线性代数公式大全
第一章 行列式
1．逆序数 1.1 定义
n 个互不相等的正整数任意一种排列为：12n i i i ???，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不
同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用()12n i i i τ???表示，()12n i i i τ???等于它所有数字中后面小于前面
数字的个数之和。 1.2 性质
一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即 ()211ττ=-。
证明如下：
设排列为111l m n a a ab b bc c L L L ，作m 次相邻对换后，变成111l m n a a abb b c c L L L ，再作1m +次相邻对换
后，变成111l m n a a bb b ac c L
L L ，共经过21m +次相邻对换，而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，
要么减少1 ，相当于()211ττ=-，也就是排列必改变改变奇偶性，21m +次相邻对换后()
()21
21111m τττ+=-=-，
故原命题成立。
2．n 阶行列式的5大性质
性质1：转置（行与列顺次互换）其值不变。 性质2：互换任意两行（列）其值变号。
性质3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。 性质4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。 性质5：把行列式某行（列）λ倍后再加到另一行（列），其值不变。
行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。
对性质4的重要拓展： 设n 阶同型矩阵，
()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==?+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当
是2n
个行列式之和，即A B A B
+≠+。
韦达定理的一般形式为：
()1
2
120
120111
0; ; 1n n
n
n n n n n n n n n i i j i i i j i n n n a a a
a x a x
a x
a x x x x a a a ------=≠==++++=?=-==-∑∑∏L
一、行列式定义 1．定义
11
1212122212
n n
n n nn
a a a a a a a a a L L L L L L L
n n nj j j j j j a a a ΛΛ221211)
()
1(τ∑-=
其中逆序数 ()121n j j j j τ=L 后面的1j 小的数的个数 2j +后面比2j 小的数的个数+L 1n j -+后面比1n j -小的数的
个数.
2．三角形行列式
11121222000n n nn a a a a a a L L L L O L L
11212212
00
n n nn
a a
a a a a =L L L L L L L
1122nn a a a =L 121
1000n n n nn nn a a a a a -L L N L N L L L
1112
121221
000
n
n a a a a
a a =L N L N L L L ()()12112111n n n n n a a a τ-?????
-=-L L ()()1212111n n n n n a a a --=-L 二、行列式性质和展开定理
1．会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2．展开定理
1122i k i k in kn ik a A a A a A A δ+++=L A A a A a A a jk nk nj k j k j δ=+++2211
三、重要公式 设A 是n 阶方阵，则 1．T A A =
2．
1
1A A
--=
3．1
*n A A
-=
4．n kA k A =
5．
AB A B =，其中B 也是n 阶方阵
6．设B 为m 阶方阵，则
00A C A A B B C
B =
=
()
10
mn
A
C A A B
B C
B
=
=-
7．范德蒙行列式
()12222
12111112
111n i j n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L L L L L L
四．有关结论 1．对于
,n n n n A B ??
(1)
00A A ?==? (2) A B A B
?==?
2.
A 为n 阶可逆矩阵
A E A E ?→?→行变
列变
（A 与E 等价）
0AX ?=只有惟一零解
AX b ?=有惟一解（克莱姆法则） A ?的行（列）向量组线性无关
A ?的n 个特征值0,1,2,,i i n λ≠=L
?A 可写成若干个初等矩阵的乘积 ?)()(B r AB r = ?A A T 是正定矩阵
?A 是n R 中某两组基之间的过渡矩阵
3.
A 为n 阶不可逆矩阵
0=A 0AX ?=有非零解 ?n A r <)( ?0是A 的特征值 ?A A -=
4.若
A 为n 阶矩阵，)2,1(n i i Λ=λ为A 的n 个特征值，则∏==n
i i A 1
λ
5.若B A ~，则B A =
行列式的基本计算方法：
1. 应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。
2. 按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。 在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。
行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n 阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值），因此，务求熟练掌握。 典型题:
一. 数字行列式的计算. 1. 利用行列式的定义. 2. 利用行列式的基本性质.
3. 一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式. 二. 行列式的代数余子式的相关计算. 三.
A B
+类型成抽象行列式的计算.
1.与向量成分块矩阵结合 2与特征值、特征向量结合. 4 与代数余子式结合.
四.范德蒙行列式与克莱姆法则
第二章 矩阵
一 内容概要 1 矩阵的概念
注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A 是一个方阵时候，
A 才有意义，但是A A ≠；此外当A 是长方形矩阵时A 没有意义。
2矩阵的运算及其运算律 （1）矩阵的相等； （2）矩阵的线性运算：
a)矩阵的和：A+B 注意A 和B 要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；
b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵） ()n m ij n m ij ka a k kA ??==)(；
c)一般地，若t t t A k A k A A A A +++ΛΛ221121k ,,,是同型矩阵，则有意义，称为矩阵t A A A ,,,21Λ的一个
线性运算；
3矩阵的转置
将矩阵A 的行列互换，得到新的矩阵A A T '或，称为矩阵A 的转置。
4 矩阵的乘法 矩阵乘法的定义：
()s m ij s n n m C B A ???=
注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而
()??????
