第一章：
多元统计分析研究的内容（5点）
1、简化数据结构（主成分分析）
2、分类与判别（聚类分析、判别分析）
3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析）
4、多维数据的统计推断
5、多元统计分析的理论基础
第二三章：
二、多维随机变量的数字特征
1、随机向量的数字特征
随机向量X 均值向量：
随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵：
2、均值向量协方差矩阵的性质
(1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵
E （AX ）=AE （X ）；
E （AXB ）=AE （X ）B;
D(AX)=AD(X)A ’;
Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’
;
)'
,...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='= )'
)((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ
(2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立．
(3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板
三、多元正态分布的参数估计
2、多元正态分布的性质
(1).若 ,则E(X)= ,D(X)= .
特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量，
ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立．
(4).多元正态分布的不相关与独立等价．
例３．见黑板．
三、多元正态分布的参数估计
(1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量
样本均值向量 ＝
样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析：
一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）......
Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量）
变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。
二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点）
1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。
2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。
3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。
4、对数变换：对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。它将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。
三、样品间相近性的度量
研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种：距离，它是将每一个样品看作p 维空间的一个点，并用某种度量测量点与点之间的距离，距离较近的归为一类，距离较远的点应属),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X X )',,,(21p X X X
)')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X
μ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X
于不同的类；相似系数，性质越接近的变量或样品，它们的相似系数越接近于1或一l ，而彼此无关的变量或样品它们的相似系数则越接近于0，相似的为一类，不相似的为不同类。 样品之间的聚类即Q 型聚类分析，则常用距离（统计量）来测度样品之间的亲疏程度；而变量之间的聚类即R 型聚类分析，常用相似系数（统计量）来测度变量之间的亲疏程度。 １、距离的算法：明氏距离 兰氏距离 斜交空间距离 马氏距离
２、相似系数的算法：夹角余弦 相似系数
３、样品分类和指标分类：对样品分类常用距离，对指标分类常用相似系数
４、明氏（Minkowski ）距离的两个缺点：①明氏距离的值与各指标的量纲有关，而各指标计量单位的选择有一定的人为性和随意性，各变量计量单位的不同不仅使此距离的实际意义难以说清，而且，任何一个变量计量单位的改变都会使此距离的数值改变从而使该距离的数值依赖于各变量计量单位的选择。②明氏距离的定义没有考虑各个变量之间的相关性和重要性。实际上，明考夫斯基距离是把各个变量都同等看待，将两个样品在各个变量上的离差简单地进行了综合．
５、相似系数：通常所说相关系数，一般指变量间的相关系数，作为刻划样品间的相似关系也可类似给出定义，即第i 个样品与第j 个样品之间的相似系数定义为：
实际上，就是两个向量中心化后的夹角余弦
６、距离和相似系数选择的原则：(1)所选择的亲疏测度指标在实际应用中应有明确的意义。
（2）亲疏测度指标的选择要综合考虑已对样本观测数据实施了的变换方法和将要采用的聚类分析方法。（3）适当地考虑计算工作量的大小。
练习：1．聚类分析是建立一种分类方法，它将一批样品或变量按照它们在性质上的___进行科学的分类.
2．Q 型聚类法是按___进行聚类，R 型聚类法是按 ___进行聚类。
3．Q 型聚类统计量是___，而R 型聚类统计量通常 采用___。
4．在聚类分析中需要对原始数据进行无量纲化处理，以消除不同量纲或数量级的影响，达到数据间可同度量的目的。常用的无量纲化方法有以下几种：___、____、___。
5．Q 型聚类方法有___、___、___、___等。
第六章 判别分析：
1.四种判别方法：距离判别法、费歇判别法、贝叶斯判别法、逐步判别法。
2.贝叶斯Bayes 判别法：距离判别方法简单实用，但没有考虑到每个总体出现的机会大小，即先验概率，没有考虑到错判的损失；Fisher 判别法随着总体个数的增加，建立的判别式也增加，计算量加大，如果考虑各总体的重要性，问题会突出而简单许多。
既要考虑到各个总体出现的先验概率，又要考虑到错判造成的损失，Bayes 判别就具有这些优点，其判别效果更加理想，应用也更广泛。
基本思想：总是假定对所研究的对象已有一定的认识，常用先验分布来认识它，然后，基于抽取的样本对先验概率作修正，得到后验概率，最后采用相应的判别准则（如误判率最小准则，后验概率最大准则等）进行判别。Bayes 判别法，对各类（总体）的分布有特定的要求，即已知先验概率和分布密度函数。
3.
