2019-2020年四年级数学高斯求和练习题
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9， (99)
（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋xx＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，xx是等差数列，首项是1，末项是xx，共有xx个数。由等差数列求和公式可得
原式=（1＋xx）×xx÷2＝xx000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋ (10)
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
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等差数列与高斯求和 1、计算下列各题： （1）11＋14＋17＋ (101) （2）2＋6＋10＋ (90) （3）297＋293＋289＋ (209) （4）193＋187＋181＋ (103) （5）1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70； （6）2＋4＋8＋10＋14＋16＋20＋…＋92＋94＋98＋100； （7）1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋103＋102－101。 2、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。写出插入的5个数。 3、在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？ 4、左下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共放有210支铅笔，那么最上层有多少支铅笔？ 5、有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层。问：这堆圆木共有多少根？ 6、在上题中，如果最下面一层有98根，这堆圆木共有2706根，那么共堆了多少层？ 7、用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？ 8、某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。问：这个剧院一共有多少个座位？ 9、小明从1月1日开始写大字，第1天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？ 10、一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。问：最上面一层放了几本
书？ 11、学校进行乒乓球选拨赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛。问：有多少人参加了选拨赛？ 12、跳棋棋盘（如左下图）上一共有多少个棋孔？ 13、右上图中的正六边形棋盘上共有多少个棋孔？ 14、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形按左下图所示铺满一个大的等边三角形，已知这个大的等边三角形的底边放有10根火柴，那么一共要用多少根火柴？ 15、有一个六边形点阵（右上图），它的中心是一个点，看做第1层，第2层每边2个点，第3层每边3个点……这个六边形点阵共100层。问：这个点阵共有多少个点？ 16、求前100个既能被2整除又能被3整除的数之和。 17、在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？ 18、在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？ 19、在1～200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？ 20、求所有加6以后能被11整除的三位数的和。 21、在所有的两位数中，十位数字比个位数字小的两位数有多少个？ 22、一个数列有11个数，中间一个数最大。从中间的数往前数，一个数比一个数小2；从中间的数往后数，一个数比一个数小3。这11个数的总和是200，那么中间的数是几？
等差数列与高斯求和 46计算下列各题: (1)11＋14＋17＋ (101) (2)2＋6＋10＋ (90) (3)297＋293＋289＋…＋2020 (4)193＋187＋181＋ (103) (5)1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70； (6)2＋4＋8＋10＋14＋16＋20202＋…＋92＋94＋98＋100； (7)1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋106＋105－104＋103＋102－101。 47在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。写出插入的5个数。 48在1000到2020之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？ 49左下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共放有210支铅笔，那么最上层有多少支铅笔？ 50有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层。问:这堆圆木共有多少根？ 51在上题中，如果最下面一层有98根，这堆圆木共有2706根，那么共堆了多少层？ 52用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？
53某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。问:这个剧院一共有多少个座位？ 54小明从1月1日开始写大字，第1天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。问:小明每天比前一天多写几个大字？ 55一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。问:最上面一层放了几本书？ 56学校进行乒乓球选拨赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛。问:有多少人参加了选拨赛？ 57跳棋棋盘(如左下图)上一共有多少个棋孔？ 58右上图中的正六边形棋盘上共有多少个棋孔？ 59用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形按左下图所示铺满一个大的等边三角形，已知这个大的等边三角形的底边放有10根火柴，那么一共要用多少根火柴？
整数巧算问题2-高斯求和与分组求和 授课时间：年月日 一、知识要点 （一）高斯求和公式 当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。 和=（首项+尾项）项数 项数=（尾项-首项）公差+1 其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。 （二）分组求和 在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。 二、精讲精练 （一）高斯求和公式 【例题1】计算1+2+3+……+99 练习1： 1、1+2+3+……+198+199 2、2+3+4+……+199+200 3、2+3+4+……+997+998 【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？
