面向里） 方向垂直纸面向里） ）解：（θθ?????? ??的力矩。 的角动量和作用在其上。求它相对于坐标原点的力方向并受到一个沿处，速度为的粒子位于（一质量为—f x j v i v v y x m y x -+=,??),.24?()( ) () ()()() i ymg k yf j xmg k mg i f j y i x g m f r F r M k myv mxv j v i v m j y i x v m r J x y y x ????????????-+=--?+=+?=?=-=+?+=?=?????????解：() () 秒弧解：依题有： 求其角速度。为普朗克常量，等于已知电子的角动量为率运动。的圆周上绕氢核作匀速，在半径为电子的质量为—/1013.1103.5101.914.321063.622),1063.6(2/103.5101.9.34172 11 3134 2 2341131?=??????=== ==????------mR h h mR Rmv J s J h h m kg πωπ ωπ什么变化？ 为多少？圆锥的顶角有的速度时，摆锤，摆长拉倒时摆锤的线速度为设摆长为我们可将它逐渐拉短。，子，系摆锤的线穿过它央支柱是一个中空的管如本题图，圆锥摆的中—2211.44v l v l 第1章 绪论 选择题 【1.1】 按连续介质的概念，流体质点是指：（a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒； （c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有 诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。 （d ） 【1.2】 与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a ）切应力和压强；（b ）切应力和剪切变 形速度；（c ）切应力和剪切变形；（d ）切应力和流速。 解：牛顿内摩擦定律是 d d v y τμ =，而且速度梯度d d v y 是流体微团的剪切变形速度 d d t γ，故d d t γ τμ=。 （b ） 【1.3】 流体运动黏度υ的国际单位是：（a ）m 2/s ；（b ）N/m 2；（c ）kg/m ；（d ）N·s/m 2。 解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s m 2 。 （a ） 【1.4】 理想流体的特征是：（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p =ρ 。 解：不考虑黏性的流体称为理想流体。 （c ） 【1.5】 当水的压强增加一个 大气压时，水的密度增大约为：（a ）1/20 000；（b ）1/1 000；（c ）1/4 000；（d ）1/2 000。 解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约 95d 1 d 0.51011020 000k p ρ ρ -==???= 。 （a ） 【1.6】 从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a ）能承受拉力，平衡时 不能承受切应力；（b ）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c ）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d ）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。 解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。 （c ） 【1.7】 下列流体哪个属牛顿 流体：（a ）汽油；（b ）纸浆；（c ）血液；（d ）沥青。 解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 （a ） 【1.8】 15C o 时空气和水的运动黏度6215.210m /s υ-=?空气，62 1.14610m /s υ-=?水 ，这 说明：在运动中（a ）空气比水的黏性力大；（b ）空气比水的黏性力小；（c ）空气 与水的黏性力接近；（d ）不能直接比较。 解：空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍，因此水的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有 关，因此它们不能直接比较。 （d ） 【1.9】 液体的黏性主要来自于液体：（a ）分子热运动；（b ）分子间内聚力；（c ）易变形 新概念物理教程力学答案详解(五) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 新力学习题答案（五） 5—1．如本题图所示为圆筒状锅炉的横截面，设气体压强为p ，求壁内的正应力。已知锅炉 直径为D ，壁厚为d （D>>d ），应力在壁内均匀分布。 5—2．（1）矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变为ε，此材料的泊松比为σ，求证体积的相对改变为： （2）式中是否适用于压缩？ （3）低碳钢的杨氏模量为Y=19.6*1010Pa,泊松比为0.3,受到的拉应力为ι=1.37Pa,求杆体积的相对改变。 p ds df == ⊥ ⊥ι解：`()的体积。 分别代表原来和形变后和式中V V V V V 00 21εσ-=-()()()()()()()()()()()()()()()()12 10 000 00 2 0020 00 00 2 02 02 002 0000 00 108.210 6.1937 .13.0212121321211111)2(212111) (1-?=??-=-=-=-= ∴=?=--=-∴+-=+-==+=?+=-=?-=-=-∴ -+=-+=?-?+===?∴?= = =???=Y V V V Y Y l l Y V V V V d l ld V d d d d l l l l V V V V d l d d l l V d l V d d d d a l l l l ισεσι εειε σεσεεσεεσεεσεσεεσεεσεε εσειε） （比值变为负值所以上式仍适用，不过压缩时：又）证明： 解：（横横&&Θ 新力学习题答案（三） 3—1．有一列火车，总质量为M ，最后一节车厢为m ，若m 从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为s 在路程后停下来。若机车的牵引力不变，且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时，它距离列车后端多远 解： 3—2．一质点自球面的顶点由静止开始下滑，设球面的半径为R 球面质点之间的摩擦可以忽略，问质点离开顶点的高度h 多大时开始脱离球面 ()()s m M m s s s s m M m s g s g m M m g s gs at t v s t g m M m m M g m M Mg a g m M g s g gs a v t v m gs v v as m g m mg a mg f m Mg F ?-+ =+∴?-+ =?-?+=+ =-= ---= -=== →=?=== ==3'22212221',122022:02000 002 0所求的距离为为：时间内火车前进的路程所以在这火车加速度为此时火车的摩擦力为由于牵引力不变） （所需时间为从速度为最终其加速度的水平力作用力离开列车后，仅受摩擦，则机车的牵引力为设摩擦系数为μμμμμμμμμμμμμμμμμ3 2321) 3(cos ) 2(cos :0cos ) 1(22 12 2 2R h R gh R h R g R h R R v g N R mv N mg F gh v mgh mv = ∴=--==== -==?=）得： ），（），（联立（又：时有当受力分析有：：解：依机械能守恒律有向心θθθ 3—3．如本题图，一重物从高度为h 处沿光滑轨道下滑后，在环内作圆周运动。设圆环的半径为R ，若要重物转至圆环顶点刚好不脱离，高度h 至少要多少 3—４．一物体由粗糙斜面底部以初速度v 0冲上去后又沿斜面滑下来，回到底部时的速度为v 1，求此物体达到的最大高度。 解：设物体达到的最大高度为h ，斜面距离为s ，摩擦力为f 。 ３—５．如本题图：物体A 和B 用绳连接，Ａ置于摩擦系数为的水平桌面上，Ｂ滑轮下自为 m A ,m B ,求物体Ｂ从静止下降一个高度h 后所获得的速度。 解：由绳不可伸长，得A ，B 两物体速度相等。 依动能定理有： h R ()() R h gR v N R mv N mg F R h g v mv R h mg v 2 5 21)2(0 )1(222 122 2 ≥ ≤?≥= -=-=∴=-）式得：），（联立（而此时，则有： 的速度为若设重物在环顶部具有解：依机械能守恒得： 向心g v v h fs fs mv mgh fs mgh mv 421 2 12 120212 0+= +=+=，得：两式消去滑下来的过程中：冲上去的过程中：依动能定理，有： 【1-4】用200升汽油桶装相对密度0.70的汽油。