? ??=+++=nj j j i i i nj in j i j i ij b b b a a a b a b a b a c M Λ
Λ214212211
5 关于矩阵运算的运算律要注意的问题： 1）一般地其BA AB ≠原因是a)AB 与BA 不一定同时有意义；b)即使AB 与BA 都有意义，AB 与BA 的阶数也未必一
致；例如
()()同都有意义，但其阶数不与，则BA AB b B a A jt ij 3223,??==；
c)即使AB 与BA 其阶数相同，但AB 与BA 也未必相同；如果AB=BA ，则称A 与B 是可以交换的。
例如BA AB BA AB B A ≠???
? ??--=???? ??=都有意义，但是
与，则1111,1111 2）矩阵的乘法不满足消去律， 即一般地若
0,0,00,=≠==≠=X A AX C B A AC AB 推不出，例如若，推不出
3）若
()T T T
A B AB AB =有意义，则
3 几种特殊类型的矩阵
（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵； （5）对称矩阵：若
()T ji ij n n ij A A a a a A ===?，即,； （6）反对称矩阵：若
()T ji ij n n ij A A a a a A --,===?，即；
关于反对称矩阵常用的结论：1）A 的主对角线上的元素全是0；2）若A 是奇数阶行列式，则
0=A ;
(7)正交矩阵：若
1-===A A E A A AA A T T T 或满足：，则称A 是正交矩阵。
关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A 是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T 使得：
???????
?
?
?==--n n T AT T AT T λλλλ1
211O
； （8）阶梯形矩阵
若A 满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）； 关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A 都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；
（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；
（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。 4 分块矩阵
当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。 矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致； 分块矩阵运算的原则：
（1）分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B 的分块方法完全一致；
（2）分块矩阵的乘法：若AB ，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。 5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价
（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵； 用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。 （2）初等变换
初等行变换、初等列变换； （3）初等变换与初等矩阵之间的关系
对矩阵A 做一次初等行变换成为B ，则B=PA （其中P 是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：
B A r r =????
?
??--???→?????? ??--=+-?13131022113113222121)2(
即则PA B =???
?
?
??--????? ??-=????? ??--=131132221100012001131310221B
对于矩阵A 作一次初等列变换成为B ，则B=AP （其中P 是与上述列变换相对应的初等矩阵）。
举例说明B A c c =???
??
??---??
?→?????? ??--=+-?11111220113113222121)2( ????
?
??-????? ??--=????? ??---=100010021131132221111112201B
(4)矩阵A 与B 等价
如果A 能够通过初等变换变为B 则称A 与B 等价，用式子表示就是：
j s t t Q P Q Q AQ P P P B ,,i 2111其中ΛΛ-=是初等矩阵
每一个矩阵A 都与矩阵???
?
??00
0r
E 等价，其中r 是矩阵A 的秩，即存在 ???
? ?
?=-000,2111i r
s t t j E Q Q AQ P P P Q P ΛΛ使得：初等矩阵 6 关于n 阶矩阵的逆矩阵
（1）逆矩阵的定义：设A 是一个n 阶矩阵，若有n 阶方阵B 使得 AB=E 或BA=E 则称矩阵A 是可逆的； ( 2 )n 阶方阵A 可逆的充要条件
1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B 使得 AB=E 或BA=E(即定义）； 2）用A 的行列式
0≠A A 来描述：;
3）用矩阵的秩来描述：的阶数；是矩阵这里A n n A r =)( 4）用向量的观点来描述：矩阵A 的行向量组（或列向量组）线性无关； 5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解； 6）用矩阵A 的特征值来描述：A 的特征值全不0； （3）逆矩阵的性质
1）若A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的； 2）若A,B 是同阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且()111---=A B AB ;
3）
()
()
()()()n
n
T T
A A A A A k A A A A A 11
1
1111
11
1
1,k ,)(,-----------=====，;
4）???
?
??≠???? ?
?=???? ?????? ?
?=????
??--------00
00
00
,00001
1111
111
B A A B B A B A B A （4）逆矩阵的求法
1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；
初等变换求逆矩阵的方法：
()()1||-=?????→?A B B E E A ，则一系列初等行变换
2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B 使得：AB=E ，或BA=E ，此时的B 就是所求的逆矩阵；
3）如果要判断矩阵A 是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件； （5）关于伴随矩阵
1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律； 2)伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵A 均有此伴随矩阵
*A
E A A A AA ==**使得
当
00,10***
1====
≠-A A AA A A A
A A 时：当时， 对于一般地方阵A ，其伴随矩阵
*A 的秩为：
??
?
??-≤-===2)(01)(1)()(*n A r n A r n A r n A r 若若若
当
00,0*1
*===≠-A A A
A A n 时当时，。
（6）关于矩阵的秩
1）矩阵秩的定义：在矩阵A 中，有一个不等于0的r 阶子式r D ，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r 称为矩阵A 的秩，r D 称为矩阵A 的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。
2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A 实行初等变换其秩不变
)()(B r A r B A =→→，则一系列初等变换
3）矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵A 的秩其一般方法是
是阶梯型矩阵），（一系列初等变换T T A ????→?