1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？ 2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？ 3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？ 【例题3】计算2+4+6+……+998+1000 练习3： 1、1+3+5+……+97+99 2、3+6+9+……+198+201 3、7+14+21+……+994+1001 【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？
1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？ 2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？ 3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101 练习5： 1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+10 2、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+201 3、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列） 德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题 让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案 等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广 泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中 第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末 项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加 数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时 就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，能够得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。
高斯求和、新定义 一、高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？ 和=（首项+末项）×项数÷2；（项数=（末项-首项）÷公差+1） 例1、1＋2＋3＋...＋1999＝11＋12＋13＋...＋31＝3＋7＋11＋ (99) 例2、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 举一反三、数一数图中各有多少个三角形。 例3、求100以内除以3余2的所有数的和。
举一反三、在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？ 例4、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？ 举一反三、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？ 【巩固练习】 1、计算下图中，共有多少个长方形。 2、奥数6班开学第一天每两位同学互相握手一次，全班10人，共握手多少次？
二、定义新运算 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。 例1、对于任意数a ，b ，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b 。求12*4的值。 举一反三、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。 例题2、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么 7*4=________；210*2=________；4*4=________。 举一反三、如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x ※3＝54中，x ＝________。 例题3、规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果 A ?=⑧ ⑦⑥1 1-1,那么，A 是几？ 举一反三、设a ⊙b=4a －2b+ab 2，求x ⊙（4⊙1）＝52中的未知数x 。
高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 ]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
高斯求和 德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 ]例1 1＋2＋3＋ (1999) 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋ (31) 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋ (99) 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
初一数学竞赛讲座 第2讲数论的方法技巧（下） 四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设, 并从此假设出发, 经过正确的推理, 导出矛盾的结果, 这就否定了作为推理出发点的假设, 从而肯定了原结论是正确的。 反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立, 而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发, 通过正确的推理, 导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确, 产生矛盾的原因在于“反设”的谬误, 既然结论的反面不成立, 从而肯定了结论成立。 运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中, 不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。 解：如果存在这样的三位数, 那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化简为 80a=b+c, 而这显然是不可能的, 因为a≥1, b≤9, c≤9。这表明所找的数是不存在的。 说明：在证明不存在性的问题时, 常用反证法：先假设存在, 即至少有一个元素, 它符合命题中所述的一切要求, 然后从这个存在的元素出发, 进行推理, 直到产生矛盾。 例 2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒, 再将得到的数与原来的数相加。试说明, 得到的和中至少有一个数字是偶数。 解：假设得到的和中没有一个数字是偶数, 即全是奇数。在如下式所示的加法算式中, 末一列数字的和d+a为奇数, 从而第一列也是如此, 因此 第二列数字的和b+c≤9。将已知数的前两位数字a, b与末两位数 字c, d去掉, 所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒, 得到的数 与它相加, 和的数字都是奇数”这一性质。照此进行, 每次去掉首 末各两位数字, 最后得到一位数, 它与自身相加是偶数, 矛盾。故和的数字中必有偶数。 说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。但对其他位数的数不一定成立。如12+21, 506+605等。 例3 有一个魔术钱币机, 当塞入1枚1分硬币时, 退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时, 退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时, 退出3枚1分硬币。小红由1枚1分硬币和1枚5分硬币开始, 反复将硬币塞入机器, 能否在某一时刻, 小红手中1分的硬币刚好比1角的硬币少10枚？ 解：开始只有1枚1分硬币, 没有1角的, 所以开始时1角的和1分的总枚数为 0+1=1, 这是奇数。每使用一次该机器, 1分与1角的总枚数记为Q。下面考查Q的奇偶性。
