第5章 定积分及其应用
（一）、单项选择题
1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。
A ．
()()x f dx
x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????
??? C. ()()x f dx
x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=????
??'? 3．?
?→x x
x tdt
tdt
sin lim
的值等于( ).
A.-1
B.0
C.1
D.2 4．设x x x f +=3
)(，则
?
-2
2
)(dx x f 的值等于（ ）。
A ．0 B.8 C. ?
2
)(dx x f D. ?2
)(2dx x f
5．设广义积分
?
+∞
1
dx x α收敛，则必定有（ ）。
A.1-<α
B. 1->α
C. 1<α
D. 1>α
6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ?
2
1
ln B.
dy e e x ?
2
C.dy y ?
2
ln 1ln D.
()d x e x
?-2
1
2
8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A.
()[]dy y y ?--1
1
B.
()[]dx x x ?
-+-21
1
C.
()[]dy y y ?
--210
1 D.()[]dx x x ?
+--1
1
9．由e x x y x y e
===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为
（ ）。 A.dx x x e ????
?
?
+1
log ln B.dy x x e ????
?
?+1log ln C.dx x x e ????
?
?-1log ln D.dy x x e ???
?
?
?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A.
?
-1
1
2dx x B.
?
1
2dx x C.
?
1
dy y D.?
1
2
dy y
11．由1,2==y x y 围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.
?1021ydy π B.?
1
22
1
dy x π C.?
1
0ydy π D.
?1
2
dy y π 12．由0,1,===y x x y 围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.?
1
ydy π B.
?
1
2dx x C.
?
1
2dy y π D.?
1
0xdx π
13．由x y x y ==,2围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A.
()
?-10
2
dx x x
π B.
()
?-104
2
dx x x
π C.
()?-1
2
dx x x π D.()?-1
4
dx x x π
14．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 。
A.?
3
2
dx x ρ B.
()?+2
1
2dx x ρ
C.?
1
dx x ρ D.
()?+3
2
1dx x ρ
（二）、判断题 1．?
=b
a
dx x f 0])([
' （ ）
2．定积分的值只与被积函数有关，与积分变量无关。 （ ） 3．
?
??+=+b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。 （ ）
4．0,1,1==-=y x e y x
所围城的图形面积为?
-1
)1(dx e x 。（ ）
5．
?---=1
1
4
3
2dx e 。 （ ） 6．曲线x y sin =在［0，2π］上与ｘ轴围成平面图形的面积为?
π
20
sin xdx （ ）
7．用微元法求量Q 时，Q 的微元()dx x f dQ =中dx ，是微符号，无任何实际意义。（ ） （三）、填空题
1.曲线1,0,2===y x x y ，所围 成的图形的面积可用定积分表示为 。 2．已知()dt t x x
?
=
2sin ?，则()x ?' 。
3．3
2
2arcsin lim
x
t x x ?→ 。
4．
dx x x
?
-+1
1
21
sin 。
5．
()d x x ?+4
54
2
sin 1ππ
的值的范围 。
6．
()
?
+∞
-2
3
1x dx
＝ 。
7．由1,ln ==x x y 及1=y 围成平面图形的面积，若选ｙ为积分变量，利用定积分应表达为 。
8．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 。
9．由3x y =及x y 2=围成平面图形的面积，若选ｘ为积分变量，利用定积分应表达为 ；若选ｙ为积分变量，利用定积分应表达为 。
10．求由曲线x y =2与直线2-=x y 所围成平面图形的面积时，选 为积分变量，计算比较简单。
11．由()()()()b a b x a x x f x f y <==>=,,0及ｘ轴围成的曲边梯形，绕ｘ轴旋转形成旋转体的体积为 。
12．有一立体，对应变量ｘ的变化区间为［-10，10］，过任意点ｘ∈［-10，10］作垂直于ｘ轴的平面截立体，其截面面积()()
22104
3
S x x -=
，于是该立体的体积V ＝ 。 13．由1,==y x y 及ｙ轴围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成的旋转体的体积为 。 14．由曲线2
x xe y -=，直线1=x 及ｘ轴围成的平面图形的面积为 。
15．一物体做变速运动，速度t v +=1米/秒，则物体运动开始后8秒内所经过的路程为 。
（四）、计算下列定积分
1．()0302
2≠+?
a x
a dx a
2.
dx x ?
