用导数研究函数的恒成立与存在问题
1.已知函数23()2ln x
f x x x a
=
-+,其中a 为常数. (1)若1a =,求函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数,求a 的取值围.
2.已知函数3
2
()4()f x x ax a R =-+-∈,'()f x 是()f x 的导函数。
(1)当2a =时,对于任意的[1,1]m ∈-,[1,1]n ∈-,求()()f m f n '+的最小值; (2)若存在0(0,)x ∈+∞,使0()f x >0,求a 的取值围。
3.已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈.
(1)若2=a ,求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程; (2)求)(x f 的单调区间; (3)设22)(2+-=x x x g ,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]1,02∈x ,使得)()(21x g x f <,
数a 的取值围.
4.(2016届二模)已知函数()22ln f x x x =-+. (Ⅰ)求函数()f x 的最大值; (Ⅱ)若函数()f x 与()a
g x x x
=+
有相同极值点. ①数a 的值;
②对121,,3x x e ???∈????
(e 为自然对数的底数),不等式
()()
1211
f x
g x k -≤-恒成立,数k 的取值围.
5.已知函数2
12
()()ln ()f x a x x a R =-+∈.
(1)当1a =时,01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤,数m 的取值围;
(2)若在区间1(,)+∞,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方,数a 的取值围.
用导数研究函数的恒成立与存在问题 答案
1.解:(1)若a =1,则f (x )=3x -2x 2+ln x ,定义域为(0,+∞),
f ′(x )=1x -4x +3=-4x 2+3x +1x =-4x +1x -1
x
(x >0).
当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,函数f (x )=3x -2x 2+ln x 单调递增.
当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )<0,函数f (x )=3x -2x 2+ln x 单调递减, 即f (x )的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞).
(2)f ′(x )=3a -4x +1
x
.
若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数,
即在[1,2]上,f ′(x )=3a -4x +1x ≥0或f ′(x )=3a -4x +1
x
≤0,
即3a -4x +1x ≥0或3a -4x +1
x
≤0在[1,2]上恒成立.
即3a
≥4x -1x 或3a ≤4x -1x
.
令h (x )=4x -1
x
,因为函数h (x )在[1,2]上单调递增, 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1),即3
a ≥152或3
a
≤3,
解得a <0或0<a ≤2
5
或a ≥1.
故a 的取值围是(-∞,0)∪(0,2
5
]∪[1,+∞).
2. 解:(1)由题意知.43)(',42)(2
2
3
x x x f x x x f +-=-+-=令.3
4
0,0)('或得==x x f
当x 在[-1,1]上变化时,)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表:
)(],1,1[m f m -∈∴对于的最小值为,4)0(-=f
x x x f 43)('2+-= 的对称轴为32
=
x ,
且抛物线开口向下, )('],1,1[n f n -∈∴对于的最小值为.7)1('-=-f
)(')(n f m f +∴的最小值为-11.
(2))32(3)('a x x x f -
-= .
①若0)(',0,0<>≤x f x a 时当, [)+∞∴,0)(在x f 上单调递减,又.4)(,0,4)0(-<>-=x f x f 时则当
.0)(,0,000>>≤∴x f x a 使不存在时当
②若,0)(',320,0><
<>x f a x a 时则当当.0)(',3
2<>x f a x 时 从而???
??32,0)(在x f 上单调递增,在??
?
???+∞,32a
上单调递减,
494278)32()(),0(33max
-+-==+∞∈∴a a a f x f x 时,当,则.3,27,0427
433
>>>-a a a 解得即
综上,a 的取值围是).,3(+∞ (或由020
004
,0)(,0x x a x f x +>
>>得,用两种方法可解) 3. 解:(1)由已知1
20()()f x x x
'=+
>, 1213()f '=+=, 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3 而12()f =,所以切点为12(,),)(x f y =在点1x =处的切线方程为 31y x =-
(2)110()()ax f x a x x x
+'=+
=> ①当0a ≥时,由于0x >,故10ax +>,所以0()f x '>,()f x 的单调递增区间为0(,)+∞.
②当0a <时,由0()f x '=,得1x a =-
. 在区间10(,)a
-上,0()f x '>,在区间1
(,)a -+∞上0()f x '<,
所以,函数的单调递增区间为1
0(,)a -,单调递减区间为1
(,)a
-
+∞. (3)由已知,问题等价于为max max ()()f x g x <. 其中()2max g x =
由(2)知,当0a ≥时,()f x 在0(,)+∞上单调递增,值域为R ,故不符合题意.
(或者举出反例:存在3332()f e ae =+>,故不符合题意.)
当0a <时,()f x 在10(,)a -上单调递增,在1
(,)a
-
+∞上单调递减, 故()f x 的极大值即为最大值,1111()ln()ln()f a a a
-=-+-=---,
所以21ln()a >---,解得31a e
<-
. 4. 解(Ⅰ)()()()()211220x x f x x x x x
+-'=-+
=->,…………………………1分 由()0,0f x x '?>?
>?得01x <<;由()0,0
f x x '?>?得1x >.
()f x ∴在()0,1上为增函数,在()1,+∞上为减函数. ……………………2分 ∴函数()f x 的最大值为()11f =-.…………………………………………3分
(Ⅱ)
()()2,1a a
g x x g x x x
'=+∴=-.
①由(1)知,1x =是函数()f x 的极值点, 又
函数()f x 与()a
g x x x
=+
有相同极值点, ∴1x =是函数()g x 的极值点, ∴()110g a '=-=,解得1a =.……………………………………………4分
经验证,当1a =时,函数()g x 在1x =时取到极小值,符合题意. ……5分 ②
()()2112,11,392ln 3f f f e e ??
=--=-=-+ ???
,
易知2
192ln 321e -+<-
-<-,即()()131f f f e ??
<< ???
. ()()()()111min max 1,3,392ln 3,11x f x f f x f e ??
∴?∈==-+==-????
………7分
由①知()()211,1g x x g x x x '=+
∴=-,当1,1x e ??
∈????
时,()0g x '<;当(]1,3x ∈时,()0g x '>. 故()g x 在1,1e ??
????
上为减函数,在(]1,3上为增函数.
()()11110,12,3333g e g g e e ??=+==+= ???
,而()()11012,133e g g g e e ??
<+<∴<< ???.
()()()()222min max 110,3,12,33x g x g g x g e ??
∴?∈====????. …………………9分
1当10k ->,即1k >时,对于121,,3x x e ??
?∈????
,
不等式()()
1211
f x
g x k -≤-恒成立()()12max 1k f x g x ?-≥-????()()12max 1k f x g x ?≥-+????. ()()()()1211123f x g x f g -≤-=--=-,
312,1,1k k k ∴≥-+=->∴>又. ……………………………………………10分 2当10k -<,即1k <时,对于121,,3x x e ??
?∈????
,