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高考第一轮复习——函数的单调性(文)

高考第一轮复习——函数的单调性(文)
高考第一轮复习——函数的单调性(文)

年 级 高三 学 科 数学

人教版(文)

内容标题 函数的单调性

编稿老师 孙力

【本讲教育信息】

一. 教学内容:

1. 概念:设函数)(x f 的定义域为I

(1)增函数:如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ,当

21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么称函数)(x f 在这个区间上是增函数。

(2)减函数:如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值21,x x ,当

21x x <时,都有)()(21x f x f >,则称)(x f 在这个区间上是减函数。

(3)单调区间:如果函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数,则称函数)(x f y =在这一区间上具有(严格的)单调性,该区间叫做)(x f y =的单调区间。

注:① 中学单调性是指严格单调的,即不能是)()(21x f x f ≤或)()(21x f x f ≥

② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如x

y 1

=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数,

不能说x

y 1

=在),0()0,(+∞?-∞上是减函数。

③ 单调性反映函数值的变化趋势,反映图象的上升或下降

2. 单调性的判定方法(定义法、复合函数单调性结论,函数单调性性质,导数,图象) (1)定义法

[例1] 证明函数1)(3

1-=x x f 在R 上是增函数

证:设x x <,则32

323131213131)()(x

x x x x x x x x f x f ++-=

-=-

而分子021<-=x x 分母04

3)21(3

2

2231

2

311

322

312

311

321

>++=+?+=x x x x x x x 故0)()(21<-x f x f 得证

补:讨论函数2

2)(x x a x f -=的单调性)10(≠

解:设1>a 时,对任R x ∈,02

2>-x

x a ,设121<

2112222212)

()(x x x x a x f x f +--=,而)](2)[(2212122112

22x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增,同理在),1(+∞单减

当10<

[例2] 讨论x

x x f +=

1)(的单调性

解:设21x x <,则)11)((11)()(2

1121

1

2

2

12x x x x x x x x x f x f -

-=+-

+=

-

2

1212112)()1)((x x x x x x x x +--=

(1)当1021≤<-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数,在),1[+∞上是增函数

[例3] 试求函数x

p

x x f +

=)((p 0≠)的单调区间 分析:考虑到2

12

112112212)()()()(x x p x x x x x p

x x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 (1)当p 0>时

① 若p x x -≤<21,则0)()(12>-x f x f ,)(x f 增 ② 若021<<≤-

x x p ,则0)()(12<-x f x f ,)(x f 减

③ 若p x x ≤<<210,则0)()(12<-x f x f ,)(x f 减

④ 若

21x x p <≤,则0)()(12>-x f x f ,)(x f 增

(2)当0

① 若021<-x f x f 增 ② 若210x x <<,则0)()(12>-x f x f 增

综上所述,0>p 时,)(x f 在)0,[p -或],

0(p 上是减函数

)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数

0

函数

x

p x y +

= p 范围

0>p

0

定义域 ),0()0,(+∞?-∞

值域 ),2()2,(+∞?--∞p p

),(+∞-∞

渐近线 x y =及0=x

奇偶性 奇函数

单调性

在],(p --∞及),[+∞p 分

别单调递增

在)0,(-∞上递增,在)

,0(+∞上递增

在)0,[p -及],0(p 上分别

单调递减

另法,利用导数21)(x x f -=')(2

2p x x

-= (1)若0>p

则))((1

)(2

p x p x x x f -+=

'

(2)若0

'x f 下证

高考分式函数试题类型与解法研究 [例4] 讨论分式函数x

b

ax x f +

=)(的单调性(0≠ab ) 以下只研究0,0>>b a 与0,

0<>b a 两种情形对于0,0>

用对称性得到。

解:当0,0>>b a 时,由2

22

2))(()()(x

a

b

x a b x a

a b x x a x b a x f -+

=-=-

=' 利用导数可知)(x f 在],(a b --∞与),[+∞a

b

上为单增函数

)(x f 在)0,[a b -

与],0(a

b 为单减函数 当0,0<>b a 时,由0)(2>-='x

b

a x f 知

)(x f 在)0,(-∞与),0(+∞上为增函数,图象如下

[例5]甲、乙两地相距s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过c 千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比,且比例系数为b ;固定部分为a 元

(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数,并指出这个函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶。 解:

(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

v

s

,全程运输成本为

)()

(2v

a

bv s v s bv a y +=+=,],0(c v ∈ (2)依题意v b a s ,,,都为正数,故有ab s bv v

a

s 2)(≥+

当且仅当bv v a =即b a

v =时,上式中等号成立

① 若

c b a ≤,则当b

a

v =

时全程运输成本y 最小 ② 若c b

a

>,函数)(bv v a s y +=在],0(c 上是减函数

那么当且仅当c v =时,全程运输成本y 最小

综上所述可知,为使全程运输成本最小,当c b

ab

≤时 行驶速度应为b ab v =

;当c b

ab >时,行驶速度应为c v =

[例6] 在ABC ?中,θ=∠===ACB c AB b AC a BC ,,,,现将ABC ?分别以BC 、AC 、AB 所在直线为轴,旋转一周,设所得三个旋转体的体积依次为321,,V V V 。