行的行数的非）（则0)(T T r A r ==
4）有关矩阵秩的重要结论
()()()
是实矩阵）（若A AA r A r A r T T ==
{}n m A r A ,m in )(10≤≤≠，则若
()(){}())()(|)(),(m ax ,)(),(m in ),()()(B r A r B A r B r A r B r A r AB r B r A r B A r +≤≤≤+≤±
若P 、Q 分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则
)()()()(PAQ r AQ r PA r A r ===
)()(00
),()(00B r A r B A r B r A r B A r +=???
?
?
?+=???? ?? 若A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，且AB=0，则：
n B r A r ≤+)()(
此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。
二 常见题型
题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查 在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用E A A AA ==--11来进行。
题型二： 矩阵可逆的计算与证明
（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚； （2）如果给定了抽象的条件，要求
1-A ，此时注意将条件转化为AB=E ，或BA=E,此时的B 就是要求的1-A 。
在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。 题型三： 关于伴随矩阵
逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。
题型四： 有关初等矩阵及其初等变换的问题 题型五： 解矩阵方程
将所给的条件转化为矩阵方程：这里或或B AXC B XA B AX ===的矩阵A,C 一般地都是可逆矩阵。
对于矩阵方程()()D E B A B AX ||???→?=初等行变换，其一般的解法为：，则这里的矩阵B A D 1-=；
或者先求出
B A A 11--，再计算。
对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。
题型六： 关于矩阵的秩
1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A 实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A 的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；
2 利用矩阵的秩，等于矩阵A 的行向量组的秩，等于矩阵A 的列向量组的秩等性质。
3 注意矩阵秩的有关不等式。 题型七： 求一个方阵的高次幂 当A 是一个方阵的时候，k A 才有意义，否则没有意义。
第三章 n 维向量空间
§3.1 n 维向量的定义 1. 定义
定义：n 个数n a a a ,,,21Λ构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a Λ=α,
称为n 维行向量．
i a –– 称为向量α的第i 个分量
R ∈i a –– 称α为实向量（下面主要讨论实向量）
C ∈i a –– 称α
为复向量
零向量：)0,,0,0(Λ=θ
负向量：
),,,()(21n a a a ---=-Λα
列向量：n 个数n a a a ,,,2
1Λ构成的有序数组, 记作?
??
???
??????=n a a a M 21α, 或者T 21),,,(n a a a Λ=α, 称为n 维列向量．
零向量：
?
?
?
?
??
??????=000M θ 负向量：????????????---=-n a a a M 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
§3.2 n 维向量的线性运算 1．定义
线性运算：),,,(21n a a a Λ=α, ),,,(21n b b b Λ=β
相等：若),,2,1(n i b a i i Λ==, 称β
α=．
加法：Δ
=+βα),,,(2211n n b a b a b a +++Λ
数乘：
),,,(21Δ
n ka ka ka k Λ=α
减法：
Δ
=-βα=-+)(βα),,,(2211n n b a b a b a ---Λ
2．线性运算律：
),,,(21n a a a Λ=α, ),,,(21n b b b Λ=β, ),,,(21n c c c Λ=γ
(1)
αββα+=+ (5) αα=1
(2) )()(γβαγβα++=++ (6) αα)()(l k l k = (3) αθα=+ (7) βαβαk k k +=+)(
(4) θαα=-+)( (8) αααl k l k +=+)(
§3.3 向量组的线性相关性 1．线性组合与线性表示 对n 维向量α及m αα,,1Λ, 若有数组m k k ,,1Λ使得
m m k k ααα++=Λ11, 称α
为
m αα,,1Λ的线性组合,
或α可由m α
α,,1
Λ线性表示． 例如，
有
，
所以称β是
4321,,,εεεε的线性组合，或β可由4321,,,εεεε线性表示。
判别β是否可由向量组
m εεεε,,,,321Λ线性表示的定理：
定理1 向量β可由向量组
m εεεε,,,,321Λ线性表示的充分必要条件是：
以m εεεε,,,,321
Λ为系数列向量，以β为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。
2．向量组的线性相关性
对n 维向量组
m αα,,1Λ, 若有数组m k k ,,1Λ不全为0, 使得
011=++m m k k ααΛ
称向量组
m αα,,1Λ线性相关, 否则称为线性无关．
线性无关：对n 维向量组m αα,,1Λ, 仅当数组m k k ,,1Λ全为0时, 才有
011=++m m k k ααΛ 称向量组m αα,,1Λ线性无关, 否则称为线性相关．
定理2 向量组
m ααα,,,21Λ3214120ββββ++=线性相关?
其中至少有一个向量可由其余
321,,βββ个向量线性表示．
推论：向量组
m ααα,,,21Λ3214120ββββ++=线性无关?