4.各判别法之间的联系：在正态等协方差阵及先验概率相等的条件下贝叶斯判别与距离判别等价；不加权的Ｆｉｓｈｅｒ判别法等价于距离判别法
∑∑∑===----=p k p k j jk i ik p
k j jk i ik ij x x x x x x x x 11221])(][)([))((γ
练习：1．判别分析是要解决在研究对象已________的情况下，确定新的观测数据属于已知类别中哪一类的多元统计方法。
2．用判别分析方法处理问题时，通常以_______作为衡量新样本点与各已知组别接近程度的指标。
3．进行判别分析时，通常指定一种判别规则，用来判定新样本的归属，常见的判别准则有_______、_________。
4．在p 维空间Rp 中，点与点之间的接近和疏远尺度用_______来衡量，最简单的就是________或__________。
5．类内样本点接近，类间样本点疏远的性质，可以通过_________与______的大小差异表现出来，而两者的比值能把不同的类区别开来。这个比值越大，说明类与类间的差异越___，分类效果越___。
6．Fisher 判别法是找一个由p 个变量组成的______，使得各自组内点的____尽可能接近，而不同组间点的尽可能疏远。
简答题：
1．判别分析的分类：距离判别法、费歇判别法、贝叶斯判别法、逐步判别法。
2．判别的基本思想：是根据已掌握的、历史上若干样本的p 个指标数据及所属类别的信息，总结出该事物分类的规律性，建立判别公式和判别准则。根据总结出来的判别公式和判别准则，判别未知类别的样本点所属的类别。
3．简述两个总体的判别及判别准则:
基本思路：（1）统计模型：设G1，G2是两个不同的P 维已知总体，x=（x1，…，xp ）T 是一个待判样品；
（2）距离判别准则： （3）判别函数： 4．简述Fisher 判别法及具体判别步骤：Fisher 判别的思想是投影，将k 组p 维数投影到某一个方向，使得他们的投影组与组之间尽可能的分开。
5．简述逐步判别基本原理： 逐步引入变量，每次把一个判别能力最强的变量引入，每引入一个新的变量，对老变量又逐个进行检验，如其判别能力因新变量的引入而变得不显著，应把它从判别式中剔除，最终建立的判别函数中仅保留判别能力显著的变量。
6．简述BAYES 判别分析与其它判别方法的优劣：（1）与距离判别的优劣比较：距离判别优于两个总体情况下的判别，对两个总体几乎没有任何要求，简捷，实用，易懂；距离判别法在多个总体时，没有考虑各总体出现的概率，对各个变量的重要性一视同仁，难免产生误判。Bayes 判别法对的理论与方法严密而完善，对研究对象的信息利用充分，误判率大大降低，但计算较复杂。（2)与Ｂａｙｅｓ判别法的比较：Ｂａｙｅｓ判别与Ｆｉｓｈｅｒ判别的比较：对总体的分布要求不同；多个总体下，Ｆｉｓｈｅｒ判别的计算量大，但均值向量共线性程度较好时，可以考虑用Ｆｉｓｈｅｒ判别；各总体出现的重要性不同时应使用是Ｂａｙｅｓ判别。
第七章、主成分分析
1.主成分分析就是设法将原来变量重新组合成一组新的相互无关的综合变量来代替原来的变量，并尽可能多地反映原来变量的信息。
数学表现为：Var （Yj ）最大；cov(Yi ，Yj)=0；
2.主成分就是以协方差阵的特征向量为系数的线性组合，它们互不相关，其方差的特征根。 主成分的名次是按特征根取值大小的顺序排列的。
???>∈<∈)2,()1,(2)2,()1,(12222G x D G x D G x G x D G x D G x 若若)1,()2,()(22G x D G x D x W -=
3.主成分模型中各统计量的意义： 1）贡献率：第i 个主成分的方差在全部方差中所占比重 ，称为贡献率 ，反映了原来P 个指标多大的信息，有多大的综合能力 。 2）累积贡献率：前k 个主成分共有多大的综合能力，用这k 个主成分的方差和在全部方差中所占比重 来描述，称为累积贡献率。 例 ：设 的协方差矩阵为 解得特征根为 ， ，
第一个主成分的贡献率为5.83/（5.83+2.00+0.17）=72.875%，尽管第一个主成分的贡献率并不小，但在本题中第一主成分不含第三个原始变量的信息，所以应该取两个主成分。
4. 1）从协方差阵和相关系数矩阵出发计算主成分一般是不同的。
2）主成分是原始变量的线性组合，故而起着原始变量的综合作用。
3）对总体分布类型没有特定要求。
4）主成分个数的确定。
5）主成分用于系统评估。
6）除主成分分析之外，还有主成分回归和加权主成分分析。
填空：
1、对P 元正态分布变量来说，找主成分的问题就是找P 维空间中的椭球体的主轴问题。
2、样本主成分的总方差等于___________。
3、原始变量协方差矩阵的特征根的统计含义是________________。
4、主成分表达式的系数向量是__协方差阵 的特征向量。
5、主成分分析就是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的线性组合，并寻求主成分 来分析事物的一种方法。
第八章、因子分析
1.什么是因子分析及基本思想
多元数据常常包含大量的测量变量，有时这些变量是相互重叠，存在相关性。因子分析的目的就是从实验所得的数据样本中概括和提取出较少量的关键因素，它们能反映和解释所得的大量观测事实，从而建立最简洁、最基本的概念系统，揭示出事物之间最本质的联系。
因子分析的基本思想是通过变量（或样品）的相关系数矩阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相关关系。
2.主成分分析与因子分析的联系与区别？
相同之处：都是多元数据处理降维的统计方法；求解过程的出发点是一样的；
不同之处：主成分分析是变量变换：原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；而因子分析需要构造因子模型：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量；主成分的系数是唯一的；而因子分析的载荷系数是不唯一的； 3.因子载荷aij 的统计意义： 因子载荷ij a 是第i 个变量与第j 个公共因子的相关系数载荷矩阵中第i 行，第j 列的元素）反映了第i 个变量与第j 个公共因子的相关重要性。绝对值越大，相关的密切程度越高。
例题：假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为 ∑=p i i i 1λλ∑∑==p i i k i i 11λλ321,,x x x ??????????--=200052021∑83.51=λ00.22=λ17.03=λ??????????-=000.0924.0383.01U ??????????=1002U ?????????