(1)求2

13V V V T +=

(用c b a ,,,θ表示)

(2)若θ为定值,并令x c

b

a =+,将T 表示为x 的函数,写出这函数的定义域,并求这函数的最大值u

(3)当θ在],3

[

ππ

内变化时,求u 的最大值。

解:(1)设ABC ?的BC 、AC 、AB 边上的高分别为321,,h h h ,由θsin 1b h =,

θsin 2a h =,c

ab c ah h θ

sin 13==

得 θππ22211sin 331ab a h V ==,θπ

π22222sin 331b a b h V ==,

θππ22

2233sin 331c

b a

c h V ==

于是得(*))(213c b a ab

V V V T +=+=

(2)令x c

b

a =+,则由θcos 2222a

b b a

c -+=得 )cos 1(2)cos 1(2)(22222θθ+-=?+-+=ab x c c ab b a c

2

cos 4)1()

cos 1(2)1(2

2

222θθc x c x ab -=+-=?代入(*)得

)1

(2

cos 412cos 4)1(2cos 4)()1(2

2222222x

x x c c x c b a c x T -=?-=?+-=θθθ

当θ为定值时,)cos 1()2

(2)(22

2θ++-+≥b a b a c 即2

sin )(2

2

2

θ

b a

c +≥

又2

2

θ

<

<

,于是2

csc

2

sin

12θ

θ

=≤+=

c

b

a x

(当且仅当b a =时,取等号)

又由0>>+c b a ,知

1>+c b a ,所以函数)(x T 的定义域为]2

csc ,1(θ

因为)1

(2cos 41)(2

x x x T -=θ在]2csc ,1(θ上递增,所以当2csc θ=x ,即b a =时,T

取最大值,此时2csc 41]2sin 2sin

1[2cos 412θ

θθθ=-=u

(3)由于),3[ππθ∈,2sin

41

θ=u 是减函数,从而当3πθ=时,u 取最大值为21

注:分式函数变通形式,函数)0(2

>+=

a a

x x y 的单调性 将函数式变形为a x a a x a x a a x y +++=++-=

2

222)(a 2- 令a x t +=,则a t

a t y 22

-+= 由单调性,在],0(a t ∈即]0,(a x -∈上单减

在),[+∞∈a t 即),0[+∞∈x 上单增 在)0,[a t -∈即),2[a a x --∈上单减 在],(a t --∞∈即]2,(a x --∞∈上单增

(2)复合函数的单调性

在复合函数)]([x g f y =中,设)(u f y =和)(x g u =都是单调函数 ① 若)(u f y =为增函数,则)]([x g f y =的增减性与)(x g u =相同; ② 若)(u f y =为减函数,则)]([x g f y =的增减性与)(x g u =相反。

区间

单调性 函数

A B C D )(x g u = + + - - )(u f y = +

+ - )]([x u f y =

+

- -

+

利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤 (1)先确定复合函数)]([x g f y =的定义域 (2)在定义域内分别研究)(x g u =及)(u f y =的单调性(分拆)

(3)列表,得结论

[例7] 讨论函数2

11

2)(x x f -=的单调性

解:由11

2

)21()(-=x x f 知定义域),1()1,1()1,(+∞?-?--∞

令1

12-=x u ,u

y )21(=

以下先研究,1

1

2-=x u 的单调性

令t

u 1=,12

-=x t

)1,(--∞

)10,(-

(0,1)

(1,∞+)

12-=x t

- - + + t u 1=

- - - - 1

12-=x u

+

+

而u

y )2

1(=在R 上为减函数,故利用复合函数单调性结论知)(x f 在)1,(--∞及)0,1(-上是减函数,在(0,1)及(1,∞+)上是增函数。

补:已知)2(log ax y a -=在[0,1]是减函数,则a 的取值范围是( B )

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(0,2)