任何一个向量都不可由其余
321,,βββ个向量线性表示．
定理3 n 维向量组
m ααα,,,21Λ线性相关?0=Ax 有非零解，其中),,,(21m A αααΛ=。 推论：n 维向量组m ααα,,,2
1Λ线性无关?0=Ax 只有零解，其中),,,(21m A αααΛ=。
定理4 若向量组
m ααα,,,21Λ线性无关, βααα,,,,21m Λ线性相关,
则β可由m α
αα,,,2
1Λ线性表示, 且表示式唯一． 一些结论：
(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； (2) 含零向量的任何向量组线性相关；
1234
2100050100,,,,3001000001βεεεε?????????? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?=
==== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
210005010025303001000001?????????? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?=-++ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????
1234=2530βεεεε
-++即
(3) 基本向量组n e
e e ,,,2
1Λ线性无关； (4) 有两个向量相等的向量组线性相关；
(5) m>n 时， m 个n 维向量必线性相关. 特别：m=n+1 ；
(6) n 个n 维向量线性无关?它们所构成方阵的行列式不为零； (7) n 维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量. §3.4 向量组的极大线性无关组 1. 等价向量组 设向量组r T ααα,,,:211Λ, s T βββ,,,:212Λ
若
),,2,1(r i i Λ=α可由s βββ,,,21Λ线性表示, 称1T 可由2T 线性表示； 若
1T 与2T 可以互相线性表示, 称1T 与2T 等价．
(1) 自反性：1T 与1T 等价
(2) 对称性：
1T 与2T 等价?2T 与1T 等价
(3) 传递性：1T 与2T
等价, 2T 与3T 等价?1T 与3T 等价
等价向量组的基本性质： 定理 设
s ααα,,,21Λ与s βββ,,,21Λ是两个向量组，如果
(1) 向量组s ααα,,,21Λ可以由向量组s βββ,,,21Λ线性表示；
(2)
t s >
则向量组s ααα,,,2
1Λ必线性相关。
推论1向量组
s ααα,,,21Λ可以由向量组s βββ,,,21Λ线性表示，并且
s ααα,,,21Λ线性无关，那么t s ≤。
推论2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 2．向量组的极大线性无关组
设向量组为
A , 如果在A 中有r 个向量r ααα,,,21Λ满足： (1) 0A :r ααα,,,2
1Λ线性无关；
(2) 任意1+r 个向量线性相关（如果有1+r 个向量的话）．
称r α
αα,,,2
1Λ为向量组为A 的一个极大线性无关组，简称极大无关组。 注：(1) 只含零向量的向量组没有极大无关组；
(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身； (3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。 例如，在向量组
???
???? ??--=??????? ??-=??????? ??-=1412,4524,1312321ααα中，首先21,αα线性无关，又321,,ααα线性相关，所以21,αα组成的
部分组是极大无关组。还可以验证32
,αα也是一个极大无关组。
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
极大无关组的基本性质：
性质1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。 性质2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。
3．向量组的秩与矩阵秩的关系 3.1 向量组的秩
定义3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做
),,,(21s r αααΛ。
例如，向量组
???
???? ??--=??????? ??-=??????? ??-=1412,4524,1312321ααα的秩为2. 关于向量组的秩的结论:
(1) 零向量组的秩为0；
(2) 向量组s ααα,,,21Λ线性无关?s r s =),,,(21αααΛ，
向量组
s ααα,,,21Λ线性相关?.),,,(21s r s <αααΛ，
(3) 如果向量组s α
αα,,,21Λ可以由向量组t β
ββ,,,21Λ线性表示，则
);,,,(),,,(2121s s r r βββαααΛΛ≤
(4) 等价的向量组必有相同的秩。 注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。
3.2 矩阵的秩
3.2.1 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？
引理1: 矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩。 引理2：矩阵的初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩。 综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩。
定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。
记为r(A),或rankA ，或秩A 。
推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
3.2.2矩阵秩的求法
首先复习: 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。
对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数 求矩阵秩的方法:
把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。 求向量组的秩、极大无关组的步骤：
(1) 向量组
s ααα,,,21Λ作列向量构成矩阵A ；
(2) B
A 初等行变换(行最简形矩阵) (3) 求出
B 的列向量组的极大无关组
(4) A 中与B 的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为A 的极大无关组。 3.2.3 矩阵秩的性质
(1) 等价的矩阵，秩相同；
(2) 任意矩阵A ，有
)()(T
A r A r =； (3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。 若P 可逆，对于任意的矩阵A ，有)()()(AP r A r PA r ==
(4) 对于
,
,p n n m B A ??
??????
?<+=-+≥≤+≤+.)()(;)()()()};(),(min{)();
()()(n B r A r O AB n B r A r AB r B r A r AB r B r A r B A r 有时，
当 3.3 矩阵的秩与行列式的关系
定理 n 阶方阵A ，
A n A r ?=)(的n 个行(列)向量组线性无关
,0≠?A 即
A 为可逆矩阵(也称为满秩矩阵)
A n A r ?<)(的n 个行(列)向量组线性相关
.