?=000.0383.0924.03U 1x 2x 3x
试用主成分分析法求因子分析模型。
特征根为：
可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对X 的贡献为1.55。第一公因子F2为投资因子，对X 的贡献为0.85。共同度分别为1，0.706，0.706。
4.为什么要旋转因子：由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。有三种主要的正交旋转法:四次方最大法、方差最大法和等量最大法。
5.因子分析通常包括以下五个步骤：选择分析的变量； 计算所选原始变量的相关系数矩阵；提取公共因子；因子旋转； 计算因子得分。
6.变量共同度的统计意义：变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i 行的元素的平方和。记为
7.因子分析数学模型：ε+=AF X
填空：1．因子分析是把每个原始变量分解为两部分因素，一部分是_公共因子_，另一部分为___特殊因子__。
2．变量共同度是指因子载荷矩阵中_变量所在行元素平方和_。
3．公共因子方差与特殊因子方差之和为___1____。
4因子分析和主成分分析在求解过程中都是从 出发
简答：1．比较因子分析和主成分分析模型的关系，说明它们的相似和不同之处。
2．能否将因子旋转的技术用于主成分分析，使主成分有更鲜明的实际背景 ：不能，用了就是因子分析，旋转之后不叫主成分（这一句就行），公因子的方差不等于特征值，因此不能旋转。
3.因子分析中为什么要进行因子旋转？通过因子旋转，可以使每个变量只在一个公共因子上有较大的载荷，因此因子分析模型是适用的。
4.什么是因子得分？因子得分有何作用？在因子分析中，得出公共因子后，可以根据原始变量计算出各个样本（个体）在每个因子上的得分，称为因子得分，因子得分可以有多种求解方法，计算出因子得分后，可以把各个因子作为新的变量用于其他分析，也可以来进行综合评价等。
第九章、对应分析
1.对应分析：也称关联分析、R-Q 型因子分析，通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间联系。可以揭示同一变量的各个类别之间的差异，以及不同变量各个类别之间的对应关系。对应分析的基本思想是将一个联列表的行和列中各元素的比例结构以点的形式在较??????????---15/25/15/215/15/15/1155.11=λ85
.02=λ6.03=λ??????????--=707.0331.0629.0707.0331.0629.00883.0475.0U ??????????--=6.0707.085.0331.055.1629.06.0707.085.0331.055.1629.0085.0883.055.1475.0A ??????????--=548.0305.0783.0548.0305.0783.00814.0569.0211814.0569.0F F x +=3212548.0305.0783.0F F F x +-=3
213548.0305.0783.0F F F x ++-=i X 。∑==m j ij i a h 12
2
低维的空间中表示出来。它最大特点是能把众多的样品和众多的变量同时作到同一张图解上，将样品的大类及其属性在图上直观而又明了地表示出来，具有直观性。
2. 对应分析方法的优缺点：（1）定性变量划分的类别越多，这种方法的优越性越明显（2）揭示行变量类间与列变量类间的联系（3）将类别的联系直观地表现在图形中（4）不能用于相关关系的假设检验（5）维数有研究者自定（6）受极端值的影响
第十章：
1.研究两组随机变量之间的相关性用典型相关分析。典型相关分析就是分别构造各组变量的适当线性组合，将两组变量的相关性转化为两个变量的相关性。数学表现为： 最大；U 和V 分别来自两组变量的线性组合。
2.课件P21页例题。
第十一章 多重多元回归分析
一．回归分析的功能及涵义：回归分析是研究一个（或多个）因变量对于一个或多个其他变量（即自变量）的依存关系，并用数学模型加以模拟，目的在于根据已知的或在多次重复抽样中固定的解释变量之值，估计、预测因变量的总体平均值。
二．回归分析的研究思路和步骤：
根据研究问题的性质、要求建立回归模型。
根据样本观测值对回归模型参数进行估计，求得回归方程。对回归方程、参数估计值进行显著性检验。并从影响因变量的自变量中判断哪些显著，哪些不显著。
利用回归方程进行预测。
三．多元线性分析中逐步回归的原理
基本操作思想：
第一组回归方程：
1、首先选一个因变量y1，对它来筛选所有自变量；转2
2、选第二个因变量y2，考虑y1,y2中是否有剔除；转3
3、若没有剔除，由y1,y2筛选自变量；转4
4、重复第二步；转2
第二组回归方程：
1、原始数据中删除第一组回归方程中已入选的因变量的资料；
2、重复整个过程指导因变量都有了回归方程时结束。
操作原理：不断的假设检验
最终目标：因变量分组
具体计算步骤：
第1步: 确定自变量和因变量的取舍标准; 设Fx 和 Fy 分别为自变量和因变量的引入和剔除临界值(可取相等),
第2步: 任意（或回归平方和最大者）选入一个因变量Y1 。假设k 步后，此时已引入m1个自变量和 p1个因变量;
第3步: 逐个检查是否需要剔除自变量, 如有剔除转回三步;
第4步: 逐个检查是否需要引人自变量, 如有引入转到三步;
第5步: 逐个检查是否需要剔除因变量, 如有剔除转到三步;
第6步: 逐个检查是否需要引入因变量,如有引入转到第三步;
第7步: 计算回归方程。如果自第二步～第六步已引入k 个因变量, 则计算此组的 k 个回归方程;
UV
第8步: 删除已引入的因变量的数据而保留所有自变量的数据,从第二步起继续计算下一组回归方程, 如此继续, 直到全部因变量都有了回归方程为止。
附注：回归分析中的自变量是非随机性的且自变量之间不存在严格线性相关（共线性）；因变量之间是允许线性相关关系的；
若是多重多元且共线性模型，将使用偏最小二乘回归分析（加入主成分分析思想，典型相关分析的操作方法）
第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章：
