托勒密定理 定理图 定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组 对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 定理的提出 一般几何教科书中的托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的 书中摘出。 证明 一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形ABCD 中，作△ ABE使/ BAE= / CAD / ABE= / ACD 因为△ ABE ACD 所以BE/CD=AB/AC, 即BE-AC=AB CD (1) 而/ BAC= / DAE ,，/ ACB= / ADE 所以△ ABC AED 相似. BC/ED=AC/AD 即ED- AC=BC AD (2) ⑴+⑵，得 AC(BE+ED)=AB CD+AD BC 又因为BE+EI> BD (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、 BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a -b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d)，两边取模，运用三角不等式得。等 号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角/ BAC = / BDC，而在AB上， / ADB = / ACB。在AC 上取一点K，使得/ ABK = / CBD ; 因为/ ABK + / CBK = / ABC = / CBD + / ABD，
第四章电路定理 一、教学基本要求 1、了解叠加定理的概念，适用条件，熟练应用叠加定理分析电路。 2、掌握戴维宁定理和诺顿定理的概念和应用条件，并能应用定理分析求解具体电 路。 二、教学重点与难点 1. 教学重点：叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理。 2．教学难点：各电路定理应用的条件、电路定理应用中受控源的处理。 三、本章与其它章节的联系： 电路定理是电路理论的重要组成部分，本章介绍的叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理适用于所有线性电路问题的分析，对于进一步学习后续课程起着重要作用，为求解电路提供了另一类分析方法。 四、学时安排总学时：6 五、教学内容
§4.1 叠加定理 1.叠加定理的内容 叠加定理表述为：在线性电路中，任一支路的电流(或电压)都可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。 2.定理的证明 图 4.1 图4.1所示电路应用结点法： 解得结点电位： 支路电流为： 以上各式表明：结点电压和各支路电流均为各独立电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加，即表示为： 式中a 1,a 2 ,a 3 ，b 1 ,b 2 ,b 3 和c 1 ,c 2 ,c 3 是与电路结构和电路参数有关的系数。 3.应用叠加定理要注意的问题 1) 叠加定理只适用于线性电路。这是因为线性电路中的电压和电流都与激励（独立源）呈一次函数关系。
2) 当一个独立电源单独作用时，其余独立电源都等于零（理想电压源短路，理想电流源开路）。如图4.2所示。 = 三个电源共同作用i s1 单独作用 + + u s2单独作用u s3 单独作用 图 4.2 3) 功率不能用叠加定理计算(因为功率为电压和电流的乘积，不是独立电源的一次函数)。 4) 应用叠加定理求电压和电流是代数量的叠加，要特别注意各代数量的符号。即注意在各电源单独作用时计算的电压、电流参考方向是否一致，一致时相加，反之相减。 5) 含受控源(线性)的电路，在使用叠加定理时，受控源不要单独作用，而应把受控源作为一般元件始终保留在电路中，这是因为受控电压源的电压和受控电流源的电流受电路的结构和各元件的参数所约束。 6) 叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于分析问题的方便。 4.叠加定理的应用
《托勒密定理及其应用》 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：；内接于圆，则有： 设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ?=?+? ；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD AC BC AD CD AB ABCD ?≥?+? 一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 四点共圆时成立； 、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似 和且又相似 和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED AC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD ABE CAD BAE E ABCD ?≥?+?∴+?=?+?∴? =??=∴??∴∠=∠=?=??=∴??∠=∠∠=∠)(