-2
022 3.()l k dx lxdx kx ≠?-
π
π
sin sin
4．
?
+3
1
2
2
1x
x
dx 5.()dx x e
?
1
ln sin 6.
()
?
-e
x x dx 1
2
ln 1
7．求下列各曲线围成平面图形的面积
()()()()()
()()()()较小部分）
（两部分均求）(2,74,082,861
,62521,8414,143,622,1223222
222222x y x y y y x x y x y x y x y y x x y x y x
y x y x y x y -====++-=-=+===+--=+==-=-==
8．求位于x e y =下方，该曲线过原点的切线左方以及ｘ轴上方之间的图形的面积。
9．求C 的值（0＜C ＜1＝，使两曲线2x y =与3Cx y =所围成图形的面积为3
2 10．求下列各曲线所围成平面图形绕指定轴旋转形成旋转体的体积。
()()()()()()()()()()()()
轴轴轴轴轴x x x y x
y y y x x x x y y x y x y x y a x a x a a xy 2,,1516542,32,20,2,,012222====+-==-=====>= 11．有一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。
12．按万有引力定律，两质点间的吸引力2
2
1r
m m k
F =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，
ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所
作之功（ｂ＞a ）
13．半径等于ｒ米的半球形水池，其中充满了水，把池内的水全部吸尽，需作多少功？
14．一梯形闸门，铅直地立于水中，上底与水面相齐，已知上底为2ａ米，下底为2ｂ米，高为ｈ，此闸门所受到的水压力（ａ＞ｂ）。
（五）、证明题
1． 已知函数()x f 在区间［ａ，ｂ］上连续，设()()
()],[,2
b a x dt t f t x x x
a
∈-=??证明
()()()dt t f t x x x
a
?-='2
?
2． 设()x f 是以ｌ为周期的周期函数，证明
()()dx x f dx x f l
l
a a
??
=
+0
（ａ为任意实数）
【参考答案】
（一）选择题
1.B
2.A
3.C
4.A
5.A
6.B
7.A
8.C
9.C 10.A 11.C 12.D 13.B 14.A （二）判断题
1.对
2.错
3.错
4.错
5.错
6.对
7.错 （三）填空题 1.
?
-1
2)1(dx x 2.2sin x 3.
3
4 4.0 5.]2,[ππ 6.2 7.dy e y
)1(10-?
8.
?
?π
π
20
20
cos 4,cos xdx dx x 或 9.dy y y dx x x )2
1
(2,)2(2320
2
20
3-
-??
10. y 11.
dx x f b a
?)(2π 12.
331000 13.5
π
14.
)11(21e - 15.3
52
（四）计算题 1. a
3π
2.
2π 3.0 4. 3322- 5. 21)1cos 1(sin +-e 6. 2
π
7.
251).7(,328).6(,18).5(,346;342).4(,316).3(,6520).2(,29).1(πππ+-+
8. 2e 9. 2
1
10. πππππ6
11).5(160).4(,2).3(,572).2(,2).1(2a
11.34 12.)11(21b
a m km - 13. 434
4108.941r r ππρ?=
（焦耳） 14.
32
108.93
2??+h a b （牛顿）
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
题型 1.定积分与极限的计算 2.计算下列定积分 3.计算下列广义积分 内容 一．定积分的概念与性质 1.定积分的定义 2.定积分的性质 3.变上限函数及其导数 4.牛顿—莱布尼茨公式 5.换元积分公式与分部积分公式 6.广义积分 题型 题型I 利用定积分定义求极限 题型II比较定积分的大小 题型III利用积分估值定理解题 题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V定积分的计算
题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算 自测题五 1.根据极限计算定积分 2.根据定积分求导 3.求极限 4.求下列定积分 5.证明题 4月21日定积分练习题 基础题： 一．选择题、填空题 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?1 01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．将和式)21 .........2111(lim n n n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+1 )1( C ．dx ? 1 1 D ． dx ?1 021 4．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ． 3 25 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）
A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6． dx e e x x ?-+1 )(= （ ） A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1- 7.若10x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2 2 1r m m k F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ． 9．由曲线2 1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ① 1 21 (1)x dx --? ；②121 (1)x dx --?；③120 2(1)x dx -?；④0 21 2(1)x dx --?． 则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ 10.0 (sin cos sin )x y t t t dt =+? ，则y 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 2 - D ．0 11. 若()f x 是一次函数，且1 ()5f x dx =? ，1 017 ()6xf x dx =?，那么21()f x dx x ?的值是 ． 12．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ） 。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .
高考定积分应用常见题型大全 一．选择题（共21小题） 1．（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（） A．B．C．D． 2．（2010?山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（） A．B．C．D． 3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（） A．B．C．D． 4．定积分的值为（） A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2 5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（） A．1B．C．D． 6．=（） A．πB．2C．﹣πD．4 7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）
A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（） A． ∫01e x dx＜∫01e x dx B． ∫01e x dx＞∫01e x dx C． （∫01e x dx）2=∫01e x dx D． ∫01e x dx=∫01e x dx 9．若a=，b=，则a与b的关系是（） A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（） A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（） A． +e2﹣e B． +e C． ﹣e2+e D． ﹣+e2﹣e 12．已知f（x）=2﹣|x|，则（） A．3B．4C．3.5 D．4.5 13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（） A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（） A．B．C．πa2D．2πa2 15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2
定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10 ()x dx xdx --+??＝220210[][]22 x x --+＝5 2． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212 ()01x x f x x x ?<≤=? ≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=??? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．
第5章定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数在区间[a，b]上连续是在[a，b]上可积的（）。 A．必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（）。 A． B. C. D. 3．的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设，则的值等于（）。 A．0 B.8 C. D. 5．设广义积分收敛，则必定有（）。 A. B. C. D. 6．求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A. B. C. D. 8．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. B. C. D. 9．由围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为（ ）。 A. B. C. D. 10．由围成平面图形的面积为（ ）。 A. B. C. D. 11．由围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A. B. C. D. 12．由围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A. B. C. D. 13．由围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A. B. C. D. 14．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 。 A. B. C. D. （二）、判断题
1．（） 2．定积分的值只与被积函数有关，与积分变量无关。（） 3．。（） 4．所围城的图形面积为。（） 5．。（） 6．曲线在［0，2π］上与ｘ轴围成平面图形的面积为（） 7．用微元法求量Q时，Q的微元中，是微符号，无任何实际意义。（） （三）、填空题 1.曲线，所围 成的图形的面积可用定积分表示为 。 2．已知，则 。 3． 。 4． 。 5．的值的范围 。 6．＝ 。 7．由及围成平面图形的面积，若选ｙ为积分变量，利用定积分应表达为 。 8．由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 。 9．由及围成平面图形的面积，若选ｘ为积分变量，利用定积分应表达为 ；若选ｙ为积分变量，利用定积分应表达 为 。 10．求由曲线与直线所围成平面图形的面积时，选 为积分变量，计算比较简单。 11．由及ｘ轴围成的曲边梯形，绕ｘ轴旋转形成旋转体的体积 为 。 12．有一立体，对应变量ｘ的变化区间为［-10，10］，过任意点ｘ∈［-10，10］作垂直于ｘ轴的平面截立体，其截面面积，于是该立体的体积V＝ 。 13．由及ｙ轴围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成的旋转体的体积 为 。 14．由曲线，直线及ｘ轴围成的平面图形的面积为 。 15．一物体做变速运动，速度米/秒，则物体运动开始后8秒内所经过的路程为 。 （四）、计算下列定积分 1． 2. 3. 4． 5. 6.