二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . )' ,...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='= )' )((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ) ,(~∑μP N X μ ∑ p X X X ,,,21
特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 μ ) ,(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ) () 1(,,n X X X )' ,,,(21p X X X )' )(() () (1 X X X X i i n i --∑=n 1 X μ∑μ X ) 1 , (~∑n N X P μ) ,1(∑-n W p X X
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密 度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度 函数的维数小于p 。 2.2设二维随机向量1 2()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设1 2()X X '的均值向量为()1 2μμ'=μ，协方差矩阵为21 122212σσσσ?? ? ?? ，则其联合分布密度函数为 1/2 12 2 2112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--???????? '=---?? ? ??? ?????? x x μx μ。 2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为 12121222 2[()()()()2()()] (,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----= -- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求 （1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断 1X 和2X 是否相互独立。 （1）解：随机变量 1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 11212122 2[()()()()2()()] ()()()d x c d c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--? 1221222222 2()()2[()()2()()]()()()() d d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----? 121 222202()()2[()2()]()()()() d d c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------= +----? 221212222 2()()[()2()] 1()()()()d c d c d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a ------=+= ----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为 ()2 12 b a -。
一、填空题（20分） 1、若),2,1(),,(~)(n N X p 且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布 为 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,(' 21n i X X X X ip i i i ，总体),(~ p N X ，对样品进行分类常用的距离 2 ()ij d M )()(1j i j i x x x x ，兰氏距离()ij d L 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是： x y 10，多元回归的数学模型是： p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 二、计算题（60分） 1、设三维随机向量),(~3 N X ，其中 200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21 X X 和3X 是否独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21 X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵 22211211，),(21 X X 的协差矩阵为11 因为12321),),cov(( X X X ，而012 ，所以),(21 X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互
一、（本大题共2小题，每题5分，共10分） 1、设),(~3∑μN X ，其中???? ? ?????=∑-==221231111,)'1,3,2(,)',,(321μX X X X ，试求32123X X X +-的分布。 2、设三个总体321,G G G 和的分布分别为：)1,3()2,0(),5.0,2(222N N N 和。试按马氏距离判别准则判别x =2.5应判归哪一类？ 二、（本题10分）设'1233(,,)~(,)X X X X N μ=∑，其中 )10(11 1 ,)',,(321<
三、（本题10分）已知5个样品的观测值为：1，4，5，7，11.试用按类平均法对5个样品进行分类。 四、（本题10分）设有两个正态总体21G G 和，已知(m=2) ? ? ? ???=∑=∑??????=??????=32121218,2520,151021)1()1(μμ ，先验概率21q q =，而,10)12(=L 75)21(=L 。试问按贝叶斯判别准则样品?? ? ???=??????=2015,2020)2() 1(X X 各应判归哪一类？