二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．
四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 五、巧变形妙引线借肋托勒密定理 例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，
托勒密定理Last revision on 21 December 2020
托 勒密定理 【定理内容】 圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆， 则有BD AC BC AD CD AB ?=?+?. [评]等价叙述：四边形的两组对边之积的和 等于两对角线 之积的充要条件是四顶点共圆。 【证法欣赏】 证明：如图，过C 作CP 交BD 于P ，使21∠=∠, ∵43∠=∠,∴ACD ?∽BCP ?, ∴ BP AD BC AC = ，即AD BC BP AC ?=? ① 又DCP ACB ∠=∠，65∠=∠，∴ACB ?∽DCP ?, ∴ DP AB DC AC = ，即DC AB DP AC ?=? ② ∴①＋②得：DC AB AD BC DP BP AC ?+?=+?)( 即BD AC BC AD CD AB ?=?+? 【定理推广】 托勒密定理的推广： 在四边形ABCD 中，有BD AC BC AD CD AB ?≥?+?；当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。 [证] 在四边形ABCD 内取点E ，使CAD BAE ∠=∠，ACD ABE ∠=∠ 则ABE ?∽ACD ? ∴ AD AE CD BE AC AB ==， ∴BE AC CD AB ?=?； ∵ AD AE AC AB =，且EAD BAC ∠=∠ C D A B E B C D
∴ABC ?∽AED ? ∴ AD ED AC BC = ，即ED AC BC AD ?=?； ∴)(ED BE AC BC AD CD AB +?=?+? ∴BD AC BC AD CD AB ?≥?+? 当且仅当E 在BD 上时“=”成立， 即四点共圆时成立；、、、当且仅当D C B A 【定理推广】 托勒密定理的推论： 等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积． 即：若四边形ABCD 是等腰梯形，且BC AD //， 则BC AD AB AC ?+=22. 分析：因为等腰梯形必内接于圆，符合托勒密定理的条件，其对角线相等，两腰相等，结论显然成立。 【定理应用】 【例1】 如图，P 是正ABC ?外接圆的劣弧BC 上任一点(不与B 、C 重合)， 求证：PC PB PA +=． 证明：由托勒密定理得： ∵CA BC AB == ∴PC PB PA +=. [注]此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看《初中 数学一 题多解欣赏》． 【定理应用】 【例2】 证明“勾股定理”： 已知：在ABC Rt ?中，?=∠90B ， 求证：222BC AB AC +=。 证明：如图，以ABC Rt ?的斜边AC 为对角 B C
第三章 托勒密定理及应用 【基础知识】 托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积． 证明 如图3-1，四边形ABCD 内接于O ，在BD 上取点P ，使P A B C A D =∠∠，则△ABP ∽△ACD ， 于是 A 图3-1 AB BP AB CD AC BP AC CD =??=?． 又ABC △∽△APD ，有BC AD AC PD ?=?． 上述两乘积式相加，得 AB CD BC AD AC BP PD AC BD ?+?=+=?（）． ① 注 此定理有多种证法，例如也可这样证：作AE BD ∥交o 于E ，连EB ，ED ，则知BDAE 为等腰梯形，有EB AD =，ED AB =，ABD BDE θ==∠∠，且180E B C E D C +=?∠∠，令BAC ?=∠，AC 与 BD 交于G ，则 111 sin sin()sin 222 ABCD S AC BD AGD AC BD AC BD EDC θ?=??=??+=??∠∠， 11 sin sin 22 EBCD EBC ECD S S S EB BC EBC ED DC EDC =+=??+??△△∠∠ ()()11 sin sin 22 EB BC ED DC EDC AD BC AB DC EDC =?+??=?+??∠∠． 易知 A B C D E B C S S =，从而有AB DC BC AD AC BD ?+?=?． 推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则 sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ?=?+?∠∠∠． ② 事实上，由①式，应用正弦定理将BD ，DC ，BC 换掉即得②式． 推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ?=?∠∠∠∠ sin sin ADB DBC +?∠∠． ③ 事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式． 直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排列的四点，则AB CD BC AD AC BD ?+?=?． 注 由直线上的托勒密定理有如下推论：若A ，B ，C ，D 是一条直线上顺次四点，点P 是直线AD 外一点，则 sin sin sin sin sin sin APB CPD APD BPC APC BPD ?+?=?∠∠∠∠∠∠． 事实上，如图3-2，设点P 到直线AD 的距离为h ，
托勒密定理 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理是其中一种特殊情况） 在任意凸四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD 所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 二．复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b? d) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、 托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有： m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(A+C) 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD
戴维南定理及其应用实验报告书 戴维南定理及其应用 一、实验目的 1、掌握戴维南定理及其应用方法。 2、验证戴维南定理。 二、实验器材 直流电压源 1个 电压表 1个 电流表 1个 电阻 4个 三、实验原理 在电路理论中等效电路定理具有非常重要的意义，它包括戴维南定理和诺顿定理。戴维南定理可描述为：任何一个线性单端口电路N （如图2-5-1（a ）所示），它对外电路的作用，都可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效，这个等效电路称为戴维南等效电路（也称为等效电压源），见图2-5-1（b ）所示。其中，该等效电压源的电压值等于单端口电路N 在端口处的开路电压U OC ；电阻R O 等于单端口电路N 内所有独立源为零的条件下，从端口处看进去的等效电阻。电阻R O 也称为戴维南等效电阻。 (a) (b) 图2-5-1 戴维南等效电路原理
(a)(b) (c)(d)R U OC 图2-5-2 戴维南等效电路 图2-5-2（a）给出了一个线性单端口电路，其中，R L为负载。首先求该电路的戴维南等效电阻R O。将该电路的电压源短路，见图2-5-2（b），可求得 R O=R1//R2+R3=25Ω+50Ω=75Ω 其次，求端口ao处的开路电压U OC=6V（见图2-5-2（c））。所以该电路的等效电路见图2-5-2（d）所示。 四、实验步骤 1. 单端口电路测试 按图2-5-3连线，电源电压设置为12V。按表2-5-1中给出的数据改变R L之值，测量负载电阻R L的电压U L和流过电阻R L的电流I L，并填写表2-5-1。 图2-5-3 单端口电路 表2-5-1单端口电路的测量数据 2. 等效电路测试 按图2-5-4连线，电源电压设置为6V。按表2-5-2中给出的数据改变R L之值，测量负载电阻R L的电压U L和流过电阻R L的电流I L，并填写表2-5-2。
梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。 展开 定理的证明 证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时， (AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1 逆定理证明： 证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 证明一 过点A作AG∥BC交DF的延长线于G， 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二 过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 证明三 连结BF。 （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1 证明四 过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC' 有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1 得证。如百科名片中图。 充分性证明： △ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。 连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1