0=?A §3.5 向量空间 1．向量空间的概念
定义1： 设 V 为n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间．
说明：集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指 ,
,V ∈?βα有;V ∈+βα
,
,R k V ∈∈?α有.V k ∈α
一般地，由向量组
m a a a ,,,21Λ所生成的向量空间为
}
,,,{212
211R a a a x V m m m ∈+++==λλλλλλΛΛ
2．向量空间的基与维数
定义2：设V 是向量空间，如果r 个向量
V r ∈ααα,,,21Λ，且满足
(1)
r ααα,,,21Λ线性无关；
(2) V 中任何一向量都可由r α
αα,,,2
1Λ线性表示，那么，就称向量组r α
αα,,,21Λ是向量空间V 的一个基，r 成为向量空间V 的维数，记作dim V ＝r ，并称V 是r 维向量空间。 注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。
（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V 的基就是向量组的极大无关组，V 的维数就是向量组的秩。 （3）向量空间的基不唯一。 3．向量在基下的坐标
定义3：设向量空间V 的基为r αα,,1Λ, 对于V ∈?α,
表示式
r r x x ααα++=Λ11唯一（定理2）, 称T 1),,(r x x Λ为α
在
基
r αα,,1Λ下的坐标（列向量）．
注： α为n 维向量, α在V 的基
r αα,,1Λ下的坐标为r 维列向量．
因为线性无关的“n 维向量组”最多含有n 个向量, 所以由
n 维向量构成的向量空间的基中最多含有n 个向量, 故n r ≤． §3.5 欧式空间 1． 内积的概念
定义1：n 维实向量
???
???? ??=??????? ??=n n b b b a a a M M 2121,βα，称n n b a b a b a +++=Λ2211),(βα
()β
αT n n b b b a a a =????
??? ??=M Λ2121,,,为α
和β的内积。
若
βα,为行向量，则T αββα=),(。
向量空间的性质：
(1)
),(),(αββα=
(2) ),(),(),(γβγαγβα+=+ (3) ),(),(βαβαk k =
(4)
0),(≥αα等号成立当且仅当0=α
定义2 实数2
2221),(n
a a a +++==Λααα为向量的长度(或模，或范数)。
若
1=α，称α
为单位向量。
把向量单位化：若,0≠α则0≠α，考虑
11),(1),(
222===ααααααααα，即
αα的模为1，为单位向量，称
为把α单位化。
向量长度的性质：
(1) 非负性：当0≠α时，0>α；当0=α时，0=α；
(2) 齐次性：
α
αk k =；
(3) 柯西-------施瓦兹不等式：β
αβα≤),(；
(4) 三角不等式：β
αβα+≤+
定义3：设实向量θα
≠,θβ≠, 称
β
αβαβα)
,(arccos
,>=<
)0(π?≤≤
为α与β之间的夹角．
定义4：若0),(=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥．
(1)
θα≠,θβ≠时, βα⊥2π
?=
?；
(2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而><βα,无意义．
注：（1）零向量与任何向量都正交。
（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 2．标准正交基的向量组 定义5
正交向量组：非零实向量
s ααα,,,21Λ两两正交。
正交单位向量组(标准正交向量组)：非零实向量
s
ααα,,,21Λ两两正交，且每个向量长度全为1，即
??
?≠==)(0)
(1),(j i j i j i αα。
定理：正交向量组是线性无关的。 例如，书p100例3.5.1
例1 已知三维向量空间中两个向量
正交，试求3α
使
321,,ααα构成三维空间的一个正交基.
3． 正交矩阵
定义6：A 是一个n 阶实矩阵，若E A A T
=，则称A 为正交矩阵。
定理：设A 、B 都是n 阶正交矩阵，则 (1)1
=A 或
1
-=A
(2)
T A A =-1
????
? ??-=???
?? ??=121,11121αα
(3) )(1T A A 即-也是正交矩阵
(4)
AB 也是正交矩阵。
定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵?A 的列（行）向量组为单位正交向量组。
注：n 个n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
第四章 线性方程组
一、基本概念及表达形式
非齐次线性方程组的一般形式：?????
??=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛ22112
222212********* (I)
A =??????
? ??mn m m n n a a a a a a a a a Λ
ΛΛ
Λ
ΛΛΛ21
2222111211
A
=?????
?? ??m mn m m n n
b b b a a a
a a a a a a ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ2121222
21112
11 ，??????
? ??=??
??
