选修2-1
第一节 椭圆的定义与标准方程的应用
解析几何在日常生活中应用广泛，行星绕太阳的轨道、人造卫星绕地球的轨道是椭圆形，古希腊的音乐厅及现代化的美国国会议厅（U.S. Capitol ）和摩门教大礼拜堂（Mormon Tabernacle ）也是椭圆形。如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法本节主要通过椭圆的应用，说明数学建
模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想
【引例】 某检验员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的标准圆柱，检测一个直径为3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径是多少？
简析：研究圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程。
解：设直径为3,2,1的三个圆的圆心分别为O,A,B.问题转化为求两个等圆P 、Q 使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切。
建立如图坐标系，并设⊙P 的半径为r ，则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5
∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长为2.5的椭圆上，
其方程为
2
2
116()
24125
3
x y +
+
= ①
同理点P 在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为2
2
14()12
3
x y -
+
= ②
由①②得P 9
12
(
,)1414
，Q 9
12
(,)1414
，332
7
r ∴=
-=
故所求圆的直径为67
。
一、
椭圆的定义：
1、 第一定义：平面里到
2、 第二定义
3
、 椭圆的标准方程： 一、类型1：椭圆定义的应用
例1.（2010·湖南高考文科·Ｔ19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10Km 的区域。 （I ） 求考察区域边界曲线的方程：
（II ） 如图4所示，设线段12P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化
时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？
【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性。能很好的体现学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式。
【思路点拨】题目的阐述比较新颖，把求曲线的方程阐述成求区域的边界。不受表面阐述所干扰，还是利用定义法求轨迹即可。第二问是数列问题，巧妙地把解析几何和数列的求和结合起来。
【规范解答】 (1) 设边界曲线上点P 的坐标为（x,y ），则由|PA|+|PB|=10知，点P 在以
A,B 为焦点，长轴为2a=10的椭圆上。此时短半轴长34
52
2=-=
b .
所以考察区域边界曲线（如图）的方程为
19
25
2
2
=+
y
x
.
(2) 易知过点P 1,P 2的直线方程为04734=+-y x ，因此点A 到直线P 1P 2
的距离为
5
31)
3(4|4716|2
2
=
-++-=
d
设经过n 年，点A 恰好落在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可
得
5
311
2)12(2.0=
--n
解得n=5，即经过5年，点A 恰好在冰川边界线上。
例 2 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m 万千米和3
4m 万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别
为
2
π和
3
π，求该彗星与地球的最近距离
分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解同时，还要注意结合椭圆的
几何意义进行思考仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较
近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a －c ，这样把问题就转化为求a ，c 或a －c
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F （－c ，0）处，椭圆的方程为
2
2a
x +
2
2b
y =1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为
3
π时，由椭圆的几何意义可知，
彗星A 只能满足∠xFA =3
π（或∠xFA ′=
3
π）
作AB ⊥Ox 于B ，则｜FB ｜=21｜FA ｜=
32m ，
故由椭圆的第二定义可得 m =
a
c （
c
a
2
－c ）① 且
3
4m =
a
c （
c
a
2
－c +
3
2m ）②
两式相减得3
1m =a
c ·3
2m ，∴a =2c 代入①，得m =2
1
（4c －c ）=
2
3c ，∴c =
3
2m ∴a －c =c =3
2m
答：彗星与地球的最近距离为
3
2m 万千米
点评： （1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a －c ，另一个是a +c
（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质
例3 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m ，要求通行车辆限高45 m ，隧
道全长25 km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状
（1）若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？
（2）若最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为S =
4
πlh ，柱体体积为底面积乘以高本题结果均精确到01 m ）
（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P （11，45），
椭圆方程为
2
2a
x +
2
2b
y =1将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得
a =77
44，此时l =2a =
7
7
88≈333
因此隧道的拱宽约为333 m
（2）解法一：由椭圆方程2
2a
x +
2
2b
y =1，得
2
211a
+
2
2
5.4b
=1
因为
2
211a
+
2
2
5.4b
≥
ab
5
