解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
教学目标
1．理解直角三角形中边与边之间的关系，角与角之间的关系和边与角之间的关系
2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余，以及锐角三角函数解直角三角形．
3．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
教学重难点
直角三角形的解法；三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程
导入新课
1972年比萨发生地震，这座高54.5 m 的斜塔大幅度摇摆22分之多，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m 增加至5.2 m ，而且还以每年倾斜1 cm 的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．用倾斜多少角度来描述比萨斜塔的倾斜程度． 学习了三角函数的有关知识，现在能解决这个问题了吗？
推进新课 一、新知探究
【问题1】 (1)在三角形中共有几个元素？
(2)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c ，∠A ，∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 探究：师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识？ 总结：如图所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：
(1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角之间的关系：
sin A ＝∠A 的对边斜边＝a c ，sin B ＝∠B 的对边斜边
＝b c ； cos A ＝∠A 的邻边斜边＝b c ，cos B ＝∠B 的邻边斜边
＝a c ； tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝a b ，tan B ＝∠B 的对边∠B 的邻边＝b a
. 【问题2】 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．在直角三角形中要求这5个元素，其中至少要知道几个元素？这几个元素可以都是角吗？ 学生探究、思考．教师引导共同总结．
结论：在直角三角形中要求这5个元素，至少要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素．
这种由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
二、巩固提高
【例1】 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，a ＝6，解这个三角形．
解：∵tan A=BC AC ==
∴∠A=60°，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°，AB=2AC=【例2】 在△ABC 中，∠C 为直角，c ＝287.4，∠B ＝42°6′，解这个三角形．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演． 完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如果不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
【例3】 求比萨斜塔修复前的倾斜角(∠A)．
看1972年的情形：设塔顶中心点为B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A ，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C(如图) 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2 m ，AB ＝54.5 m ，sin A ＝BC AB ＝5.254.5
≈0.095 4. 所以∠A ≈5°28′
(斜塔2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角可类似地求出，由学生独立完成)
三、达标训练
1．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝32
，求cos B 及tan B 的值． 2．在Rt △A BC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(精确到0.1)
3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝25，∠A 的平分线AD ＝43
15，解这个直角三角形．
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，使学生熟练解直角三角形，并培养学生的运算能力．
本课小结
1．解直角三角形就是已知直角三角形的三条边、三个角中的2个元素(其中有一个必须是边)，求其他元素的过程．
2．解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个锐角和为90°. 注意：解直角三角形要结合图形．
3．解直角三角形计算上比较烦琐，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．