??? ??=??????? ??=mj j j j m n a a a b b b b x x x x M M M 212121,,α。 A 叫作(I)的系数矩阵，A 叫作(I)的增广矩阵。
(I) 还可改写为矩阵方程的形式：
b Ax =
和向量形式：b x x x n n =+++αααΛ221
1。
齐次线性方程组的一般形式：???????=+++=+++=+++0
00
221122221211212111n mn m m n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛ (II)
(II)叫作(I)的导出组，其矩阵形式为：
O Ax =
向量形式为：O x x x n n =+++αααΛ221
1。
二、线性方程组解的性质
1)如果，是齐次线性方程组
O Ax =的两个解，则
也是它的解。
2)如果是齐次线性方程组O Ax =的解，则k 也是它的解。
3)如果有α1，α2，…，αs 是O Ax =的解，则k 1
α1
+k 2
α2
+…+k s
αs
也是它的解．k i
为任意常数(i =1，2，…，s )。
4)如果，
是非齐次线性方程组
b Ax =的两个解，则
-是导出组
O Ax =的解。
5)如果是O Ax =的解，是
b Ax =的解，则+
是
b Ax =的解。
6)如果s γγγ,,,21Λ是b Ax =的解，s k k k ,,,21Λ为常数，且121=++s k k k Λ，
则s s k k k γγγΛ++221
1也是b Ax =的解。
三、线性方程组解的判定定理
1、非齐次线性方程组b Ax =
1）若秩≠)
(A 秩)(A ，则b Ax =无解。 2) 若秩=)
(A 秩)
(A ??
?<=则有无穷多解。
则有唯一解，
,,n n 具体做法：设b Ax =的增广矩阵记为A ，则A 经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵(需要交换列时可重新排列
未知量的顺序)：
A → … →
111121221110001000100000000000000
0r n r n rr rn r r c c d c c d c c d d ++++??
? ? ?
? ?
?
? ? ? ? ??
?
L L L L L L L L L L L L L L
L L L L L L L L L L L L L
L 于是可知：
（1）当d r +1=0，且r =n 时，原方程组有唯一解。 （2）当d r +1=0，且r 当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对应的线性方程组，并求解，就可得到原方程组的解。 2、齐次线性方程组 O Ax = 一定有解（至少有零解），且秩=)(A n 时，有唯一解；秩<=r A )(n 时，有非零解，且有r n -个线性无关的解向 量。 具体做法：由于齐次线性方程组 O Ax =的增广矩阵A 的最后一列全为零，所以对A 施行初等行变换，A 可化为： 111212110 0001000010000000000000000 0r n r n rr rn c c c c c c +++?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 于是可知： (1) 当且r =n 时，齐次线性方程组仅有零解。 (2) 当r 当m =n 时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式D =0。 四、非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系 b Ax =有解?秩=)(A 秩)(A ? ? ?<==则有无穷多解。则有唯一解， ,,n n r b Ax =有唯一解?O Ax =只有零解n A =?)(秩。 b Ax =有无穷多解?O Ax =有非零解n A 五、线性方程组解的结构及基础解系的求法 1、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法 设1 ， 2 ，…， s 是齐次线性方程组 O Ax =的一组解，若 1 1 ，2 ，…，s 线性无关； 2 方程组O Ax =任何一个解都可由 1 ， 2 ，…， s 线性表出，则称 1， 2，…， s 是O Ax =一个基础解 系。 如果齐次线性方程组有非零解(r (A )=r 并且基础解系含有r n -个线性无关的解向量。若 O Ax =的基础解系含有r n -个线性无关的解向量，则O Ax =的任意r n -个线性无关的解向量都是O Ax =的一 个基础解系。 如果 1， 2，…， n -r 是齐次线性方程组的一个基础解系，则 O Ax =的全部解为： =k 11+k 22+…+k n -r n -r ， 其中k i (i =1，2，…，n -r )为任意常数。 若齐次线性方程组O Ax =有非零解，则r (A )=r 下形式： ?????????? ? ??+++00 000000010000100001 1212111Λ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrn rr n r n r c c c c c c 即方程组 O Ax =与下面的方程组同解 ?????? ?----=----=----=++++++++++++n rn r rr r rr r n n r r r r n n r r r r x c x c x c x x c x c x c x x c x c x c x ΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222112212211111 其中x r+1， x r+2，…， x n 为自由未知量 对这n –r 个自由未知量分别取 ?????? ? ??001M ，?????? ? ??010M ，…，???? ?? ? ??100M ，（共n –r 个） 可得方程组(1)的n –r 个线性无关的解 1=????????????? ??+++ 0 0 1- --11211M M rr r r c c c ，2=???????? ???? ? ??+++ 0 1 0- --22221M M rr r r c c c ，…， n –r =???????????? ? ?? 1 0 0- --21M M rn n n c c c ，即为其基础解系。 2、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法 设非齐次线性方程组 b Ax =的任意一个解均可表示为方程组b Ax =的一个特解与其导出组O Ax =的某个解之和。 当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表示为： x =0η+k 1 1+k 22+…+k n -r n -r ， 其中0η为 b Ax =的一个特解， 1，2，…， n -r 是齐次线性方程组 O Ax =的一个基础解系，k i (i =1，2，…，n -r ) 为任意常数。 III 题型归纳及思路提示 题型1 基本概念题（解的结构、性质和结构） 题型2 求线性方程组的通解 题型3 含有参数的线性方程组的讨论（历届考研的重点） 题型4 讨论两个方程组的公共解 题型5 有关线性方程组及其基础解系的证明题 题型6 向量组与线性方程组的综合题 IV 本章小结 重点难点：1、含参数的非齐次线性方程组解的判定及讨论； 2、线性方程组的解的结构，特别要掌握基础解系。 本章几乎每年都要考查，也是线性代数部分的考试重点。一般出单项选择题和计算题。要求考生熟练掌握线性方程组的解的判定和结构。由于三元一次方程的几何意义是平面，故方程组是否有解也可转换为平面的空间位置关系问题。近几年方程组也常与空间平面联合出题，请大家注意方程组与空间平面的关系。 第五章 特征值与二次型 §1 向量的内积 在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义： cos ?=x y y x θ ，可得 cos()=y ,?= +x y x x y x 且在直角坐标系中1231231122 33()()=x ,x ,x y ,y ,y x y x y x y .?++ 将上述三维向量的内积概念自然地推广到n 维向量上，就有如下定义。 定义1 设有n 维向量 12 n x x x ??????=??????M x ，12n y y y ??????=?????? M y ， 称 []1122n n x y x y x y ,=+++x y L 为x 与y 的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为 [],'=x y x y . 若ｘ、ｙ、ｚ为n 维实向量，λ为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得. (i) ［x,y ］＝［y,x ］， (ii)［λx,y ］＝λ［x,y ］， (iii)［x+y,z ］＝［x,z ］＋［y,z ］. 同三维向量空间一样，可用内积定义n 维向量的长度和夹角. 定义2 称 ==x x 的长度(或范数)，当‖x ‖＝1时称x 为单位向量. 从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质： （ｉ）非负性： 当x ≠0时，‖x ‖＞０，当x ＝０时‖x ‖＝０. （ｉｉ）齐次性： ‖λx ‖＝｜λ｜‖x ‖. （ｉｉｉ）三角不等式： ‖x ＋y ‖≤‖x ‖＋‖y ‖. （ｉｖ）柯西----许瓦茨（Cauchy-Schwarz ）不等式: ［x ，y ］２ ≤‖x ‖２ ‖y ‖２ . 由柯西-许瓦茨不等式可得 [] ,?x y y x ≤１（‖x ‖·‖y ‖≠０）. 于是我们定义，当‖ｘ‖≠０，‖ｙ‖≠0时，称 [] arccos ,θ=?x y y x 为x 与y 的夹角.当［x ，y ］＝０时，称x 与y 正交. 显然，n 维零向量与任意n 维向量正交. 称一组两两正交的非零向量组为正交向量组. 定理1 若n 维非零向量12r ,,,αααL 为正交向量组，则它们为线性无关向量组. 证 设有12r ,,,λλλL 使1 r i i i λ.==∑0α，分别用k α与上式两端作内积(k ＝１，２，…，r )，即得 k λ[][]0k k k ,.