南昌二中2015—2016学年度上学期第一次考试
高三数学(理)试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数lg y x =的定义域为集合A ,集合{}
01B x x =≤≤,则A B = ( ) A .(0,)+∞ B .[0,1]
C .[0,1)
D .(0,1]
2.已知α为第二象限角,且sin α=3
5,则tan(π+α)的值是( )
A. 43
B. 3
4
C .-43
D .-3
4
3.下列说法正确的是( )
A .命题“若x 2
=1,则x =1”的否命题为:“若x 2
=1,则x ≠1” B .已知()y f x = 是R 上的可导函数,则“0()0f x '=” 是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件
C .命题“存在x ∈R,使得x 2
+x +1<0”的否定是:“对任意x ∈R,均有x 2
+x +1<0” D .命题“角α的终边在第一象限角,则α是锐角”的逆否命题为真命题 4.已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于( ) A .sin 2
B .-sin 2
C .cos 2
D .-cos 2
5.设21
log 3
a =,12
b e -=,ln
c π=,则( )
A .c a b <<
B .a c b <<
C .a b c <<
D .b a c <<
6.设点P 是曲线32
33
+
-=x x y 上的任意一点,P 点处切线倾斜角α的取值范围 A .),65[)2,0[πππ B . ),32[ππ C .),3
2[)2,0[ππ
π D .]65,2(ππ 7.将函数()sin 23f x x π?
?
=+
??
?
向右平移
23
π
个单位,再将所得的函数图象上的各点纵 坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数()y g x =的图象,则函数()y g x =与
2
x π
=-
,3
x π
=
,x 轴围成的图形面积为( )
A .
1
2
B .
32 C
.1+D
.1 8.已知函数25,(1)
(),(1)x ax x f x a x x
?---≤?
=? >??是R 上的增函数,则a 的取值范围是( )
A .3-≤a <0
B .3-≤a ≤2-
C .a ≤2-
D .a <0
9.已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数,且()()11-=+x f x f ,当[]1,0∈x 时,
()12-=x x f ,则函数()()ln
2
x
g x f x =-的零点个数为( ) A .3
B .4
C .5
D .6
10.若βα,都是锐角,且5
5
cos =
α,1010)sin(=-βα,则=βcos ( )
A .
22 B .10
2
C .
22或102- D .22或10
2
11.已知a ≤1-x
x
+ln x 对任意1[,2]2
x ∈恒成立,则a 的最大值为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
12.设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中1a <,若存在唯一的整数t ,使得()0
f t <,
则a 的取值范围是( ) A . 3,12e ??-
???? B . 33,24e ??
-????
C . 33,24e ??
??
??
D . 3,12e ??
??
??
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.)
13.已知tan 2α=,则 2
sin 2sin 2-αα= .
14.已知函数()x f 的导函数为()x f ',且满足()()2'232
xf x x f +=,则()'4f = .
15. 在ABC ?中,如果cos()2sin sin 1B A A B ++=,那么△ABC 的形状是________. 16. 已知函数()2sin f x x ω=(其中常数0ω>),若存在12,03x π??∈-????,20,4x π??
∈ ???
, 使得()()12f x f x =,则ω的取值范围为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题10分)
已知函数()sin()(,0,0)2
f x A x x R π
ω?ω?=+∈><<的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间.
18.(本小题12分)
已知函数2
23
()m
m f x x -++= ()m Z ∈是偶函数,且()f x 在(0,)+∞上单调递增.
(1)求m 的值,并确定()f x 的解析式;
(2)2()log [32()]g x x f x =--,求()g x 的定义域和值域。
19.(本小题满分12分)
在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,面积为S ,已知
2
23
cos cos 222
C A a c b +=. (Ⅰ)求2a c b +-的值; (Ⅱ)若3
B π
=
,S =b .
20.(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥S ABCD -,底面ABCD 为菱形,SA ⊥平面ABCD ,60ADC ∠= ,E F ,分别是,SC BC 的中点.
(Ⅰ)证明:SD AF ⊥;
(Ⅱ)若2,4AB SA ==,求二面角F AE C --的
余弦值.
S
B
F
C
D
E
A
21.(本小题满分12分)
已知()sin f x ax x =+()a R ∈
(I )当1
2
a =时,求()f x 在[0,]π上的最值; (II )若函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22
ππ
-上不单调....求实数a 的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数()ln 1f x a x x =-+ ()a R ∈. (I )求()f x 的单调区间;
(II )若()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立,求所有实数a 的值;
(III)证明:ln2ln3ln4ln(1)
34514
n n n
n
-
++++<
+
(,1)
n N n
∈>.
南昌二中2015—2016学年度上学期第一次考试
高三数学(理)试卷参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13. 45-
14. 0 15. 等腰三角形 16. 3,2??+∞ ???
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.解:(Ⅰ)由题设图象知,周期11522(),21212T T
πππ
πω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图象上,所以55sin(2)0,sin()0126
A ππ???+=+=即. 又55450,,=26636
πππππ
???π<<∴<+<+ 从而,即=6π?.
又点0,1()
在函数图象上,所以sin 1,26
A A π
==,
故函数()f x 的解析式为()2sin(2).