戴维南定理的应用研究 冯岩旺召 （玉溪师范学院理学院物理系 2006级物理1班云南玉溪 653100） 指导教师：师家成 摘要:本文对戴维南定理在工程上的应用作了比较详细的介绍和分析。并对戴维南定理的进一步研究作了相应的分析和讨论。 关键词：戴维南定理；戴维南等效电路；工程应用 1、引言 在一个复杂的网络中, 常常遇到只需计算某一支路的电流或电压的情况, 由于二端网络内部结构的复杂性；用基尔霍夫定律求解就会相当麻烦[1]。如能找到不必求出整个网络的解，就能求得所需要的方法，这是我们所希望的；这时应用戴维南定理就显得很方便。 戴维南定理是法国电报工程师L. C. Thevenin于1883年提出的[2],其内容为任何一个有源线性二端电路；任何一个有源二端网络, 对于外电路来说, 可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换, 这个电压源的电动势；等于有源二端网络的开路电压；电压源的内阻；等于网络内部所有电动势短路电流源开路后的无源二端网络的等效电阻。在电路分析中, 这时,就可以把该支路从整个电路中暂时分离出来,电路剩余部分就是一个含源二端网络,求出含源二端网络的戴维南等效电路后,再把断开的支路重新接上,电路就化简为一个简单回路电路,这时求负载支路的电压,电流就很不难了[3]。我们运用戴维南定理往往可以达到简化电路、简化计算和分析方法的目的，在工程上就可进行一些不必要的麻烦计算。即可将一个复杂网络中不需要进行研究的有源部分作为一个有缘二端网络看待，用戴维南电路来代替，以利于对其他部分的分析计算。戴维南定理要求等效的网络是线性的，对负载无要求，负载可以是线性的，也可以是非线性的，这就扩大了戴维南定理的范围[4]。怎样转换电路图和简化步骤，这需要有一定的研究，求取戴维南等效电阻；戴维南等效电压也是需要。 戴维南定理的应用有很大的研究价值和实用价值的，本文通过对戴维南定理简述及其应用介绍、戴维南等效电路的原理及其应用的分析、戴维南等效电阻和戴维南等效电压的求取方法以及戴维南定理的发展前景，作了相应的分析和讨论。讨论了诺顿、戴维南等值回路分析法和检测谐波传播水平的方法在，配电网
第三讲 托勒密定理及其应用 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：；内接于圆，则有： 设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ?=?+? ；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD AC BC AD CD AB ABCD ?≥?+? 一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点 (不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ， ∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ． 二、完善图形 借助托勒密定理 例2 证明“勾股定理”： 在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 四点共圆时成立； 、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似 和且又 相似 和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED AC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD ABE CAD BAE E ABCD ?≥?+?∴+?=?+?∴?=??=∴??∴∠=∠=?= ??=∴??∠=∠∠=∠)(
证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有 AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结CD，依托勒密定理， 有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1． 求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，