五、（本题10分）假定人体尺寸有这样的一般规律：身高（1X ），胸围（2X ）和上半臂围（3X ）的平均尺寸比例是6：4：1。假定),,1()(n X =αα为来自总体)',,(321X X X X =的随机样本，并设),(~3∑μN X 。试利用下表中数据来检验其身高、胸围和上半臂围这三个尺寸是否符合这一规律。（94.6)4,2(,05.005.0==F α）
多元统计分析模拟试 题
多元统计分析模拟试题（两套：每套含填空、判断各二十道） A卷 1)判别分析常用的判别方法有距离判别法、贝叶斯判别法、费歇判别法、逐 步判别法。 2)Q型聚类分析是对样品的分类，R型聚类分析是对变量_的分类。 3)主成分分析中可以利用协方差矩阵和相关矩阵求解主成分。 4)因子分析中对于因子载荷的求解最常用的方法是主成分法、主轴因子法、 极大似然法 5)聚类分析包括系统聚类法、模糊聚类分析、K-均值聚类分析 6)分组数据的Logistic回归存在异方差性，需要采用加权最小二乘估计 7)误差项的路径系数可由多元回归的决定系数算出，他们之间的关系为 = 8)最短距离法适用于条形的类，最长距离法适用于椭圆形的类。 9)主成分分析是利用降维的思想，在损失很少的信息前提下，把多个指标转 化为几个综合指标的多元统计方法。 10)在进行主成分分析时，我们认为所取的m（m 22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献1213 30.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.10320 13 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ??? 一、判断题 （ 对 ）112(,,,)p X X X X '=L 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 ）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （ 对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。 （ 错）5),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，,X S 分别是样本均值和样本离差阵，则, S X n 分别是,μ∑的无偏估计。 （ 对）6),(~),,,(21∑'=μp p N X X X X Λ，X 作为样本均值μ的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错）7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对）8因子载荷阵()ij A a =中的ij a 表示第i 个变量在第j 个公因子上的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher 判别与距离判别等 价。 （对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher 判别法对总体的分布无特定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵． 2、设∑是总体1(,,)m X X X =L 的协方差阵，∑的特征根(1,,)i i m λ=L 与相应的单 位正交化特征向量 12(,,,)i i i im a a a α=L ，则第一主成分的表达式是 11111221m m y a X a X a X =+++L ，方差为 1λ。 3设∑是总体1234(,,,)X X X X X =的协方差阵，∑的特征根和标准正交特征向量分别 为：' 112.920(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)U λ==--- ' 221.024(0.9544,0.0984,0.2695,0.0824)U λ==- '330.049(0.2516,0.7733,0.5589,0.1624)U λ==-- 一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A 和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 第一章： 多元统计分析研究的容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X均值向量： 随机向量X与Y的协方差矩阵： 当X=Y时Cov（X，Y）=D（X）；当Cov（X，Y）=0 ，称X，Y不相关。 随机向量X与Y的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X，Y为随机向量，A，B 为常数矩阵 E（AX）=AE（X）； E（AXB）=AE（X）B; D(AX)=AD(X)A’; )' ,..., , ( ) , , , ( 2 1 2 1P p EX EX EX EXμ μ μ = ' = )' )( ( ) , cov(EY Y EX X E Y X- - = q p ij r Y X ? =) ( ) , (ρ Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。 4、对数变换：对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。它将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。 三、样品间相近性的度量 研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种：距离，它是将每一个样品看作p 维空),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X X )',,,(21p X X X )')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X 二名词解释 1、 多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理 论和方法，是一元统计学的推广 2、 聚类分析：是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方 法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。 