D. ),2[+∞ 解:依题意1>a ,又a x ax 202-故212

a a

(也可由0>x ,x a 2<,2)2

(min =x

(∵ ]1,0[∈x )从而2

[例8] 讨论x

x

y +-=11lg

的单调性 解:由

?>+-011x x 定义域(1,1-)令x x

u +-=11,u y lg = 而1111+--=+-=x x x x u 1

2

1121++-=+-+-=x x x 当)1,1(-∈x 时1

2

1++-=x u 是减函数,故

(1,1-) x x u +-=11 -

u y lg = +

x

x y +-=11lg -

故x

x

y +-=11lg 在其定义域(1,1-)上是减函数

[例9] 讨论)26(log )(2

2

1--=x x x f 的单调性

解:由?>-+?>--0)23)(12(0262

x x x x 定义域)3

2

(

)21,(∞+?--∞ 令262

--=x x u ,u y 2

1log =,以下先考虑262

--=x x u 的单调性

由2449)121(62--

=x u 结合定义域知它在)21,(--∞单减,在),3

2(+∞上单增

)2

1,(--∞

),3

2

(+∞ 262--=x x u - + u y 2

1log =

- - )(x f y =

+

故)26(log )(2

2

1--=x x x f ,在)2

,(--∞上是增函数

在),3

2(+∞上是减函数

[例10]已知)2()(,28)(22x f x g x x x f -=-+=,求)(x g 的单调区间。

解:依题意定义域为R ,令2

2x u -=,228)(u u u f -+= 则)]([)(x u f x g =

由2

2x u -=知其在)0,(-∞上单增,在),0(+∞上单减

而9)1(28)(22+--=-+=u u u u f 知,)(u f 在)1,(-∞单增,在),1(+∞单减 又由11212

-x ;111212

<<-?>-?>x x u 所以)(x g 单减区间)0,1(-和),1(+∞单增区间)1,(--∞与(0,1)

)1,(--∞

)0,1(-

(0,1) (1,∞+)

22x u -=

+ + - - 228)(u u u f -+= + - - + )]([)(x u f x g =

+

+

(3)利用单调性性质

结论1:两增函数的和在公共定义域上仍为增函数 [例11] 讨论函数x x x f -+=

1)(2的单调性 解:定义域R x ∈ ① 若0≤x ,121+=x y 与x y -=2均为减函数 故x x y y x f -+=+=1)(221也是减函数

② 若x 0≥时

x

x x f ++=

11)(2由121+=

x y 与x y =2都是增函数

且021>+y y ,2

11

)(y y x f +=

是减函数

综上,)(x f 在R 上是减函数,此结论用到以下事实。

又如讨论),(R b a a x b

x y ∈++=

的单调性 解:a

x a

b a x a b a x y +-+=+-++=1

利用反比例函数的单调性可知当b a <时,a

x b

x y ++=在),(a --∞与),(+∞-a 上是减函数

当b a >时,a

x b

x y ++=在),(a --∞与),(+∞-a 上是增函数 结论2:若函数)(x f y =在区间],(b a 上是减函数,在区间),[c b 上是减函数,则)(x f 必是区间(c a ,)上的减函数。

证:任取),(21c a x x ∈、且21x x <

若],(,21b a x x ∈,则)()(21x f x f >,若),[,21c b x x ∈,)()(21x f x f > 若),(1b a x ∈,),[2c b x ∈,则)()(1b f x f >,)()(2x f b f ≥ 从而)()(21x f x f >

综上,对),(,21c a x x ∈且21x x <,总有)()(21x f x f >得证

上例利用定义法 对于21x x <

)1(1)()(22

212121x x x x x f x f ++--+=

-

0]1

11)[(1222

2

1

2112<-<++++-

-=x x x x x x x x

结论3:设)(x f y =是单调函数,则其反函数)(1

x f y -=也是单调函数,且)

(x f y =与其反函数)(1

x f

y -=有相同的单调性。

证:不妨设)(x f 是增函数,设21x x <,)(),(212111x f y x f y --==(用反证法) 如果21y y ≥,则因)(x f y =是增函数,故)()(21y f y f ≥

即21x x ≥这与21x x <矛盾,故21y y <,因此)(1x f y -=单增 例子:对数函数与指数函数对底a 的不同情形具有相同的单调性。

(4)利用函数的图象

[例12] 讨论函数543)(2

-+=x x x f 的单调性

解:?????<--≥-+=0,5430,543)(22x x x x x x x f 即???

????<--≥-+=0,319)32(30,3

19)32(3)(22x x x x x f

利用图象

(5)利用导数

函数)(x f y =在区间],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且在),(b a 内 ① 如果0)(>'x f ,那么函数)(x f y =在区间],[b a 上单调增加 ② 如果0)(<'x f ,那么函数)(x f y =在区间],[b a 上单调减少 由此得到确定单调区间的方法

① 确定函数)(x f 的定义域),(b a ② 求导数)(x f '

③ 令0)(='x f 解此方程,求出在区间),(b a 内的全部实根,并按从小到大的顺序排列为n c c c ,,,21

④ 确定区间),(),,(),,(211b c c c c a n 内导数符号

⑤ 在某区间内,若0)(>'x f ,那么函数)(x f 在这个区间内递增,若0)(<'x f 那么函数)(x f 在这区间内递减。

【模拟试题】(答题时间:40分钟)

一、选择题。

1. 函数y x x =-+232的单调减区间为( ) A. [)

0,+∞ B. (]

-∞,0 C. -∞?

? ??

?,34

D. 3

4

,+∞????

??