罐装时液面上压强为98000Pa 。封闭后由于温度变化升高了20℃，此时汽油的蒸汽压力为17640Pa 。若汽油的膨胀 系数为0.0006K -1，弹性系数为13.72×106 Pa ，（1）试计算由于压力温度变化所增加的体积，（2）问灌装时汽油的体积最多不应超过桶体积的百分之多少？ 【解】（1）由1 β=-=P p dV Vdp E 可得，由于压力改变而减少的体积为 6 20017640 0.257L 13.7210??=-= ==?P p VdP V dV E 1β= t t dV V dT 得 0.000620020 2.40L β?===??=t t t V dV VdT （2）因为??t p V V ?，相比之下可以忽略由压力变化引起的体积改变，则 200L β+=t V V dT 1198.8%200110.000620 β===++?t V dT 【1-5】图中表示浮在油面上的平板，其水平运动速度为u =1m/s ，δ=10mm ，油品的粘度μ=0.9807Pa ·s ，求作用在平板单位面积上的阻力。 【解】根据牛顿内摩擦定律 =du dy τμ 则 21 =0.980798.07N/m 0.01 u τμ δ=? = 【2-1】容器中装有水和空气，求A 、B 、C 和D 各点的表压力？ 【解】空气各点压力相同，与空气接触的液面压力即为空气的压力，另外相互连通的同种液体同一高度压力相同，即等压面 3434222 3232() ()()(2) MA MB MA MC MB MD MC p g h h p p g h h h gh p p gh p p g h h g h h ρρρρρρ=+=-++=-==-=-+=-+ Pmc=Pmd+ρg(h1+h2+h3) Pmd= -ρg （h1+2h2+h3） 【2-5】图示两水管以U 形压力计相连，A 、B 习题1-5图 从热平衡的建立过程来理解温度 江苏省华罗庚中学物理组周月平213200 [摘要]：本文从热平衡的建立过程来分析和理解有关温度的两个知识点：即温度与冷热程度的关系和温度与分子平均动能的关系。其中重点分析了分子平均动能与温度的关系，分析过程中采取了一般--特殊--一般的分析方法，分析过程和方法简单易懂，期望能帮助学生理解热学中的核心概念“温度”。 [关键词]：热平衡温度分子平均动能冷热程度 温度时什么？对于刚接触热学的高中生来说，就只有两点认识：（一）温度就是物体的冷热程度、（二）温度是分子热运动剧烈程度的标志。对于高中学生来说根本无法理解温度这个概念的实质，从字面上很容易错误地理解为热的物体温度高，冷得物体温度低。（比如相同温度的木头和铁块，用手去触摸后的感觉不一样）。教材中从布朗运动的剧烈程度的角度分析，温度越高，分子运动越剧烈，于是可以得到温度越高，分子的平均动能越大的结论[1]。学生对这个结论的理解是没有任何问题的，但是教材中随后出现的：理想气体的热力学温度与分子的平均动能成正比[1]。这样的定量的关系，学生就无法理解了。分子的平均动能为什么与温度有这样的定量关系，而且与物质的状态无关？对于学生而言，这个知识点只能靠记忆了，这样的话物理概念就成了毫无意义的知识记忆，没有任何物理内涵，也失去了物理思想。如何帮助学生形象理解温度就显得非常有意义了。 下面我们从热平衡的建立过程来帮助我们理解温度的概念：我们知道，在于外界影响隔绝的条件下，使两个物体相互接触，让它们之间发生传热，则热的物体变冷，冷得物体变热，经过一段时间后，最终他们的冷热程度就相同了，即认为温度是相同的。我们说，它们彼此达到了热平衡状态[2]。对于这个事实，我们可以用温度计测体温的例子来理解。热平衡建立的过程从微观上来看就是运动着的分子的碰撞过程，碰撞过程看成是完全弹性碰撞，则碰撞过程要满足动量守恒和系统机械能守恒，计算结果表明，分子间的碰撞过程实际上就是能量传递过程，当分子的平均动能相等时，能量不再传递，即达到了热平衡状态[2]。对于这样的认识，我们可以从用手触摸物体感觉冷热的例子来理解，如果物体的温度比手的温度高（则物体中分子的运动剧烈），我们会感觉到烫，手发烫的过程实际上就是物体分子对手的碰撞把能量传递给手的过程。如果物体的温度比手的温度低，我们会感觉到冷，手发冷的过程实际上就是通过分子的碰撞把手上的能量传递给物体的过程。最终手何物体得温度会相同，则不会感觉到冷热了。达到热平衡后有两大表现：宏观上物体的温度相同，微观上分子平均动能相同。也就是说分子的平均动能与温度有关系。 4—24．电动机通过皮带驱动一厚度均匀的轮子，该轮质量为10kg,半径为10cm,设电动机上的驱动轮半径为2cm,能传送5N.m 的转矩而不打滑。 （1）若大轮加速到100r/min 需要多长时间？ （2）若皮带与轮子之间的摩擦系数为0.3，轮子两旁皮带中的张力各为多少？（设皮带与轮子的接触面为半各圆周。 4—25．