使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、 随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性 （概率）取值的量。它是由于随 机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向 量。类 似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题 ，为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表 总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的 ，就需要对样本进行加工，把样本的信息浓缩 到不包含未知量的样本函数中，这个函数称为统计量 二、计算题 ^16 -4 2 k 设H = 其中启= （1Q —纣眉=-4 4-1 [― 试判断叼+ 2吟与 「花一? [是否独立？ 解: "10 -6 -15 -6 1 a 2U -16 20 40 故不独立口 -r o 2丿 按用片的联合分帚再I -6 lti 20 -1G 20 ) -1V16 -4 0 -4 A 2 丿"-1 2.对某地区农村的百名2周宙男翌的身高、胸圉、上半骨圉进行测虽，得相关数据如下』根据汶往资料，该地区城市2周岁男婴的遠三个指标的均值血二（90Q乩16庆现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男娶是否与城市男婴有相同的均值?伽厂43107-14.62108.946^1 ]丼中乂=60.2x^)-1=(115.6924)-1-14.6210 3.172-37 3760 、8.9464-37 376035.S936」= 0.01, (3,2) = 99.2, 03) =293 隔亠4) =16.7) 答: 2、假设检验问题：比、# =险用‘//H地 r-8.o> 经计算可得：X-^A 22 厂 「3107 -14.6210 ST1=(23J3848)-1 -14.6210 3.172 8 9464 -37 3760 E9464 -37.3760 35.5936 构造检验统计量：尸=旳（丟-間）〃丿（巫-角） = 6x70.0741=420.445 由题目已知热“（3,）= 295由是 ^I =^W3,3）^147.5 所以在显著性水平ff=0.01下，拒绝原设尽即认 为农村和城市的2周岁男婴上述三个指标的均 值有显著性差异 （］ 4、设盂=（耳兀.昂工/ ~M（（XE）,协方差阵龙=P P （1）试从匸出发求X的第一总体主成分; 答: （2）试|可当卩取多大时才链主成分册贡蕭率达阳滋以上. 多远统计上机作业 指标的原始数据取自《中国统计年鉴， 1995》和《中国教育统计年鉴， 1995》除以各地区相应的人口数得到十项指标值见表 1。其中： X1 X2 X3 X4 X5 X6:为每百万人口高等院校数； :为每十万人口高等院校毕业生数； :为每十万人口高等院校招生数； :为每十万人口高等院校在校生数； :为每十万人口高等院校教职工数； :为每十万人口高等院校专职教师数； X7: 为高级职称占专职教师的比例; X8 :为平均每所高等院校的在校生数； X9 :为国家财政预算内普通高教经费占 国内生产总值的比重； X10: 为生均教育经费。 表 1 我国各地区普通高等教育发展状况数据 地区X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10北京 5.96310461155793131944.362615 2.2013631上海 3.39234308103549816135.023052.9012665天津 2.3515722971329510938.403031.869385陕西 1.35811113641505830.452699 1.227881辽宁 1.50881284211445834.302808.547733吉林 1.67861203701535833.532215.767480黑龙江 1.1763932961174435.222528.588570湖北 1.0567922971154332.892835.667262江苏.9564942871023931.543008.397786广东.693971205612434.502988.3711355四川.564057177612332.623149.557693山东.575864181572232.953202.286805甘肃.714262190662628.132657.737282湖南.744261194612433.062618.476477浙江.864271204662629.942363.257704新疆 1.2947732651144625.932060.375719福建 1.045371218632629.012099.297106山西.855365218763025.632555.435580河北.814366188612329.822313.315704安徽.593547146462032.832488.335628云南.663640130441928.551974.489106江西.774363194672328.812515.344085海南.703351165471827.342344.287928内蒙古.844348171652927.652032.325581西藏 1.692645137753312.10810 1.0014199河南.553246130441728.412341.305714广西.602843129391731.932146.245139宁夏 1.394862208773422.701500.425377贵州.64233293371628.121469.345415青海 1.483846151633017.871024.387368 Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的… 何老师考简单点啊…… 第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,,,)p X X X =X 、(2) (2)(2)(2) 12(,,,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1) ()(1)()(1)()(1) 11 22i i i i i P P U a X a X a X ' =+++a X ()(2) ()(2)()(2) ()(2) 11 22i i i i i q q V b X b X b X ' =+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2) 'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0, (,)0 ()i j i j C ov U U C ov V V i j ==≠ 2. 