叠加原理和戴维南定理实验报告 篇一：实验报告1：叠加原理和戴维南定理的验证 实验报告叠加原理和戴维南定理的验证姓名班级学号 叠加原理和戴维南定理的验证 一．实验目的： 1. 通过实验加深对基尔霍夫定律、叠加原理和戴维南定理的理解。 2. 学会用伏安法测量电阻。 3. 正确使用万用表、电磁式仪表及直流稳压电源。二．实验原理： 1.基尔霍夫定律： 1）.电流定律（KCL）：在集中参数电路中，任何时刻，对任一节点，所有各支路电流的代数和恒等于零，即 ??=0。流出节点的支路电流取正号，注入节点的支路电流取负号。 2）.电压定律（KVL）：在集中参数电路中，任何时刻，对任一回 路内所有支路或原件电压的代数和恒等于零，在即 ??=0。凡支路电压或原件电压的参考方向与回路绕行方向一致者为正量，反之取负号。 2.叠加原理在多个独立电源共同作用的线性电路中，任一支路的电流（或电压）等于各个电源独立作用时在该支路所产生的电流（或电压）的代数 和。 3. 戴维南定理： 任一线性有源二端网络对外电路的作用均可用一个等效电压源来代替，其等效电动势EO等于二端网络的开路电压UO，等效内阻RO等于该网络除源（恒压源短路、开流源开路）后的入端电阻。实验仍采取用图2-3-1所示电路。可把ac支路右边以外的电路（含R3支路）看成是以a与c为端钮的有源二端网络。测得a、c两端的开路电压Uab即为该二端网络的等效电动势EO,内阻可通过以下几种方法测得。 （1）伏安法。将有源二端网络中的电源除去，在两端钮上外加一已知电源E，测得电压U和电流I，则
U RO=（2）直接测量法。将有源二端网络中的电压源除去，用万用表的欧姆档直接测量有源二端网络的电阻值即为RO 。本实验所用此法 测量，图2中的开关S1合向右侧，开关S2断开，然后用万能表的欧姆挡侧a、c两端的电阻值即可。 （3）测开路电压和短路电流法。测量有源二端网络的开路电压U0和短路电流IS。则 R0=U0/IS 测试如图2-3-3所示，开关S打开时测得开路电压U0,闭合时测得短路电流IS。这种方法仅适用于等效电阻较大而短路电流不大（电源电流的额定值不超过）的情况U0 （4）两次电压法。先测量有源二端网的开路电压U0，再在两端纽间接入一个已知电阻RL，测量电阻RL两端的电压UL，则： R0=(U0/UL-1)RL 按图2-3-4所示的电路，开关S打开时，测得开路电压U0，S闭合时， 三．实验仪器和设备 1.电工技术实验装置 2.万能多用表 四．实验内容： 1.叠加原理 分别求出US1,US2单独作用时各个支路电流与电压，再求US1,US2同时作用时的电流电压，验证叠加原理。开关打向电阻 开关打向二极管 由表可验证电流的叠加原理。 2.戴维南定理： （1）测的开路电压，将左侧开关合向左侧，右侧开关合向右侧，测的Uab （2用伏安法测的等效电阻，左侧开关合向短路侧，右侧开关合向接通电源，测的U和I，计算R0 (3)用二次电压法测等效电阻。取一个已知电阻，通过测的开路电压和
托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题（二） 【教学重难点】 1．圆中托勒密定理；对角互补模型：旋转视角、托勒密视角 2．婆罗摩笈多定理 3．例题探究 【模块一圆中托勒密定理】 古希腊最伟大的天文学家，数学家、天文学家伊巴谷（约公元前190年－公元前125年），最早提出了，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称托勒密定理．古罗马著名的天文学家、光学家克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），从伊巴谷的书中将其摘出并完善．托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，故从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式． 1．基本图形与结论：如图1，当A、B、C、D四点共圆，则AC×BD=AB×DC+AD×BC． 2．简单证明： 在线段BD上取一点E，连AE，使∠AEB=∠ADC， 易得△AEB∽△ADC， AC CD =??=?① AC BE AB CD AB BE 旋转一拖二得△ABC∽△AED， AC BC =??=?② AC DE BC AD AD DE 由①＋②得：AC×（BE＋DE）=AC×BD=AB×DC＋AD×BC． 3．模型识别： 具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信 息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算． ※4．广义托勒密定理：对于任意凸四边形ABCD，则有AC×BD ≤AB×DC+AD×BC．证明从略···【模块二对角互补模型→旋转视角】 1．基本图形与模型识别：如图2，对角互补且一组邻边相等 ．．．．．．．．．．．的四边形， 可通过旋转变换将四边形转化为等腰三角形（等腰思旋转）． 2．四类常见对角互补模型： ①模型一：等边60°对120°型 条件：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120° 结论：（1）CA平分∠BCD；（2）BC+CD=AC． 证明：证明：如图，将△ACD绕点A逆时针旋转60°至△AMB，使AD， AB重合， 则△ACD≌△AMB， ∴∠ADC=∠ABM，AC=AM，CD=BM，∠ACD=∠M， ∵∠BAD=60°，∠BCD=120°， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
期中考试（论文） （ 2014届） 题目戴维南定理和诺顿定理在 电路分析中应用 学院物理与电子工程学院 专业电子信息工程 班级 14电子信息工程（1）班 学号 1430220014 学生姓名毛征姜 指导教师孙运旺副教授 完成日期 2015年4月 1 / 13