在阶梯状的圆形滑轮上朝相反的方向绕上两根轻绳，绳端各挂物体m 1和m 2，已知滑轮的转动惯量为I C ，绳不打滑，求两边物体的加速度和绳中张力。 ()()???====-===?= = ∴= ???======?=--2121884.112122 25:7573)2(15.05 6663101.0102131021310310602100. 1T T M R T T e T e T T s M t t t t m R I M t t t 又页有： —参考本书设所求的时间为）对于轮子而言，有： 解：（轮轮轮轮轮πμπ π πππβπ ωβπ πω() 由此求两端绳子张力。 ，又从而求出角动量定理为： 系统对滑轮中心的及绳子看作一个系统，、将滑轮、解法二： 由用牛二律：对用牛二律：对理滑轮对中心的角动量定解：解法一： r a R a gr m gR m r m R m I m m r m g m T R m g m T r m R m I gr m gR m r m a m g m T m R m a m T g m m r T R T I C C C βββ ββββββ==-=++????? ???? +=-=++-=?==-==--=2121222122221 11122212122222211111112:)3)(2)(1() 3()2()1(: 新力学习题答案（五） 5—1．如本题图所示为圆筒状锅炉的横截面，设气体压强为p ，求壁内的正应力。已知锅炉直径为D ，壁厚为d （D>>d ），应力在壁内均匀分布。 5—2．（1）矩形横截面杆在轴向拉力的作用下产生拉伸应变为ε，此材料的泊松比为σ，求证体积的相对改变为： （2）式中是否适用于压缩？ （3）低碳钢的杨氏模量为Y=19.6*1010Pa,泊松比为0.3,受到的拉应力为ι=1.37Pa,求杆体积的相对改变。 p ds df == ⊥⊥ι解：`()的体积。 分别代表原来和形变后 和式中V V V V V 00 21ε σ-=-()()()()()()()()()()()()()()() () 12 10 00 2 002 000 00 2 0202 002 000 00 10 8.210 6.193 7.13.0212121321211111)2(212111)(1-?=??-=-=-=-= ∴=?=--=-∴ +-=+-==+=?+=-=?-=-=-∴ -+=-+=?-?+===?∴?= = =???=Y V V V Y Y l l Y V V V V d l ld V d d d d l l l l V V V V d l d d l l V d l V d d d d a l l l l ι σεσι εε ιε σεσεεσεεσεε σεσεεσ εεσεε εσειε） （比值变为负值所以上式仍适用，不过压缩时：又）证明： 解：（横横 5—3．在剪切钢板时，由于刀口不快，没有切断，该材料发生了剪切形变。钢板的横截面积为S=90cm 2，二刀口间的距离为d=0.5cm ，当剪切力为F=7*105 N 时，已知钢板的剪变模量为G=8*1010Pa ，求： （1）钢板中的剪切应力； （2）钢板的剪切应变； （3）与刀口齐的两个截面所发生的相对滑移。 5—4．矩形横截面边长2:3的梁在力偶矩作用下发生纯弯曲。对于截面的两个不同取向，同 样的力偶矩产生的曲率半径之比为多少？ 5—5．试推导钢管扭转常量D 的表达式。 cm d d d d G G Pa S F 2 2 210 8 ////8 4 5////10 144 7 5.010 727)3(1072710810 9 7 )2(109 710 901071----?= ??==???= ?=??= = ?=?= ??= = εειεειι）解：（()()4 924 54) 2(1224122323) 1(125212323232122 14 3 24 3 13 = = ∴ == ==== === R R M Ya M a a Y R a h a b M Ya M a a Y R a h a b a a M Ybh R 外 外 外 外 外 则：另一种取向：则：一种取向：与设边长分别为半径公式，有： 解：依据梁弯曲的曲率 ()()l dr r G ds df dr rdr ds dr r r l Gr r G l r r r r R r R R R l 2 ////212122,?πιπ?ει? ε? ?= =∴=+→= == ∴<<内剪切力为 的面积在剪切应力剪变角为偎依为处任一点产生的在半径角的扭转角时，对于 当钢管有一个。 与，管内外半径分别为 设钢管长度为解：钢管中间是空的。 第一章 绪论 1-1．20℃的水2.5m 3，当温度升至80℃时，其体积增加多少？ [解] 温度变化前后质量守恒，即2211V V ρρ= 又20℃时，水的密度31/23.998m kg =ρ 80℃时，水的密度32/83.971m kg =ρ 32 1125679.2m V V ==∴ρρ 则增加的体积为3120679.0m V V V =-=? 1-2．当空气温度从0℃增加至20℃时，运动粘度ν增加15%，重度γ减少10%，问此时动力粘度μ增加多少（百分数）？ [解] 原原ρννρμ)1.01()15.01(-+== 原原原μρν035.1035.1== 035.0035.1=-=-原 原原原原μμμμμμ 此时动力粘度μ增加了3.5% 1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为μρ/)5.0(002.02y hy g u -=，式中ρ、μ分别为水的 密度和动力粘度，h 为水深。试求m h 5.0=时渠底（y =0）处的切应力。 [解] μρ/)(002.0y h g dy du -= )(002.0y h g dy du -==∴ρμ τ 当h =0.5m ，y =0时 )05.0(807.91000002.0-??=τ Pa 807.9= 1-4．一底面积为45×50cm 2，高为1cm 的木块，质量为5kg ，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s ，油层厚1cm ，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。 [解] 木块重量沿斜坡分力F 与切力T 平衡时，等速下滑 u θδ y u A T mg d d sin μθ== 001 .0145.04.062.22sin 8.95sin ????==δθμu A mg s Pa 1047.0?=μ 1-5．已知液体中流速沿y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律y u d d μτ=，定性绘出切应力沿y 方向的分布图。 [解] 1-6．为导线表面红绝缘，将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。已知导线直径0.9mm ，长度20mm ，涂料的粘度μ=0.02Pa ．s 。若导线以速率50m/s 拉过模具，试求所需牵拉力。（1.O1N ） [解] 253310024.51020108.014.3m dl A ---?=????==π N A h u F R 01.110024.510 05.05002.053=????==∴--μ 1-7．两平行平板相距0.5mm ，其间充满流体，下板固定，上板在2Pa 的压强作用下以0.25m/s 匀速移动，求该流体的动力粘度。 [解] 根据牛顿内摩擦定律，得 dy du /τμ= y u u u u y u u y ττ= 0y ττy 0τττ=0y 新力学习题答案（六） 6—1．一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为12.0cm ，周期为2.0s ，在t=0时物体位于6.0cm 处且向正x 方向运动。求 （1）初位相； （2）t=0.50s 时，物体的位置、速度和加速度； （3）在x=-6.0cm 处且向负x 方向运动时，物体的速度和加速度。 ()()() ()()()()2 2222220000000200/06.03 2cos 12.00.1/306.032sin 12.0)0.1(0.13 230 3sin 03sin 12.003 23213cos 3cos 12.006.006.0)3() /(306.06cos 12.035.0cos 12.0)5.0() /(06.06sin 12.035.0sin 12.0)5.0() (306.06cos 12.035.0cos 12.05.050.0)2(3 :)1(0 sin 0 sin 03 2 /112.0/06.0cos 06.0cos 00cos sin ,cos /20.2,12.0s m t a s m t v s t t t t t t t m x s m t a s m t v m t x s t A t v A t x t t A a t A v t A x T s T m A ππ πππ ππππππππππππππππππππππππππππππππ ???ωπ ????ωω?ωω?ωππ ω=-==-=-===∴=-∴>??? ? ? -?