高等数学上册课后习题答案【篇一：历年大一上学期高数试题及其答案a】
xt>一、填空题（每小题4分，共20分）
sinkx
?5
x?0x
ln(1?)
8 (1) 若，则k?（）
lim
ax
(2) 设当x?0时, e?1与cosx?1是等价无穷小,
则常数a?（）
2
?
(3) ??
?(sinx?cosx)
limn(sin
3
dx
＝（）
(4) n??
a
121000?sin???sin)?nnn（）
(5) ?a
二、选择题（毎小题4分，共40分） (1) 下列广义积分收敛的是________
?
?
a2?x2dx?
(
),(a?0)
(a)
?
1
1x
1
dx(b)
?x
1x
?
dx(c)
?
1
(d)dx2
x
?
?x
1
1x
dx
?1?x
f(x)??x
?e?e (2) 函数
0?x?1
1?x?2的连续区间为________
(a)[0,1)；(b) [0,2]； (c) [0,1)?(1,2]；(d)(1,2]
50?
(3)
?sinx?________
(a)200;(b)110;
(c)100;
(4) 下列各命题中哪一个是正确的________
(a)f(x)在(a,b)内的极值点，必定是f(x)?0的根
(b)
f(x)?0的根，必定是f(x)的极值点
(d)50;
(c)
f(x)在(a,b)取得极值的点处，其导数f(x)必不存在
(d) 使f(x)?0的点是f(x)可能取得极值的点
(5) 已知f(3)?2则h?0
lim
f(3?h)?f(3)
2h＝.
33
?
(a) 2(b)2 (c) 1(d) ?1
??x????y?? (6) 设函数y?y(x)由参数方程?
t2
2t4
4确定，则y(x)________
2
(a) 1 (b) 2(c) 2t(d)t
2
(7) 设函数f(x)?(x?3x?2)(x?3)(x?4)(x?5),则方程f(x)?0实根的个数为________
(a) 2个 (b) 3个 (c) 4个(d) 5个
(8) 已知椭圆x?2cost,y?3sint
vx,vy
(0?t?2?绕x轴和y轴旋转的体积分别为
，则有________
(b) (d)
1
1x
(a)(c)
x?vy?2?x?vy?8?
x?vy?4?
x?vy?10?
f(x)?
e?2的间断点________ (9) x?0点是函数
(a) 振荡间断点 (b) 可去间断点 (c) 跳跃间断点 (d) 无穷间断点
1?e?x________ (10) 曲线
(a) 没有渐近线(b) 仅有水平渐近线
(c) 仅有铅直渐近线 (d) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
3?x?exsinxlim()x?0x?2三、（6分）求极限
1
y?
1?e?x
2
2
四、（6分）已知f(0)存在，且x?0
x
lim
f(x)d3sinx
?(?dx?3x)3xdx0x，求f(0)
(1001)
y(x) ，求
五、（6分）
y(x)??[sintcost?(2t?1)1000?100t100]dt
33
x?acost,y?asint围成六、（6分）已知星形线
求a的面积s
10199
七、（6分）证明：方程x?x?1?0只有一个正根。
t
a,
t
八、（6分）已知y?y(x)是由参数表示式x=0
?arcsinudu,y??teudu
所确定的
函数，求t?0
lim
dydx
1?2
x?0?xsin
f(x)??x
?0x?0 ?九、（4分）设
证明f(x)在x?0处连续且可微，但f(x)在x?0处不连续。
2006级高等数学试题a-1
一、填空题（每小题4分，共20分）
arcsinkx?5x?0ln(1?)
6(1) 若，则k?（）.
3
ln(x?ax)?lnx与cosx?1是等价无穷小,则常数a?x?0(2) 设当时, （）. (3) ?
（）.
135999
limn(tan?tan?tan??tan)?n??nnnn(4) （）.
(x?sinx)3dx?
a
(5) 0
?
xa?x
2
2
dx?(),(a?0)
.
二、选择题（毎小题4分，共40分） (1) 下列广义积分收敛的是________.
?
1
?
?
(a)
?
1
1x
dx
(b)
x?0
?x
2x
dx
(c)
?
3
dx(d)2x
?x
1
4x
dx (2) 函
2?
xsin?x?
f(x)??2?x
?1??数
?1?x?0x??1
的连续区间为________. (a) (??,??) (b) (?1,??) (c) (??,0)?(0,??) (d) (??,?1)?(?1,??)
80?
(3)
?x?________
(a)80(c)240(d)320
(4) 下列函数中在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是.
(b)160
.
1
(a) lnx (b) lnx(c) lnlnx(d)ln(2?x)
h1
?h?0f(x?2h)?f(x)4，00(5) 设f(x)在点x0可导，且则f(x0)?.（a）4 （b）?4 （c）2 （d）-2
?x?2et?1?3y?ty?y(x)?(6) 设函数由参数方程确定，则
y(x)t?1?________.