戴维南定理和诺顿定理在电路分析中应用 The Application of Thevenin＇s Theorem and Norton＇s Theorem in circuit analysis 学生姓名：毛征姜 Student: Mao Zheng Jiang 指导老师：孙运旺副教授 Adviser: Vice Professor Sun Y unwang 台州学院 物理与电子工程学院 School of Physics & Electronics Engineering Taizhou University Taizhou, Zhejiang, China 2015年4月 May2015
摘要 介绍了戴维南定理和诺顿定理在电路中的分析应用 关键词 戴维南定理；诺顿定理。 目录 1.引言 (4) 2.戴维南定理 (4) 2.1戴维南定理介绍 (4) 2.2戴维南等效电路的计算 (5) 2.3注意事项 (6) 3.诺顿定理 (7) 3.1诺顿定理介绍 (7) 3.2诺顿等效电路的计算 (7) 3.3注意事项 (8) 4.戴维南定理和诺顿定理 (9) 4.1戴维南定理和诺顿定理在含受控源电路中的应用 (9) 4.2戴维南等效电路和诺顿等效电路的相互转
换 (11) 5.结论 (12) 参考文献 (13) 引言 戴维南定理和诺顿定理在电路分析中是非常重要的。希望通过这次论文能让我加深对戴维南定理和诺顿定理的了解和对毕业论文设计的模式有一些了解。 2戴维南定理 2.1戴维南定理介绍 戴维南定理（Thevenin's theorem）又称等效电压源定律， 是由法国科学家L·C·戴维南于1883年提出的一个电学定理。由于早在1853年，亥姆霍兹也提出过本定理，所以又称亥 姆霍兹-戴维南定理。其内容是：一个含有独立电压源、独立电流源及电阻的线性网络的两端，就其外部型态而言，在电性上可以用一个独立电压源V和一个松弛二端网络的串联电阻组合来等效。在单频交流系统中，此定理不仅适用于电阻，也适用于广义的阻抗。 此定理陈述出一个具有电压源及电阻的电路可以被转换成 戴维南等效电路，这是用于电路分析的简化技巧。戴维南等效电路对于电源供应器及电池(里面包含一个代表内阻抗的
戴维南定理例题
第四章电路定理 ◆重点： 1、叠加定理 2、戴维南定理和诺顿定理 ◆难点： 1、熟练地运用叠加定理、戴维南定理和诺顿定理分析计算电路。 2、掌握特勒根定理和互易定理，理解这两个定理在路分析中的意义。 4-1 叠加定理 网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。 4.1.1 几个概念 1．线性电路——Linear circuit 由线性元件和独立源组成的电路称为线性电路。 2．激励与响应——excitation and response 在电路中，独立源为电路的输入，对电路起着“激励”的作用，而其他元件的电压与电流只是激励引起的“响应”。 3．齐次性和可加性——homogeneity property and additivity property “齐次性”又称“比例性”，即激励增大K倍，响应也增大K倍；“可加性”意为激励的和产生的响应等于激励分别产生的响应的和。“线性”的含义即包含了齐次性和可加性。 齐次性： 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
可加性： 4.1.2 叠加定理 1．定理内容 在线性电阻电路中，任一支路电流（电压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流（电压）之叠加。此处的“线性电阻电路”，可以包含线性电阻、独立源和线性受控源等元件。 2．定理的应用方法 将电路中的各个独立源分别单独列出，此时其他的电源置零——独立电压源用短路线代替，独立电流源用开路代替——分别求取出各独立源单独作用时产生的电流或电压。计算时，电路中的电阻、受控源元件及其联接结构不变。 4.1.3 关于定理的说明 1．只适用于线性电路 2．进行叠加时，除去独立源外的所有元件，包含独立源的内阻都不能改变。 3．叠加时应该注意参考方向与叠加时的符号 4．功率的计算不能使用叠加定理 4.1.4 例题 1．已知：电路如图所示 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3
第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：
即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成：
及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；
实验一叠加定理和戴维南定理 一、实验目的 1.通过实验方法验证叠加定理和戴维南定理。 2.通过实验加深对电位、电压与参考点之间关系的理解。 3.通过实验加深对电路参考方向的掌握和运用能力。 4.学会使用直流电流表和数字万用表。 二、实验原理 1. 叠加定理是线性网络的重要定理。在一个线性网络中，当有n 个独立电源共同作用时，在电路中任一部分产生的响应(电压或电流)等于各独立源单独作用时在该部分产生响应的代数和。 2. 戴维南定理是指一线性含源二端网络，对外电路来说等效为一个电压源与电阻串联，电压源的电压等于二端网络的开路电压，串联电阻为二端网络内部所有独立源为零时的输入端等效电阻。 3. 测量电路中电流的方法 在电路插接板上有电流测试孔，在未接入电流测试线时，电路保持接通状态；当测量电流时，须将电流测试线与电流表相连，其红色接线夹与电流表的正极相连、黑色接线夹与电流表的负极相接，然后将插头插入待测电流电路的电流测试孔，此刻电流表即串接在该电路中，读完电流表数值后，将电流测试插头拔下，当电流测试插头被拔出之后，电流表即脱离该电路，其电流测试
