专题02 导数研究函数的单调性
1．已知函数f（x）=ax3+6x2-3x+1在区间（1，2）上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
∵，
∴．
∵在区间上是减函数，
∴上恒成立，
即上恒成立．
∵，
∵，
∴．
∴实数的取值范围为．
故选A．
2．函数的定义域为对任意，则的解集为（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
令，则，
所以上的增函数，又，
故的解是的解，所以的解为.
故等价于，所求解集为，故选B.
3．设函数上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
令，因为函数上是可导的偶函数，所以上也是偶函数
又当时，上是增函数
选B.
4．已知函数，则的增区间为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵，
∴．
由，得，解得．
∴函数的增区间为．
故选B．
5．函数上单调递增，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为函数连续可导且单调递增，
所以恒成立，
分离参数得恒成立，即，故选D。
6．已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由函数y＝xf′（x）的图象可知：
当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增
当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
故选C.．
7．设函数在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[－∞，2)B．(1，2]C．(0，3]D．(4，＋∞]
【答案】B
【解析】
函数的定义域为，由函数的解析式可得：，
据此可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
结合题意有：，解得：，
即实数a的取值范围是(1，2].
本题选择B选项.
8．函数的定义域为R，，对任意的，都有成立，则不等式的
解集为
A．B．C．D．R
【答案】A
【解析】
原不等式化为，
令，
则，
对任意的，都有成立，
恒成立，
在R上递减，
，
的解集为，
故选：A．
9．若函数y在（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）
A．a B．a＞-2C．a D．a＞-1
【答案】A
【解析】
依题意，函数在上有，即恒成立，由于，故，所以.故选A.
10．已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间为（）
A．B．C．D．R
【答案】B
【解析】
当时，，由图像可知，对应的取值范围是，故选B.
11．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.
12．设函数f（x）是定义在区间上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且
，则不等式的解集是( )
A．B．（1，＋∞）C．（－∞，1）D．（0，1）
【答案】D
【解析】
构造函数，则，由，所以
，即上单调递增。因为，则不等式，可变为，则
，所以，所以，故选D
13．若函数上是减函数，则实数的取值范围是______。
【答案】
【解析】
∵函数，
∴，
∵函数在实数R上是减函数，
∴的解集是R，
∴△＝16+12a≤0，
解得a，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
14．函数的单调减区间是_____________.
【答案】
【解析】
由题意得函数的定义域为R．
∵，
∴，
由，解得．
∴函数的单调减区间是．
故答案为：．
15．已知函数f(x)=2lnx-ax2,若α，β都属于区间[1,4]，且β-α=1，f(α)=f(β),则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
解：f′（x）＝（x＞0）
当a≤0 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故a>0；
由题设f（α）＝f（β）则＝
考虑到β﹣α＝1，即2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0
∴2lnα﹣2ln（α+1）+α（2+1）＝0，∈[1，3]
设h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，a>0，
则h'（x）＝在上恒成立，
∴h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，则
，∴，∴
故实数a的取值范围是．
16．已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f’（x）＞1，则f（x）＞x的解集是_____．【答案】（1，+∞）
【解析】
解：设g（x）＝f（x）﹣x，
则g′（x）＝f′（x）﹣1，
∵f（1）＝1，f′（x）＞1，
∴g′（x）＝f′（x）﹣1＞0，即g（x）单调递增，
且g（1）＝f（1）﹣1＝0，
当x＞1时，g（x）＞g（1），
即f（x）﹣x＞0，
则f（x）＞x，
即f（x）＞x的解集是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）
17．函数过点.
（1）求函数的单调区间
（2）求函数在区间上的最大值和最小值。
【答案】（1）的增区间为，减区间为．
（2）
【解析】
(1)点在函数的图象上，
∴，解得，
∴，∴，
当时，，当时，．
所以的增区间为，减区间为．
(2)由(1)可得：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∴，又，
∴．
18．设函数，其中.
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）讨论的单调区间.
【答案】（1）；（2）a＞0时，f（x）的增区间为（﹣∞，），（，+∞），减区间为（）；a≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间.
【解析】
（1）当a＝1，b＝2时，f（x）＝x3﹣x-2，f′（x）＝3x2﹣1，
则切线斜率k＝f′（1）＝2，
f（1）＝1﹣1-2＝-2，则切点为（1，-2），
∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+2＝2（x﹣1），即y＝2x-4；
（2）若f（x）＝x3﹣ax﹣b，则f′（x）＝3x2﹣a，
分两种情况讨论：
①当a≤0时，有f′（x）＝3x2﹣a≥0恒成立，
此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无减区间.
②当a＞0时，令f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得x或x，
当x或x时，f′（x）＝3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，
当时，f′（x）＝3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，
故f（x）的增区间为（﹣∞，），（，+∞），减区间为（）；19．已知函数，讨论函数的单调区间.
【答案】见解析
【解析】
由题意得函数定义域为，，
当时，令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增。
同理当时，当时，单调递减；
当时，单调递增。
当时，在定义域内大于0恒成立，所以单调递增
20．已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若的图象总在直线y＝a的上方，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
(1)
当时，为增函数；
当时，为减函数．
(2)依题意得，不等式对于恒成立．
令，则.