3312
(a) 0(b) 4e (c) 4e (d) 2
22
(7) 设函数f(x)?(x?3x?2)(x?7x?12),则方程f(x)?0实根的个数为________.
(a) 2个 (b) 3个 (c)4个(d) 5个
(8) 已知椭圆x?2cost,y?3sint
vx?________.
(0?t?2?绕x轴旋转的体积为vx,则有
1
f(x)?1
2x?2的间断点________. (9) x?0点是函数
(a) 振荡间断点(b) 可去间断点
(c) 无穷间断点(d) 跳跃间断点
f(x)?
5?1
1x1x
5?1________. (10) 曲线
(a) 没有渐近线 (b) 仅有水平渐近线
(c) 仅有铅直渐近线(d) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
三、（6分）求积分
.
f(x)dx2
lim?[?tln(t??t2)dt?5x]
dx?x四、（6分）已知f(0)存在，且x?03x，求f(0).
x
2
x(arctanx)dx?
五、（6分）
y(x)??[ln(1?t)?(2t2?1)100?2t1000]dt
，求 y
(1001)
(x).
六、（6分）求心脏线r?a(1?cos?)所围平面图形的面积(a?0).
322f(x)?x?ax?bx?c?0有唯一实根. a?3b?0七、（6分）证明：若,则方程
tt
八、（6分）已知y?y(x)是由参数
dylim
求t?0dx.
x??arctanudu,
y??teudu
所确定的函数，
0?x?1,?arctanx
?f(x)???sinpx?2
dx1?x???0
2 ?cospx?sinpx九、（4分）已知
?[0,]
(其中p?0),问p取何值时,f(x)在2连续。（请详细写明过程）.
07级高等数学（上）试题a
一、填空题（每小题4分，共20分）
6ln(1?)
?lim
(1) 极限x???arctanx（）。
?arcsinkx?,x?0f(x)?? x
?x?0在x?0处连续,则k?（）?2,(2) 设。 (3) ??a（）。
(4) 设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100), 则 f?(100)?（）。 (5) 广义积分
a
x2[f(x)?f(?x)?2]dx?
?
??e
1
dx?
x(lnx)2
（）。
二、选择题（毎小题4分，共40分）
?
(1) 设当x?0时,x?x与（）是等价无穷小。
2(a) x (b) x (c) x (d) x
0 (2) 设,则f?(x)?________。
(a) cosx(b) ?sinx (c) sinx (d) 0
f(x)??sin(x?t)dt
x
(3)?0
100?
?cos2xdx?________
。
x
(a) 100(b)2(c) 200(d)2
?(x)??f(t)dt
0(4) 设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?0，若，则下列说法正
确的是。
(a) ?(x)在[a,b]上单调减少 (b) ?(x)在[a,b]上单调增加
【篇二：同济大学第六版高等数学上册课后答案全集】=txt>第一章
习题1?1
1? 设a?(??? ?5)?(5? ??)? b?[?10? 3)? 写出a?b? a?b? a\b及a\(a\b)的表达式?
解 a?b?(??? 3)?(5? ??)?
a?b?[?10? ?5)?
a\b?(??? ?10)?(5? ??)?
a\(a\b)?[?10? ?5)?
2? 设a、b是任意两个集合? 证明对偶律? (a?b)c?ac ?bc ?
证明因为
x?(a?b)c?x?a?b? x?a或x?b? x?ac或x?bc ? x?ac ?bc? 所以(a?b)c?ac ?bc ?
3? 设映射f ? x ?y? a?x? b?x ? 证明
(1)f(a?b)?f(a)?f(b)?
(2)f(a?b)?f(a)?f(b)?
证明因为
y?f(a?b)??x?a?b? 使f(x)?y
?(因为x?a或x?b) y?f(a)或y?f(b)
? y?f(a)?f(b)?
所以 f(a?b)?f(a)?f(b)?
(2)因为
y?f(a?b)??x?a?b? 使f(x)?y?(因为x?a且x?b) y?f(a)且y?f(b)? y? f(a)?f(b)?
所以 f(a?b)?f(a)?f(b)?
4? 设映射f ? x?y? 若存在一个映射g? y?x? 使g?f?ix? f?g?iy?
其中ix、iy分别是x、y上的恒等映射? 即对于每一个x?x? 有ix x?x? 对于每一个y?y? 有iy y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?
证明因为对于任意的y?y? 有x?g(y)?x? 且f(x)?f[g(y)]?iy y?y?
即y中任意元
素都是x中某元素的像? 所以f为x到y的满射?
又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若
f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2?
因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?
对于映射g? y?x? 因为对每个y?y? 有g(y)?x?x? 且满足
f(x)?f[g(y)]?iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射?
