第49页 习题1-5 1 计算下列极限
（1）225
lim 3
x x x →+-
将2x =代入到25
3x x +-中，由于解析式有意义，因此
222525
lim
9323x x x →++==--- （2
）2231
x x x -+
将x =223
1
x x -+中，解析式有意义，因此
()22
2
233
01
1
x x x --=
=++ （3）22121
lim 1
x x x x →-+-
将1x =代入到解析式中，分子为0，分母为0，因此该极限为
型，因式分解，可得 ()()()()()2
221111121
0lim
lim lim 011112
x x x x x x x x x x x →→→---+====-+-+ （4）322042lim 32x x x x x x
→-++
将0x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为
型，因式分解，可得 ()()()()
22322000421421421lim lim lim 3232322x x x x x x x x x x x
x x x x x →→→-+-+-+===+++ （5）()2
2
lim
h x h x h
→+-
将0h =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为
型，因式分解，可得 ()()()2
2
2lim
lim
lim
22h h h x h x x h h x h x h
h
→→→+-+==+=
（6）211lim 2x x x →∞
??-
+ ???
由于lim 22x →∞
=，1lim 0x x →∞??-
= ???，22lim 0x x →∞??
= ???
因此由极限四则运算法则可知 221112lim 2lim 2lim lim 2002x x x x x x x x →∞
→∞→∞→∞??????
-
+=+-+=++= ? ? ???????
（7）221
lim 21
x x x x →∞---
当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞
∞
型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是2
x ，再利用极限四则运算法则，可知：
2
2
2
2221
1
1lim1lim
1101lim lim 1111
212002
2lim 2lim lim x x x x x x x x x x x x x x
x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-
---====-------- （8）242lim 31
x x x
x x →∞+-+
当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞
∞
型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是4
x ，再利用极限四则运算法则，可知：
2
2323422424
1111lim lim 00lim lim 0113131100
13lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====-+-+-+-+
（9）22468
lim 54
x x x x x →-+-+
4x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为
型，因式分解，可得 ()()()()2244424682422
lim lim lim 54141413
x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+----
（10）211lim 12x x x →∞
????
+
- ???????
由于1lim 11x x →∞
??+
= ???，21lim 22x x →∞??-= ??
? 因此由极限四则运算法则可知
211lim 12x x x →∞????+- ??????
?=211lim 1lim 2122x x x x →∞→∞???
?+?-=?= ? ????? （11）111lim 1 (242)
n n →∞
??
+
+++ ??
?
（等比数列求和公式为111n
n q S a q
-=?-，1a 为首项，q 为公比）
1
111111121 (1211242212)
n n n ++??- ?
?
???++++=?
=?- ???
-
111111lim 1...lim 21lim 22242
22n n n n n n +→∞
→∞→∞?????
?+
+++=?-=-= ? ? ??
?????
（12）2123...(1)lim n n n →∞++++-??
???
（等差数列求和公式为()
12
n n n a a S +=
） ()2
11123...(1)22
n n n n +-++++-==
2
22123...(1)12lim lim 2n n n n n n →∞→∞++++-??== ???
（13）()()()3123lim 5n n n n n →∞+++??
???
()()()31231123112311lim lim lim lim lim 11155555n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++??++++++??=??=??=???= ? ?????（14）311
3lim 11x x x →??-
?--?
?
311
3lim 11x x x →??- ?--??23113lim 1x x x x →??++-= ?-??（通分） 231
2lim 1x x x x →??+-= ?-??（整理） ()()()()()()212112lim 112lim 1313
x x x x x x x x x x →→??
-+
?= ?-++????
-+
?= ?++??-==-（因式分解，消去公因子）
第二题 计算下列极限 1. ()
32
2
2
2lim
2x x x x →+-
由于()2
2
lim 20x x →-=，因此，该极限不能利用商的极限运算法则。
但由于()
()
2
2
232
32
2
2
lim 220
lim
02lim 288
x x x x x x x x x →→→--=
=
=+++ 因此由无穷小与无穷大的关系定理可知：()
32
2
2
2lim
2x x x x →+=∞-
2. 2
lim 21
x x x →∞+ 由于()lim 21x x →∞
+不存在，因此该极限不能利用商的极限运算法则.
