勾股定理在实际问题中的应用举例
一、利用勾股定理解决立体图形问题
勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。
一、长方体问题
例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）
A、41cm
B、34cm
C、50cm
D、75cm
分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根据已知条件，可以判断BD 是Rt△BCD 的斜边，BD 是Rt△ BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。
解：在Rt△ABC 中，AB=5 ，AC=4，根据勾股定理，
得BC= AB2 AC2 = 41 ，
在Rt△BCD 中，CD=3，BC= 41 ，
22
BD= BC2 CD2 = 50 。所以选C。说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。二、圆柱问题
例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？
分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。由题意可知，S、 F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3 的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。
解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm），FB=18―1―1=16 （cm），在Rt△SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF= SB2 FB 2 = 302 162 =34（cm），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm。
说明：将立体图形展开，转化为平面图形，或将曲面转化为平面，然后再运用“两点之间，线段最短”和勾股定理，则是求立体图形上任意两点间的最短距离的常用的方法，这也是一种重要的数学思想转化思想。
二、利用勾股定理确定最短问题
我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.
例1（恩施自治州）如图 1 ，长方体的长为15，宽为10 ，高为20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是（）
图1
①
分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B，较短爬行路线有如图 2 所示的 4 条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第 2 条.
解依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，有如图 2 所示的 4 种粗线情形，其中图①中粗线的长度为的52 302＝5 37 ，图②中粗线的长度为的152 202＝25，图③中粗线的长度为的102 202 +5＝10 5 +5，图④中粗线的长度为的5+20+10＝35，显然35>5 37 >10 5 +5>25.故应选 B.
说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.
例2(青岛市)如图 1 ，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm. 如果用一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.
分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1 变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.
解如图 2 ，依题意，得从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B 时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB＝62 82＝10，即所用细线最短为
10cm.
若从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕n 圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一
边长由3+1+3+1 变成n（3+1+3+1），即8n，由勾股定理，得628n 2＝
36 64n2，即所用细线最短为36 64n2 cm，或2 9 16n2 cm.
说明对于从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕n 圈到达点 B 的最短细线不能理解为就是n个底面周长.
例3（泸州市）在某段限速公路BC 上（公路视为直线），交通管理部门规
定50
汽车的最高行驶速度不能超过60 千米／时（即50米／秒），并在离该公路
100 3
米处设置了一个监测点 A.在如图所示的直角坐标系中，点 A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点 B 在 A 的北偏西60°方向上，点 C 在 A 的北偏东45°方向
上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一
段.
1）求点B和点C 的坐标；
2）一辆汽车从点B 匀速行驶到点 C 所用的时间是15 秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?（参考数据： 3 ≈1.7）
（3）若一辆大货车在限速路上由 C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由 A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?
分析（1）要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.（2）由（1）可知BC 的长度，进而利用速度公式求得并与50比较即可.（3）为了求解， 3 可设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶了2x 米，于是利用勾股定理可求出x 的表达式进而求得.
1解（1）在Rt△AOB中，因为∠ BAO＝60°，所以∠ ABO＝30°，所以OA ＝1 AB，
2 而OA＝100，所以AB＝200，由勾股定理，得OB＝AB2 OA2＝
2002 1002＝100 3.
Rt△AOC 中，∠
CAO＝45°，所以OC＝OA＝100，所以B（－100 3 ，0），
C（100，0）.
（2）因为BC＝BO+CO＝100 3 +100，所以100 3 100≈18>50，
15 3 所以这辆车超速了.
（3）设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶了2x 米，且两车的距离为y＝100 x 2100 2x 2＝ 5 x 60 22000 ，显然，当x ＝60时，y有最小值是2000 ＝20 5米，即两车相距的最近距离为20 5米.
说明本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到（x －60）2的最小值是0.
例4（恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险” 著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km 和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A′，连接BA′交直线X 于点P），P 到A、B 的距离之和S2＝PA+PB.
（1）求S1、S2，并比较它们的大小；
（2）请你说明S2＝PA+PB 的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图 3 所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X 旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
分析为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，
称等几何知识即可求解.
解（1）如图 1 中，过 B 作BC⊥AP，垂足为可适当引垂线，并结合
对
C，则由勾股定理，得PC＝
50240 10 2＝40.在Rt△ PBC 中，由勾股定理，得BP＝BC2 PC2＝
402 402＝40 2 .
所以S1＝40 2 +10（km）.
如图 2 中，过 B 作BC⊥AA′垂足为C，由轴对称知PA＝PA′，则A′C ＝50，又BC＝40，
所以由勾股定理，得BA′＝402 502＝10 41 ，
所以S2＝BA′＝10 41 （km）.显然，S1>S2.
（2）如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA′，由轴对称知MA ＝MA′，所以MB+MA＝MB+MA′>A′B，所以S2＝BA′为最小.
（3）过A作关于X轴的对称点A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X 轴于点P，交Y 轴于点Q，则P，Q 即为所求.
过A′、B′分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G.
由勾股定理，得A′B′＝1002 502＝50 5 ，所以所求四边形的周长为
（50+50 5）km.
说明本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.
三、与勾股定理有关的探索性问题例析
新课程要求通过学习培养同学们的自主探究能力。探索性问题，正是新课程理念下培养同学们的观察、实验、操作、归纳、猜想，发展直觉思维能力和合情
推理能力的好材料，是近几年中考的一个热点。围绕着勾股定理，出现了许多形式新颖，视点独特，内容丰富的新型试题，本文以直角三角形勾股定理为背景中考试题为例，加以评析，供同学们学习时参考。
例1．如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三