当时，，则上的增函数；
当时，，则上的减函数．
所以的最小值是，
从而的取值范围是．
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，不等式有且只有两个整数解，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，在单调递减；
当时，函数单调递增，在单调递减。
（2）
【解析】
（1）函数的定义域为
②当时，函数上是减函数；
②当时，，当，函数单调递增，
当时，，函数单调递减。
③当时，，当时，，函数递减，
当时，，函数单调递增。
综上所述：当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，在单调递减；
当时，函数单调递增，在单调递减。
（2）
令，求导得令
所以是R上的增函数，而
说明函数在R上存在唯一零点
此时函数上单调递减，在上单调递增，
易证
当时，，当时，
（1）若时，，此时有无穷多个整数解，不符合题意；（2）若时，即，因为函数上单调递减，在上单调递增所以时，，所以无整数解，不符合题意；（3）当，即此时，故0，1是的两个整数解，
又只有两个正整数解，因此，解得所以
综上所述的取值范围为.
22．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若，证明：
【答案】（1）见解析；（2）见证明
【解析】
解：（1）函数的定义域为，求导得，令
，
令g’(x)＞0，解得-1＜x＜0，令g’(x)＜0解得x＞0，
所以单调增区间为减区间为。
g(x)＜g(0)=0，即f’(x)＜0在定义域上恒成立，
所以的单调减区间为；
（2）证明：将不等式变形为，因为，即不等式等价于
，由（1）有所以上单调递减，所以要证原不等式成立，需证当x＞0时，x＜e x-1，令，则，可知h’(x)＞0在恒成立，即h(x)在上单调递增，故h(x)>h(0)=0，即x＜e x-1，故f(x)＞f(e x-1)，即，即
.
用导数判断函数的单调性 2003年高考（新课程卷·理）第19题对函数的单调性进行了考察，题目如下： 【题目】设0>a ，求函数)ln()(a x x x f +-=)),0((+∞∈x 的单调区间。 解：a x x x f +- = '1 21)(（0>x ） 当0>a ，0>x 时， 0)(>'x f ?0)42(22>+-+a x a x ， 0)(<'x f ?0)42(22<+-+a x a x ， （i ）当1>a 时，对所有0>x ，恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞单调递增； （ii ）当1=a 时，对1≠x ，恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递增， 又知函数)(x f 在1=x 处连续，因此)(x f 在),0(+∞单调递增； （iii ）当10<'x f ，即0)42(2 2>+-+a x a x ， 解得a a x ---<122或a a x -+->122，因此，函数)(x f 在)122,0(a a ---单调递增，在),122(+∞-+-a a 单调递增， 令0)(<'x f ，即0)42(2 2<+-+a x a x ， 解得a a x a a -+-<<---122122， 因此，函数)(x f 在)122,122(a a a a -+----上单调递减。 本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：
用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x
解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->--
利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ? ???0，1e 上递增 D.在? ? ???0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1 e ， 令f ′(x )<0得0
解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝1 2 x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值 范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2 x2－9ln x，∴f′(x)＝x－ 9 x (x>0)， 当x－9 x ≤0时，有0
利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--=
2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈
3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性.
1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；
3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，
5、利用导数判断函数的单调性 一、选择题 1．函数y ＝x 3 的递减区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．不存在 2．函数f (x )＝x －e x 的单调增区间是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞ ) C ．(－∞，0) D ．(－∞，1) 3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 4．三次函数y ＝f (x )＝ax 3 ＋x 在x ∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a <1 D ．a <13 5．若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a ) ≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )＞0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 6．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.? ????－π，－π2和? ????0，π2 B.? ????－π2，0和? ????0，π2 C.? ????－π，－π2和? ????π2，π D.? ????－π2，0和? ?? ??π2，π 7．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac ≥0 B ．b 2－4ac ≤0 C ．b 2－3ac ≤0 D ．b 2－3ac ≥0 8．函数f (x )＝2x 2－ln2x 的单调递增区间是( ) A.? ????0，12 B.? ????0，24 C.? ????12，＋∞ D.? ????－12，0及? ????0，12
2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0
小题快练 1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．1 2 - D ．2- 2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故 f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33 -=，点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x .
