南京航空航天大学数学系
考研辅导班高等数学辅导课件 （微积分第 部分） （微积分第一部分）
2010年 2010 年7月
第五课：一元微积分证明题
一、内容概要 、内容概要
? 函数零点存在性与个数问题 ? 函数不等式证明 ? 拉格朗日中值定理与拉格朗日余项泰勒 公式的应用
二 数学 考研大纲(2010) 二、数学一考研大纲(2010)
考试内容:
闭区间上连续函数的性质，微分中值定理，定积 闭区间上连续函数的性质 微分中值定理 定积 分的概念和基本性质 定积分中值定理 该部分内容数学一、数学二和数学三的大 该部分内容数学 、数学二和数学三的大 纲基本相同
二 数学 考研大纲(2010) 二、数学一考研大纲(2010)
考试要求: 考试要求
1．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区 间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定 理），并会应用这些性质． 2 理解并会用罗尔(R ll )定理 拉格朗日(L 2．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange) ) 中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值 定理． 3．掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理
1 函数零点存在性与个数问题 1、函数零点存在性与个数问题
方法1、连续函数介值定理证明函数零 方法1 连续函数介值定理证明函数零 点存在性，单调性确定零点个数 方法2、用罗尔中值定理证明导函数零 方法 、用罗尔中值定理证明导函数零 点存在性
(08年数一，分) 年数一 4分) 设函数 f ( x )= ∫ ln(2 + t )dt ,
0
x2
则 f '( x )的零点个数为 （ A） 0；（ B） 1；（ C） 2；（ D） 3 f '( x ) = 2 x ln(2 (2 + x )
2
由于 ln(2 + x ) > 0, 0
2
当 x < 0时， f '( ( x ) < 0； 当 x > 0时， f '( ( x) > 0 ? f ( x )只有一个零点
(04年数一， 11分) 设有方程 x + nx - 1 = 0， 其中
n
n为正整数，证明此方程存在唯一正根 x n， 并证明当 α > 1时，级数 ∑ x n 收敛.
α
n =1 ∞
零点的存在性： 令 f n ( x ) = x + nx ? 1
n
1 1 n 由于 f n (0) = ? 1 < 0 0, f n ( ) = ( ) > 0 n n 1 ? 在区间(0, )存在零点 n
零点的唯一性： 零点的唯 性： f n '( ( x ) = nx
n ?1
+ n > 0(当 x > 0)
? 在区间(0, +∞ )单调增加 1 ? 存在唯一正根 x n ∈ ( (0, ) n
1 1 1 α xn < ? xn < α ， 由于 ∑ α 收敛 (α > 1) n n n =1 n ? ∑ x n 收敛
α
n =1 ∞
∞
(97年数 年数二，分) ，分) 8
就 k的不同取值情况， 确定
方程 x ?
π
sin x = k 在开区间(0, (0 ) 2 2 内根的个数 并证明你的结论 内根的个数，并证明你的结论.
令f ( x ) = x ? sin x ? k， 首先研究 f ( x )在(0 (0, )的单调性和最值 2 2
π
π
π
? ? < 0, 0 < x < x0 ? π π 2 2 ? f '( x ) = 1 ? cos x = ( ? cos x ) ? = 0, x = x0 = arccos π 2 2 π ? π ? > 0, x0 < x < ? ? 2
因此 f ( x )在( (0, , )先减小再增大， 图形为 U型 2
π
m ?
π π
最大值为 f (0) = f ( ) = ? k , 最小值为 f ( x0 ) = x0 ? sin x0 ? k 2 2
f ( x )的图形为 U型， 型 故其在开区间(0 (0, )零点有三种情形： 2 (1) ( ) f ( x )的最小值大于零或最大值小于零 ? 无零点 (2) f ( x )的最小值小于零且最大值大于零 ? 2零点 (3) f ( x )的最小值等于零 ? 1零点
π
? ? 2 π2 因此 (1) k < m ? = arccos ? ? 1 ? 或 k > 0 ? 无零点 ? ? π 4 ? ? (2) 0 > k > m ? 2零点 (3) k = m ? 1零点
(03年数二， 12分) 讨论曲线 y = 4 ln x + k 与 y = 4 x + ln x的交点个数. 交点个数
4
令 f ( x ) = 4 x + ln 4 x ? 4 ln x ? k，交点个数 = f ( x )零点个数 首先研究 f ( x )在定义域 (0, +∞ )的单调性和最值
4 ln x 4 4 ? = ( ln 3 x ? 1 + x ) f '( x ) = 4 + x x x
? < 0, ? f '( x ) ? = 0, ? > 0, ? 0 0< x<1 x =1 1< x
3
由于 lim f ( x )= lim f ( x )=+∞ ， 因此 f ( x )无最大值
x→0 x → +∞
f ( x )的最小值为 f ( (1) )= 4?k
f ( x )的图形为 U型， 型 故其在(0 (0, +∞ )零点有三种情形： (1) f ( x )的最小值大于零， 即 k < 4 ? 无零点 即 k > 4 ? 2零点 (2) f ( x )的最小值小于零， (3) ( ) f ( x )的最小值等于零， 即 k = 4 ? 1零点
? (1) k < 4时无交点 ? ? ? (2) k > 4时两个交点 ? (3) k = 4时一个交点 时 个交点 ?