2. 设(a ,b )、(c ,d )都是函数f (x )的单调增区间,且x 1∈(a ,b ),x 2∈(c ,d ),x 1

<x 2,则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( ) A. f (x 1)<f (x 2) B. f (x 1)>f (x 2) C. f (x 1)=f (x 2) D.不能确定 3. 下列函数中,在()

-∞,0上为减函数的是( ) A. y x =-12 B. y x x =-+22 C. y x =

+1

1

D. y x x =

-1

4. 函数y =

x

1

的单调递减区间是( ) A.[0,+∞] B.(-∞,0) C.(-∞,0),(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 5. 设f x ()是()

-∞+∞,上的减函数,则( ) A. f a f a ()()>2

B. f a f a ()()2

< C. f a a f a ()()2

+<

D. f a f a ()()2

1+<

6. 设函数f (x )=(2a -1)x +b 是R 上的减函数,则有( )

A. a ≥

21

B. a ≤

21

C. a >-2

1

D. a <2

1

7. 若函数f x ()是定义在R 上的增函数;若a b +>0时,则下列各式成立的是( )

A. f a f b f a f b ()()()()+<-+-

B. f a f b f a f b ()()()()+>-+-

C. f a f a f b f b ()()()()+->+-

D. f a f a f b f b ()()()()+-<+- 8. 如果u f y =()是R 上的减函数,y g x =()在[]

->a a a ,()0上是增函数,则函数

u f g x =[()]的单调性是( )

A. 在[]-a ,0上是增函数,在[]

0,a 上是减函数

B. 在[]-a ,0上是减函数,在[]0,a 上是增函数

C. 在[]

-a a ,上是增函数

D. 在[]-a a ,上是减函数

9. 已知f x x x g x f x h x f x ()()()()()=+-==-822222,,,则g x ()与h x () ( )

A. 函数值域相同,增减性不同

B. 为相同的函数

C. 函数值域不同,增减性相同

D. 函数值域、增减性都不同

二、填空题。

10. 已知函数f (x )=4x 2-mx +1在(-∞,-2)上递减,在[-2,+∞]上递增,则

f (1)= __________. 11. 二次函数y ax bx c =++2的单调区间,当a >0时,增区间是___________,减区间为___________。

12. f (x )是定义在(0,+∞)上的递减函数,且f (x )

14. 一次函数()

()f x k k x k k ()=+-+-3232

是增函数的充要条件是___________。

15. 已知函数()f x ax a x ()=+-+24352是在区间()

-∞-,3上的减函数,则a 的取值范围是___________。

三、解答题。

16. 求证:函数f x x x ()=

+-21在定义域内是减函数。

17. 求证:函数f (x )=x +

x

a

(a >0)在区间(0,a ]上是减函数. 18. 设f x ()是()

-∞+∞,上的增函数,a 和b 是实数。

(1)证明命题“如果a b +≥0,那么f a f b f a f b ()()()()+≥-+-”; (2)判断(1)中命题的逆命题是否正确,并证明你的结论。

【试题答案】

一、 1. D 2. D

3. D

4.C

5. D

6.D

7. B

8. D

9. B

二、

10.21 11. -+∞??????-∞-?

? ???b a

b a 22,,,

12. (

2

3

,3) 13. [)(]

33,,,+∞-∞- 14. -<<13k 15. 034

≤≤a 三、

16. 因为f x ()的定义域为()-∞+∞,,任取()

x x 12,,∈-∞+∞且x x 12<

()()()()

()()()

∴-=

+-+--=

-+++--=--++-++++f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2122122122

12

122

2212

1

1

12222

122211111111

·

x x x x 21210>∴->,且x x 12

22110+++>

又因为对任意x R ∈,都有x x x x 2

21+>

=≥

∴-+<∴-+<-+

2

22

210

1010

所以f x f x ()()210-<,即f x f x ()()21<

故函数f x x x ()=+-21在R 上单调递减

17.证明:设0

f (x 1)-f (x 2)=(x 1+1x a )-(x 2+2

x a

)=(x 1-x 2)+2112)(x x x x a -

=(x 1-x 2)·

2

121x x >0,即f (x 1)>f (x 2). 因此函数f (x )=x +x

a

(a >0)在区间(0,a ]上是减函数. 说明:用上述方法还可以证明函数f (x )=x +x

a

(a >0)在[a ,+∞]上是增函数,在

(-∞,-a )上也是增函数,在(-a ,0)上是减函数,并让学生记住证法和结论.

18. (1)由a b a b +≥?≥-0 ∴≥-<>f a f b ()()1 同理,f b f a ()()

≥-<>2

<1>+<2>得:f a f b f a f b ()()()()+≥-+-

(2)逆命题正确。

即若f a f b f a f b ()()()()+≥-+-,则a b +≥0

假设a b +<0,则(1)可证f a f b f a f b ()()()()+<-+-矛盾。

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析: (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点; 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时,它的函数y增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x增大,y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是研究x成为相反数时,y是否也成为相反数,即函数的对称性质. 函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质. 函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法:加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一步用数学符号刻画. 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地位. 教学的重点是:引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大,y也增大(或减小)”这一特征进行抽象的符号描述:在区间D上任意取x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数). (2)教学内容的知识类型; 在本课教学内容中,包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识,函数单调性的符号语言表述属于事实性知识,利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识,发现问题----提出问题----解决问题的研究模式,以及从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法,属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识; 在本课教学内容中,函数的单调性,是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源; 生活常见数据曲线图例子,能引发观察发现思维;函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+,能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维,不等关系等价转化为作差定号,是转化化归思维的好资源,是树立辩证唯物主义价值观的好契机;创设熟悉的二次函数探究背景,是引发从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料,树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置: 本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据,以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是:不仅把函数看成变量之间的依赖关系,还要用集合与对应的语言刻画函数,体会函数的思想方法与研究方法,结合实际问题,体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求,结合学生实际,本课课堂教学目标设置如下: (1)知识与技能: 理解函数单调性的概念,让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念; 能利用图象法直观判断函数的单调性;