ααα==,0 高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 12121211 12121222()121 2()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 == ()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* * =-1（拉普拉斯展开式） ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==- 1 （即：所有取自不同行不 同列的n 个元素的乘积的代数和） ⑤范德蒙德行列式：()1 2 2 22 1211 1112n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏ 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表11 12121 2221 2 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ? ?? 称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ? ?? ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A *-= ○注： 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --???? 1 主换位副变号 正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式，供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角 和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定 理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便 线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 【关键字】大全 中考数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－ 4.07×105，0.＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n． ⑥a－n＝，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3)3＝9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝，其中△＝b2－叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比率函数(y与x成正比率)，图象必过原点． 10、反比率函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． （2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么： ①平均数为：； ②极差： 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即： 线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： 一、引入 我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。 二、新授 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R C c B b A a 2sin sin sin ===（注：为△ABC 外接圆半径） 2、正弦定理常见变形： （1）边化角公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2= （2）角化边公式：R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin = （3）C B A c b a sin :sin :sin ::= （4）R C B A c b a C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin =++++=== (5) C c B b C c A a B b A a sin sin sin sin sin sin ===，， （6）B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin === 3、三角形中的隐含条件： （1）在△ABC 中，c b a >+,c b a <-(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边) （2）在△ABC 中，B A b a B A B A B A B A >?>>?>；；cos cos sin sin （3）在△ABC 中，,cos )cos(sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+?=++，π 2 cos 2sin C B A =+ 考试·题型与方法 题型一：解三角形 例1：（1）在△ABC 中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形； （2）在△ABC 中，B=30°，C=45°，c=1,求b 的值及三角形外接圆的半径。 变式训练：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形： （1）；，，?===602010A b a （2）；，，?===606510C c b （3）；，，?===4532A b a 例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ） A.有两解?===30,16,8A b a B. 有一解?===60,20,18B c b C. 无解?===90,2,15A b a 线性代数性质公式整 的乘积 的代数和，这里帘汀?是1, 2,?n ?的一个排列。当? 是偶排列时，该项的 前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即 | 釦1 a l2 V 这里. 表示对所有n 阶排列求和。式（1.1）称为n 阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这 两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用 表示排列 '的逆序数。 3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排 列，否则称为奇排列 忖h 4.2阶与3阶行列式的展开一 |匚d =ad - he a 21 a 22 也 3 对1 日32 ^33 =^^22333 + ^12a 23^31 + a 13a 21a 32 _ a 13a 22a 31 ~ 312^21^33 _ a ll a 23 a 32 、相关概念 1?行列式 线性代数 第一章行列式 町1 31? a 22 … di ?1!| ? |i gi f di f ■ ■1 P ? a n i 鈿.2 a t]n 是所有取自不同行不同列的 n 阶行列式 n 个元素 行，第j 列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 n-1阶的行列式 6.伴随矩阵一一由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如 、行列式的性质 1. 经过转置行列式的值不变，即I ：l A l'k 行列式行的性质与列的性质是对等 的。 2. 两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同 （或两行成比例），行列式 的值为0. 3. 某行如有公因子k ,则可把k 提出行列式记号外。 4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和: 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变: pi 岂为 a l 旳 b ］帕 b :t =b t + 斶 b? + kaj b$ + 1“巳5 1 c i “ 卬 6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积 5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式 日12… ^22 … 屯】】 4)-| * || || * 甲章■ ■1 p III 釘2 … a t ］n an - 日］』1 1 … … … … a i - 14 …a i -1J- 1 邳Li 丰 a i + u …+ i,j -1 a i + 1.| + *** *** … 2［订 … ^ll,j -1 a IIJ +1 （-1）2叫为％的代数余子式，记为 ?1 - Ln + Im Aij 称为呦的余子式，记为 ，即A 产（-1严叫 ii ；称 A 】 】 A12 A21 … A 22 ...A (2) A lllv ,称为A 的伴随矩阵，记作… 中划去所在的第i 实 数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正整数 整数 零 有理数 负整数 正实数 实数 分数 实数 零 负实数 无理数（无限不循环小数） 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 代 数 式 考点一、整式的有关概念 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的运算式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313 -。