福建省莆田四中2010届高三下学期理科数学综合练习
一、选择题
1. 若{2,3,4},{|,,,}A B x x n m m n A m n ===?∈≠，则集合B 的元素个数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2. 若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z= （ ）
A. i 2323+-
B. 322-
C. 322
+ D
．322-- 3. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,18S S ==，则
10
5
S S 等于（ ） A ．3- B ．5 C ．31- D ．33
4. 定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()
741f f f ++等于（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．4 5．函数sin 2y x =的图象经过适当变换可以得到cos2y x =的图象，则这种变换可以是（ ）
A ．沿x 轴向右平移4π
个单位 B ．沿x 轴向左平移
4π
个单位 C ．沿x 轴向左平移2
π
个单位
D ．沿x 轴向右平移2
π
个单位
6. 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2
x π的值介于0到
2
1
之间的概率为 （ ）
A ．
31 B ．π
2
C ．21
D ．32 7.函数()cos lg f x x x
=-的零点个数是（ ）
A ．6
B ．8
C ．4
D ．2
8. 已知y = f (x )是定义在(–2，2)上的偶函数，且f (x )在[0，2)上是增函数，若f (m –2) – f (m + 1)<0，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1
2
，1） C ．（0，
12） D ．（1
2
，2）
9. 若()2cos()f x x m ω?=++，对任意实数t 都有()()4f t f t π
+=-，且()18
f π
=-，
则实数m 的值等于（ ）
A ．±1
B ．±3
C ．－3或1
D ．－1或3
10. 如果直线04122=-++++=my kx y x kx y 与圆交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线
0=+y x 对称，则不等式组??
?
??≥≤-≥+-000
1y my kx y kx ，表示的平面区域的面积是（ ） A ．
4
1
B ．
2
1
C ．1
D ．2 二、填空题
11. 二项式2
51()x x
-的展开式中，含4
x 的项的系数是 12.
2
20
(42)(43)x x dx --=?
．
13. 已知正方形ABCD ,则以B A ,为焦点,且过D C ,两点的椭圆的离心率为 14. 已知b a bx ax x f +++=3)(2
是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则b a += 。 15. 15．观察下列等式：
153
5522C C +=-， 1597399922C C C ++=+， 159131151313131322C C C C +++=-，
1591317157
171717171722C C C C C ++++=+，………
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于*
n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++=L
三、解答题
16. 已知x R ∈，向量2
(cos ,1),(2,3sin 2)OA a x OB a x a ==-u u u r u u u r ，()f x OA OB =?uu u r uuu r ，
0a ≠.
（Ⅰ）求函数)(x f 解析式，并求当a >0时，)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）当]2,0[π∈x 时,)(x f 的最大值为5，求a 的值.
17. 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90ADC DCB ∠=∠=o
，1AD =，
3BC =，2PC CD ==，PC ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点.
（Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面PDE 所成的角正弦值； （Ⅲ）求点B 到平面PDE 的距离.
18．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。
19. 如图，直角梯形ABCD 中，∠?=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=23，BC=2
1, 椭圆F 以A 、B 为焦点且过点D 。
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程； （Ⅱ）若点E 满足2
1
=
,是否存在斜率与的直线l k 0≠M 、F 交于椭圆N 两点， D
P
E
B
C
且||||NE ME =，若存在，求K 的取值范围；若不存在，说明理由。
20. 设函数2
()ln f x x x ax =++.（Ⅰ）若x ＝12时，()f x 取得极值，求a 的值；
（Ⅱ）若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设2
()()1g x f x x =-+，当a =－1时，证明0)(≤x g 在其定义域内恒成立，
并证明
)
1(212ln
ln
ln
233222
2
2
2
2
2
---<+
++
n n n n n Λ ）（2,≥∈n N n
21．①设???
?
??=4251A ，求A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。 ②已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是θρθρsin 2cos 2a ==和 （a 是非零常数）。 （1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两圆的圆心距为5，求a 的值。
C B
D A
y
数学（理科）试题参考答案
一、选择题 1-5 BADBB AABCA
二、填空题 11.10 12.8 13. 12- 14. 3
1 15. ()41
21212n
n n --+-
三、解答题
16、解：（Ⅰ）2()2cos sin 2f x a x
x a =+-sin 2cos 2x a x =+2sin(2)6
a x π
=+
.
222(),()2623
6
k x k k k x k k 当时即时p
p
p
p p
p p p p -
???＃+
?Z Z . ()(),()6f x f x k k k 为增函数,即的增区间为-3
p p
p p 轾犏+?犏臌Z ………9分
（Ⅱ）()2sin(2)6
f x a x π
=+，当]2
,
0[π
∈x 时，72[,]6
6
6
x πππ+∈.
若0,262a x p p >+
=当时,()f x 最大值为25a =，则5
2a =.………11分 若)(,6
762,0x f x a 时当π
π=+<的最大值为5a -=,则5a =-. …12分
[来17.如图所示,建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0),(2,1,0)C A ,(0,3,0)B ，
(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(1,2,0)E .