专题:函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx

专题:函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1.单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数,若对任何 x1 , x2I ,当 x1x2时,总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ,则称f (x)为I上的增函数,特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ,则称f (x)为I上的减函数,特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2.函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数,x1、 x2为区间内两任意值,那么有: f (x1) f ( x2)或 x1x20(x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数,x1、 x2为区间内两任意值,那么有: f (x1) x1 3.函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20(x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性,当x a, b 时 u m,n,且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性,则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ,若它们的定义域分别为I 和 J ,且 I J: (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时,函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同, F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定;g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时,我们假设 f ( x) 为增函数, g ( x) 为减函数,那么: ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定; ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数, F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ,都有 f ( x) f ( x) ,则称函数 f (x) 为偶函数;如果对于函数 f (x) 的定义域内的任

必修一函数的单调性专题讲解(经典)

第一章 函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1.定义:对于函数)(x f y =,对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ,当 21x x <时,都有 ))()()(()(2121x f x f x f x f ><或,那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增(或减)函数。 重点 2.证明方法和步骤: (1) 取值:设21,x x 是给定区间上任意两个值,且21x x <; (2) 作差:)()(21x f x f -; (3) 变形:(如因式分解、配方等); (4) 定号:即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或; (5) 根据定义下结论。 3.常见函数的单调性 时, 在R 上是增函数;k<0时, 在R 上是减函数 (2),在(—∞,0),(0,+∞)上是增函数, (k<0时),在(—∞,0),(0,+∞)上是减函数, (3)二次函数的单调性:对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a , 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小,右侧单调增加; 当0

总复习教案:函数的单调性与最值(学生版)

第三节 函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1, x 2 当x 1f (x 2) ,那么就说函 数f (x )在区间D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2.单调区间的定义 若函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间. 二、函数的最值 前提 设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ; ②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M ①对于任意x ∈I ,都有f (x )≥M ; ②存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1.(2012·陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A .y =x +1 B .y =-x 3 C .y =1x D .y =x |x | 2.函数y =(2k +1)x +b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( ) A .k >12 B .k <12 C .k >-1 2 D .k <-1 2

3.(教材习题改编)函数f (x )=1 1-x (1-x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43 4.(教材习题改编)f (x )=x 2-2x (x ∈[-2,4])的单调增区间为________;f (x )max =________. 5.已知函数f (x )为R 上的减函数,若m

第08讲 函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第8讲:函数的单调性 一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。 二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数). (2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数),那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个区间叫做f(x)的单调区间;若函数是增函数则称该区间为增区间,若函数为减函数则称该区间为减区间. 2. 函数单调性的图像特征 对于给定区间上的函数f(x),若函数图像从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增;若函数图像从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减. 3. 复合函数的单调性 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x∈(a,b)时,u∈(m,n),且u=g(x)在区间(a,b)上和y=f(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,则复合函数y=f(g(x))在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:增增(或减减)则增,增减(或减增)则减. 4. 函数单调性的常用结论 (1)对?x1,x2∈D(x1≠x2),f(x1)-f(x2) x1-x2>0?f(x)在D上是增函数; f()x1-f()x2 x1-x2<0?f(x)在D上是减函数. (2)对勾函数y=x+a x(a>0)的增区间为(-∞,-a]和[a,+∞),减区间为(-a,0)和(0,a). (3)在区间D上,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数. (4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:

2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值(1)

【核心素养分析】 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 【重点知识梳理】 知识点一函数的单调性 (1)单调函数的定义 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 知识点二函数的最值 第1页共9页

第 2 页 共 9 页 【特别提醒】 1.函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y = 1 f (x ) 的单调性相反. 2.“对勾函数”y =x +a x (a >0)的单调增区间为(-∞,-a ),(a ,+∞);单调减区间是[-a ,0),(0,a ]. 【典型题分析】 高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间) 例1.(2020·新课标∈)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( ) A. 是偶函数,且在1(,)2 +∞单调递增 B. 是奇函数,且在11(,)22 -单调递减 C. 是偶函数,且在1 (,)2 -∞-单调递增 D. 是奇函数,且在1 (,)2 -∞-单调递减 【答案】D 【解析】由 ()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±???? ,关于坐标原点对称, 又 ()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-, ()f x ∴为定义域上的奇函数,可排除AC ; 当11,22x ?? ∈- ?? ?时,()()()ln 21ln 12f x x x =+--, ()ln 21y x =+在11,22?? - ??? 上单调递增,()ln 12y x =-在11,22 ?? - ??? 上单调递减,