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做 这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 考点二、多项式 1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、添(去)括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数） （n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 0()1(0)a a =≠ 11 ()(0)a a a -= ≠ 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相 同。 （3）计算时要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单 项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6）),0(1 );0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 考点三、因式分解 1、因式分解 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1 (1) n n D D -=-；(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明 A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 【正弦定理公式】； ；公式；】弦【余定理 如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理，解题时根据已知量与所求量，合理选择一个比较容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手容易，解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 （1）三角公式 ①在中，已知两角的三角函数值，求第三个角；存 。在 解有解：明证有 是否有解，只需即，要判断 。 （2）正弦定理 ①在中，已知两角和任意一边，解三角形； ②在中，已知两边和其中一边对角，解三角形； （3）余弦定理 中，已知三边，解三角形；①在 ②在中，已知两边和他们的夹角，解三角形。 直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常讲、常练的，因此，在这里就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！ 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 1（）齐次式条件（边或角的正弦） 若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式，可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化；有些题中没有明显的齐次式，但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化 【例】在中，若，， 求。 是还，的条】【解析无论是件中 是都是关于一个角的齐次式。 是关于关于的二次齐次的一次齐次式； 式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。 由； 由 或； 。代中，，且在 值可得： 时，；①当， （舍去）。时，②当， 不同角（正弦）齐次式条件的边角互化2. ，，且【例】在中，若 是关于求的面积。【解析】条件 不同角正弦的二次齐次式。因此，我们利用正弦定理将角化为边，然后根据边的关系利用余弦定理求解。 由； 得可此，公理弦合式个然显这形符余定的式因， 。． ，所以。又因为 考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也 可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组 初中数学定理、公式汇编 第一篇数与代数 第一节数与式 一、实数 1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－3,,0.231,0.737373…,,等；无限不环循小数叫做无理数. 如:π,,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数 和数轴上的点一一对应。 3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值， 记作∣a∣。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－_丨=；丨3.14－π丨=π－ 3.1 4. 4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。 a的相反数是-a，0的相反数是0。 5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末 一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整 数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07× 105,0.000043=4.3×10－5. 7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的 反而小。 8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果 叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这 个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）4的平方根是士2，误认为4平方根为士 2，知道4=2． 15.二次根式： (1)定义:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被 高中数学公式大全 (最全面，最详细) 高中数学公式大全 抛物线： y = ax *+ bx + c 就是 y 等于 ax 的平方加上 bx 再加上 c a > 0 时开口向上 a < 0 时开口向下 c = 0 时抛物线经过原点 b = 0 时抛物线对称轴为 y 轴 还有顶点式 y = a ( x+h) * + k 就是 y 等于 a 乘以( x+h)的平方 +k -h 是顶点坐标的 x k 是顶点坐标的 y 一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程 :y^2=2px 它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上 , 焦点坐标为 (p/2,0) 方程为 x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴 , 故共有标准方程 准线y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积 =4/3(pi )(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b )是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注： D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式： L=2πb+4(a -b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长 (2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长( a)与短半轴长( b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长 ( a)与短半轴长( b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T，但这两个 公式都是通过椭圆周率 T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI* 高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A- 概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ 必背定义、定理公式 三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 算术方面 1.加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。 3.乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 4.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。 5.乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6.除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O除以任何不是O的数都得O。 简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 7.什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 8.什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。 9.什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。高中的数学公式定理大全
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