(98年数 年数一 ，分) 6分) 设 y = f ( x )是区间[0 [0,1] 1]上的 任一非负连续函数， (1) 试证存在 x0 ∈(0,1)，使得在区间[0, x0 ]上 以 f ( x0 )为高的矩形面积等于在区间[ x0 ,1]上 以 y = f ( x )为曲边的曲边梯形的面积； 2 f ( x) (2) 设 f ( x )在区间(0,1) (0 1)内可导，且 f '( ( x) > ? ， x 证明(1)中的 x0是唯 是唯一的 的.
区间[0, [0 x0 ]上以 f ( x0 )为高的矩形面积等于在区间 [ x0 ,1] ]上以 y = f ( x )为曲边的曲边梯形的面积 ? x0 f ( x0 ) =
∫
1 x0
f ( x )dx
1
令 g ( x ) = xf ( x ) ? ∫ f ( t )dt
x
只需证 g ( x )在(0,1)上存在零点. 两种方法： 连续函数介值定理和罗尔定理
方法一： 方法 ： 连续函数的介值定理 连续函数的介值定理.
由 f ( x )是[0,1] [0 1]上的非负连续函数， 上的非负连续函数 g ( x ) ≡ 0， 若 f ( x )在(0,1)恒为零， 结论显然成立；
若 f ( x )在(0,1)不恒为零， 则 g (0) = ? ∫ f ( t )dt < 0
0 1
需要寻找使得 g大于 0的点， 设 f ( x1 ) = max f ( x ) > 0,
1 ≤ x ≤1 2
则 g ( x1 ) = x1 f ( x1 ) ? ∫
1 x1
1 1 f ( t )dt > f ( x1 ) ? f ( x1 ) = 0 2 2
因此 g ( x )在(0,1) (0 1)上存在零点. 上存在零点
方法二： 对 g ( x )的原函数使用罗尔定理 令G ( x ) =
1
∫
x 0
g ( t )dt
1 1
则 G (0) = 0, G (1) =
1 0
( xf ( x ) ? ∫ f (t )dt ) dx = ∫ xf f ( x )dx ? ∫ ( ∫ f ( t )dt ) dx (分部积分) = ∫ xf f ( x )dx d ? ( x ∫ f ( t )dt ) + ∫ xd d ( ∫ f ( t )dt ) = 0
∫
0
g ( t )dt =
1 0
∫
0
x
1
x
1
1
1
1
1
0
x
0
0
x
故存在 x0 ∈ (0,1)， 使得 G '( x0 ) = g ( x0 ) = 0
x0的唯一性通过 g ( x )的单调性得到：
2 f ( x) 根据 f '( x ) > ? ， 可知 x g '( x ) = f ( x ) + xf '( x ) + f ( x ) = xf '( x ) + 2 f ( x ) > 0
于是 g ( x )单调增加， 单调增加 因此使得 g ( x0 ) = 0 的 x0是唯 是唯一的 的.
注意： 对原函数(变上限积分) 使用罗尔定理是证明零点存在 的重要技巧！
(00年数一，分) 6 设函数 f ( x )在[0, π ]上连续，且
∫
π
0
f ( x )dx = 0，
∫
π
0
f ( x ) cos xdx = 0.