第一讲四则运算的关系 例题1、“华杯赛”是为了纪念我国杰出的数学家华罗庚而举行的数学竞赛。华罗庚生于1910年，现用“华杯”代表一个两位数，已知1910与“华杯”之和为2004，那么“华杯”代表的两位数我多少？ 例题2、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的2倍，差是多少？ 例题3、粗心的小明在计算除法时，把除数末尾的“0”写漏了，结果得到240，正确的结果是多少？ 例题4、31?□—□?27=24，如果两个□里的数相同，这个□里的数应是多少？
例题5、两个数相乘，如果一个因数增加5，积增加80，如果另一个因数减少4，积就减少100，原来这两个数相乘的积是多少？ 练习题： 1、如果25?□÷3?15+5=2005，那么□=（）。 2、在一个加法算式中，两个加数与和这三个数的和是360，已知一个加数是另一个加数的4倍，求较大的加数是多少？ 3、小华在计算乘法时，由于粗心，把一个因数末尾的0写掉了，那么正确的结果是多少？ 4、小明在计算有余数的除法时，把被除数115当成151，结果商比正确的得数大3，但余数恰好相同，正确的算是应是多少？ 5、一个学生做乘法时，把其中一个因数个位数字4看成1，得出的积是525，另一个学生把这个因数的个位数字误看成8，得出的积是700。正确的积应该是多少？
6、如果5?（2+△+△）—4=2006，那么△=（）。 7、在一道加法算式中，和比一个加数多2008，另一个加数比这个加数少92，和是多少？ 8、在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是400，而减数是差的4倍，减数是多少？ 9、小明在计算一道除法算式时，将除以3看成乘以3，算出的结果是288，正确的结果是多少？ 10、粗心的小虎在计算（200—□）?4时错看成200—□?4，算得结果为20，正确的结果是多少？ 11、一个数除以8后再减3，得到的数比原来少66，原来的数是多少？ 12、有一个数，把它减去37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11，求原来的数是多少？
四年级奥数教程答案 【篇一：四年级奥数教程】 >例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下： 解：选基准数为450，则 - 1 - 累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11＝50， 答：平均每块麦田的产量为455千克。 求一位数的平方，在乘法口诀的小学奥数基础教程（四年级） 第1讲速算与巧算（一）86，78，77，83，91，74，92，第2讲 速算与巧算（二） 69，84，75。 第3讲高斯求和求这10名同学的总分。第4讲 4，8，9整除的 数的特征分析与解：通常的做法是将这10个数第5讲弃九法直接 相加，但这些数杂乱无章，直接第6讲数的整除性（二）相加既繁 且易错。观察这些数不难发第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归 总问题第12讲年龄问题 第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一） 第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲 数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加 法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲 逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二） 第1讲速算与巧算（一） 计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提 高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断 能力，促进思维和智力的发展。 我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和 下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。 现，这些数虽然大小不等，但相差不大。我们可以选择一个适当的 数作“基准”，比如以“ 80”作基准，这10个数与80的差如下：
小学奥数专题——高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1、1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。例2、11＋12＋13＋…＋31＝？
第二讲算式巧求和 学科：数学 任课教师 何振波 授课时间：2014 年 月 日 星期 教学内容：点拨1和点拨2 重点重点：1、抵消思想 2、学习分数求和的几种方法：1、裂项法。2、分组法。 3、公式法，同分母相 加的题。 教学目标：1、使学生会判断分数求和什么类型的题用什么方法 2、熟练的运用这些方法来计算。 教学过程：知识要点 第一课时 实例： 师：小升初计算主要考察内容就两个：1、抵消思想。2、分数小数的四则基本运算。 约分也是抵消的类型，咱们第一讲和第二讲主要学的就是抵消思想。而分数小数的四则基本运算就是考察你的基本运算能力，你方法都会，但就是不会算那是白扯。 师：首先给同学们讲个小故事：在我们的数学家华罗庚小时候和他表弟小亮同 做一道数学题：例1、211?+321?+431?+…+981?+10 91?，什么题呢一乘二分之一…。两人一前都没有见过这个类型的题，一下子就蒙了。蒙归蒙，但两人蒙的时候不一样，华罗庚呢低头沉思，而他的表弟小亮却大声的喊两嗓子，喊什么呢：表哥，这个没多复杂吗！一个字：死算搞定了！哈哈，还一个字死算搞定了，他蒙谁啊！欺负我不识数吗！ 你看这个时候华罗庚怎么想，要说人和人的思路是不一样的。华罗庚说：小亮啊，死算会算死人的，最主要的是这也不是长久之计啊。算一道题半个小时，累死了。以后再遇到这样的题怎么办？还死算啊！这个方法是不对的。那么华罗庚怎么想呢，这些数都差不多，我随便找一个寻找特征，就找4 31?了，算它倒霉，把它研究透了其它的也就出来了。4 31?是个什么数？ 生：分数。 师：分母是什么？ 生：6×7 师：分子是什么？ 生：1. 师：1和分母的6、7有关系吗？ 生：有关系，1是6和7的差。 师：那好咱们就试试吧。431?=4334?-=434?-433?=31-4 1，到这为止，华罗庚发现一个惊天大秘密，很小的时候就发现这个秘密太了不起了。什么秘密呢：如果一个分数分母是两个数的乘积，而分子正好是这两个数的差，那就可以裂差求和计算，前面的数分之一减后面的数分之一，一样的道理981?=81-9 1。让学生多说几个，在写下算式： 例1、211?+321?+431?+…+981?+10 91?
