高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一.函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f(x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以f(x)~g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x ， 1?cos x ~2/2^x ，x e ?1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则1.单调有界数列极限一定存在 准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 5．洛必达法则 定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；
（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)() (lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件： （1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ； （2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； （3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)() ()(lim 0'000x f x x f x x f x =?-?+→?(如果存在） 7.利用定积分定义求极限 基本格式?∑==∞→1 1)()(1lim dx x f n k f n n k n （如果存在） 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y =f (x )的间断点。如果f (x )在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是f (x )的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 四．闭区间上连续函数的性质 ) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1Λ=i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
第四章 生成函数 1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4 }= 235 (11111) 1x x x x x +++-（） （2）343,,,333n +?????????? ? ? ????? ???? 解：3n G n +?????? ?????=4 1(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=2 1 1x -. （4）{1,k ,k 2,k 3,…} 解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…= 1 1kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4 解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为 A(x)=235 (11111)1x x x x x +++-（）=0 k k k a x ∞=∑， 此处a k =k 4 .令b n =14 +24 +…+n 4 ，则b n =0n k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生 成函数为 B(x)= 0n n n b x ∞ =∑=() 1A x x -=34 125(1111)i i i x x x x x i ∞ =++++?? ??? ∑. 比较等式两边x n 的系数，便得 14+24+…+n 4 =b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----???????? ? ? ? ? ???????? 321 (1)(691)30 n n n n n =+++- （2）1·2+2·3+…+n (n +1) 解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)= 3 2(1)x x -=0 k k k a x ∞ =∑，此处a k = n (n +1). 令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0 n k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成 函数为B(x)= n n n b x ∞ =∑= () 1A x x -= 4 2(1)x x -=032n k k k x x k =+?? ?? ?∑. 比较等式两边x n 的系数，便得
4.1证明所有的循环群是ABEL 群 证明： n n ,,**×x ,x m n m n a b G G a b b a x x a b b a ++∈==∴=m m m 循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意是循环群，有成立，因为循环群中的元素可写成a=x 形式所以等式左边x 等式右边x ＝，，即所有 的循环群都是ABEL 群。4.2 x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m =e ，则称m 为x 的阶，试证： C=｛e,x,x 2, …,x m-1｝ 证： x 是G 的元素，G 满足封闭性所以，xk 是G 中的元素 C ∈G 再证C 是群： 1、x i , x j ∈C , x i ·x j = x i+j 若i+j<=m-1,则x i+j ∈C 若i+j>m,那么x i+j =x m+k =x m ·x k =x k ∈C 所以C 满足封闭性。 2、存在单位元e. 3、显然满足结合性。 4、存在逆元， 设x a ·x b =e=x m x b =x m-a x a ∈C, (x a )-1= x b =x m-a 4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n. 证明：设G 是阶为n 的有限群，a 是G 中的任意元素，a 的阶素为k ， 则此题要证n k ≤ 首先考察下列n+1个元素 a a a a a n 1 432,.... ,,,+ 由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G ,，而G 中仅有n 个元素，所 以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为 a a j i i += （n j ≤≤1） a a a j i i *= 由群的性质3可知，a j 是单位元，即a j =e ，又由元素的阶数的定义可知，当a 为k 阶元素时a k =e ，且k 是满足上诉等式的最小正整数，由此可证n j k ≤≤ 4.4 若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的