0 (,1,2,,)(,)0()0()i i j i j i r C ov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中，度量了这两组变量之间联系的强度。 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2) 1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X = X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X = X 应用多元统计分析课后答案 第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 21/2 1 (2)() p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 （一）夹角余弦 （二）相关系数 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别选择距离公式应遵循哪些原则 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法 ,min i k j r kr ij X G X G D d ∈∈= min{,}kp kq D D = （2）最长距离法 ,max i p j q pq ij X G X G D d ∈∈= 21 ()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ cos p ik jk ij X X θ= ∑ ()() p ik i jk j ij X X X X r --= ∑ ij G X G X ij d D j j i i ∈∈= ,min 、判断题 （对）1X （兀公2丄，X p）的协差阵一定是对称的半正定阵 （对）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 （对）3典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （对）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据分析方法。（错）5X （X-X2，,X p） ~ N p（ , ），X,S分别是样本均值和样本离 S 差阵，则X,—分别是，的无偏估计。 n （对）6X （X「X2， ,X p） ~ N p（ , ），X作为样本均值的估计，是无偏的、有效的、一致的。 （错）7因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （对）8因子载荷阵A （a j）中的a ij表示第i个变量在第j个公因子上的相对重要性。 （对）9判别分析中，若两个总体的协差阵相等，则Fisher判别与距离判别等价。（对）10距离判别法要求两总体分布的协差阵相等，Fisher判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样本相关系数矩阵. 2、设是总体X （X」,X m）的协方差阵，的特征根i（i 1,L ,m）与相应的单 位正交化特征向量i （盼无丄,a m），则第一主成分的表达式是 y1 Q1X1 812X2 L QmX m 方差为1。 3设是总体X （X1,X2,X3, X4）的协方差阵，的特征根和标准正交特征向量分别为： 1 2.920 U；(0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U2(0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U3(0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 0.007U4 （ 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930），则其第二个主成分的表达式是 4 课程名称：多元统计回归分析 实验项目：多元方差分析 实验类型：验证性 学生学号： 学生姓名： 学生班级： 课程教师： 实验日期： 2016-04-18 .995 1832.265(b) 2.000 17.000 .000 .995 3664.530 1.000 距跟踪 Wilks 的 .005 1832.265(b) 2.000 17.000 .000 .995 3664.530 1.000 Lambda Hotelling 215.561 1832.265(b) 2.000 17.000 .000 .995 3664.530 1.000 的跟踪 Roy 的最 215.561 1832.265(b) 2.000 17.000 .000 .995 3664.530 1.000 大根 A Pillai 的 .901 7.378 4.000 36.000 .000 .450 29.511 .991 跟踪 Wilks 的 .101 18.305(b) 4.000 34.000 .000 .683 73.221 1.000 Lambda Hotelling 8.930 35.720 4.000 32.000 .000 .817 142.882 1.000 的跟踪 Roy 的最 8.928 80.356(c) 2.000 18.000 .000 .899 160.712 1.000 大根 B Pillai 的 .205 2.198(b) 2.000 17.000 .142 .205 4.397 .386 跟踪 Wilks 的 .795 2.198(b) 2.000 17.000 .142 .205 4.397 .386 Lambda Hotelling .259 2.198(b) 2.000 17.000 .142 .205 4.397 .386 的跟踪 Roy 的最 .259 2.198(b) 2.000 17.000 .142 .205 4.397 .386 大根 1 、填空题(20分) 1、 若X Q ~ N p (g ,(a =1,2,…n)且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布为X ~ N p (g^|。 