高斯求和习题 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等 差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5，…，100（2）1，3，5，7，9，…，99 （3）8，15，22，29，36，…，71末项＝首项＋公差×（项数－1） 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2 例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。 例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项？例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。 例4、1＋2＋3＋4＋…＋1999 例5、3＋7＋11＋…＋99
练习：1、计算下面各题。（1）3＋10＋17＋24＋…＋101 （2）17＋19＋21＋…＋39 2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。 3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。 4、已知等差数列2，5，8，11，14，…（1）这个数列的第13项是多少？ （2）47是其中的第几项？ 5、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。 6、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。 7、求首项是5，末项是93，公差是4
的等差数列的和。 8、已知等差数列6，13，20，27…， 问这个数列前30项的和是多少？9、①7＋10＋13＋…＋37＋40 ②2000－3－6－9－…－51－54 10、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？答案： 例1、39,99 例2、34 例3、5,12,19,26,33,40,47,54,61例4、1999000 例5、1275 练习1（1）780 （2）336 2、1127 3、2565 4、（1）38（2）16 5、51 6、1127 7、3225 8、（1）282 （2）1487 9、1254
2019-2020年四年级数学高斯求和练习题 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1 1＋2＋3＋…＋xx＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，xx是等差数列，首项是1，末项是xx，共有xx个数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋xx）×xx÷2＝xx000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
1、板书：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 2、围绕这一道数学题目，一直流传着这样一个故事。故事的主人翁是高斯，高斯是德国乃至世界著名的数学家，有着“数学王子”的美誉。高斯8岁时聪明过人，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案。 现在请同学们计算一下这道题目。 3、讲解 方法一：配对求和 方法二：倒序相加 方法三：公式法 介绍等差数列：小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9； 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为9，公差为2的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。 例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 分析与解：这串加数1，2，3，…，10是等差数列，首项是1，末项是10，共有10个数。由等差数列求和公式可得原式=（1＋10）×10÷2＝55。 例2：计算：1+2+3+4+…+29+30 例3：1+3+5+7+…+97+99 练习： 1.计算：1+2+3+4+…+18+19 2.计算：2+4+6+8+…+98+100 3. 计算11＋12＋13＋ (31) 4.有一串数，共有16个，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90。这串数连加，和是多少？ 5.一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。这堆圆共多少根？
高斯求和练习 1、1+2+3+???+30 2、4+7+10+13+16+19 3、3+6+9+12+15+18+21+24+27+30 4、3+7+11+15+19+23+27+31 5、3+5+7+9+???+35 6、2+5+8+11+14+???+62 7、4+7+10+13+??????（共20项）8、6+10+14+18+??????（共20项）9、3+8+13+18+??????（共10项）10、1000-2-5-8-10-14-??????-62 11、40+41+42+43+???+80 12、8+12+16+20+???（共20项）13、1000-1-2-3-??????-40 14、9+16+23+30+37+44+51 15、1+4+7+10+13+??????（共21项） 16、1.5.9.13 ??????求这组的第21项是多少? 17、300-1-2-3-??????-20 18、1+4+7+10+???（共20项）19、50-49+48-47+46-45+???-3+2-1 20、2000-1-2-3-???-40 21、2310-2-4-6-8-???-100
高斯求和(解决问题）练习题 1、在13和25两个数之问插入3个数，使这5个数构成等差数列，你知道插入的3个数分别是多少吗? 2、5个连续奇数和是45，求这5个数是多少? 3、一个剧场设置了22排座位，第一排有20个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？ 3、一堆木材叠在一起，一共是20层，第l层有12根，第2层有13根，……下面每层比上一层多1根，这堆木材共有多少根？ 5、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？ 6、在10和30两个数之间插入4个数，使这6个数构成等差数列，你知道插入的4个数分别是多少吗? 7、有9个连续偶数和是180，求这9个数是多少? 8、一个剧场设置了30排座位，第一排有20个座位，往后每排都比前一排多1个座位，这个剧场共有多少个座位? 9、小马虎存计算从1加到100的和时，把其中一个数漏掉了，得出的和是5000，请问他把哪个数丢了? 10、甲乙二人都住在同一个胡同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数甲住在21号，乙住在193号，甲乙二人的住处相隔多少个门? 11、我家在一条短胡同里，这条胡同门牌从1挨着编下去，如果除我家外，其余各家门牌号加起来，减去我家门牌号数，恰好等于100，我家门牌号是几? 12、把一些圆柱形铁管按如图的样子摆在一起，如果正好摆了40层，共有多少 根铁管? 13、一个剧场设置了20排座位。第一排有38个，以后每排都比前一排多两个座位，这个剧场一共有多少个座位? 14、李丽在计算从1到199的连续奇数的和时，把其中的一个数漏掉了，得出的和是9901，请你帮助他找到漏掉的数。 15、7个连续偶数的和是126，那么从小到大排序，第5个数是多少?