习题四 4.1.若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a= x m，则称这个群为循环群。若群 的元素交换律成立，即a , b G满足 a b = b a 则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。 [证].设循环群(G, )的生成元是x0?G。于是，对任何元素a , b G，m，n?N，使得a= x0m , b= x0n ,从而 a b = x0m x0n = x0m +n (指数律) = x0n +m (数的加法交换律) = x0n x0m(指数律) = b a 故运算满足交换律；即(G, )是交换群。 4.2.若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证： C={e,x,x2, ,x m-1} 是G的一个子群。 [证].(1)非空性C ：因为e?G； (2)包含性C G：因为x?G，根据群G的封闭性，可知x2, ,x m-1,(x m=)e?G，故C G； (3)封闭性 a , b C a b C： a , b C，k，l?N (0k 第一章、函数、极限与连续 1、已知函数2,02 ()2,24 x f x x ≤≤?=? -<≤?，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3 ()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 (1)(1)f x + (2)()(0f a x a ≠ (3)(sin )f x (4)(s i n 1 f x + 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？ 1 (1)() y f x = (2))y = (3)l o g ()(0a a y f x a =>≠且 (4)a r c c o s (y f x = 5、求下列函数的定义域。 22(1)16x y x = +- 2 (2)a r c s i n 3x y -= (3)a r c 4 y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 211(1)()ln ;()2ln f x x g x x == 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+ 33(2)(3)(3)()3;()2 x x f x x g x x -+=+= - 44(4)()()1f x g x x ==- 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2 ()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2 211 (),()f x x f x x x +=+ 求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。 (1)()sin f x x x = (2)() s i n f x x t g x =+ (3)()f x = (4)()ln(f x x = 2(5) ()f x x x =- 12、判断下列函数的奇偶性。 3(1)()f x x x =+ (2)()c o s f x x x =? (3)()(0)tgx f x x x = ≠ (4)()ln(f x x x =- 13、求下列函数的周期。 组合数学第4章答案 4.1证明所有的循环群是ABEL 群 证明： n n ,,**×x ,x m n m n a b G G a b b a x x a b b a ++∈==∴=m m m 循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意是循环群，有成立，因为循环群中的元素可写成a=x 形式所以等式左边x 等式右边x ＝，，即所有 的循环群都是ABEL 群。 4.2 x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m =e ，则称m 为x 的阶，试证： C=｛e,x,x 2, …,x m-1｝ 证： x 是G 的元素，G 满足封闭性所以，xk 是G 中的元素 C ∈G 再证C 是群： 1、x i , x j ∈C , x i ·x j = x i+j 若i+j<=m-1,则x i+j ∈C 若i+j>m,那么x i+j =x m+k =x m ·x k =x k ∈C 所以C 满足封闭性。 2、存在单位元e. 3、显然满足结合性。 4、存在逆元， 设x a ·x b =e=x m x b =x m-a x a ∈C, (x a )-1= x b =x m-a 4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n. 证明：设G 是阶为n 的有限群，a 是G 中的任意元素，a 的阶素为k ， 则此题要证n k ≤ 首先考察下列n+1个元素 a a a a a n 1 432,.... ,,,+ 由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G ,，而G 中仅有n 个元素，所 以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为 a a j i i += （n j ≤≤1） a a a j i i *= 由群的性质3可知，a j 是单位元，即a j =e ，又由元素的阶数的定义可知，当a 为k 阶元素时a k =e ，且k 是满足上诉等式的最小正整数，由此可证n j k ≤≤ 第四章 P ?lya 定理 1. 群的定义及性质 定义：设G 是一个非空集合，G G G →??:是G 中运算，如果满足： （1）封闭律 G ab G b a ∈∈?,, （2）结合律 )(),(,,,,c b a c b a G c b a ??=?∈? （3）有单位元 ,G e ∈?对a a e e a G a =?=?∈?, （4）有逆元e a b b a G b G a =?=?∈?∈?,, 则称G 为一个群。 例1：整数加群，有理数加群，实数加群，复数加群。 例2：非零实数乘法群。 例3：一般线性群与特殊线性群 例4：二维空间中变换群 （1）群中单位元是唯一的； （2）每个元的逆元是唯一的； （3）群中消去律成立； （4）一般情况下，交换律不成立 （5）Abel 群； （6）子群 2. 置换群 n 次对称群 ?? ? ??????????? ??=级全排列为一个n i i i i i i i n S n n n 21321321 则n S 关于置换的合成构成一个群。 ?? ? ??????????? ?????? ??==122121212 2S n ?? ???????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ??==213321,132321,231321,123321,312321,3213213 3S n ??? ??????? ?????? ?????? ? ?==32144321,,43124321,432143214 4 S n 24!46!32 !2432======S S S 令 ??? ? ??=? ?? ? ??=12332131232121p p ???? ??=???? ??? ?? ? ??=13232112332131232121p p ??? ? ??=???? ??? ?? ? ??=12332131232112332112p p n S p p p p ?≠1221非交换群 置换群：n S 的每个子群叫做n 阶置换群。 3S 的子群：?????????? ?????? ??=??? ??????? ??=312321, 321321, 32132121H H ,231321, 321321,123321, 32132143? ????????? ?????? ? ?=? ?? ??????? ?????? ??=H H 35S H = 置换群的表示： 置换表示：将n 元置换群中每个元素用置换表示出来。 ?????????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ? ?=213321,132321,231321,123321,312321,3213213S 轮换表示（循环表示） 如果置换将1a 变到2a ，将2a 变到,,3 a 将1-k a 变到k a ，将k a 变到1a ，而保持其他元素不动，则称该置换为一个长为k 的轮换（循环，）记为（k a a a 21）。 比如)14523(2513454321=? ?? ? ?? )145(1532454321=??? ? ?? 1 长度为1的轮换是恒等置换，记为（1），或（2），…，（n ）.《高等数学》第七版课后练习题
组合数学第4章答案
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