5? 设映射f ? x?y? a?x ? 证明?
(1)f ?1(f(a))?a?
(2)当f是单射时? 有f ?1(f(a))?a ?
证明 (1)因为x?a ? f(x)?y?f(a) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(a))?
所以 f ?1(f(a))?a?
(2)由(1)知f ?1(f(a))?a?
另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(a))?存在y?f(a)? 使
f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(a)且f是单射? 所以x?a? 这就证明了
f ?1(f(a))?a? 因此f ?1(f(a))?a ?6? 求下列函数的自然定义域?
(1)y??
解由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)? 33
(2)y?1
? 1?x
解由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)?
(3)y?1??x2? x
解由x?0且1?x2?0得函数的定义域d?[?1? 0)?(0? 1]?
(4)y?1? 24?x
解由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)?
(5)y?sin?
解由x?0得函数的定义d?[0? ??)?
(6) y?tan(x?1)?
解由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ? ? 22
?)?
(7) y?arcsin(x?3)?
解由|x?3|?1得函数的定义域d?[2? 4]?
(8)y??x?1? x
解由3?x?0且x?0得函数的定义域d?(??? 0)?(0? 3)?
(9) y?ln(x?1)?
解由x?1?0得函数的定义域d?(?1? ??)?
(10)1y?e?
解由x?0得函数的定义域d?(??? 0)?(0? ??)?
7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？
(1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x?
(2) f(x)?x? g(x)?x2?
(3)f(x)?x4?x3?g(x)?x?1?
(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ?
解 (1)不同? 因为定义域不同?
(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x?
(3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同?
(4)不同? 因为定义域不同?
?|sinx| |x|???3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数y??(x) 8? 设?(x)??464 |x|???0 3?
的图形?
解 ?(??|sin?|?1? ?(??|sin?|?? ?(??)?|sin(??)|?? ?(?2)?0? 442442662
9? 试证下列函数在指定区间内的单调性?
(1)y?x? (??? 1)? 1?x
(2)y?x?ln x? (0? ??)?
证明 (1)对于任意的x1? x2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?
y1?y2?xxx?x???0? 1?x11?x2(1?x1)(1?x2)
所以函数y?x在区间(??? 1)内是单调增加的? 1?x
(2)对于任意的x1? x2?(0? ??)? 当x1?x2时? 有
x y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?l?0? x2
所以函数y?x?ln x在区间(0? ??)内是单调增加的?
10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?
证明对于?x1? x2?(?l? 0)且x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)
且?x1??x2?
因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以
f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?
这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有f(x1)? f(x2)? 所以f(x)在(?l?
0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明?
(1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?
(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函
数与奇函数的乘积是奇函数?
证明 (1)设f(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?f(x)?
所以f(x)为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?
如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)?g(x)??f(x)?
所以f(x)为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?
(2)设f(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?f(x)?
所以f(x)为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数?
如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)?[?f(x)][?g(x)]?f(x)?g(x)?f(x)?
所以f(x)为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数?
如果f(x)是偶函数? 而g(x)是奇函数? 则
f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)[?g(x)]??f(x)?g(x)??f(x)?
所以f(x)为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?
12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又
非偶函数？
(1)y?x2(1?x2)?
(2)y?3x2?x3?
2 (3)y?1?x
? 1?x
(4)y?x(x?1)(x?1)?
(5)y?sin x?cos x?1?
x?x (6)y?a?a? 2
解 (1)因为f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)? 所以f(x)是偶函数?
(2)由f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数? 1?(?x)21?x2??f(x)? 所以f(x)是偶函数?(3)因为f(?x)?221?x1??x (4)因为f(?x)?(?x)(?x?1)(?x?1)??x(x?1)(x?1)??f(x)? 所以f(x)是
奇函数?
(5)由f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sin x?cos x?1可见f(x)既非奇函数又非偶函数?
(?x)?(?x)?xxa?aa?a??f(x)? 所以f(x)是偶函数?(6)因为f(?x)?22
13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期?
(1)y?cos(x?2)?
解是周期函数? 周期为l?2??
(2)y?cos 4x?
解是周期函数? 周期为l??? 2
(3)y?1?sin ?x?
解是周期函数? 周期为l?2?
(4)y?xcos x?
解不是周期函数?
(5)y?sin2x?
解是周期函数? 周期为l???
14? 求下列函数的反函数?
(1)y?x?1错误！未指定书签。错误！未指定书签。?
【篇三：大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案】xt>一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计80分)
1、(本小题5分)
2、(本小题5分) x3?12x?16求极限lim3x?22x?9x2?12x?4
xdx.22(1?x)
1
x 求?3、(本小题5分) x??求极限limarctanx?arcsin
4、(本小题5分)
求?