.4112??，即ab ≥99
，且l =2a ，h =b ，所以S =
4
πlh =
2
πab ≥
2
π
99
当S 取最小值时，有
2
211a
=
2
2
5.4b
=
2
1，得a =112，b l =2a =222≈311，h =b
≈64故当拱高约为64 m 、拱宽约为311 m 时，土方工程量最小
解法二：由椭圆方程
2
2a
x +
2
2b
y =1，得
2
211a
+
2
2
5.4b
=1于是b 2
=
4
812
a
a 2
b 2
=
4
81（a 2
－121+
121121
2
2
-a
+242）≥
4
81（22
121
+242）=81×121，即ab ≥99，当S 取
最小值时，有a 2
－1212
2
得a =112，b =
2
29，以下同解法一
二、类型二 构造椭圆的模型
例1 解方程842++x x +2082+-x x =10．
解：将原方程配方，得4)2(2++x +4)4(2+-x =10． 令y 2= 4，即有22)2(y x ++ +22)4(y x +-=10．
根据椭圆定义，它表示以(－2，0)、(4，0)为焦点，长、短半轴分别为5、4的椭圆
25)1(2-x +162y =1，
将y 2= 4代入椭圆方程中，解得x =1±2
3
5．
经检验，x =1±
2
35均是原方程的解．
例2 已知
β
α2
4
sin
cos +
β
α24
cos
sin =1 ，求证：α+β=
2
π
．
证明：由已知点A(cos 2α，sin 2α)、B( sin 2β ，cos 2β)都在椭圆
β
2
2sin
x +
β
2
2cos
y =1 上，过点B 的切线方程为 x + y = 1，而点A 又在此切点
上，由切点的唯一性知 ，点A 与点B 重合．
∴cos 2α= sin 2β ，且sin 2α= cos 2β， ∴cos α= sin β= cos(2
π
－β)，
又 α、
2
π
－β∈(0，
2
π
)，∴α=
2
π
－β，即α+β=2
π
．
1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km ，远地点为 n km ，地球的半径为R km ，则通信卫星运行轨道的短轴长等于
A 2
)
)((R n R m ++ B
)
)((R n R m ++ C 2mn D mn
解析：由题意2
2R
n m ++－c =m +R ， ①
2
2R
n m +++c =n +R ， ②
∴c =
2
m n -，2b =2
2
2
)
2
(
)2
2(
m n R
n m --++答案：A
2有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为45 cm ，灯丝距顶面距离为28 cm ，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程
分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光
解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC 是椭圆的一部分，设其方程为
2
2a
x +
2
2b
y =1，灯丝距顶面距离为p ，由于△BF 1F 2为
直角三角形，因而，|F 2B |2=|F 1B |2+|F 1F 2|2=p 2+4c 2，由椭圆性质有|F 1B |+|F 2B |=2a ，所以a =21
（p +
2
2
4c
p
+），a = 2
1（28+
2
2
5
.48
.2+）≈405 cm ，b =
2
2
c
a
-≈
337 m ∴所求方程为
2
205.4x
+
2
237
.3y
=1
3 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点近地点A 距地面200 km ，远地点B 距地面350 km 已知地球半径R =6371 km （如图）
（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； （2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km ，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s ）（注：km/s 即千米/秒）
解：（1）设椭圆的方程为
2
2a
x +
2
2b
y =1
由题设条件得
a －c =|OA |－|OF 2|=|F 2A |=6371+200=6571， a +c =|OB |+|OF 2|=|F 2B |=6371+350=6721 解得a =6646，c =75，所以a 2=44169316，
b 2=a 2－
c 2=（a +c ）（a －c ）=6721×6571=44163691
∴所求椭圆的方程为44169316
2
x
+
44163691
2
y
=1
（注：由
44163691
≈66455768得椭圆的方程为
2
26646
x
+
2
2
6
.6645y
=1，也是
正确的）
（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s 减去开始的9分50 s ，即9×60+50=590（s ），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s ），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s ），
平均速度是
74950
600000≈8（km/s ）
所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s
一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。
例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若 则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课 班级姓名自我学习评价 :优良还需努力 【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题； 2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。 【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。 【学习过程】 一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空： 1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的； 2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条. 常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。 3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程 的焦半径；；对于标准方程的焦半径； .
椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。 1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D. 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B C. D. 3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15 4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=； 5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你 能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为 你是用什么方法求解的？。 二、典型例析 【探究一】利用椭圆第二定义解题
椭圆与双曲线综合练习题 1.已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( ) A ． B ． － C ． D ． － 2. 若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点,1F 、2F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ，若021=?PF PF , ） A.4 B. 3 C. 2 D. 1 4.已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ． (0，] B ． (0，] C ． [，1) D ． [，1) 5.已知为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B (0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C 的方程为( )A ．＋＝1 B ．＋＝1 C ．＋＝1 D ．＋＝1 7.过椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若 ＝λ1，＝λ2，则λ1＋λ2等于( )A ． 10 B ． 5 C ． －5 D ． －10 8. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ＋5y ＝0 C ．5x ±4y ＝0 D ．4x ±3y ＝0 9.设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ． 椭圆 B ． 线段 C ． 不存在 D ． 椭圆或线段 10.已知F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P 是椭圆上的点，I 是△F 1PF 2内切圆的圆心，直线PI 交x 轴于点M ，则|PI |∶|IM |的值为( ) A ． B ． C ． D ． 11.已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF +为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
椭圆的第二定义应用 班级 姓名 基础梳理 1.椭圆第二定义：___________________________距离之比是常数 e c a e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。 注意： ①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-212 0() ②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 自测自评 1、椭圆125 92 2=+y x 的准线方程是（ ) A 、425± =x B 、516±=y C 、516±=x D 、4 25±=y 2、椭圆的一个焦点到相应的准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（ ） A 、2 5 B 、5 C 、52 D 、1 3、设P 为椭圆136 1002 2=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距
离为（）
A 、6 B 、 8 C 、 10 D 、15 4、已知P 是椭圆2 100 x + 236y =1上的点，P 到右准线的距离是8.5，则p 到左焦点的距离是______ 5、已知动点M 到定点（3,0）的距离与到定直线x= 253，的距离之比是35，则动点M 的轨迹方程是_________________。 6、.已知P 点在椭圆225x +216y =1上，且P 到椭圆左、右焦点距离的比是1:4，则P 到两准线的距离分别为_________________。 7、求中点在原点、焦点在x 轴上、其长轴端点与最近的焦点相距为1，与相近的一条准线距离是53 的椭圆标准方程。 8、 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 9、已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612 122 |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
椭圆综合练习2 一、选择题 1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（ ） A ． 2 3 B ．3 C ． 2 7 D ．4 3. 过椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦 点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（ ） A ． 22 B ．33 C ．12 D ．13 4. 椭圆141622=+y x 有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为4 1-,则2 2OQ OP + 为（ ） A .4 B.64 C.20 D.不确定 5.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c b y x (,)2 (222+=+为椭圆的半焦距),有四个不 同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A .)53,55( B.)55,52( C.)53,52( D.)5 5,0( 6. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( ) A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2,1( D ]2,1( 二、填空题： 7. 椭圆14 92 2=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠ 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是____________________.
1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ． 13 3 B ． 53 C ． 23 D ． 59 【答案】B 【分析】 试题分析：945 33 e -= = ，选B ． 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且 以线段A 1A 2 为直径的圆和直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A 6 B 3 C 2 D ． 13 【答案】A 【分析】 试题分析：以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为 222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=和圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：2 2 d a a b ==+， 整理可得2 2 3a b =，即() 222223,23a a c a c =-=， 从而22 223 c e a ==，椭圆的离心率26 3c e a ===， 故选A .