利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数，
利用导数研究函数的单调性问题 浙江省湖州中学 李连方 一．学情分析 本人任教的两个班级均侧文，数学基础较薄弱．学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解，但是对含参数单调性问题常常一筹莫展，找不到分类的标准或者分类不合理、不完整． 二．教学目标 用导数讨论函数的单调性，是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础，所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系，会用导数讨论含参函数的单调性，让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题，而解不等式问题实质是根的问题．其次，逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问题，体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要地对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，然后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．在分类讨论时，时刻注意：一要分类对象确定，标准统一；二要不重复，不遗漏；三要分层次，不越级讨论． 三．教学重点和难点 本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准，能合理、准确和完整地进行分类讨论．本节课的教学难点是分类标准难以把握，本节课试图从方程的根的角度来突破难点． 四．教学设计 【例1】（《创计新设》第42页）已知函数2()ax f x x e -=?，a R ∈． （Ⅰ）当=1a 时，求函数()y f x =的图象在点()()1,1f --处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()y f x =的单调性． 分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由题意得() 2()2ax f x x ax e -'=-?， 其中22=0x ax -根为0x =或2x a = ()0a ≠． ①当=0a 时，若0x <，则()0f x '<；若0x >，则()0f x '>． 所以当=0a 时，函数f (x )在区间()0-∞，上为减函数，在区间()0+∞，上为增函数． ②当0a >时，当0x <或2x a >时，()f x '；当20x a <<时，()f x '． 所以函数()y f x =在区间()0-∞，与2 +a ??∞ ???，上为减函数，在20a ?? ???，上为增函数． 【设计意图】1．让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题，最终归结到判断()f x '的符号问题上，而()0f x '>或()0f x '<，最终可转化为解不等式问题．若含参数，则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题； 2．让学生体会解不等式实质在解不等式对应的方程的根． 【例2】（2008年浙江省高考试题改编）已知a 是实数，函数())f x x a = -． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； 分析：函数的定义域为[0)+∞，，
专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区
2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，
函数单调性判断方法（五）-导数法 函数在区间上连续，在内可导，且在内 ① 如果 ，那么函数在区间上单调增加 ② 如果 ，那么函数 在区间 上单调减少 由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数的定义域 ② 求导数 ③ 令 解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为 ④ 确定区间 内导数符号 ⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这 区间内递减。 例1：（2011安徽）设()1x e f x ax =+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 4 3 = 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。 解析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(x f 求导得.) 1(1)(2 22ax ax ax e x f x +-+=' ① （I ）当34= a ，若.21,23,0384,0)(212 ===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知 所以,231= x 是极小值点,2 1 2=x 是极大值点. x )2 1,(-∞ 2 1 )2 3,21( 2 3 ),2 3 (∞ )(x f ' + 0 － 0 + )(x f ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知 0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增 例3：（2011广东） 设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） 221212122(1)2(1)1'(), 1 12(1)2(1)1012(1)() 3 1 0,'()23 (1)(31)(1)(31)11 0,, 22(1)22(1)0'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x a a a x a x a a a f x a a a a x x a a a a a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=?=------=->=+--<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点 且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)1 10,'()0,()(0,)3 1 1'()0(0),()(0,)(1)(31)(1)(31)11 10,0,0,'()22(1)22(1)x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x a a a a a x x f x a a a a a a <<<≤>+∞---->?>=->=+<--；当时，在(内为减函数 当时，在内为增函数； 当时，在内为增函数； 当时，所以在定义域内有唯一零点 ②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数； 综上所述，f(x)的单调区间如下表： 103a << 1 13 a ≤≤ 1a >
导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）. 【答案】 D C.
【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数．且 导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '， 若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.
第2讲 导数的应用 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ????0，1e 上递增 D.在? ?? ??0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1e ，令f ′(x )<0 得0
上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢.答案 B 5.设函数f(x)＝1 2x 2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范 围是() A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2x 2－9ln x，∴f′(x)＝x－9x(x>0)， 当x－9 x≤0时，有0
导数练习（三）导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 2 1 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
13．已知函数 2 3 2()4()3 f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 14.已知函数d ax bx x x f +++=2 3 )(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。 15．已知函数f (x )＝2x －b (x －1) 2，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间． 强化提高题： 16．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a
1.3.1利用导数判断函数的单调性 -----主备人：韩甜甜 【课前预习案】 阅读教材24--25页，填写知识点. 1.知识回顾：怎样判断函数的单调性？ ⑴、__________ ⑵、___________ 思考：判断函数2x y =的单调性，画出图象，思考其导数和单调性的关系. 2. 设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，（1）如果_________,则)(x f 为增函数；如果_________,则)(x f 为_________.（2）如果)(x f 在),(b a 上单调递增，则_________；)(x f 单调递减，则_________。 【课内探究案】 【教学目标】1、解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系； 2、会利用导数求函数的单调区间，利用导数画出函数的大致图像。 【教学重点】 利用导数求单调区间 【教学难点】导数与单调性的关系，含参数问题和证明。 探究一 应用导数求已知函数的单调区间： 例1、求下列函数的单调区间： （1）x x x f 3)(3-= ；（2）3)(x x f = ； （3）x x x f 1)(- = ；（4）x y e x =- 跟踪练习： 1．函数x x y 1+=的单调递减区间为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-∞-，()+∞,1 C ．()()1,00,1 - D ．()()1,0,0,1- 2.求函数ln y x x =的单调区间.
探究二 利用导数求参数范围： 例2.已知函数332y x mx x =-++在R 上单调递增，求实数m 的取值范围. 跟踪练习： 1. 已知函数),0()(2R a x x a x x f ∈≠+ =，若函数)(x f 在),2[+∞∈x 上是单调递增的，求a 的取值范围. 归纳总结. 1．导数法判定单调性的步骤： （1）求定义域；（2）求导数；（3）()()00'<>x f ，则()x f 为增（减）函数； 2．已知函数单调区间求参数范围； 3．注意：()0'>x f 则()x f 为增函数的充分不必要条件；