四年级奥数高斯求和 问题
小学奥数专题——高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
海青教育一对一个性化教案
2、甲、乙两数的和是48,甲数是乙数的2倍，甲乙两数各是多少? 3、一班的图书比二班多216本，一班的图书数是二班的3倍，两班各有图书多少本？ 4、小娟家到学校共450米，早晨上学，小娟每分钟走75米，下午放学回家时, 小娟 每分钟走50米，求小娟上学和回家平均每分钟走多少米？ 5、按规律填数： ①1,1, 2, 3, 5, 8，13, 21, ( )，( )，89 ② 1 , 2, 4, 8, 16,( ),( ) 6、将一根木头锯成3段要6分钟，如果要锯成6段需要多少分钟? 新课学习——高斯求和 【知识概述】： 1、若干个数按照一定的顺序规律排列起来就是一个数列。例如： 斐波那契数列：1, 1,2 , 3, 5, 8, 13, 21, 34,…… 2、如果在一个数列中，任意两个相邻的数之间的差都相等，我们把这个数列称为等差数列。 其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。相邻两个数之间的差称为公差 (通常用d表示)，这列数中数的个数称为项数。 3. 等差数列的计算公式:
前n项和：S(a1a n) n 2 项数：n(a n-a1) d 1n 2S (a1 a n) 第n项：a n a1(n--1) d 公差：d a - n -a1 ) (n -1) 例题1、计算1 + 2+ 3+……+ 99+ 100 (等差数列求和公式的推导) 你会怎么求？J 高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉 为“数学王子”。 200多年前，高斯的算术教师提出了下面 的问题：1 + 2 + 3+…+100=? 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： (1+ 100) + ( 2 + 99)+……+( 50+ 51)= 101X 50 = 5050 例题2、2 + 4+ 6+ 8+……+ 48+ 50 5 + 10+ 15+ 20 +……+ 45+ 50 练习：(1)计算1 + 2+ 3+……+ 49+ 50 刃计算1 + 3+ 5+ 7+……+ 97+ 99
第一单元简易方程 1、表示相等关系的式子叫做等式。 2、含有未知数的等式是方程。 3、方程一定是等式;等式不一定是方程。等式>方程 4、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 5、使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 6、求方程中未知数的过程，叫做解方程。 7、检验格式：60-4x=20解4x=60-204x=40x=10 ①检验：把x＝10代入原方程,左边=60-4×10=20,右边=20,左边=右边,所以x=10是原方程的解.②检验：方程左边=60-4×10=20方程右边所以，x=10是方程的解。 8、解方程时常用的关系式： 一个加数=和-另一个加数减数=被减数-差被减数=减数+差 一个因数=积÷另一个因数除数=被除数÷商被除数=商×除数 9、五个连续的自然数(或连续的奇数，连续的偶数)的和，等于中间的一个数的5倍。奇数个连续的自然数(或连续的奇数，连续的偶数)的和÷个数=中间数 10、4个连续的自然数(或连续的奇数，连续的偶数)的和，等于中间两个数或首尾两个数的和×个数÷2(高斯求和公式)。 11、列方程解应用题的思路：A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题。 B、理清题目的等量关系。 C、设未知数，一般是把所求的数用X表示。 D、根据等量关系列出方程 E、解方程 F、检验
五年级数学（下）解方程练习（1） 1.加数+加数=和加数=和-另一个加数 例：20+ⅹ=45（ⅹ是一个加数，应用：加数=和-另一个加数方法来解）解：ⅹ=45-20 ⅹ=25 练习10题： 35+ⅹ=10012.5+ⅹ=4547+ⅹ=305 3.5+ⅹ=30.5 60+ⅹ=160.5ⅹ+25=38ⅹ+2.5=3.8 ⅹ+3.2=15ⅹ+52=100ⅹ+0.64=64