【考点】椭圆的离心率的求解；直线和圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝ c a ； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)和双曲线C 2：22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合， e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
椭圆和双曲线综合练习卷 1. 设椭圆122 22=+n y m x ， 双曲线122 22=-n y m x ，（其中0>>n m ）的离心率分别为12e ,e ，则（ ） A ．121e ,e > B ．121e ,e < C ．121e ,e = D ．12e ,e 与1大小不确定 【答案】B m n m e 2 21-= ， m n m e 2 22+= ，所以1144 2 4421<-=-=m n m n m e e ，故选B. 2. 已知双曲线:C 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂 线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为（ ） A ． D 【答案】C 设H 在渐近线b y x a =-上，直线FH 方程为()a y x c b =+，由()b y x a a y x c b ?=-????=+??，得 2 a x c ab y c ?=-??? ?=?? ，即2(,)a ab H c c -，由3FP FH =，得233(2,)a ab P c c c -+，因为P 在双曲线上，所以 2222222 (23)91c a a a c c --=，化简得22 413c a = ，2c e a ==．故选C ． 3. 已知0,>b a ，若圆2 2 2 b y x =+与双曲线122 22=-b y a x 有公共点，则该双曲线离心率的取值范围 是（ ） A ．),2[+∞ B ．]2,1( C ．)3,1( D ．)2,2( 【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当a b ≥，即 1≥a b 时，圆222b y x =+与双曲线
椭圆定义及应用
一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F 1、F 2 ，和一个定长2a。若动点P到 两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F 1F 2 |<2a.则动点轨迹是椭 圆。两个定点F 1、F 2 称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-, 2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例 2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P 的焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切.
解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF 2为一个圆直径，PF 1为另一个圆半径的2倍，用公式 ，很容易得出正确解答。 例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆22 14520 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点,若 则12PF PF -的值为( ) A. 65 B. 25 C. 1 53 D. 253 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程.
椭圆测试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为 32 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22 159x y += （C ） 2213620x y += （D ）2213620x y +=或22 12036 x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定 3、已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4、已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ） A.3 B.2 C.3 D.6 5、如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程2 2 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 3 8x y -=的曲线关于原点对称 7、方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点. 8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于 A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =( ) （A ）1 （B （C （D ）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 54 B.53 C. 52 D. 5 1 10、若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP u u u r u u u r g 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 11、椭圆()22 2210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段
椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用，解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0，y0)，椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0). (1)点P在椭圆上?x20 a2＋ y20 b2＝1；(2)点P在椭圆内? x20 a2＋ y20 b2＜1； (3)点P在椭圆外?x20 a2＋ y20 b2＞1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2＋ y2 n2＝1上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y＝kx＋m与椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1(a＞b＞0)联立 ?? ? ?? y＝kx＋m， x2 a2＋ y2 b2＝1， 消去y得一个 一元二次方程.
2.弦长公式 设直线y ＝kx ＋b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2·|y 1－y 2|. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24＋y 2 9＝1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 ＋y 2 2＝1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2 4＝1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点，则d ＝ 4m 2 ＋n 2 ＞2， ∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.