2函数的单调性及其应用高三复习专题

函数的单调性 1.单调性与单调区间: 例1.下列函数中,满足“对任意1x ,2x ∈(0,+∞),当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x ”的是( ) A .()f x =1x B .()f x =2(1)x - C .()f x =x e D .()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数:①1 2y x =,②12 log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是( ) A .①② B .②③ C .③④ D .①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增,则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围: 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+

高考数学专题:函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求:了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画:对于给定区间上的函数()f x ,函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减。 (2)定性刻画:对于给定区间上的函数()f x ,如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减。 (3)定量刻画,即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法: ①定义法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ,当21x x <时,都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕,那么就说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 与之相等价的定义:⑴()()02121>--x x x f x f ,〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。其几何意义为:增(减)函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于(或小于)0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ,〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 ②导数法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数;如果()0`a 且0≤b 。 (年广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

专题一:导数与函数的单调性

专题一:导数与函数的单调性 题型一:求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为( ) A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数,()f x '的图象如图所示,则()y f x =的图象是( ) A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数f (x )在x =-2处取得极小值,则函数y =xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区

2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三:已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数,求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数,求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少? 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数,求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数,求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间,求a 的取值范围。

微专题30函数的单调性答案

微专题30 例题1 答案:(1){x|x >1,或x <-4}; (2)-2. 解析:∵f(x)是定义域为R 上的奇函数,∴f (-x )=-f (x ),令x =0,得f (0)=0,k -1=0,k =1. (1)∵f (1)>0,∴a -1a >0,又a >0且a ≠1,∴a >1,f (x )=a x -a -x ,∵f ′(x )=a x ln a +a -x ln a =(a x +a -x )ln a >0,∴f (x )在R 上为增函数(令解析:设x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=(ax 2-ax 1)+])1()1[(21x x a a -,因为a >1,则ax 2-ax 1>0,21)1()1(x x a a ->0,所以f (x 2)-f (x 1)>0,则f (x )在R 上为单调增函数).因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数,则不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0可化为f (x 2+2x )>f (4-x ),又f (x )在R 上为单调增函数,所以x 2+2x >4-x ,解得x <-4,或x >1,所以不等式的解集为{x |x >1,或x <-4}. (2)∵f (1)=32,∴a -1a =32,即2a 2-3a -2=0,∴a =2或a =-12 (舍去),∴g (x )=22x +2-2x -4(2x -2-x )=(2x -2-x )2-4(2x -2-x )+2.令t =2x -2-x (x ≥1),则t =2x -2-x (x ≥1)为增函数, 即t ≥21-2-1=32 .所以g (x )=h (t )=t 2-4t +2=(t -2)2-2≥-2(当t =2, x =log 2(1+2)时取等号).则g (x )在[1,+∞)上的最小值为-2. 例题2 答案:22. 解析:因为函数f(x)满足f(x +4)=f(x)(x ∈R ),所以4是函数f (x )的周期.则f (15)= f (4×4-1)=f (-1)=|211|+-=12,所以f (f (15))=f )2 1(=cos π4=22. 变式联想 变式1 答案:(1)略; (2)???a =-1,b =-2,或?????a =1,b =2;(3)当? ????a =1,b =2时,D =R ; 当?????a =-1,b =-2时,D =(0,+∞),或D =)7 5log ,(2-∞. 解析:(1)证明:当a =b =1时,f (x )=1-2x 1+2x +1 ,f (-1)=14,f (1)=-15,所以f (-1)≠-f (1),则f (x )不是奇函数.

高三数学 函数的单调性专题复习 教案

江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标: ①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义; ②理解函数单调性的定义,掌握函数单调性的判定与证明,能利用函数的单调性解决一些问题. 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地,设函数()f x 的定义域为I : 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________,就说这个函数在这个区间M 上具有_____________(区间M 称为____________)。 3.最大(小)值 (前面已复习过) 4.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断。 (2)导数法 ①若()f x 在某个区间内可导,当'()0f x >时,()f x 为______函数;当 '()0f x <时,()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导,当()f x 在该区间上递增时,则'()f x ______0,当()f x 在 该区间上递减时,则'()f x ______0。 (3)利用函数的运算性质:如若(),()f x g x 为增函数,则①()()f x g x +为增函数; ②1 ()f x 为减函数(()0f x >);③()f x 为增函数(()0f x ≥);④()()f x g x 为增 函数(()0,()0f x g x >>);⑤()f x -为减函数。

专题函数单调性的证明

函数单调性的证明 函数的单调性需抓住单调性定义来证明,这是目前高一阶段唯一的方法。 一、证明方法步骤为: ① 在给定区间上任取两个自变量1x 、2x 且1x <2x ② 将()1f x 与()2f x 作差或作商(分母不为零) ③ 比较差值(商)与0(1)的大小 ④ 下结论,确定函数的单调性。 在做差比较时,我们常将差化为积讨论,常用因式分解(整式)、通分(分式)、有理化(无理式)、配方等手段。 二、常见的类型有两种: (一)已知函数的解析式: 例1:证明:函数()1=x-1 f x 在x ∈(1,+∞)单调递减 例2:证明:函数()3 =x +x+1x f x R 在∈时单调递增 例3:证明:函数()x [1+f x ∞∈,)时单调递增 例4:讨论函数()1=x+ 1+x-1 f x ∞在(,)的单调性,并求最小值 例5:求函数()x+2= x-1 f x 的单调区间