插座仍能保持电路处于接通状态。 三、实验内容 根据提供的电阻参数，设计并选择合适的电压E1，E2 ，测量电路中的电流I1、I2、I3，与理论值比较。 四、实验装置 实验装置如图1—1所示： 图1―1：戴维南定理和叠加定理实验装置 开关K1和K2手柄指向电压源，则相应在AB、CD端接入的电压源被接入电路；若开关K1和K2手柄指向短路线，则AB、CD 端被电路中的短路线短接。 开关K3和K4为单刀三位开关，开关手柄指向左侧ON的位置，则K3、K4处短路；开关手柄指向右侧R4或D1的位置，则K3、
戴维南定理和诺顿定理 戴维南定理（Thev enin’s theorem ）是一个极其有用的定理，它是分析复杂网络响应的一个有力工具。不管网络如何复杂，只要网络是线性的，戴维南定理提供了同一形式的等值电路。 先了解一下二端网络/也叫一端口网络的概念。（一个网络具有两个引出端与外电路相联，不管其内部结构多么复杂，这样的网络叫一端口网络）。 含源单口（一端口）网络──内部含有电源的单口网络。 单口网络一般只分析端口特性。这样一来，在分析单口网络时，除了两个连接端钮外，网络的其余部分就可以置于一个黑盒子之中。 含源单口网络的电路符号： 图中N ──网络 方框──黑盒子 U
单口松驰网络──含源单口网络中的全部独立电源置零，受控电源保留，（动态元件为零状态），这样的网络称为单口松驰网络。 电路符号： 一、戴维南定理 （一）定理： 一含源线性单口一端网络N ，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换，此电压源的电压等于端口的开路电压，电阻等于该单口网络对应的单口松驰网络的输入电阻。（电阻等于该单口网络的全部独立电源置零后的输入电阻）。 上述电压源和电阻串联组成的电压源模型，称为戴维南等效电路。该电阻称为戴维南等效电阻。 U 任意负载 任意负载 U oc =U s
求戴维南等效电路，对负载性质没有限定。用戴维南等效电路置换单口网络后，对外电路的求解没有任何影响，即外电路中的电流和电压仍然等于置换前的值。 （二）戴维南定理的证明： 1. 设一含源二端网络N 与任意负载相接，负载端电压为U ，端电流为I 。 2. 任意负载用电流源替代，取电流源的电流为I I S 。 方向与I 相同。替代后，整个电路中的电流、电压保持 不变。 下面用叠加定理分析端电压U 与端电流I 。 3. 设网络N 内的独立电源一起激励，受控源保留，电流源I S 置零，即ab 端开路。这时端口电压、电流加上标（1），有 S U (1)=U oc I (1)=0
第四章 特瓦尔特定理及应用 【基础知识】 斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ?+?=?+?? ① 或 2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C =? +?-??． ② 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设90APC
第四章电路定理 重点： 1、叠加定理 2、戴维南定理和诺顿定理 难点： 1、熟练地运用叠加定理、戴维南定理和诺顿定理分析计算电路。 2、掌握特勒根定理和互易定理，理解这两个定理在路分析中的意义。 4-1 叠加定理 网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。 几个概念 1．线性电路——Linear circuit 由线性元件和独立源组成的电路称为线性电路。 2．激励与响应——excitation and response 在电路中，独立源为电路的输入，对电路起着“激励”的作用，而其他元件的电压与电流只是激励引起的“响应”。 激励e响应r 系统 3．齐次性和可加性——homogeneity property and additivity property “齐次性”又称“比例性”，即激励增大K倍，响应也增大K倍；“可加性”意为激励的和产生的响应等于激励分别产生的响应的和。“线性”的含义即包含了齐次性和可加性。 齐次性：
可加性： 叠加定理 1．定理内容 在线性电阻电路中，任一支路电流（电压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流（电压）之叠加。此处的“线性电阻电路”，可以包含线性电阻、独立源和线性受控源等元件。 2．定理的应用方法 将电路中的各个独立源分别单独列出，此时其他的电源置零——独立电压源用短路线代替，独立电流源用开路代替——分别求取出各独立源单独作用时产生的电流或电压。计算时，电路中的电阻、受控源元件及其联接结构不变。 关于定理的说明 1．只适用于线性电路 2．进行叠加时，除去独立源外的所有元件，包含独立源的内阻都不能改变。 3．叠加时应该注意参考方向与叠加时的符号 4．功率的计算不能使用叠加定理 例题 1．已知：电路如图所示