但由于2
22121
lim lim 01
x x x x x x →∞→∞++== 因此由无穷小与无穷大的关系定理可知： 2
lim
21
x x x →∞=∞+ 3. 3323110lim lim 011
2122x x x x x x x
→∞→∞===-+-+
因此由无穷小与无穷大的关系定理可知：3
lim 21x x x →∞
-+=∞
第三题
1. 2
01lim sin
x x x
→
由于01
limsin x x
→不存在，因此不能利用乘积的极限运算法则。
但是20
lim 0x x →=，因此2
x 是0x →时的无穷小
又因为1
sin
1x
≤，是有界函数 因此由定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可知，
20
1lim sin
0x x x
→= 2. arctan lim
x x
x
→∞
由于lim arctan x x →∞
不存在，因此不能利用商的极限运算法则。 但是1lim
0x x →∞=，因此1
x
是x →∞时的无穷小 又因为arctan 2
x π
≤
，是有界函数
因此由定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可知，
arctan lim
0x x
x
→∞=
兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)
2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)
4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0
用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C)
(D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e
第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案： 一、填空题 1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为 2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---. 2. 平行于a ={1，1，1} 若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为 15 . 3.已知两点() 1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2- 、k , = 2 , 方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2 2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0 135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是??????--21,22,21 . 4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+， =-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 . 5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++??=-??=-? 垂直的平面方程是340x y z --+= 二、选择题 1. 向量a 与b 的数量积?a b =（ C ）. A a rj P b a ； B ?a rj P a b ； C a rj P a b ； D b rj P a b ． 2. 非零向量,a b 满足0?=a b ，则有（ C ）． A a ∥b ; B =λa b (λ为实数)； C ⊥a b ； D 0+=a b ． 3. 设a 与b 为非零向量，则0?=a b 是（ A ）． A a ∥b 的充要条件； B a ⊥b 的充要条件; C =a b 的充要条件； D a ∥b 的必要但不充分的条件．
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2 2 cos = α，2 2 cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点. 大学答案 --- 中学答案 --- 考研答案 --- 考试答案最全最多的课后习题参 考答案，尽在课后答案网（）！ Khdaw团队一直秉承用心为大家服务的宗旨， 以关注学生的学习生活为出发点，旨在为广大学生朋友的自主学习提供一个分享和交流的平台。爱校园（）课后答案网（）淘答案（） 习题 101 1. 设在 xOy 面内有一分布着质量的曲线弧 L, 在点(x, y)处它的线密度为 μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达: (1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标 x , y . 解在曲线弧 L 上任取一长度很短的小弧段 ds(它的长度也记做 ds), 设(x, y) 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别为 dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds . L L ww w. kh d ∫L ∫L 和L2, 则 2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1 ∫L f (x, y)ds =∫L n 课 x= M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds 后 曲线 L 的重心坐标为 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1、________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2、设),cos(2y x z =,则=??)2,1(πx z 3、函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4、设xy e z =,则=dz 5、设y z ln z x =,则=?zx z 二、选择题 )2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在就是),(y x f 在该点连续的( )、 (a)充分条件, (b)必要条件, (c)充要条件, (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f +=,则＝（）)1,1(-'x f 、 (A)，31 (B)，31- (C)，65 (D).6 5- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 132 ???==x z x y 2、设),(y x z z =就是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数,F 具有一阶连续偏导数,且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,222z y x e u ++=而y x z sin 2=,求x u ??、 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线与法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1.(4分)图2 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分 收起解析 答案D 2.(4分)图19-13 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：多元函数微分 收起解析 答案B 3.(4分)图14-27 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4.(4分)图14-24 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6.(4分)图19-15 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) 知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7.(4分)图23-18 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8.(4分)图17-104 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) 知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9.(4分)图20-83 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10.(4分)图14-26 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用 答案C 11.(4分)图12 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析 答案D 12. (4分)图18-44 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：常微分方程 第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案： 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ；关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ，1，1} 的单位向量为1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行，为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k ， 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=（C）. A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ；B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b．a, b 满足a b0 ，则有（C）． ; B a b (为实数)；C a b ；D a b0 ． 3.设 a 与b为非零向量，则a A a ∥b的充要条件； C a b 的充要条件；b0是（A）． B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件． 高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1. (4分)图2 ? A. A ? B. B ? C. C ? D. D 知识点：高等数学／基础知识/ 微积分 收起解析 答案D 2. (4分)图19-13 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：多元函数微分 收起解析 答案B 3. (4分)图14-27 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4. (4分)图14-24 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6. (4分)图19-15 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D)知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7. (4分)图23-18 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8. (4分)图17-104 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9. (4分)图20-83 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10. (4分)图14-26 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案： 习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称 t θ ω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样 确定该物体在时刻t 0的角速度？ 解 在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=)()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 0000 00t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??)()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )()()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此 函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义. 解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量 的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0 表示当产量为x 时单位产量的成 本. 4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200 )1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x . 解 x x x x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0 x x x x x ???+-=→?2sin )2sin(2lim x x x x x x sin ]2 2sin ) 2 sin([lim 0-=???+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么: (1)A x x f x x f x =?-?-→?) ()(lim 000 ; 习题 1.1 22 22222222222222 223. 33,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b ====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11n n n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.: 6.120000(1)(1)(1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+ ∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：高等数学作业集答案第八章
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