-==± =======+-=+-=+=== ∴==此时：：又此时速度小于时有：时：初位相又：时：则速度设振动方程为：秒弧角频率周期解：已知振幅 课程设计说明书常用软件课程设计 题目: 基于MATLAB的均匀平面波仿真 院（部）：力学与光电物理学院 专业班级：应用物理 学号： 学生姓名： 指导教师： 2017年7月2 日 安徽理工大学课程设计（论文）任务书 力学与光电物理学院基础与应用物理教研室 安徽理工大学课程设计（论文）成绩评定表 目录 摘要 (5) 1 绪论 (1) 1.1问题背景 (1) 1.2课题研究意义 (1) 2 均匀平面电磁波 (3) 2.1定义与性质 (3) 2.2理想介质中的均匀平面波方程 (3) 2.3平面电磁波的瞬时值形式 (6) 3 MATLAB软件及其基本指令 (8) 3.1MATLAB发展历史 (8) 3.2MATLAB的功能与语言特点 (8) 3.3MATLAB指令 (9) 4 程序设计与运行 (11) 4.1设计思路与框图 (11) 4.2运行结果 (12) 5 项目总结 (16) 6 参考文献 (17) 摘要 平面波是指场矢量的等相位面与波传播方向相垂直的无限大平面的一种电磁波·12。如果平面波在均匀一致且各向同性的理想介质中将形成均匀平面波。均匀平面波是研究电磁波的基础，研究均匀平面波传输特性有十分重要的实际意义。然而直接观察均匀平面波是很难实现的，所以随着计算机的发展，仿真实验正在不断的发展，仿真软件通过图形化界面联系理论条件与实验过程，同时运用一定的编程达到模拟现实的效果。于是本文用MATLAB对均匀平面电磁波在理想介质中的传播进行仿真模拟，从而可以更加形象的学习与理解电磁波的知识。 关键词：电磁波; 均匀平面电磁波; 理想介质; MATLAB; 仿真 578 .0tan ,/10065.11033.522.9:/1033.50:/1022.900 1616221616== ??=?+= ??-=-=?=+??-=-=?=+=++----x y n y y n e x x e n e n e P P e s cm g P s cm g P P P P y s cm g P P P P x y P x P P P P 核核核核核核核核反方向的夹角为：与方向大小轴轴：，有：轴的正向的直角坐标系向为轴的正向，向为建立以：解：依动量守恒定律有α? ?? ??()0 00 2 0)2('1v M m mM mv mv I v M m m mv P v M m mM Mv P v M m m v v v M m m v v M m mv x +=-=+==+==+==+=?+=子弹施于木块的冲量：子弹的动量为：木块的动量为：木块的速率为：定律有： 轴的正向，依动量守恒）以水平向右为解：（共共共()()20 2 22 2/10/2 3 s m g s kgm I T mL I mg T mL I mL mv L mv mg T F =≤?≤+=∴= ==-=这里取向心 新力学习题第二章 2—1．一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为10-16 g cm/s 的电子，同 时该核在垂直方向上又放出一个动量为10-16 g cm/s 的中微子。问蜕变后原子核的动量的大小和方向。 2—2．质量为M 的的木块静止在光滑的水平桌面上.。质量为m ，速率为v 0的子弹水平射到木块内，并与它一起运动。求（1）子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；（2）在此过程中子弹施于木块的冲量。 2—3．如本题图，以知绳的最大强度T 0=，m=500g ，L=。开始时m 静止。水平冲量I 等于多大才能把绳子打断 解：从受力角度分析，向心力由绳子张力和重力一起提供。 第一章流体的物理性质 1．连续介质假设 流体力学的任务是研究流体的宏观运动规律。在流体力学领域里，一般不考虑流体的微观结构，而是采用一种简化的模型来代替流体的真实微观结构。按照这种假设，流体充满一个空间时是不留任何空隙的，即把流体看作是连续介质。 2．液体的相对密度 是指其密度与标准大气压下4℃纯水的密度的比值，用δ表示，即 =ρ δ ρ 水 3．气体的相对密度 是指气体密度与特定温度和压力下氢气或者空气的密度的比值。 6．粘性 流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性，简称粘性。 7．牛顿流体和非牛顿流体 符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。 8．动力粘度 牛顿内摩擦定律中的比例系数μ称为流体的动力粘度或粘度，它的大小可以反映流体粘性的大小，其数值等于单位速度梯度引起的粘性切应力的大小。单位为Pa·s，常用单位mPa·s、泊（P）、厘泊（cP），其换算关系： 1厘泊(1cP)=1毫帕斯卡·秒(1mPa.s) 100厘泊(100cP)=1泊(1P) 1000毫帕斯卡·秒(1mPa·s)=1帕斯卡.秒(1Pa·s) 9．