第三章圆
知识点汇总
一. 车轮为什么做成圆形
1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心
．．；以点O为圆心的圆，记
．．；线段OA叫做半径
作⊙O，读作“圆O”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心
．．．．，
．．，定长叫做圆的半径
圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆
．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <===> d=r;
②点在圆内 <===> d ③点在圆外 <===> d>r. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点的距离相等。 二. 圆的对称性: 1. 与圆相关的概念： ①弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。 直径：经过圆心的弦叫做直径 ．．。 ②弧、半圆、优弧、劣弧： 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆 ．．。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧 ．．。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 ．．。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 ．．。 ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆 ．．．。 ⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 ．．。 ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ．．．. ⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距 ．．．. 2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三. 圆周角和圆心角的关系: 1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也 被等分成 360份,每一份同样的弧叫1°弧. 2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB= ,这是错误的. 3. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. 4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 四. 确定圆的条件: 1. 理解确定一个圆必须具备的两个条件: 圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2) 经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三 角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切、相离的定义: (1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线. (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点. (3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离. 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d； ①d ②d=r <===> 直线L和⊙O相切. ③d>r <===> 直线L和⊙O相离. 3. 切线的总判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心. 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. 6. 三角形内心的性质: (1)三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 图5 O B C A C B A O C B A O 六. 圆和圆的位置关系. 1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义. (1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离. (2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这 两个圆外切. 这个唯一的公共点叫做切点. (3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交. (4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两 个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两 圆内的一个特例. 2. 两圆位置关系的性质与判定: (1)两圆外离<===> d>R+r (2)两圆外切 <===> d=R+r (3)两圆相交 <===> R-r 3. 相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 4. 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积 1. 圆周长公式:圆周长C=2πR (R 表示圆的半径) 2. 弧长公式:弧长180 R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式:圆的面积2 R S π= (R 表示圆的半径) 6. 扇形的面积公式:扇形的面积360 2R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 7.弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S == 2 2 1π 八. 圆锥的有关概念: 1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而 成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面. 2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算: 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点. 如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是: rl rl cl S ππ=?==22 1 21侧 )(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表 九.与圆有关的辅助线 1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线. 2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角. 3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线. 4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线. 十. 圆内接四边形 若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补; ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理 1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角。 如图6，∵PA ，PB 分别切⊙O 于A 、B ∴PA=PB ，PO 平分∠APB 2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 如图7，CD 切⊙O 于C ，则，∠ACD=∠B 3．和圆有关的比例线段： ①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等； ②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 如图8，AP ?PB=CP ?PD 如图9，若CD ⊥AB 于P ，AB 为⊙O 直径，则CP 2=AP ?PB 4．切割线定理 ①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的 两条线段长的比例中项； ②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与 圆的交点的两条线段长的积相等。 如图10， ①PT 切⊙O 于T ，PA 是割线，点A 、B 是它与⊙O 的交点， 则PT 2=PA ?PB ②PA 、PC 是⊙O 的两条割线，则PD ?PC=PB ?PA 5．两圆连心线的性质 ①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。 ②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。 如图11，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，则连心线O 1O 2⊥AB 且AC=BC 。 _ 图 6 _ P _ O _ B _ A _O _C _D _A _B _ 图 7 _O _B _D _P _A _C 图8 _ 图 9 _P _A _B _C _D _O _ 图10 _B _D _C _O _A _T _P _ 图 11 _B _C _A _O _ 2 _O _ 1 6．两圆的公切线 两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。 如图12，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，连结O 1A ，O 2B ，过O 2作O 2C ⊥O 1A 于C ， 公切线长为l ，两圆的圆心距为d ，半径分别为R ，r 则外公切线长：22)(r R d L --= 如图13，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，O 2C ∥AB ，O 2C ⊥O 1C 于C ，⊙O 1半径为R ， ⊙O 2半径为r ，则内公切线长：22)(r R d L +-= 1 圆的基本性质 【知识梳理】 1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角：（3）圆周角：（4）弧：（5）弦： 2．圆的有关性质： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为 圆心． （2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心: （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心： （3）三角形的内心： 4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【例题精讲】 例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米 例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 例题1图 例题2图 例题3图 例题4图 例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度 _O _2 _d _C _R _r _A _B _O _1 _ 图 13 _ 图 12 _O _1 _B _A _r _R _C _d _O _2 数为（ ）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120° 例题5． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ． 3 cm 2 B ．3cm C ．23cm D ．9cm 例题 6.如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦 DE AB ⊥， 垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线）（2） A ∠=30°，CD = 23 3 ，求O ⊙的半径r ． 【当堂检测】 1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 2.如图， △ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62° 第1题图 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图 3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ． 3 cm 2 B ．3cm C ．23cm D ．9cm 4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm 5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结OC ，若OC ＝5，CD ＝8， 则tan ∠COE ＝（ ） A ． 35 B ．45 C ．34 D ．43 6．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则 AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P 在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）． 8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是_______． 9.如图，AB 是⊙0的直径，弦CD ∥AB ．若∠ABD ＝65°，则∠ADC ＝______. 10．如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为 AB 的中点， PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长． 【中考连接】 一、选择题 1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO ＝50°，则∠ACB 的大小为（ ） P B C E A 第10题图 第7题图 例9题图 例8题图 B C D A A ．40° B ． 30° C ．45° D ．50° 2.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝（ ）A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 5.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o ， 那么sin ∠AEB 的值为( ) A. 2 1 B. 33 C.2 2 D. 23 6.如图，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( ). 7.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ） A ．0.4米 B ．0.5米 C ．0.8米 D ．1米 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 8．如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ ） A ．OM 的长 B ．2OM 的长 C ．CD 的长 D ．2CD 的长 9.已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则⊙的半径为（ ） A ．4 B ．3.25 C ．3.125 D ．2.25 10.如图，已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若∠D 的度数是50°，则∠C 的度数是（ ）A ．25° B ．40° C ．30° D ．50° 11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ） A ．53 B ．5 C ．52 D ．6 12.如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在圆上，CD AB DE BC ⊥，∥，则图中与ABC △相似的三角形的个数有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 二、填空题 1.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO = 32°，则∠COB 的度数等于 ． 2.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD=1，则BC 的长为 . 3．如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小 值是________. 第1题图第2题图第3题图第4题图 4.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED 的正切值等于. 5.如图，圆O的半径5cm OA=，弦8cm AB=，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最 短距离是cm． 6．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则 中间柱CD的高度为m． 7．如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分ACB ∠，若AB＝2,∠CBA＝15°， 则CD的长为 8.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，则BD＝ _____ A B C D O 第5题图第6题图第7题图第8题图 三、解答题 9.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5． （1）若s in∠B A D= 3 5 ，求CD的长；（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴 影部分）的面积（结果保留π）． 