练习:1、证明函数()a =x+a 0x f x ∞(>)单调递增 2、讨论函数()f x 的单调性 (二)抽象函数的单调性: 抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用,同时,要注意选择作差还是作商,这一点可观察题意中()f x 与0比较,应作差;与1比较,应作商。如下三例: 例1:已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时,f (x +y )=f (x )+f (y ) 恒成立,且当x >0时,f (x )>0.证明:f (x )在R 上单调递增. 例2:已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时,f (xy )=f (x )+f (y ) 恒成立,且当x >1时,f (x )>0.证明:f (x )在(0,+∞)上单调递增. 例3:已知函数f (x ) 满足x 、y ∈R 时,f (xy )=f (x )f (y ) 恒成立,且当x >1时,f (x )> 1.若f (x )≠0.证明:f (x )在(0,+∞)上单调递增. 练习: 1、已知函数()f x 对于任意的x 、y ∈R ,总有 ()()()()()2+=+y x 00=-.3 y 1f x f f x f x f ,且当>时,<; (1)求证:()f x 在R 上是减函数 (2)求()f x 在[-3,3]上的最大值与最小值

微专题30函数的单调性

微专题30 函数的单调性、奇偶性、周期性 函数是高考数学的重点内容之一,对函数基本性质的考查是其主要方向;单调性、奇偶性和周期 性是函数的几个重要性质,也是研究函数的主要工具,单调性、奇偶性的考查在江苏高考题中常以填空题的形式出现,周期性作为函数的一个整体性质,给函数带来了周而复始的无穷魅力,也正因如此,周期性、单调性、奇偶性如同函数性质的三驾马车,成为了模考、高考的重点考查对象.重点考查学生的数形结合、分类讨论等方面的能力,考查学生的基本数学素养. 例题1设函数f(x)=ka x -a - x (a >0,a ≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (2)若f (1)=32,且g (x )=a 2x +a - 2x -4f (x ),求g (x )在[1,+∞)上的最小值. 例题2(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x +4)=f(x)(x ∈R ),且在区间(-2,2]上,f (x )=??? ????≤<-+≤<02|,21|20,2 cos x x x x π则 f (f (15))的值为____________. 变式1设f(x)= -2x +a 2x + 1+b (a ,b 为实常数). (1)当a =b =1时,证明:f(x)不是奇函数; (2)若f(x)是奇函数,求a 与b 的值; (3)当f(x)是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集D ,对任何属于D 的x ,c ,都有f(x)<c 2-3c +3成立?若存在试找出所有这样的D ;若不存在,请说明理由. 变式2若函数f(x)(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=???x (1-x ),0≤x ≤1, sin πx ,1<x ≤2, 则 f )429( +f )6 41 (的值为________________.

高中数学函数的单调性公开课优秀教学设计

如对您有帮助,请购买打赏,谢谢您! 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念,函数的表示方法等基础知识后,学习的函数的第一个性质,主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像(上升或下降)的变化趋势,为进一步学习函数其它性质提供了方法依据,如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用,而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: (一)知识与技能: 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义,并能正确理解单调性的定义; 2.利用图像和定义判断函数的单调性,能正确书写单调区间,并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性; 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 (二)过程与方法: 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境,引出本节课题函数单调性,同时借助多媒体的直观演示,让学生观察图像(上升?下降?)变化趋势,过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述; 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结,师生互相讨论交流,最终形成严格的数学概念; 3.形成概念后,引导学生自主探究,通过生生互动,师生互动,达到让学生从多种形式认识概念的本质含义,从而加深学生对概念的理解;巩固练习问题(1)为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解,是一个很好的问题;问题(2)的变式题体现了“逆向思维”,深化对定义的理解;问题(3)通过教师的引导,针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生,对判断方法进行适当的深入和拓展,加深学生对单调性定义的更

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题

函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语:亲爱的孩子,将来的你一定会感现在拼命努力的自己!】 教学目标:1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质;. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质; 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点:函数单调性的证明;根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么?如何证明一个函数的单调性? 2.函数奇偶性的概念是什么?如何证明一个函数的奇偶性? 3.奇函数在关于原点对称的区间上,其单调性有何特点?偶函数呢? 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性,比较两个或多个函数值的大小; 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f -->0(或<0)”或“)(x xf >0(或<0)”时,往往还是 考察单调性; 3.证明或判断某一函数的单调性; 4.证明或判断某一函数的奇偶性; 5.根据奇偶性与单调性,解某一函数不等式(有时是“)(x f >0(或<0)”时x 的取值围); 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数(参数)的取值围.