椭圆测试题 一、选择题： （ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1、离心率为 2 3 ，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（ ） （A ） 2 2 x y 9 5 1 （B ） 2 2 x y 9 5 1 或 2 2 x y 5 9 1 （C ） 2 2 x y 36 20 1 （D ） 2 2 x y 36 20 1 或 2 2 x y 20 36 1 2、动点 P 到两个定点 F （- 4 ，0）、 F 2 （4，0）的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为（ ） 1 A. 椭圆 B. 线段 F F C. 直线 F 1F 2 D .不能确定 1 2 3、已知椭圆的标准方程 2 y 2 1 x ，则椭圆的焦点坐标为（ ） 10 A. ( 10,0) B. (0, 10) C. (0, 3) D. ( 3,0) 4、已知椭圆 2 2 x y 5 9 1 上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点的距离是（ ） A. 2 5 3 B.2 C.3 D.6 5、如果 2 2 x y 2 1 a a 2 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（ ） A. ( 2, ) B. 2, 1 2, C. ( , 1) (2, ) D.任意实数 R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A. 方程 2 2 0 x xy y 的曲线关于 X 轴对称 B.方程 3 3 0 x y 的曲线关于 Y 轴对称 C.方程 2 2 10 x xy y 的曲线关于原点对称 D.方程 3 3 8 x y 的曲线关于原点对称 7、方程 2 2 x y 2 2 1 （a ＞b ＞0,k ＞0 且 k ≠1)与方程 ka kb 2 2 x y 2 2 1 （a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. a b A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴 .长轴 D. 有相同的顶点 . 8、已知椭圆 2 2 x y C : 1(a b 0) ＞ ＞ 的离心率为 2 2 a b 3 2 ，过右焦点 F 且斜率为 k( k ＞0) 的直线与 C 相交于 A 、 B 两点．若 AF 3FB ，则 k ( ) （A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )
椭圆的定义及几何性质 椭圆 【教学目标】（1）掌握椭圆的定义 （2）掌握椭圆的几何性质 （3）掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】（1）椭圆的离心率有关的问题 （2）椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形。 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意： ．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐1 椭圆的定义及几何性质 标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3．椭圆的焦点总在长轴xx.当焦点在轴xx时，椭圆的焦点坐标为，；
当焦点在轴xx时，椭圆的焦点坐标为，。 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合： （2）范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。 （3）顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。b和a。|B1B2|=2b 椭圆的定义及几何性质（4）离心率表示，记exx的比叫做椭圆的离心率，用①椭圆的焦距与长轴作。，则1。e越接近10 ②因为a＞c＞，所以e的取值范围是0＜e＜就0，cac就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于a=b当且仅当这时椭圆就越接近于圆。越
椭圆测试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为 32 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22 159x y += （C ） 2213620x y += （D ）2213620x y +=或22 12036 x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定 3、已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4、已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ） ( A.3 5、如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程22 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 3 8x y -=的曲线关于原点对称 7、方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点. 8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于 A B 、两点．若3AF FB =，则k =( ) （A ）1 （B （C （D ）2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 54 B.53 C. 52 D. 5 1 10、若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 11、椭圆()22 2210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段
椭圆定义其应用课件说明 周南中学任元奇 一、教学目的： 1、进一步掌握椭圆的定义，并能根据椭圆的定义解决简单问题。 2、掌握几个有关椭圆的常用结论。 3、能用椭圆定义解决稍复杂的问题。 二、重点、难点： 重点：椭圆的定义及其应用； 难点：椭圆定义的应用。 三、思想品德教育： 数形结合的思想，探索与创新思想。 四、教学方法： 用探索法与分层教学法进行教学，教会学生学习的方法 五、课件所用的软件： 主要的是动态几何软件《几何画板》，它主要体现探索的思想方法；网页制作软件《FrontPage》和《Dreamweaver》,主要实现浏览
课件的窗口；还有动画制作软件《Flash5》，它主要是制作所用的动画效果；当然还离不文字处理软件《Microsoft Word》。 六、课件使用说明： 1、打开文件夹《ty》，双击“index.htm”文件； 2、点击网页左边的菜单，即可跳到相应的网页，但主画面依 然保存着； 3、点击“知识回顾”菜单，主窗口出现一些新的菜单，点击 上面的菜单，弹出相应的几何画板文件，在此可对相应问 题进行探索，探索完后退出几何画板文件，返回主窗口， 再点击下面相应的菜单按钮左边的图案，弹出一个文字框， 对所给问题给予解答； 4、“例题讲解”菜单的操作与“知识回顾”菜单一样操作； 5、“几何画板”文件的操作，就是拖动相应的点，画面上相 应的几何量就会变化，动点就形成了轨迹。由这些变化可 先知道问题的结果，这就是探索过程； 6、对探索的结果给予证明与解答。 七、课件的特点： 1、整个课件体现了一个探索的精神，很好地体现了本节课 的教学方法；
2、课件虽然要用两个软件来显示，但却链接非常好，使用 权其成为一个了整体； 3、使用网页浏览器使课件的主要菜单贯穿整个课件的始 终，各部分跳转自如； 4、用动态几何软件《几何画板》，很好地体现了数形结合 的思想，反映了数学的精髓； 5、整个课件动静结合，使用起来使人赏心悦目。
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理： 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<