2 直线与圆、圆与圆的位置关系 【知识梳理】 1. 直线与圆的位置关系： 思考与收获 2. 切线的定义和性质： 3.三角形与圆的特殊位置关系： 4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ） 相交?2121r r d r r +<<-； 外切?21r r d +=； 内切?21r r d -=； 外离?21r r d +>； 内含?210r r d -<< 【注意点】 与圆的切线长有关的计算． 【例题精讲】 例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含 例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为 D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结 OE OF DE DF ，，，， 则EDF ∠等于（ ） A ．40° B ．55° C ．65° D ．70° 例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、 B 两点且圆心在L 上的圆有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．0个或1个或无数个 例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm 例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___?时，?两圆相交；? 当d ?满足___ ___时，两圆不外离． 例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O ?的位置关系是____ 例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ， 切点C 在弧AB 上，若P A 长为2，则△PEF 的周长是 _ 例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE= 4 3 ，求DB 的长． 【当堂检测】 1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．内切 D ．相交 2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上答案均不对 3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么 D O A F C B E x y M B A O C l B A 例题3图 例题2图 例题8图 例题9图 ?A B P C E F ?O 例题10图 O O2 O1∠APC 等于（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 4. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长. 6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ） A. 45 B. 54 C. 43 D. 6 5 7.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关 系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，° ，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π） ． 9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______． 10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___． 11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ． 12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30o，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________． 13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( ) A.2 B.32 C.3 D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ） A ．3 B ．5 C ．23 D ．25 3. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ） O D C B A B P A O C 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图 A. 335 B. 6 3 5 C. 10 D. 5 4. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ） A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 26 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外切，该同学把此 时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( ) A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ） ①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度． 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，， ， 的度数比为3∶2∶4， MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________． 8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 3 5 = ．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ． 9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ． 10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个． 11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ． 12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm. 13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1 y x = 图象上，则阴影部分面积等于 ． 14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC 的内切圆半径r =______． 15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____． 16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ． 17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图 三、解答题 18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠= ． （1）求∠AOC 的度数； （2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长； （3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长． 3圆的有关计算 【知识梳理】 1. 圆周长公式： 2. n°的圆心角所对的弧长公式： 3. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ． 4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面积公式为： ；圆锥的表面积的计算方法是： 5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为r ，高为h 的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是： 【注意点】 【例题精讲】 【例1】如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转90°，得到△AB 1C 1． （1）在正方形网格中，作出△AB 1C 1； （2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B 所经过的路径长． 【例2】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论； （2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积． 