6f x x π
=+
…………5分
(Ⅱ)由222262πππ
k πx k π-
+≤+≤+ ()k Z ∈, 解得36
ππ
k πx k π-≤≤+ ()k Z ∈,
所以()f x 的单调递增区间是[,]()36
ππ
k πk πk Z -+ ∈.…………10分
18.解:(1)因为()f x 在(0,)+∞单调递增,由幂函数的性质得2230m m -++>, 解得3
12
m -<<
,因为m Z ∈,所以0m =或1m = 当0m =时,()3
f x x =不是偶函数; 当1m =时,()2
f x x =是偶函数,
所以1m =,()2
f x x =;…………6分
(2)由(1)知()()
22log 23g x x x =--+,由2
230x x --+>得31x -<<,
所以()g x 的定义域为(3,1)-。…………9分 设2
23,(3,1)t x x x =--+∈-,则(]0,4t ∈,
此时()g x 的值域,就是函数(]2log ,0,4y t t =∈的值域.
2log y t =在区间(]0,4上是增函数,所以(],2y ∈-∞;
所以函数()g x 的值域为(],2-∞.…………12分
19.解: (Ⅰ)由正弦定理得2
23
sin cos sin cos sin 222
C A A C B += 即1cos 1cos 3
sin sin sin 222
C A A
C B +++= 所以sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++= 即sin sin sin()3sin A C A C B +++=
因为sin()sin A C B +=,所以sin sin 2sin A C B += 由正弦定理得20a c b +-=;…………6分
(Ⅱ)因为1sin 2S ac B =
==
16ac =, 又由余弦定理有2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+- 由(Ⅰ)得2a c b +=,所以2
2
448b b =-,得4b =。…………12分
20.(Ⅰ)证明:由四边形ABCD 为菱形,60ADC ∠=
,可得ABC △为正三角形. 因为F 为BC 的中点,所以AF BC ⊥. 又BC AD ∥,因此AF AD ⊥.…………2分
因为SA ⊥平面ABCD ,AF ?平面ABCD ,所以SA AF ⊥. 而SA ?平面SAD ,AD ?平面SAD 且SA AD A = , 所以AF ⊥平面SAD .又SD ?平面SAD ,…………5分 所以AF SD ⊥. ………… 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,AF AD AS 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E F ,分别为,SC BC
的中点,所以(000)10)(020)A B C D -,,,,,,,,,
,
1(0,0,4),,2,22S E F ??
? ???,
所以1,2,2AE AF ?==??
??
. 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =,,m ,
则00
AE AF ??=???=?? m m ,
因此1
111
120220x y z ++=?= 取11z =-,则(0,4,1)=-m ,…………9分 因为BD AC ⊥,BD SA ⊥,SA AC A = , 所以BD ⊥平面AEC ,
故BD 为平面AEC
的一法向量,且(0)BD =
,,…………10分
所以cos BD BD BD
?<>==
=?
m m,m ,…………11分 由于二面角E AF C --
.…………12分 21.解:
(I )当12a =时,1()sin 2f x x x =+,∴1
()cos 2
f x x '=+ 令()0f x '=,得23
π
x =。
所以max 2()(
)332
ππf x f ==+
min ()(0)0f x f ==…………6分 (II )()sin f x ax x =+ ,()cos f x a x '=+, ∴()sin cos g x ax x x a =+++
则()cos sin )4
g x a x x a x π
'=+-=--
∵[,]22ππx ∈-
)[4
x π
-∈
当a ≤ ()0g x '≤在[,]22ππ-
上恒成立,即()g x 在区间[,]22ππ
-上递减,不合题意, 当1a ≥时,()0g x '≥在[,]22ππ-上恒成立,即()g x 在区间[,]22
ππ
-上递增,不合题意,
故函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22
ππ
-上不单调...,则1a <<,
综上所述,实数a 的取值范围为(. 22.解: (I )'()1(x 0)a a x
f x x x
-=
-=>, 当0a ≤时,'()0f x <,()f x 减区间为(0,)+∞
当0a >时,由()0f x '>得0x a <<,由()0f x '<得x a >
∴()f x 递增区间为()0,a ,递减区间为(),a +∞. …………4分 (II )由(1)知:当0a ≤时,()f x 在(0,)+∞上为减区间,而(1)0f = ∴()0f x ≤在区间(0,)x ∈+∞上不可能恒成立;
当0a >时,()f x 在()0,a 上递增,在(),a +∞上递减, max ()()ln 1f x f a a a a ==-+,令
()ln 1g a a a a =-+, 依题意有()0g a ≤,而()ln g a a '=,且0a >
∴()g a 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增,∴min ()(1)0g a g ==,故1a =.………8分 (III )由(II )知,当1a =时,()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立,即ln 1x x ≤-在(0,)+∞上恒成立,当且仅当1x =时等号成立。
令2
x k =(,1)k N k ∈>,则有2
2
ln 1k k <-,即2ln (1)(1)k k k <-+, 整理得
ln 112
k k k -<+。 当2,3,4,k n = 时,分别有ln 2132<,ln 3242<,ln 4352<,…,ln 1
12
n n n -<+, 叠加得ln 2ln 3ln 4ln 123(1)(1)
345124n n n n n ++++--++++<=+ , 即ln 2ln 3ln 4ln (1)
34514
n n n n -++++<+ 得证。…………12分