南昌二中2015—2016学年度上学期第一次考试
高三数学（理）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数lg y x =的定义域为集合A ，集合{}
01B x x =≤≤，则A B = （ ） A ．(0,)+∞ B ．[0,1]
C ．[0,1)
D ．(0,1]
2．已知α为第二象限角，且sin α＝3
5，则tan(π＋α)的值是( )
A. 43
B. 3
4
C ．－43
D ．－3
4
3．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2
＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2
＝1，则x ≠1” B ．已知()y f x = 是R 上的可导函数，则“0()0f x '=” 是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件
C ．命题“存在x ∈R，使得x 2
＋x ＋1＜0”的否定是:“对任意x ∈R,均有x 2
＋x ＋1＜0” D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2
B ．－sin 2
C ．cos 2
D ．－cos 2
5．设21
log 3
a =，12
b e -=，ln
c π=，则（ ）
A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
6．设点P 是曲线32
33
+
-=x x y 上的任意一点,P 点处切线倾斜角α的取值范围 A ．),65[)2,0[πππ B ． ),32[ππ C ．),3
2[)2,0[ππ
π D ．]65,2(ππ 7．将函数()sin 23f x x π?
?
=+
??
?
向右平移
23
π
个单位，再将所得的函数图象上的各点纵 坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =与
2
x π
=-
，3
x π
=
，x 轴围成的图形面积为（ ）
A ．
1
2
B ．
32 C
．1+D
．1 8．已知函数25,(1)
(),(1)x ax x f x a x x
?---≤?
=? >??是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．3-≤a ＜0
B ．3-≤a ≤2-
C ．a ≤2-
D ．a ＜0
9．已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，且()()11-=+x f x f ，当[]1,0∈x 时，
()12-=x x f ，则函数()()ln
2
x
g x f x =-的零点个数为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．若βα,都是锐角，且5
5
cos =
α，1010)sin(=-βα，则=βcos （ ）
A ．
22 B ．10
2
C ．
22或102- D ．22或10
2
11．已知a ≤1－x
x
＋ln x 对任意1[,2]2
x ∈恒成立，则a 的最大值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0
f t <，
则a 的取值范围是（ ） A ． 3,12e ??-
???? B ． 33,24e ??
-????
C ． 33,24e ??
??
??
D ． 3,12e ??
??
??
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）
13．已知tan 2α=，则 2
sin 2sin 2-αα= ．
14．已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232
xf x x f +=，则()'4f = ．
15. 在ABC ?中，如果cos()2sin sin 1B A A B ++=，那么△ABC 的形状是________. 16. 已知函数()2sin f x x ω=（其中常数0ω>），若存在12,03x π??∈-????，20,4x π??
∈ ???
， 使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题10分）
已知函数()sin()(,0,0)2
f x A x x R π
ω?ω?=+∈><<的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．
18．（本小题12分）
已知函数2
23
()m
m f x x -++= ()m Z ∈是偶函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．
（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；
（2）2()log [32()]g x x f x =--，求()g x 的定义域和值域。
19．（本小题满分12分）
在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，已知
2
23
cos cos 222
C A a c b +=． （Ⅰ）求2a c b +-的值； （Ⅱ）若3
B π
=
，S =b ．
20.(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥S ABCD -，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ，60ADC ∠= ，E F ，分别是,SC BC 的中点．
（Ⅰ）证明：SD AF ⊥；
（Ⅱ）若2,4AB SA ==,求二面角F AE C --的
余弦值．
S
B
F
C
D
E
A
21．(本小题满分12分)
已知()sin f x ax x =+()a R ∈
（I ）当1
2
a =时，求()f x 在[0,]π上的最值； （II ）若函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22
ππ
-上不单调．．．.求实数a 的取值范围.
22．(本小题满分12分)
已知函数()ln 1f x a x x =-+ ()a R ∈． （I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立，求所有实数a 的值；
（III）证明：ln2ln3ln4ln(1)
34514
n n n
n
-
++++<
+
(,1)
n N n
∈>．
南昌二中2015—2016学年度上学期第一次考试
高三数学（理）试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13． 45-
14． 0 15. 等腰三角形 16. 3,2??+∞ ???
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：（Ⅰ）由题设图象知，周期11522(),21212T T
πππ
πω=-=∴==． 因为点5(,0)12π在函数图象上，所以55sin(2)0,sin()0126
A ππ???+=+=即． 又55450,,=26636
πππππ
???π<<∴<+<+ 从而，即=6π?．
又点0,1（）
在函数图象上，所以sin 1,26
A A π
==，
故函数()f x 的解析式为()2sin(2).