5、(本小题5分) xdx.1?x
d求dx?x2
0?t2dt． 6、(本小题5分)
7、(本小题5分) 求?cot6x?csc4xdx.
求2
?1
?
8、(本小题5分) 11cosdx．xx2
9、(本小题5分)
3
0t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint
求?x?xdx．
10、(本小题5分)
11、(本小题5分) 求函数y?4?2x?x2的单调区间
?
2
0求?
12、(本小题5分)
13、(本小题5分) sinxdx．28?sinx 设
x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．
设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求dy．dx 14、(本小题5分)
15、(本小题5分) 求函数y?2ex?e?x的极值
16、(本小题5分) (x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)
求?
cos2xdx.1?sinxcosx
二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分)
1、(本小题7分)
2、(本小题7分) 某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.
x2x3
求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28 三、解答下列各题
( 本大题6分 )
设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.
一学期期末高数考试(答案)
一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计77分)
1、(本小题3分)
2、(本小题3分) 3x2?12解:原式?lim2x?26x?18x?12
6x?limx?212x?18 ?2
3、(本小题3分) x?(1?x2)2dx 21d(1?x)?2?(1?x2)2
11???c.21?x2
因为arctanx??2而limarcsinx??1?0x
故limarctanx?arcsinx??
4、(本小题3分) 1?0x
5、(本小题3分)
6、(本小题4分)
x?1?xdx 1?x?1???dx1?x dx???dx??1?x ??x?ln1?x?c. 原式?2x?x4
?cotx?cscxdx
???cotx(1?cotx)d(cotx) 6264
7、(本小题4分) 11??cot7x?cot9x?c.79
11原式??1cosd()xx ??2
??1 8、(本小题4分) 1??six2??1
9、(本小题4分)
2dye2t(2sint?cost)解：?tdxe(cost2?2tsint2)
et(2sint?cost)?(cost2?2tsint2) 令?x?u 原
式?2?(u4?u2)du1
10、(本小题5分) u5u32?2(?)153 116?15
11、(本小题5分)
?函数定义域(??,??) y??2?2x?2(1?x)当x?1，y??0 ???,1?当x?1，y??0函数单调增区间为?1,??? 当x?1，y??0函数的单调减区间为
原式???2
0dcosx9?cos2x
?
12、(本小题6分) 13?cosx2??ln63?cosx0 1?ln2 6
dx?x?(t)dt
13、(本小题6分) ?e?kt?(4??3k)cos?t?(4k?3?)sin?t?dt
2y??6x5
y 2yy??
14、(本小题6分)
3yx5y??2y?1
15、(本小题8分) 定义域(??，??),且连续 1y??2e?x(e2x?)2 11驻点：x?ln22 由于y???2ex?e?x?0 11故函数有极小值,,y(ln)?2222 16、(本小题10分) 1111(1?)2?(2?)2?(3?)2???(10?)2原
式?limx??11(10?)(11?)xx 10?11?21?6?10?117? 2
cos2xcos2xdx??1?sinxcosx1?sin2x2
d(sin2x?1)??1?sin2x2
1?ln1?sin2x?c2 解:?二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计13分)
1、(本小题5分)
设晒谷场宽为x,则长为
l?2x?512米,新砌石条围沿的总长为x
2、(本小题8分) 512(x?0)x 512l??2?2唯一驻点
x?16x 1024l???3?0即x?16为极小值点x 512故晒谷场宽为16米,长为?32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省
x2x3
解:?,8x2?2x3x1?0,x1?4.28
244?x4xx3
2?x6
2vx????()?()?dx???(?)dx008?464 ?2
1111??(?x5??x7)456470
4
三、解答下列各题
( 本大题10分 ) ??44(11512?)??5735
证明:f(x)在(??,??)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.
又f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0
则分别在[01,],[12,],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在
?1?(01,),?2?(12,),?3?(2,3)使f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0
,它至多有三个实根, 即f?(x)?0至少有三个实根,又f?(x)?0,是三次方程
由上述f?(x)有且仅有三个实根
高等数学（上）试题及答案
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
2
x1、lim(1?3x)x?0?______.。
x?x?0?e2、当kf(x)??2在x?0处连续． ??x?kx?0
3、设y?x?lnx,则dx?______ dy
4、曲线y?ex?x在点（0，1）处的切线方程是
5、若?f(x)dx?sin2x?c，c为常数，则f(x)?
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1、若函数f(x)?x
x，则limf(x)?（） x?0
a、0
b、?1
c、1
d、不存在
2、下列变量中，是无穷小量的为（） a. ln1x?2(x?0?) b. lnx(x?1)
c. cosx (x?2) (x?0)
d. 2xx?4
3、满足方程f?(x)?0的x是函数y?f(x)的（）．
a．极大值点 b．极小值点 c．驻点d．间断点
4、下列无穷积分收敛的是（）