第18题图 C B A O F E 40% 5=R （图1） （图2） 60% C B A C ' A ' 【例3】如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片 中剪下40%圆周的 一个扇形，然后利用剪下的 扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A.3cm B.4cm C.21cm D.62cm 【例4】（庆阳）如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA 、OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA=OB=6㎝，AB=36㎝． 求：（1）⊙O 的半径；（2）图中阴影部分的面积． 【当堂检测】 1．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．6π2 cm B ．9π2 cm C ．12 π2 cm D ．27π2 cm 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是( ) A ．25π B ．65π C.90π D ．130π 3．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A ． 3 8 cm B ． 316 cm C ．3cm D ．3 4 cm 4.圆锥侧面积为8πcm 2,侧面展开图圆心角为450,则圆锥母线长为（ ） A.64cm B.8cm C.22㎝ D. 4 2 ㎝ 5．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．23 6．如图，有一圆心角为120 o 、半径长为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ） A ．24 cm B ．35 cm C ．62 cm D ．32 cm 7．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是 ㎝2. 8．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为 9．如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为 （平方单位） 10．王小刚制作了一个高12cm ，底面直径为10cm 的圆锥，则这个圆锥的侧面积 是 cm 2. 11．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠= ，4AB AD ==，6BC =，以A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是 ． 12.制作一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为3.5cm ，侧面母线长为6cm ，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 度． 13.如图，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条 直线上，在Rt ABC △中，若90C = ∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过 A O B 120o 第6题图 第8题图 第9题图 O A C B D 第13题图 A B C D 第11题图 的扇形面积为 ． 14.翔宇中学的铅球场如图所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，弧AB 的长为9米，那么半径OA=______米. 15.如图，AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦，半径OD ⊥BC,垂足为E ，若BC=36，DE=3． 求：(1) ⊙O 的半径； (2)弦AC 的长；(3)阴影部分的面积． 【中考连接】 一、选择题 1．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ） A ．2 100cm π B ． 2400cm 3π C ．2800cm π D ．2800 cm 3 π 2．如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1 cm ，则这个圆锥的底面 半径为（ ） A ．22 cm B ．2 cm C ．22 cm D ．2 1 c 3．如图，小红同学要用纸板制作一个高4cm ，底面周长是6πcm 的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是（ ） A ．12πcm 2 B ．15πcm 2 C ．18πcm 2 D ．24πcm 2 4．如图，如果边长为1的菱形ABCD 绕点点A 旋转，则当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时， 弧BC 的长度等于（ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 5．如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长为（ ） A ．10cm B ．3.5πcm C ．4.5πcm D ．2.5πcm 6．将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的 圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗）， 那么每个圆锥容器的底面半径为( ) A ．10cm B ．30cm C ．40cm D ．300cm 7.现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）A.9° B.18° C.63° D.72° 8.如图，水平地面上有一面积为π30㎝2的扇形AOB ，半径OA=6㎝，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（ ） 第14题图 第15题图 A O B 第4题图 第1题图 第2题图 第3题图 A 1 A 2 A B C 第5题图 第6题图 （n +1）个图 A O C B D 第15题图 二、填空题 9．如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则124:S S 的值等于 ． 10．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．将ABC ?以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转至AB 边延长线上的点C '处，那么AC 边转过的图形的面积是 ． 11．圆锥的底面积是侧面积的 1 3 ，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是____度． 12．如图，方格纸中小正方形边长为1，则图中阴影部分的面积和为 （结果保留π 13.如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的弧AB ），点O 是这段弧的圆心，C 是弧AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为D ，300m AB =，50m CD =，则这段弯路的半径是 m ． 14.已知在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为s1,把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为s 2，则s 1：s 2等于_________． 三、解答题 15．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点） (1) 画出ABC △绕点O 顺时针旋转90 后的△A 1B 1C 1； (2)求点A 旋转到A 1所经过的路线长． 16．如图，AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，OF AC ⊥于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论； （2）当30D ∠= ，1BC =时，求圆中阴影部分的面积． 第10题图 第12题图 第13题图 C B A O F E 第8题图 第9题图 O P M y x N 17．如图，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4的半径都为1，其中⊙O 1与⊙O 2外切，⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4两两外切，并且O 1、O 2、O 3三点在同一直线上． （1）请直接写出O 2O 4的长； （2）若⊙O 1沿图中箭头所示方向在⊙O 2、的圆周上滚动，最后⊙O 1滚动到⊙O 4的位置上，试求在上述滚动过程中圆心O 1移动的距离． 4 圆的综合 【例题精讲】 1．如图，已知圆心角78BOC ∠= ，则圆周角BAC ∠的度数是（ ） A ．156 B ．78 C ． 39 D ．12 2．如图2所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （ ） A ．是正方形 B ． 是长方形 C ． 是菱形 D ．以上答案都不对 3．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．6π2cm B ．9π2cm C ．