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高考数学教案和学案有答案学案

高考数学教案和学案有

答案学案

文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

学案11 函数与方程

导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．

自主梳理

1．函数零点的定义

(1)对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使y ＝f (x )的值为____的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点．

(2)方程f (x )＝0有实根?函数y ＝f (x )的图象与____有交点?函数y ＝f (x )有______．

2．函数零点的判定

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，那么函数y ＝f (x )在区间________上有零点．

对于区间[a ，b ]上连续不断的，且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．

自我检测

1．(2010·福建改编)f (x )＝??

x 2

＋2x －3，x ≤0

－2＋ln x ， x >0

的零点为

______________．

2．(2010·山东省实验中学模拟)函数f (x )＝3ax ＋1－2a ，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围为________________________．

3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是________(填序号)．

4．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，则下列说法正确的个数是________．

①函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点； ②函数f (x )在(3,5)内无零点； ③函数f (x )在(2,5)内有零点；

④函数f (x )在(2,4)内不一定有零点．

5．(2009·山东)若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．

探究点一函数零点的判断

例1 判断函数y＝ln x＋2x－6的零点个数．

变式迁移 1 (1)(2011·南通调研)设f(x)＝x3＋bx＋c(b>0)，且

f(－1

)·f(

)<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内根的个数为________．(2)(2010·烟台一模)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝

f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．

探究点二用二分法求方程的近似解

例2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值．(精确到0.1)

变式迁移 2 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考

为________．

探究点三利用函数的零点确定参数

例 3 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

变式迁移3 若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．

1．全面认识深刻理解函数零点：

(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；

(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；

(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．

2．求函数y＝f(x)的零点的方法：

(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；

(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：

(1)若连续不间断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点；

(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．

(满分：90分)

一、填空题(每小题6分，共48分)

1．(2010·天津改编)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点个数为________．

2．若f (x )＝??

x 2

－x －1 ?x ≥2或x ≤－1?

1 ?－1

，则函数g (x )＝f (x )－

x 的零点为______________．

3．(2010·苏北四市模拟)若方程ln x －6＋2x ＝0的解为x 0，则不等式x ≤x 0的最大整数解为________．

4．若函数f (x )＝2ax 2

－x －1在(0,1)内恰有一个零点，则a 的取值范围是____________．

5．(2010·南通二模)已知函数f (x )＝???

－1， ?x >0?

－x 2

－2x ， ?x ≤0?

，若函

数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．

6．(2010·泰州期末)已知函数f (x )＝log a (2＋ax )的图象和函数g (x )＝1log (2)a

a x +(a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝

b 对称(b 为常数)，则a

＋b ＝________.

7．(2010·深圳一模)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________．

8．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是下列四个函数中的________．(填上正确的序号)

①f (x )＝4x －1；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x －1；④f (x )＝ln(x －0.5)．

二、解答题(共42分)

9．(12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋1

证明：存在x 0∈(0，1

)，使f (x 0)＝x 0.

10．(14分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．

11．(16分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a

，3a >2c >2b ，

求证：

(1)a>0且－3

<－

；

(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；

(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|<57 4

答案自主梳理

1．(1)0 (2)x轴零点 2.f(a)·f(b)<0 (a，b) 3．(x1,0)，(x2,0) 两个一个无

自我检测

1．－3和e2 2.a>1

或a<－1 3.①③ 4.3 5.a>1

课堂活动区

例1 解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．

解方法一设f(x)＝ln x＋2x－6，

∵y＝ln x和y＝2x－6均为增函数，∴f(x)也是增函数．

又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，

∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，

∴函数在(1,3)上存在唯一零点．

故函数y＝ln x＋2x－6的零点个数为1.

方法二在同一坐标系画出y＝ln x与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝ln x＋2x－6只有一个零点．变式迁移1 (1)1 (2)4

解析(1)∵f′(x)＝3x2＋b>0，

∴f(x)在[－1,1]上为增函数，

又f(－1

)·f(

)<0，

∴f(x)在[－1,1]内存在唯一零点，

方程f(x)＝0有唯一根．

(2)由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.

由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log

|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴下边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．例2 解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程．

解∵f(1)＝1－1－1＝－1<0，

f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，

∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点．

所取近似值都是1.3，因此1.3就是所求函数的一个零点近似值．变式迁移2 1.56

解析∵f(1.562 5)·f(1.556 2)<0，且区间[1.556 2,1.562 5]左右端点精确到0.01所取近似值都是1.56，因此1.56即为符合要求的零点．

例3 解题导引函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通过方程进行研究．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点．

解若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，

解得a＝－3±7

①当a＝－3－7

时，f(x)＝0的重根x＝

3－7

∈[－1,1]，