二、常用解题方法 1.画简图(草图),利用数形结合; 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化; 3.证明或判断函数的单调性时,有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质,与区间无关; 2.判断函数奇偶性,应首先判断其定义域是否关于原点对称; 3.奇函数若在“0=x ”处有定义,必有“0)0(=f ”; 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质,因题而异; 5.运用单调性解不等式时,应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤: (1) 根据题意在区间上设 ; (2) 比较大小 ; (3) 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域 ; 例1 设)(x f 是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若a =)3 1(log 2 f ,b =)2 1 (log 3 f ,c =)2(-f ,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c b a >> B .a c b >> C .b a c >> D .a b c >> 【考点】函数单调性;函数奇偶性,对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3

高考专题:函数的单调性与最值

函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.

2.函数的最值 知识拓展 函数单调性的常用结论 (1)对?x 1,x 2∈D (x 1≠x 2),f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0?f (x )在D 上是增函数,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0?f (x )在D 上是 减函数. (2)对勾函数y =x +a x (a >0)的增区间为(-∞,-a ]和[a ,+∞),减区间为[-a ,0)和(0, a ]. (3)在区间D 上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y =f (u )和u =g (x )的单调性的关系是“同增异减”. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)

高中数学必修一《函数的单调性》优秀教学设计

函数的单调性 课题2.3.1函数的单调性 授课类型新授课 课时安排1课时 教具多媒体、实物投影仪 教学目标 (1)了解单调函数、单调区间的概念;理解增函数、减函数的概念;掌握利用函数的单调性定义证明简单函数的单调性的基本方法 (2)能用自已的语言表述概念;能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间;能把文字描述、图像特征、数学语言结合起来准确地表述、判断、证明函数的单调性;学 会利用函数的单调性解决诸如不等式、函数最值(值域)的问题(本节课只设置引导目标)(3)通过数形互助培养学生直观判断与严格证明相结合、形象与抽象相结合的思维习惯;渗透联系与变化的认识观 教学重点函数的单调性(增函数、减函数)的概念 教学难点对函数单调的定义中数学语言的准确理解和灵活运用 教材开发点对函数的单调性的应用引导 教材与学情 函数的单调性是函数重要性质之一,也是今后研究函数时涉及最多的性质之一,如函数值域与最值、比较大小与解不等式、函数图像等问题均与函数的单调性相关;同时函数的单调性也是高考考查的重点内容。 学生在初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数,已有一些具体函数的知识,在学生的现有认知结构中,一方面能用描点法画出简单函数的图像,另一面可以根据函数的图象观察出“图像上升(或下降)”、“随着自变量的增大函数值增大”等 变化趋势,同时在此之前,刚刚学习抽象的函数概念,所以对函数的单调性的认识首先依赖于函数图象的直观性,然后才能逐步过渡抽象的数学语言理解层面。 本节课的教学应以函数的单调性的概念为主线设计材料、设计问题、设计活动,一方面设计几个比较性、思辨性好的问题,另一面要充分利用证明函数单调性的例题加深学生对单调性概念的准确(严谨性)理解。考虑到学生将来还要学习导数的知识,函数单调性的判断会变得比较容易,因此,在教学中,应该适当减少用定义判断证明单调性的问题,注意引导学生主动地应用函数的单调性去解决问题。 教学过程 一、复习引入: 1.复习:我们在初中已经学习了函数图象的画法,也学习了一次函数、二次函数和反比例函数。为了研

函数的单调性教学设计(优秀)

《函数的单调性》教学设计 安徽省亳州市第一中学史嘉 一、教学内容解析 1.教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时,主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质,为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质,包括导函数内容等;在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此,它是高中数学核心知识之一,是函数教学的战略要地. 2.教学重点 函数单调性的概念,判断和证明简单函数的单调性. 3.教学难点 函数单调性概念的生成,证明单调性的代数推理论证. 二、学生学情分析 1.教学有利因素 学生在初中阶段,通过学习一次函数、二次函数和反比例函数,已经对函数的单调性有了“形”的直观认识,了解用“随的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好,数学思维活跃,具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力. 2.教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象,从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段,逻辑思维水平不高,抽象概括能力不强.另外,他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍. 三、课堂教学目标 1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.

2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越,体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法. 3.通过探究函数单调性,让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程,体验数学的理性精神和力量. 4.引导学生参与课堂学习,进一步养成思辨和严谨的思维习惯,锻炼探究、概括和交流的学习能力. 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难:一是如何把“随的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言,尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象;二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言,作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度. 为达成课堂教学目标,突出重点,突破难点,我们主要采取以下形式组织学习材料: 1.指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势,借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上,通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势,结合初中已学函数的图象,让学生直观感受函数单调性,明确相关概念. 3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突,让学生意识到继续学习的必要性;然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结,并回顾已有知识经验,实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越. 4.在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析,逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法,一起提炼基本步骤,强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践. 五、教学过程 (一)创设情境,引入课题 实例科考队对沙漠气候进行科学考察,下图是某天气温随时间的变化曲线.请

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