运动粘度 流体力学中，将动力粘度与密度的比值称为运动粘度，用υ来表示，即=μ υ ρ ,其单位为m2/s，常用单位mm2/s、斯（St）、厘斯（cSt），其换算关系： 1m2/s＝1×106mm2/s＝1×104 St=1×106 cSt 1 St=100 cSt 10．质量力 作用在每一个流体质点上，并与作用的流体质量成正比。对于均质流体，质量力也必然与流体的体积成正比。所以质量力又称为体积力。 2．牛顿内摩擦定律的应用 （1）符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。常见的牛顿流体包括空气、水、酒精等等；非牛顿流体有聚合物溶液、原油、泥浆、血液等等。 （2）静止流体中，由于流体质点间不存在相对运动，速度梯度为0，因而不存在粘性切应力。 （3）流体的粘性切应力与压力的关系不大，而取决于速度梯度的大小； （4）牛顿内摩擦定律只适用于层流流动，不适用于紊流流动，紊流流动中除了粘性切应力之外还存在更为复杂的紊流附加应力。 3．流体粘度与压力和温度之间的关系 液体的粘度随着温度的升高而减小，气体的粘度随着温度的升高而增大。 第二章 流体静力学 2．静压力 在静止流体中，流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压强，称为流体静压力，简称压力，用p 表示，单位Pa 。 3．等压面 在充满平衡流体的空间里，静压力相等的各点所组成的面称为等压面。 4．压力中心 总压力的作用点称为压力中心。 5．压力体 是由受力曲面、液体的自由表面（或其延长面）以及两者间的铅垂面所围成的封闭体积。 2．静压力的性质 （1）静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直地指向作用面； （2）静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关； （3）等压面与质量力垂直。 4．静力学基本方程式的适用条件及其意义。 1212=p p z z ρg ρg + + （1）其适用条件是：重力作用下静止的均质流体。 （2）几何意义：z 称为位置水头，p /ρg 称为压力水头，而z ＋p /ρg 称为测压管水头。因此，静力学基本方程的几何意义是：静止流体中测压管水头为常数。 教材建设 在十一五教材规划立项中，有6种教材列入了十一五教材规划项目《新概念物理教程》力学赵凯华高教出版社 1995 《新概念物理教程》热学赵凯华高教出版社 1998 《新概念物理教程》电磁学赵凯华陈熙谋高教出版社 2003 《新概念物理教程》光学赵凯华高教出版社 2004 《新概念物理教程》量子物理赵凯华高教出版社 2001 《大学物理通用教程》力学钟锡华周岳明北大出版社 2000 《大学物理通用教程》热学刘玉鑫北大出版社 2002 《大学物理通用教程》电磁学陈秉乾王稼军北大出版社 2003 《大学物理通用教程》光学近代物理陈熙谋北大出版社 2002 《大学物理通用教程》周岳明张瑞明北大出版社 2003 《大学物理通用教程》习题指导北大出版社 2005 《现代光学基础》钟锡华北大出版社 2003 《现代光学基础》解题指导钟锡华周岳明北大出版社 2004 《力学》舒幼生北大出版社 2005 《力学》习题与解答舒幼生北大出版社 2005 《热物理学基础》包科达高教出版社 2001 《热学教程》包科达科学出版社 2007 《基础物理学》上下册陆果高教出版社 2007 《光学》赵凯华钟锡华北大出版社 1984 《定性与半定量物理学》赵凯华高教出版社 1991 《热学》李椿章立源钱尚武人教社 1979 《物理演示实验》陈熙谋等高教社 1983 《光的偏振》张之翔高教社 1985 《电磁学千题解》张之翔科学出版社 2002 《力学》蔡伯濂湖南教育出版社 1985 《狭义相对论》蔡伯濂高教社 1991 《常用物理概念精析》陈熙谋陈秉乾胡望雨科学出版社 1994 《物理难题集萃》（增订本）舒幼生胡望雨陈秉乾高教社 1999 《中学物理竞赛指导》舒幼生胡望雨陈秉乾北大出版社 1995 《奥林匹克物理》(1)(2)(3) 舒幼生湖南教育出版社 1993 1994 1996 新概念物理教程力学答案详解(四) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 3 v m 新力学习题答案（四） 4—1．如本题图，一质量为m 的质点自由降落，在某时刻具有速度v 。此时它相对于A 、B 、C 三参考点的距离分别为d 1、d 2、d 3。求 （1）质点对三个点的角动量； （2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。 0sin (sin ()2(0 0sin (sin (131213121=====?