2、 变量的类型按尺度划分有 _间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、 判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有 —距离判别法_、Fisher 判别法、 Bayes 判别法、逐步判别法。 4、 Q 型聚类是指对_样品-进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、 设样品X i =(X i1,X i2^ X ip )',(i =1,2，…n)，总体X~N p (」「)，对样品进行分类常用的距离有： 明氏距离d j (q)=(壬|Xy q i j i j 6、 因子分析中因子载荷系数a j 的统计意义是—第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、 一元回归的数学模型是：y 曆x 童，多元回归的数学模型是 8、 对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、 典型相关分析是研究两组变量之间 相关关系的一种多元统计方法。 、计算题(60分) '4 1 1、设三维随机向量X~N 3(?2)，其中送=1 3 e 0 独立？为什么? 解：因为cov(X 1,X 2^1，所以X 1与X 2不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵瓦=f 11 ；12丨，(X 1,X 2/的协差矩阵为瓦 11 因为 —21 - 22 cov((X 1,X 2),X 3)=為12，而' 12 =0，所以(X 1, X 2)和X 3是不相关的，而正态分布不相关与相互独 立是等价的，所以(X 1,X 2)和X 3是独立的。 0，问X 1与X 2是否独立? 2> (X 1,X 2)和X 3是否 多元统计分析期末考试考 点 The following text is amended on 12 November 2020. 二名词解释 1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广 2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、随机变量：是指的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量 三、计算题 解： 答： 答： 题型三解答题 1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 答： 第一，提出待检验的假设和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 2、简述一下聚类分析的思想 答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 3、多元统计分析的内容和方法 答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等 多元统计分析作业 海洋地球化学多元统计分析作业 一、预备工作：数据的输出管理 首先设置File output manager output manager中，选中individual wind。 Also send to Report wind中，选中single report。 二、数据的导入 数据表（data.xls）为一个深海沉积物柱中30个样品分析结果。第1列为样品编号，第2列为样品的采样深度（单位），第三列起为分析的各元素含量。将data.xls 数据导入Statistica worksheet中 (操作步骤为菜单File open …data.xls) 三、数据（图表）的输出 统计分析过程中生成的结果都可以输出到Word文档中（菜单 as …或PrtSc，粘贴到word中）。 对生成的图表，还可先菜单File Add to report，再粘贴到word中。 本项上机实习需完成以下统计分析 一、相关及回归分析(Correlation matrices) 1、分析两组分Co-Ni， CaO-Sr，Fe2O3-MnO，的相关关系，做出相关关系 图，拟合出回归方程。 图1 Co-Ni 相关关系图 图2 CaO-Sr 相关关系图 图3 Fe2O3-MnO 相关关系图 2、做出三组分Cu-Pb-Zn；Sr-Cu-CaO之间的散点图 (scatterplot) 。 图4 Cu-Co-Ni 散点图 图5 Sr-Cu-CaO 散点图 3、计算CaO、Co、Cu、Fe2O3、MnO、Ni、Sr之间的相关关系矩阵。 表1 沉积物中元素相关关系矩阵 (n=30,p<0.05) CaO Fe2O3MnO Co Cu Ni Sr CaO 1.00 Fe2O3-0.23 1.00 MnO 0.18 0.18 1.00 Co -0.21 0.85 0.41 1.00 Cu -0.02 -0.01 0.36 0.26 1.00 Ni -0.10 0.96 0.24 0.88 -0.03 1.00 Sr 0.97 -0.25 0.23 -0.20 0.09 -0.13 1.00 二、聚类分析(Cluster analysis) 1、首先将数据进行标准化(分别进行和列的标准化)，得到标准化的数据集。 2、采用Tree clustering 方式，Single linkage法，对CaO、Co、Cu、Fe2O 3、 MnO、Ni、Sr 进行R型聚类分析，进行统计分析。 图6 R型聚类分析图 注：采用Tree clustering 方式, Single linkage ,1-Pearson r 法。多元统计分析期末试题及答案.doc
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