12 π2cm D ．27π2cm 4．⊙O 半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 5. 如图，一个扇形铁皮OAB. 已知OA =60cm ，∠AOB =120°，小华将OA 、OB 合拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计)，则烟囱帽的底面圆的半径为( ) A. 10cm B. 20cm C. 24cm D. 30cm 6.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，则该半圆的半径为（ ） A ．(45)+ cm B ．9 cm C ． 45cm D ． 62cm 7．如图，⊙O 的半径为3cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB=OA ，动点P 从点A 出 发，以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为 s 时，BP 与⊙O 相切． 8．如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是 9．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的 正切值等于 ． 10.如图，AB 为⊙O 直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于点D ， AB=20cm ，∠A=30°，则AD= cm O 4 O 2O 1O 3 120° O A B 第1题图 B A O P 2 3 E O D C B A 第2题图 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 11．半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，－4），N （0，－10）， 函数(0)k y x x = <的图像过点P ，则k ＝ ． 12．如图，已知圆O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与圆O 相切于点Q ．A B ，两点同时从 点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以 4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与圆O 相切？ 【当堂检测】 1．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 ②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等④已 知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，圆O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A ．3 B ．5 C ．23 D ．25 3．如图，圆O 的半径为1，AB 与圆O 相切于点A ，OB 与圆O 交于点C ，OD OA ⊥，垂足为D ，则cos AOB ∠的值等于（ ） A ．OD B ．OA C ．CD D ．AB 4．如图，AB 是圆O 的弦，半径2OA =，2 sin 3 A =，则弦A B 的长为（ ） A ． 25 3 B ． 213 3 C ．4 D ．45 3 5.如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为（2，32），直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点．则B 点的坐标为（ ） A ．???? ??-5823, B ．() 13,- C ．??? ??-5954, D ．() 31,- 6.如图4，⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ）A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5 7.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部 分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA 为（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．37 7 第3题图 A B C O D x y O 1 1 B A A B Q O P N M O D A B C O A B A B O M 第12题图 第6题图 第5题图 第4题图 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（ ） A ．25π B ．65π C ．90π D ．130π 9．如图，AB 为圆O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交圆O 于点D ，OF AC ⊥于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论； （2）当30D ∠= ，1BC =时，求圆中阴影部分的面积． 10.如图，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ， 交圆O 于点D ，点E 在圆0上． （1）若52AOD ∠= ，求DEB ∠ 的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1．已知⊙O 1和⊙O 2相切，两圆的圆心距为9cm ，⊙O 1的半径为4cm ，则⊙O 2的半径为（ ） A ．5cm B.13cm C.9cm 或13cm D.5cm 或13cm 2．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切 B ．与x 轴、y 轴都相离 C ．与x 轴相切、与y 轴相离 D ．与x 轴、y 轴都相切 3．圆锥的侧面积为8πcm 2, 侧面展开图圆心角为45°,则该圆锥母线长为（ ） A ．64cm B ．8cm 2 22cm cm 4 Ｃ、 Ｄ、 4.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（ ） A ．2 B ．32 C ．3 D ．3 5、如图，PA PB ，分别是圆O 的切线，A B ，为切点，AC 是圆O 的直径， 35BAC ∠= ，P ∠的度数为（ ） A ．35 B ．45 C ．60 D ．70 6.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ） A ．2100cm π B ． 2 400 cm 3π C ．2800cm π D ． 2800 cm 3 π 二、填空题 7．如图，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于点C ，若8cm AB =，3cm OC =，则⊙O 的半径为 cm ． 8．若O 为△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，则∠BAC = °． 9．圆O 1和圆O 2的半径分别为3cm 和5cm ，且它们内切，则圆心距12O O 等于 cm ． 10．圆锥的底面半径是1，母线长是4，它的侧面积是 ______． 11．已知⊙O 的半径是3，圆心O 到直线l 的距离是3，则直线l 与⊙O 的位置关系是 ． C B A O F D E E B D C A O 第10题图 第9题图 O 第5题图 A B C O P A C B O 第7题图 第4题图 第6题图 A B C P O 三、解答题 12．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，且 13AB =，5BC = ． （1）求sin BAC ∠的值； （2）如果OD AC ⊥，垂足为D ，求AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积． 第12题图 14．AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若30P ∠= ，求B ∠的度数． 第14题图 15．如图，正方形网格中，ABC △为格点三角形（顶点都是格点），将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转90 得到11AB C △． （1）在正方形网格中，作出11AB C △； （2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动 点B 所经过的路径长． 第15题图 16.如图，某种雨伞的伞面可以看成由12块完全相同的等腰三角形布料缝合而成.量得其中一个三角形OAB 的边OA=OB=56cm. （1）求∠AOB 的度数； （2）求△OAB 的面积.（不计缝合时重叠部分的面积） 第16题图 A B C D O 17．如图，点C 是半圆O 的半径OB 上的动点，作PC AB ⊥于C ．点D 是半圆上位于PC 左侧的点，连结BD 交线段PC 于E ，且PD PE =． （1）求证：PD 是圆O 的切线． （2）若圆O 的半径为43，83PC =，设2 OC x PD y ==，． ①求y 关于x 的函数关系式． ②当3x =时，求tan B 的值． 第17题图 O C B E P D A
相关主题
文本预览