试证： 在(0, (0 π )内至少存在两个不同的点 ξ 1和 ξ 2，使 使 f (ξ 1 ) = f (ξ 2 ) = 0
令F ( x ) =
∫
x 0
f ( t )dt
F ( x )的 的三个零点， 个零点 可以得到 f ( x )的两个零点
一般地： 欲证f ( x )有n个零点， 只需证 其原函数F ( x )有n + 1个零点
由F ( x ) =
∫
x 0
f ( t )dt 以及 ∫ f ( x )dx = 0
0
π
? F (0) = F (π ) = 0 由0 =
∫
π
0
f ( x ) cos xdx =
π π
0
∫
π
0
cos xdF ( x ) (分部积分 )
= F ( x ) cos x 0 + ∫ F ( x ) sin i xd x =
∫
π
0
F ( x ) sin i xd x
(用定积分中值定理 )， ? η ∈ (0 (0, π )) = π F (η ) sin η ? F (η ) = 0
? ? ξ 1 ∈ (0,η ), ξ 2 ∈ (η , π )， 使得 F '(ξ 1 ) = F '(ξ 2 ) = f (ξ 1 ) = f (ξ 2 ) = 0
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 微積分公式 sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh x dx = cosh x + C cosh x dx = sinh x + C tanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln | x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u d uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ sinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ C cosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + C tanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ? ln | 1-x 2|+ C coth -1 x dx = x coth -1 x- ? ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1 x + C a b c α β γ R 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+ 14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++ 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=?⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '=⑽()ln x x a a a '=⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '=⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= +⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±????（2）()() () ()n n cu x cu x =???? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n =（2）()()n ax b n ax b e a e ++=?(3)()() ln n x x n a a a = (4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ?????(5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? +(7)()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+ 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =?⑻()csc csc cot d x x xdx =-? 高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 工程力学公式微积分公 式高等数学公式汇总 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 公式： 1、轴向拉压杆件截面正应力N F A σ=，强度校核max []σσ≤ 2、轴向拉压杆件变形Ni i i F l l EA ?=∑ 3、伸长率：1100%l l l δ-= ?断面收缩率：1 100%A A A ψ-=? 4、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ= 5、扭转切应力表达式：T I ρ ρτρ= ，最大切应力：max P P T T R I W τ==， 4 4 (1)32 P d I πα= -，3 4(1)16 P d W πα= -，强度校核：max max []P T W ττ= ≤ 6、单位扭转角：P d T dx GI ?θ= =，刚度校核：max max []P T GI θθ= ≤，长度为l 的 一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ?= ，扭转外力偶的计算公式： ()(/min) 9549 KW r p Me n = 7、薄壁圆管的扭转切应力：202T R τπδ = 8、平面应力状态下斜截面应力的一般公式： cos 2sin 22 2 x y x y x ασσσσσατα+-= + -，sin 2cos 22 x y x ασστατα-= + 9、平面应力状态三个主应力： '2 x y σσσ+= ，''2 x y σσσ+= '''0σ= 最大切应力max ''' 2 σστ-=± =最大正应力方位 02tan 2x x y τασσ=- - 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 习题3-1 1、计算下列第二类曲线积分： （1）? -L dx y x ,)(2 2L 为抛物线x y =2 上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧； （2） ,)()(22?+--+L y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2 22a y x =+； （3） ? ++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的 有向弧段; （4） ?-+++L dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线； （5）,? ?L dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针 方向； （6）? ?L dl F ,其中2 22 1y x xe ye F +-= ，L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==. 解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2 ，x 从0到2，所以 ?-L dx y x )(22=1556)5131()(20534202-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()( = ? --+π 202)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1 t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202?---+π =ππ 2120 22-=-? dt a a （3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以 ? ++L xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20 t b td a t a btd t a td a ?++π = 220 22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ -=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0， 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++ ++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是 2、平行于向量}1,2,1{a -= 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b -+=,则与b a 3 -平行的单位向量为 ( ) （A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-± （D ）}11,7,3{179 1-± 【 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为（ ） （A ）???==+2z 5y x 22 （B ）???==++0z 9z y x 222（C ）???==+0 z 5y x 22 （D ）5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的方程分别为251214: 1+=+=+z y x L ，6 7 313:2+=+=z y x L ，4 1 312:3-= +=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面是（ ） （A ）椭圆抛物面 （B ）椭球面 （ （C ）旋转曲面 （D ）单叶双曲面 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++ ++≥ 倒数关系：sinx ·csc x=1 tanx ·cot x=1 cosx ·sec x=1 商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-si n^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差： sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2++ 2．函数22y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ++=2 ，则=A div . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 10),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a 与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m -=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线? ? ?=--+=-+-04230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11 ,7,52 13132=--=k j i s 取平面的法向量为s n =，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ？并求出此法线方程. 高数微积分习题解答 1、计算下列第二类曲线积分： （1）?-L dx y x ,)(22L 为抛物线x y =2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧； （2）,)()(2 2? +--+L y x dy y x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆2 22a y x =+； （3）?++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到 t=2π的有向弧段; （4）?-+++L dz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一 段直线； （5）,??L dl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路， 取逆时针方向； （6） ??L dl F ,其中2 22 1y x xe ye F +-= ，L 按逆时针方向饶行的圆 t a y t a x sin ,cos ==. 解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2，x 从0到2，所以 ?-L dx y x )(2 2 =1556)5131()(20534 2 02-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t ?+--+L y x dy y x dx y x 22)()( =? --+π 20 2 )sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1 t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(120 2?---+π = ππ 2120 22 -=-? dt a a （3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以 ? ++L xdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20 t b td a t a btd t a td a ?++π =220 22)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ -=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 ?-+++L dz y x ydy xdx )1( =?-+++++++1 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t =1376)146(1 =+=+?dt t （5）三条直线段的方程分别为 y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0. 所以 ??L dl F =?--L xdy ydx ???-+-+-=0 1 01 10 1xdx xdx dy =0高数微积分公式大全
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