定积分计算例题
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1 / 7 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ．()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1 ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B.()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1x d x 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0s i n ) 3x d x ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1a r c t a n ) 1x d x x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ? 2 1 ln ) 1xdx 与dx x ?21 2)(ln dx e x ?10 )2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+202 1)1 ?+324 1)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数?-=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1 >≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0c o s )1k x d x ππ π =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0s i n c o s )3l x d x kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
定积分典型例题20 例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞L =34 =?． 例2 0?=_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0?= 2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t ππ -≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0()()x f x xf t dt =?，求 ()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即 0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0 ()()x f t dt xf x +?．
定积分典型例题 例1 求33322321lim (2)n n n n n →∞+++ ． 例2 2202x x dx -?=_________． 例3 （1）若22()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 例4 设()f x 连续，且310()x f t dt x -=? ，则(26)f =_________． 例5 函数11()(3)(0)x F x dt x t =->?的单调递减开区间为_________． 例6 求0()(1)arctan x f x t tdt =-?的极值点． 例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2 arcsin 0()x t g x e dt -=? ，[1,1]x ∈-， 试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n →∞． 例8 求 2200 0sin lim (sin )x x x tdt t t t dt →-??； 例9 试求正数a 与b ，使等式2 0201lim 1sin x x t dt x b x a t →=-+?成立． 例10 设sin 20()sin x f x t dt =?，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）． A ．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小． D ．低阶无穷小． 例11 计算21 ||x dx -?． 例12 设()f x 是连续函数，且1 0()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 例13 计算2112211x x dx x -++-? ． 例14 计算220 ()x d tf x t dt dx -?，其中()f x 连续． 例15 计算30sin x xdx π ?． 例16 计算120 ln(1)(3)x dx x +-?． 15-18同一类型 例17 计算20sin x e xdx π ?． 例18 计算10 arcsin x xdx ?． 例19 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π ''+=?，求(0)f '． 例20 计算2043dx x x +∞++? ．
定积分典型例题20例答案 例1求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?= ，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例22 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3（1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则可 得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故32 1(1)3f x x -= ，令3 126x -=得3x =，所以1(26)27f = ．
一些高中物理试题 20.如题20图所示， 其横截面是圆心角为90°、半径为R 的扇形OAB ，一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA 上，OB 不透光，若只考虑首次入射到圆弧AB 上的光，则AB 上有光透出部分的弧长为 A 16R π B 14R π C 13R π D 5 12 R π 【答案】B 【解析】光路图如图所示，由折射定律可求得设在C 点恰好发生全反射，由 1 sin C n = 可求得C=450，∠AOC=00001801204515--=。弧AB 上有光透出的部分弧长CD 为 00009030151 23604 R R ππ--?=，正确的答案是B 21.如题21图所示，矩形MNPQ 区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，有5个带电粒子从图中箭头所示位置垂直于磁场边界进入磁块，在纸面民内做匀速圆周运动，运动轨迹为相应的圆弧，这些粒子的质量，电荷量以及速度大小如下表所示 由以上信息可知，从图中a 、b 、c 处进大的粒子对庆表中的编号分别为 A 3、5、4 B4、 2、5 C5、3、2 D2、4、5
（1）某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f=50Hz 在线带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如是22图1所示，A 、B 、C 、D 是依次排列的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离： A S =16.6mm B S =126.5mm D S =624.5mm 若无法再做实验，可由以上信息推知： ① 相信两计数点的时间间隔为__________S ② 打C 点时物体的速度大小为____________m/s(取2位有效数字) ③物体的加速度大小为__________(用A S 、B S 、C S 、D S 和f 表示) 【答案】①0.1s ②2.5m/s ③2 (32)75 D B A s s s f -+ 【解析】①T=0.02×5=0.1s ②3 (624.5126.5)10/ 2.5/220.1D B c S S v m s m s T ---?= ==? ③匀加速运动的位移特征是相邻的相等时间间隔内的位移以aT 2均匀增大，有2 BC AB aT =+， 222CD BC aT AB aT =+=+，223BD AB aT =+，所以 2 2()2()(32)375 D B B A D B A s s s s s s s f a T --?--+==
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故32 1(1)3f x x -= ，令3 126x -=得3x =，所以1(26)27f = ．
专项练习题集定积分的 计算 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） B.3 1 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。
【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由?? ?==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--，
所以()4 810341299423 03=??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.22-?2412x x -+dx =（ ） A.π4 B.π2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵22 -?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴22 -?2412x x -+dx =π4. 遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定
1利用定积分的几何意义计算 1－x 2d x . 2.计算定积分??1 2(x ＋1)d x . 3.定积分??a b f (x )d x 的大小 ( ) A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关 B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关 C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关 D ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 4．在求由x ＝a ，x ＝b (a
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