准线 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面 练习 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴ PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， O x y D P A B C Q
例谈椭圆定义在解题中的应用 定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。 一、解方程 例1 x x x x 2 2 22224-++++= 分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令12=y ，得()()x y x y -++ ++=114222 2 ， 则点M （x ，y ）的轨迹是以F 1（-1，0），F 2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。 解：由原方程可得 y x y x y 222 2 2 1114 =-++ ++=?? ???()() ?+==??? ? ?x y y 22 243 11 解得x =± 263 二、判断方程表示的曲线 例2 已知x y R 、∈，且满足x x y x y 224412 2-++=+-||，试判断点M 的轨迹是怎样 的曲线。 分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M 到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M 到直线x y +-=20的距离，即有 () || x y x y -++-= 222 22 2 2 ，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M 的 轨迹是椭圆。 三、求参数的取值范围 例3 （2004年高考·全国卷III ）设椭圆 x m y 2 2 1 1++=的两个焦点是F 1（-c ，0）、F 2（c ， 0）（c>0），且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求m 的取值范围。 解：由题意知m>0，a m b = +=11，，c m = ，且 ||||||||||PF PF F F c PF PF a 12221222 1242+==+=?? ???① ② ②2－①得： ||||PF PF a c b 12222222?=-=
选修2-1 第一节 椭圆的定义与标准方程的应用 解析几何在日常生活中应用广泛，行星绕太阳的轨道、人造卫星绕地球的轨道是椭圆形，古希腊的音乐厅及现代化的美国国会议厅（U.S. Capitol ）和摩门教大礼拜堂（Mormon Tabernacle ）也是椭圆形。如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法本节主要通过椭圆的应用，说明数学建 模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想 【引例】 某检验员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的标准圆柱，检测一个直径为3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径是多少？ 简析：研究圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程。 解：设直径为3,2,1的三个圆的圆心分别为O,A,B.问题转化为求两个等圆P 、Q 使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切。 建立如图坐标系，并设⊙P 的半径为r ，则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长为2.5的椭圆上， 其方程为 2 2 116() 24125 3 x y + + = ① 同理点P 在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为2 2 14()12 3 x y - + = ② 由①②得P 9 12 ( ,)1414 ，Q 9 12 (,)1414 ，332 7 r ∴= -= 故所求圆的直径为67 。 一、 椭圆的定义： 1、 第一定义：平面里到 2、 第二定义 3 、 椭圆的标准方程： 一、类型1：椭圆定义的应用
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．离心率为32 ，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22 159x y += （C ） 2213620x y += （D ）2213620x y +=或22 12036 x y += 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定 3.已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4.已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ） A.3 B.2 C.3 D.6 5.如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6.关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） A.方程2 2 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 3 8x y -=的曲线关于原点对称 7.方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点. 8.已知椭圆22 22 : 1(0)x y C a b a b +=＞＞ 的离心率为F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =( ) （A ）1 （B （C （D ）2 9 .若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 10.若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 11.椭圆()22 2210x y a a b +=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满 足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) （A ）（0 ， 2] （B ）（0，12] （C ） 1，1） （D ）[1 2 ，1） 12.若直线y x b =+ 与曲线3y =b 的取值范围是( ) A.[1- 1+ B.[1,3] C.[-1,1+ D.[1-二、填空题：（本大题共4小题，共16分.） 13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 14 椭圆 22 14924 x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 . 15 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且 D F F B 2=，则C 的离心率为 . 16 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足22 00012 x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为____ ___。 三、解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17.（12分）已知点M 在椭圆 22 1259 x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P ，并且M 为线段P ' P 的中点，求P 点的轨迹方程 18.(12分)椭圆22 1(045)45x y m m +=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率e =