（Ⅰ）由于(1,2,0)DE =-u u u r ，(2,1,0)CA =u u u r ,(0,0,2)CP =u u u r
， 所以
(1,2,0)(2,1,0)0DE CA ?=-?=u u u r u u u r
，
(1,2,0)(0,0,2)0DE CP ?=-?=u u u r u u u r
，所以,DE CA DE CP ⊥⊥，而CP CA C =I ，
所以DE ⊥平面PAC ，∵DE ?平面PDE （Ⅱ）设(,,)n x y z =r
是平面PDE 的一个法向量，则n ?r 由于(1,2,0)DE =-u u u r ，(1,2,2)PE =-u u u r
，所以有
(,,)(1,2,0)20
(,,)(1,2,2)220
n DE x y z x y n PE x y z x y z ??=?-=-+=???=?-=+-=??r u u u r r u u u
r ， 令2x =，则1,2y z ==，即(2,1,2)n =r
，
再设直线PC 与平面PDE 所成的角为α，
而(0,0,2)PC =-u u u r ，所以|(2,1,2)(0,0,2)|2
sin |cos ,||(2,1,2)||(0,0,2)|3||||n PC n PC n PC α??-=<>===?-?r u u u r
r u u u r r u u u r ， 因此直线PC 与平面PDE 所成的角为正弦值为2
sin 3
α=
…………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,1,2)n =r 是平面PDE 的一个法向量，而(1,1,0)BE =-u u u r
，
所以点B 到平面PDE 的距离为|||(2,1,2)(1,1,0)|1
|(2,1,2)|3n BE d n
??-===r u u u r
r
………12分 18、【解析】 解：记“第i 局甲获胜”为事件)5,4,3(=i A i ，“第j 局甲获胜”为事件
)5,4,3(=j B i 。
（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则
4343B B A A A ?+?=，由于各局比赛结果相互独立，故
)
()()()()()()()(434343434343B P B P A P A P B B P A A P B B A A P A P +=?+?=?+?=
52.04.04.06.06.0=?+?=。
（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这
次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
54354343A B A A A B A A B ??+??+?=，由于各局比赛结果相互独立，故 )()(54354343A B A A A B A A P B P ??+??+?=
648
.06.04.06.06.06.04.06.06.0)()()()()()()()()
()()(5435434354354343=??+??+?=++=??+??+?=A P B P A P A P A P B P A P A P A B A P A A B P A A P 19、解 ：（Ⅰ）以AB 中点为原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图则A （-1,0）,B(1,0), D(-1,
2
3
),设椭圆F 的方程为)0(12
2
22>>=+b a b y a x ……………2分 得???
????+==??? ??+-1123)1(222
2
22b a b a
…… 4分 得3410417422224==∴>=+-b a a a a Θ
所求椭圆F 方程 1342
2=+y x … 6分
（Ⅱ）由)2
1
,0(21E 得=,显然)0(≠+=⊥k m kx y l AB l 方程设时不合条件
代入01248)43(13
42222
2=-+++=+m kmx x k y x 得 ……………7分
l 与椭圆F 有两不同公共点的充要条件是0)124)(43(4)8(222>-+-=?m k km …… 8分
即03422>+-m k ,设、
y x M ),(11),(),(0022y x P ，MN y x N 中点,
MN PE NE ME ⊥=等价于|
||| 2
02
2104344382k
km
x k km
x x x +-
=∴+-=
+=Θ 2
00436k m
m kx y +=
+= ,k
x y MN
PE 121
00-=-
⊥得
… 10分
得 k k km k m 143421
4362
2-=+--+ 得 2432k m +-= 代入 02343402
22
>???
? ??+-+>?k k 得
41
434022<
<+ 1 ,0()0,21(0?-∈≠k k k 取值范围为故Θ …12分 21．（1）???? ??-=251ξ是矩阵A 的属于特征值11-=λ的一个特征向量???? ??=112ξ是矩阵A 的属于 特征值61=λ的一个特征向量。………………7分 2．解：（1）∴两圆的直角坐标方程是02022 2 2 2 =-+=-+ay y x x y x 和……4分 （2）根据（1）可知道两圆心的直角坐标是O 1（1，0）和O 2（0，a ） 2,512±==+∴a a ……………………7分 20．解：2121 ()2x ax f x x a x x ++'=++=， （Ⅰ）因为12x = 时，()f x 取得极值，所以1 ()02 f '=，即210,a ++=故3a =- 因为2n ,n 纬N ，所以22 ln 1n n ?.则2222 2 ln 1 1 1n n n n n -? - . 所以 222222222ln 2ln 3ln 111 (1)(1)(1)2323n n n +++?+-+-L L = 222 111 (1)( )23n n --+++L <111(1)()2334(1)n n n --+++创+L = 11 (1)()21 n n ---+=2212(1)n n n --+.所以结论成立. ……14分
相关主题
文本预览