=?======?=mg d M mg d mg d M mg d M g m r F r M mv d J mv d mv d J mv d J v m r J A B A C B A 方向垂直纸面向里） 方向垂直纸面向里） 方向垂直纸面向里） 方向垂直纸面向里） ）解：（θθ 的力矩。 的角动量和作用在其上。求它相对于坐标原点的力方向并受到一个沿处，速度为的粒子位于（一质量为—f x j v i v v y x m y x -+=,??),.24 ()( ) () ()()() i ymg k yf j xmg k mg i f j y i x g m f r F r M k myv mxv j v i v m j y i x v m r J x y y x ????????????-+=--?+=+?=?=-=+?+=?= 解：() () 秒弧解：依题有： 求其角速度。为普朗克常量，等于已知电子的角动量为率运动。的圆周上绕氢核作匀速，在半径为电子的质量为—/1013.1103.5101.914.321063.622),1063.6(2/103.5101.9.34172 11 3134 2 2341131?=??????=== ==????------mR h h mR Rmv J s J h h m kg πωπ ωπ什么变化？ 为多少？圆锥的顶角有的速度时，摆锤，摆长拉倒时摆锤的线速度为设摆长为我们可将它逐渐拉短。，子，系摆锤的线穿过它央支柱是一个中空的管如本题图，圆锥摆的中—2211.44v l v l 新概念物理力学答案 【篇一：新概念物理教程力学答案详解二】 恒定律有：pe?pn?p核?0 ?? 建立以pe向为x轴的正向，pn向为y轴的正向的直角坐标系，有：x轴：pe?p核x?0y轴:pn?p核y?0大小:p核? ?p核x??pe??9.22?10?16g?cm/s?p核 y??pn??5.33?10?16g?cm/s p核yp核x 新力学习题第二章 2—1．一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为 9.22?10-16g?cm/s的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量 为5.33?10-16g?cm/s的中微子。问蜕变后原子核的动量的大小和 方向。 9.222?5.332?10?16?1.065?10?16g?cm/s ?0.578 方向,与e反方向的夹角为：tan?? 2—2．质量为m的的木块静止在光滑的水平桌面上.。质量为m， 速率为v0的子弹水平射到木块内，并与它一起运动。求（1）子弹 相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；（2）在 此过程中子弹施于木块的冲量。 解：（1）以水平向右为x轴的正向，依动量守恒定律有： mv0??m?m?v共 木块的速率为：v?v共? m ?v共 ?v0 m?m m v0 m?mmm 木块的动量为：p?mv?v0 m?mm2 子弹的动量为：p?mv?v0 m?m(2)子弹施于木块的冲量：i?mv0?mv? mm v0 m?m 2—3．如本题图，以知绳的最大强度t0=1.00kgf，m=500g， l=30.0cm。开始时m静止。水平冲量i等于多大才能把绳子打断？解：从受力角度分析，向心力由绳子张力和重力一起提供。 2 mv2?mv?i2 f向心?t?mg??? lmlml i2 ?t?mg??t0 ml 3 ?kgm/s??i?这里取g?10m/s2 2 2—4．一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。木块的质量分别为m1和m2，设子弹透过两木块的时间间隔为t1和t2。设子弹在木块中所受阻力为恒力 f，求子弹穿过两木块时各以多大的速度运动。 解:依冲量定理,穿过第一木块时有: ft1??m1?m2?v1?v1? ft1 m1?m2穿过第二木块时有:ft2?m2v2?m2v1 v2? ft2?m2v1ft2ft1 ??m2m2m1?m22—5．质量为70kg的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg。若渔人在船上向船 头走4.0m后停止。试问：以岸为参考系，渔人走了多远？解：水的阻力不计，则动量守恒： 设以岸为参考系人的质量为m,绝对速度为v;船的质量为m,绝对速度为v;s?4.0m则有:又: mv?mv?0 ?v?? mv m s?v人对船t??v?v?t?vt? mv?m?m? ?s??v?t?vt?弄清几个与从参考系有关的问题
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