6f x x π
=+
…………5分
（Ⅱ）由222262πππ
k πx k π-
+≤+≤+ ()k Z ∈， 解得36
ππ
k πx k π-≤≤+ ()k Z ∈，
所以()f x 的单调递增区间是[,]()36
ππ
k πk πk Z -+ ∈．…………10分
18．解：（1）因为()f x 在(0,)+∞单调递增，由幂函数的性质得2230m m -++>， 解得3
12
m -<<
，因为m Z ∈，所以0m =或1m = 当0m =时，()3
f x x =不是偶函数； 当1m =时，()2
f x x =是偶函数，
所以1m =，()2
f x x =；…………6分
（2）由（1）知()()
22log 23g x x x =--+，由2
230x x --+>得31x -<<，
所以()g x 的定义域为(3,1)-。…………9分 设2
23,(3,1)t x x x =--+∈-，则(]0,4t ∈，
此时()g x 的值域，就是函数(]2log ,0,4y t t =∈的值域.
2log y t =在区间(]0,4上是增函数，所以(],2y ∈-∞；
所以函数()g x 的值域为(],2-∞.…………12分
19．解： （Ⅰ）由正弦定理得2
23
sin cos sin cos sin 222
C A A C B += 即1cos 1cos 3
sin sin sin 222
C A A
C B +++= 所以sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++= 即sin sin sin()3sin A C A C B +++=
因为sin()sin A C B +=，所以sin sin 2sin A C B += 由正弦定理得20a c b +-=；…………6分
（Ⅱ）因为1sin 2S ac B =
==
16ac =， 又由余弦定理有2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+- 由（Ⅰ）得2a c b +=，所以2
2
448b b =-，得4b =。…………12分
20.（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=
，可得ABC △为正三角形． 因为F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥． 又BC AD ∥，因此AF AD ⊥．…………2分
因为SA ⊥平面ABCD ，AF ?平面ABCD ，所以SA AF ⊥． 而SA ?平面SAD ，AD ?平面SAD 且SA AD A = ， 所以AF ⊥平面SAD ．又SD ?平面SAD ，…………5分 所以AF SD ⊥． ………… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,AF AD AS 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为,SC BC
的中点，所以(000)10)(020)A B C D -，，，，，，，，，
，
1(0,0,4),,2,22S E F ??
? ???，
所以1,2,2AE AF ?==??
??
． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，
则00
AE AF ??=???=?? m m ,
因此1
111
120220x y z ++=?= 取11z =-，则(0,4,1)=-m ，…………9分 因为BD AC ⊥，BD SA ⊥，SA AC A = ， 所以BD ⊥平面AEC ，
故BD 为平面AEC
的一法向量，且(0)BD =
，，…………10分
所以cos BD BD BD
?<>==
=?
m m,m ，…………11分 由于二面角E AF C --
．…………12分 21．解：
（I ）当12a =时，1()sin 2f x x x =+，∴1
()cos 2
f x x '=+ 令()0f x '=，得23
π
x =。
所以max 2()(
)332
ππf x f ==+
min ()(0)0f x f ==…………6分 （II ）()sin f x ax x =+ ，()cos f x a x '=+， ∴()sin cos g x ax x x a =+++
则()cos sin )4
g x a x x a x π
'=+-=--
∵[,]22ππx ∈-
)[4
x π
-∈
当a ≤ ()0g x '≤在[,]22ππ-
上恒成立，即()g x 在区间[,]22ππ
-上递减，不合题意， 当1a ≥时，()0g x '≥在[,]22ππ-上恒成立，即()g x 在区间[,]22
ππ
-上递增，不合题意，
故函数()()()g x f x f x '=+在区间[,]22
ππ
-上不单调．．．，则1a <<，
综上所述，实数a 的取值范围为(． 22．解： （I ）'()1(x 0)a a x
f x x x
-=
-=>， 当0a ≤时，'()0f x <，()f x 减区间为(0,)+∞
当0a >时，由()0f x '>得0x a <<，由()0f x '<得x a >
∴()f x 递增区间为()0,a ，递减区间为(),a +∞． …………4分 （II ）由（1）知：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减区间，而(1)0f = ∴()0f x ≤在区间(0,)x ∈+∞上不可能恒成立；
当0a >时，()f x 在()0,a 上递增，在(),a +∞上递减， max ()()ln 1f x f a a a a ==-+，令
()ln 1g a a a a =-+， 依题意有()0g a ≤，而()ln g a a '=，且0a >
∴()g a 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，∴min ()(1)0g a g ==，故1a =．………8分 （III ）由（II ）知，当1a =时，()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立，即ln 1x x ≤-在(0,)+∞上恒成立，当且仅当1x =时等号成立。
令2
x k =(,1)k N k ∈>，则有2
2
ln 1k k <-，即2ln (1)(1)k k k <-+， 整理得
ln 112
k k k -<+。 当2,3,4,k n = 时，分别有ln 2132<，ln 3242<，ln 4352<，…，ln 1
12
n n n -<+， 叠加得ln 2ln 3ln 4ln 123(1)(1)
345124n n n n n ++++--++++<=+ ， 即ln 2ln 3ln 4ln (1)
34514
n n n n -++++<+ 得证。…………12分